第6章构件受力变形及其应力分析
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工程力学第6章剪切变形剖析
Fpc A
c
பைடு நூலகம்
（挤压许用应力）
4.挤压许用应力：由模拟实验测定
塑性材料，比如钢材。许用挤压应力与材料拉 伸许用应力的关系：
[σc]=(1.7[σ]为拉伸许用应力2.0)[σ]
应用
挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当 联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较 低的构件进行强度计算。
1、校核强度：
，
，
P
P
P
b
P
(1)、 铆钉受力 外力的作用线通过铆钉群中心，故每一个铆钉受力相等；
设每一个铆钉受力为Q， Q P / 4 20KN
(2)、铆钉剪切计算 取单个铆钉进行受力分析；
Q Q
铆钉为单剪，剪切面为铆钉的横截面；
FS Q 4 99.5MPa
A d 2
铆钉满足剪切强度。
(3)挤压强度计算
钢板与铆钉的材料相同，故二者的挤压应力相等；
bs
F Abs
Q Abs
P 4 dt
125 MPa [ bs ]
接头满足挤压强度。
(4)钢板的拉伸强度计算
取上板为研究对象进行受力分析;
在每一个铆钉孔处承受Q=P/4力的作 用
轴力图
P/4 P/4
P/4 上 P
危险面
FN P/4 3P/4
P
+
位于有两个孔的截面处或者右端有一个铆钉孔的截面处；
剪切的强度计算 步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。 （2）利用截面法求出剪切面上的剪力 FQ。
（3）采用实用计算方法，计算剪切面上的切应力 。
假设剪切面上，切应力均匀分布。
（4）建立剪切强度条件。
Q
构件受力变形及其应力分析
例题6-1 如图为一吊梁，AB为木杆，其AAB=104mm2， [σ]AB=7MPa， BC为钢杆，其ABC=600mm2， [σ ]BC=160MPa，
试求B处可承受的最大许可荷载[F]。
A
B
30
解 : 1.
根据结点 B的受力图(图b)，得平衡方程：
FNAB FNBC cos 30 0 FNBC sin 30 F 0
21
低碳钢的塑性指标： 伸长率
l1 l 100 % l
l1
20% ~ 30% (通常 >5%的材料称为塑性材料) Q235钢：
断面收缩率：
A A1 100% A
A1——断口处最小横截面面积。 Q235钢：≈60%
22
三. 拉伸和压缩时的许用应力与强度条件
塑性材料:屈服极限σs 做为破坏的极限应力 脆性材料:强度极限σ b作为破坏的极限应力
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
26
F FN 图 +
F +
F
各段杆的变形及杆的总变 形： F (l / 3) l AB lCD EA F (l / 3) l BC EA
l l AB lCD l BC F (l / 3) EA
只有两杆同时满足强度条件才能安全，所以取较小者， [F]=40.4KN
32
总结 强度计算的三种类型
(1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所
受荷载，检验能否满足强度条件 max [ ]; 对于等截面直 FN ,max 杆即为 max [ ] A (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强
度条件求杆件横截面面积或尺寸。 FN ,max A [ ] (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，
工程力学第六章杆件的应力
DB
D
t´
上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横 向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生 剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁 很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂
直于半径方向的切应力t沿圆周大小不变。
26
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切
5
B A su
A s B
平均线应变：
e u
s
线应变:
e lim u
s0 s
6
dy
dx
角应变 g
7
练习
8
一 拉压胡克定律
实验表明，在比例极限范围内，正应力与 正应变成正比，即
引入比例系数E，则
胡克定律 比例系数E称为弹性模量
9
二 剪切胡克定律
g
在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量g。
t dx
t t
29
• 剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
30
6-5 圆轴扭转时横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
从三方面考虑：变形几何关系 物理关系 静力学关系
31
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
一 基本假设
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
纯弯曲：梁横截面上 只有弯矩而无剪力时 的弯曲。
46
• 观察到以下变形现象: • (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长
材料力学-第6章梁的应力分析与强度计算(A)
第5章 梁的应力分析与强度计算(A)
为什么要研究截面的几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
为什么要研究截面的几何性质
