高中数学必修四 角的有关概念、弧度制第3讲
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
高中数学人教B版必修4 1.1 教学课件 《弧度制和弧度制与角度制的换算》(人教)
弧度制和角度制的换算
360=2 rad 180= rad
1=
rad
180
0.01745rad
1rad
180
57.30
5718'
人民教育出版社 高中必修4
人民教育出版社 高中必修4
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
第一单元 · 基本初等函数
弧度制和弧度制 与角度制的换算
人民教育出版社 高中必修4
复习引入：
人民教育出版社 高中必修4
请大家回忆什么是角度制？ 把一个圆分成360等分，每一份叫做1° ——角度制。
人民教育出版社 高中必修4
B’ B
A A’
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长不相等。
新知讲解：
人民教育出版社 高中必修4
常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化。
角 度
0 30 45° 60 90 120135150 180 270 360
弧 度
例3 用弧度制表示 (1)终边在x轴上的角的集合. (2)终边在y轴上的角的集合. (3)终边在坐标轴上的角的集合.
人民教育出版社 高中必修4
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
人民教育出版社 高中必修4
弧长公式： l r
由公式：
l r
l
r
比公式 l nr 简单。
180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积。
课堂练习
人民教育出版社 高中必修4
1、 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm， 求扇形的弧长和面积。
高中数学必修四弧度制 (3)
若l= 3r，则∠AOB=
l r
= 3弧度。
B
l=2r
2弧度
O rA
3r
3 rad
r
OrA
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所
对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对
值是 l r
= 3，即∠AOB=－ l =－3弧度。
r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角 的制度，角度制是以“度”为单位度量角的
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
正实数
零角
零
负角
2、求弧长：α = l R
负实数
例6:利用弧度制证明扇形面积公式S = 1 lR 其中是l扇形弧长，R是圆的半径。 2
证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 1 πR2
2π
∴ 弧长为l的扇形圆心角为 l rad
R
R
oS l
∴ S = l 1 π R2 = 1 lR
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径）
r
一般地，我们规定： 正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。 零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）。
用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，数量也不同。
周角的弧度数是2π，而在角度制下 的度数是360。
θ
π 2
，π
平角： {θ|θ=180°} θ = π
周角： {θ|θ=360°} θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
高中数学新马高级中学弧度制课件苏教版必修四
正实数
零角
0
负角
负实数
探究（二）：度与弧度的换算
思考：我们知道周角是360°，那么以弧度为单位 度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换 算关系？
360 2rad
o
思考：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等 于多少度？
1 rad 0.01745rad 180
0
（1）252o
解 (1) 252 o 252
o ' o
(2) 11o15' 7
180 rad 5
rad
(2) 11 15 11.25 11.25 rad rad 180 16
练习 把下列各角从度化为弧度
（ 1 ） 75o （2） 210o （3）22o30，
例1 把下列各角从弧度化为度
3 （1） （2）3.5 5
3 3 180o 180o o 解 (1) rad 108 (2) 3.5rad 3.5 200.54o 5 5
练习
把下列各角从弧度化为度
(1)
12
2 (2) 5
4 (3) 3
例2 把下列各角从度化为弧度
（3）弧长公式： l
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
；“弧化角”时，
| | r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
对的弧长， 为圆心角的Байду номын сангаас度数，
r 为圆半径．）
弧度制
有人问：坐汽车从南京到盱眙有多远时，有人回答约 140公里，但也有人回答约88英里，请问这两种回答是 同一个意思吗？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是同一个意思，但为什么会有不同 的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公 里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是， 他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的 角的另外一种度量制---弧度制.