◆ 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同 变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。 ◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A
如果轴通过图形形心，则图形对这一 轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这 一轴通过图形形心。
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
为什么要研究截面的几何性质
静矩、形心及其相互关系
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1
d
第6章 梁的应力分析与强度计算（A）
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题2 y
dA
dy
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz 解：取平行于x轴和y轴的微元 面积
dA bdy
A
dA
y
C z dz
h
z
I z y 2dA
h 2 h 2
3 bh y 2bdy 12
b
dA hdz
I y z dA
2 A b 2 b 2
hb z hdz 12
2
3
第6章 梁的应力分析与强度计算 (A)
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
第6章梁的应力分析与强度计算
第6章梁的应力分析与强度计算梁是一种常见的结构构件，在建筑、桥梁、机械等领域都有广泛的运用。
在使用梁时，需要对其进行应力分析与强度计算，以确保其安全运行。
本章将介绍梁的应力分析与强度计算的基本原理和方法。
1.梁的应力分析梁的应力分析是指对梁内部各点的应力状态进行分析。
应力是指单位截面上受力的大小，常用的应力有轴力、弯矩和剪力。
对于梁的应力分析，主要有两个基本的方程：平衡方程和应变-位移关系。
1.1平衡方程平衡方程是指在梁内力平衡的条件下，梁内部各点的受力平衡。
对于梁来说，平衡方程可以表示为：∑Fx=0∑Fy=0∑M=0其中，∑Fx和∑Fy分别表示横截面上各点受力在X和Y方向的合力，∑M表示横截面上各点受力对横截面上其中一点产生的力矩。
通过求解平衡方程可以得到梁内力的分布情况。
1.2应变-位移关系应变-位移关系是指梁内部各点的应变与位移之间的关系。
梁的应变可以分为轴向应变、横向应变和剪应变三种，位移则可以分为平移位移和旋转位移。
应变-位移关系可以表示为：εx = du/dxεy = dv/dyγxy = (dudv + dvdx)/2其中，εx和εy分别表示横截面上各点的轴向应变，γxy表示横截面上各点的剪应变，du和dv分别表示横截面上各点的位移在X和Y方向上的微分。
2.梁的强度计算梁的强度计算是指根据应力分析的结果，对梁的强度进行评估。
梁的强度主要包括弯曲强度、剪切强度和扭转强度。
2.1弯曲强度弯曲强度是指梁在受到弯矩作用时的抗弯承载能力。
根据弯曲的理论，可以得到梁的最大正应力和最大剪应力。
对于矩形截面的梁来说，最大正应力和最大剪应力可以分别表示为：σmax = M * y / Iτmax = T * Q / It其中，M表示弯矩，y表示梁离中性轴的距离，I表示梁的惯性矩，T表示剪力，Q表示横截面的剪力传递量，It表示横截面的扭转惯性矩。
2.2剪切强度剪切强度是指梁在受到剪力作用时的抗剪承载能力。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
材料⼒学习题第六章应⼒状态分析答案详解第6章应⼒状态分析⼀、选择题1、对于图⽰各点应⼒状态，属于单向应⼒状态的是（A ）。
20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点。
2、在平⾯应⼒状态下，对于任意两斜截⾯上的正应⼒αβσσ=成⽴的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。
3、已知单元体AB 、BC ⾯上只作⽤有切应⼒τ，现关于AC ⾯上应⼒有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）AC AC /2,0ττσ==；（B ）AC AC /2,/2ττσ==；（C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。
4、矩形截⾯简⽀梁受⼒如图（a ）所⽰，横截⾯上各点的应⼒状态如图（b ）所⽰。
关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b)(a)（A）点1、2的应⼒状态是正确的；（B）点2、3的应⼒状态是正确的；（C）点3、4的应⼒状态是正确的；（D）点1、5的应⼒状态是正确的。
5、对于图⽰三种应⼒状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。
τ(a) (b)(c)（A）三种应⼒状态均相同；（B）三种应⼒状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图⽰主应⼒单元体的最⼤切应⼒作⽤⾯有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发⽣在1σ成45o的斜截⾯上7、⼴义胡克定律适⽤范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适⽤于（ C ）。
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1
第6章构件受力变形及其应力分析
2
6.2 直杆的轴向拉伸与压缩
特点：直杆；所受外力的合力与杆轴线重合；沿轴线方向发生 伸长或缩短变形
一. 直杆轴向拉伸或压缩时的内力和应力
应力为正
第6章构件受力变形及其应力分析
应力为负
3
二. 材料在轴向拉伸或压缩时的机械性质
力
屈服 阶段
强化 阶段
弹性变 形阶段
局部变 形阶段
第6章构件受力变形及其应力分析
24
(习题6-11)：在厚度t=5mm的薄钢板上，冲出一个如图所示形状 的孔，钢板的极限剪应力b=320MPa，求冲床必须具有的冲力F。
10
(习题6-1)：用截面法求如图所示杆件各段截面的内力
AB C D
A
BC
D
(习题6-2)：已知等截面直杆面积A=500mm2,受轴向力作用如图
所示，F1=1000N， F2=2000N， F3=2000N。试求杆各段的内力 和应力。
RA
A
B
C
D
第6章构件受力变形及其应力分析
11
(习题6-3)：一个总重W=1200N的电机，采用M8吊环螺钉（螺纹 大径为8mm，小径为6.4mm），如图所示。其材料是Q235钢， 许用应力[]=40MPa。试校核吊环螺钉的强度（不考虑圆环部分 重量）。
AAB=ABC=500mm2， CD段的截面面积为ACD=200mm2。杆的各段 长度及受力情况如图所示。已知钢杆的弹性模量E=20×104MPa，
其许用应力[]=100MPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和
应力；（2）校核钢杆的强度；（3）杆的总长度变形。
1
2
3
RA
D
1
2
3
第6章构件受力变形及其应力分析
第6章构件受力变形及其应力分析
16
一. 剪切作用的特点
6.3 剪切
特点：一对大小相等、方向相反的力作用在物体的两侧，两力作 用线间的距离相距很近，物体受上述两力作用后，受剪面发生相 对错动，成为剪切；
第6章构件受力变形及其应力分析
17
二. 剪切强度计算
Q
QF
剪切强度公式： Q [ ] A
第6章构件受力变形及其应力分析
t
第6章构件受力变形及其应力分析
22
(习题6-9)：拖车挂钩靠销钉来联接，如图所示，已知销钉材料 的许用剪切力[]=20MPa，拖车的拉力F=15×103N，试选择销 钉的直径d。
第6章构件受力变形及其应力分析
23
(习题6-10)：一螺栓联接如图所示。已知外力F=200×103N，螺 栓的许用剪切力[]=80MPa。试求螺栓所需的直径d。
第6章构件受力变形及其应力分析
12
(习题6-4)：一钢制阶梯形直杆，其受力如图所示，已知
[]=260MPa，各段截面面积分别为A1=A3=300mm2， A2=200mm2， E=20×104MPa。试求：（1）各段的轴向力为多 少？最大轴向力发生在哪一段内？杆的强度是否安全？（2）计
算杆的总变形。
AAB=104mm2，许用应力[]AB=7MPa； BC为钢杆， ABC=600mm2， 许用应力[]BC=160MPa； 试求B处可吊的最大许可载荷F。
第6章构件受力变形及其应力分析
15
(习题6-7)：气动夹具如图所示。已知气缸内径D=140mm，气 压p=0.6MN/m2，活塞材料为20号钢，其许用应力[]=80MPa。 试设计活塞杆的直径d(活塞杆的直径远小于活塞的直径)。
3
2
1
RA
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
3
C
D
2
1
第6章构件受力变形及其应力分析
13
(习题6-5)：如图所示为一托架，AC是圆杆。许用应力
[]AC=160MPa， BC是方杆，其许用应力[]BC=4MPa， F=60KN, 试确定圆钢杆横截面的直径d及木杆方截面的边长b。
第6章构件受力变形及其应力分析
14
(习题6-6)：如图所示为一吊架，AB是木杆， 其截面面积
强度公式： N [ ]
A
第6章构件受力变形及其应力分析
6
四. 受拉（压）杆件的变形
刚度公式： l N l (虎克定律) EA
弹性模量E
E 应力和应变公式：
第6章构件受力变形及其应力分析
7
(例6-1)：在图示的阶梯杆中，已知FA=10kN， FB=20kN， l =100mm，AB段与BC段的横截面面积分别为AAB=100mm2, ABC=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长 量及端面A与D-D截面间的相对位移。
2 1
1
2
第6章构件受力变形及其应力分析
8
(例6-2)：两钢杆各长50mm，用铰链联接，如图所示，B点作 用有向下的垂直力F，F=980N，[]=164MPa， E=205.8GPa, 在未受力前=30。求两杆横截面尺寸及B点的挠度（垂直位 移量）。
第6章构件受力变形及其应力分析
9
(习题6-8)：如图所示为一阶梯形钢杆，AC段的截面面积为
20
(例6-4)：冲床将钢板冲出直径d=25mm的圆孔，钢板厚度 t=10mm。剪切极限应力b=300MPa，试求所需的冲裁力F。
t
t
第6章构件受力变形及其应力分析
21
(附加习题1)：冲床的最大冲力F=4×105N，冲头材料的许用应 力[]=440MPa，被冲剪的板的剪应力[]=360MPa，求在最大冲 力作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和板的最大厚度t 。
18
三. 挤压强度计算
挤压强度公式：
jy
F jy A jy
[ jy ]
A dt 第6jy章构件受力变形及其应力分析
19
(例6-3)：图示销钉联接中，若已知F=20KN，t= 10mm，销钉 材料的许用剪应力[]=60MPa， [jy]=160MPa。试求所需销钉 的直径d。
第6章构件受力变形及其应力分析
变形
第6章构件受力变形及其应力分析
4
应力
屈服 极限
强度 极限
弹性 极限
第6章构件受力变形及其应力分析
应变
5
三. 强度条件
静载常温下延伸率大于5％的材料－－结构钢、硬铝 塑性材料:屈服极限σs 做s 为破坏的极限应力 脆性材料:强度极限δb作b 为破坏的极限应力
静载常温下延伸率小于5％的材料－－玻璃、灰铸铁
第6章 构件受力变形及其应力分析
一. 基本概念
6.1 概述
弹性变形：可恢复
变形
塑性变形：不可恢复
材料抵抗塑性变形和断裂的能力
刚度
材料抵抗弹性变形的能力
稳定性
构件保持其原有形态能力
二. 构件变形的情况----对象（直杆或梁）
1. 拉伸或压缩
2. 剪切
组合变形
3. 扭转
4. 弯曲
第6章构件受力变形及其应力分析