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
3高中数学“弧度制”知识点全解析
高中数学“弧度制”知识点全解析一、引言弧度制是数学中描述角度大小的另一种方法，相比于传统的角度制，弧度制具有更加直接和简洁的特性。
通过弧度制，我们可以更方便地进行三角函数的相关运算和求解。
本文将详细解析高中数学中“弧度制”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和方法。
二、弧度制的定义弧度制是一种度量角的大小的制度，其基本思想是将角的大小与弧长直接联系起来。
在弧度制中，角的大小等于其所截取的弧长与半径的比值。
具体来说，如果一个角θ所截取的弧长为s，半径为r，则θ的弧度数为θ = s/r。
三、弧度与角度的转换1.从角度到弧度的转换：角度制中的1度等于π/180弧度。
因此，要将角度转换为弧度，只需将角度数乘以π/180即可。
例如，30度等于30 × π/180 = π/6弧度。
2.从弧度到角度的转换：弧度制中的1弧度等于180/π度。
因此，要将弧度转换为角度，只需将弧度数乘以180/π即可。
例如，π/2弧度等于π/2 × 180/π =90度。
四、弧度制的性质1.长度与角度的直接关系：在弧度制中，弧长与半径的比值直接给出了角的大小。
这使得在进行三角函数运算时，可以直接使用弧长进行计算，而无需先将弧长转换为角度。
2.三角函数的周期性：在弧度制中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
这与角度制中的周期360度相比，具有更加直观的特性。
3.简化运算：在涉及三角函数的运算中，使用弧度制可以避免复杂的度数计算，使计算过程更加简便和高效。
五、常见角的弧度数在弧度制中，一些常见的角的弧度数需要特别记忆：•30° = π/6•45° = π/4•60° = π/3•90° = π/2•180° = π•270° = 3π/2•360° = 2π六、弧度制在三角函数中的应用1.三角函数的定义：在弧度制中，正弦、余弦和正切函数的定义与角度制相同，只是角度的表示方式发生了变化。
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
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第三讲 角的有关概念、弧度制
【开心自测】
1.. 下列命题正确的是： （ C ）
（A ）终边相同的角一定相等。
（B ）第一象限的角都是锐角。
（C ）锐角都是第一象限的角。
（D ）小于090的角都是锐角。
【教学重难点及考点占比】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的
表示方法及判断。
掌握弧度与角度之间的换算；难点：弧长公式、扇形面积公式的应用及 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
【知识梳理】
一、角的概念的推广 1．角的定义：
（1）从同一点出发的两条射线组成的图形叫角．
（2）一条射线OA 绕着端点O 旋转到OB 所成的图形叫角.如图OA
叫角的始边，OB 叫角的终边，O 叫角的顶点.
2．正角、负角和零角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有
作任何旋转时，这时形成的角叫做零角. 3．象限角、象限界角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x 轴非负半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角叫做
第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做象限界角. 4．终边相同的角
所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以用式子写成Z k k ∈+︒⋅,360α来表示. 二、弧度制 1．︒1的角：周角的
360
1
为︒1的角 2．1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
3．弧度数：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，一扇形的半径为R ，
弧长为l .则αα22
1
21R lR S R l ==
⋅= 4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度=180
1,180π
=
︒︒弧度=01745.0弧度，1弧度=/1857)180
(
︒≈︒π
A
O
B
5．弧长公式，扇形的面积公式R l ⋅=α,
lR S 2
1=．
三、任意角的三角函数 1．任意角三角函数的定义
角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离为)0(>r r ，则角α的三角函数定义为：
2．三角函数值的符号
一全正，二正弦、余割，三双切，四余弦、正割．
【金题精讲】
【例1】例1．（1）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ A ）. A 、)(2Z k k ∈+=+ππβα B 、)(Z k k ∈+=+ππβα C 、)(22
Z k k ∈+=
+ππ
βα
D 、)(2
Z k k ∈+=
+ππ
βα
（2）已知θ为第二象限角，且2
sin
2
sin
θ
θ
-=，则
2
θ
是（ C ）. A 、第一或第二象限角 B 、第二或第四象限角 C 、第三象限角
D 、第四象限角
（3）如果θ是第一象限角，那么恒有（ B ）. A 、02
sin
>θ
B 、12
tan <θ
C 、2
cos 2sin
θθ
> D 、2
cos 2sin
θ
θ
<
例2．若α是第二象限的角，则2
,
2α
α是第几象限的角. 三或四 一或三
例3．（1）若角βα,的终边关于x 轴对称，试求βα+； k.3600
（2）若角βα,的终边关于y 轴对称，试求βα+ （2k+1）.1800
例4．设
θ是第二象限角，试比较2
tan ,2cos ,2sin θ
θθ
的大小.
cosα/2<sinα/2<tanα/2
例5．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20
是多少？ 24∏/5
例6．根据任意角的三角函数的定义证明：
α
α
ααααcos sin 1tan sec 1tan sec 1+=
-+++ 【达标训练】
1．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度是（ D ）
A 、1
B 、
21 C 、656ππ或 D 、3
53π
π或 2．给出下列四个命题：（1）︒-60是第四象限角；（2）︒235是第三象限；（3）︒475是第二象限角； （4）︒-315是第一象限角，其中正确的有（ D ） A 、1个 Ｂ、2个 C 、3个 D 、4个 3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限的角的是（ C ） A 、α-︒90 B 、α+︒90 C 、α-︒360 D 、α+︒180 4．若α是第二象限角，则2
α
-
是 第二或四 象限的角
5．三角形的三内角之比为2:5:8，则各角的弧度数分别为 ∏/15 ∏/3 8∏/15 6.已知34πβαπ<
+<，3
π
βαπ-<-<-，则βα-2的取值范围是 (-∏,∏/6) 7．一只走时正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？ 24∏/11
8．求函数)4cos(211)32sin(2lg ππ
+-+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--
=x x y 的定义域. (2k ∏+∏/4, 2k ∏+7∏/12)∪(2k ∏+5∏/4, 2k ∏+3∏/2) 9．若α3是第三象限角，问α是哪个象限角？
一、三、四。