密码学数学基础
密码学的数学基础
定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
密码学中的数学基础
数论 群论 有限域（Galois Field）理论 计算复杂性理论
密码学数学引论----数论
一、素数 1 除数 ➢ 若a=mb，其中a,m,b均为整数，当b≠0时，b
能整除a，记为b|a，称b为a的一个除数（或因 子）。 ➢ 对于除数，以下规则成立： （1）如果a|1，则a=±1； （2）如果a|b且b|a，则a=±b； （3）对于任何b≠0，有b|0； （4） 如 果b|g 且 b|h， 则 对任 何 整数 m 和 n有
b|(mg+nh)。
密码学数学引论----数论
2 素数 ➢ 如果整数p>1且因子仅为±1和±p，则称p是素
数（质数）。 ➢ 在只考虑正整数的情况下，素数是指只能被1和
它本身整除的整数。 ➢ 目前没有一个规律来确定所有的素数。 ➢ 素数有无穷多个。
算术基本定理：任何大于1的整数a都可以分解写 成唯一的表达式：
56=53×53≡132 mod 56≡1 mod 56 因此
560=56×56×56×56×56×56×56×56×56×56 ≡(1 mod 56) ×…× (1 mod 56) ≡(1×1×…×1)mod 56 ≡1 mod 56
所以56|560-1。
密码学数学引论----数论
三、欧几里德(Euclid)算法 欧几里德算法用于确定两个整数的最大公因子，
和传递性。 （2）模运算满足可交换、可结合、可分配。
[a(modn)±b(modn)]=(a±b)modn [a(modn)b(modn)]=(ab)modn
[(ab)(modn)+(ac)(modn)]modn=[a(b+c)]mo dn
例：证明560-1是56的倍数 证明：53=125≡13 mod 56
数学知识点归纳数论与密码学的基础
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
密码学的数学基础及其应用
密码学的数学基础及其应用密码学是现代信息安全领域中的重要分支，它涵盖了加密、解密、数字签名、密钥管理等方面。
其基本目的是确保信息的安全性、可靠性和隐私性。
密钥是解密或解码所需的加密或编码过的文本，因此，密码学的基础是在数学和其他相关学科中找到可行的方法来创建和管理密钥。
一、密码学的数学基础密码学的数学基础主要包括大量的数学理论、算法和问题，这些是建立密码体系必不可少的基础。
其中，最基础也最重要的是数论、代数、离散数学和计算机科学。
1. 数论数论是密码学的基础。
在密码学中，一种常用的数论方法叫做模运算。
模运算是在某一范围内进行的算术运算，例如将100除以7得到的余数是2，即100 mod 7 = 2。
这个方法被用于创建密钥和密码。
2. 代数代数在密码学中的作用与数论一样重要。
这是因为密码的创建和破解过程中，有时需要用到代数方法。
例如，当使用基于公钥的密码体系时，常常需要使用解方程式的方法来计算密钥。
3. 离散数学离散数学是密码学的关键，特别是在数据结构、图论、组合数学等方面。
在密码学中，离散数学的一种应用是用于构建Diffie-Hellman密钥交换协议和ElGamal加密算法等。
4. 计算机科学计算机科学是密码学的另一个重要基础。
密码学中使用的大多数算法都需要计算机的支持。
因此，对于密码学的学习者，必须了解计算机科学的基础知识，例如数据结构、算法、计算机体系结构和操作系统等。
二、密码学的应用密码学的应用涵盖了众多领域。
在计算机网络安全领域，有四种常见的密码学应用。
1. 对称加密技术对称加密技术是一种常见的密码技术，使用相同的密钥加密和解密数据。
这种技术能够快速加密和解密数据，但有一个问题是，不安全地传输密钥会导致密钥泄漏的风险。
2. 公钥加密技术公钥加密技术也被称为非对称加密技术。
它使用两个密钥，一个用于加密数据，另一个用于解密数据，因此只有拥有私钥的人才能读取数据。
这种技术缺点是速度慢，因为加密和解密都需要昂贵的数学计算。
密码学的数学基础
密码学的数学基础密码学是研究信息安全和通信保密的一门学科，它涉及到数据加密、解密、认证、签名以及密码系统的设计等领域。
密码学作为信息安全的基石，具备坚实的数学基础。
本文将探讨密码学中涉及的一些重要的数学原理和算法。
一、模运算在密码学中，模运算是一种关键的数学运算，它对于生成密码算法和破解密码算法都有着重要作用。
模运算是指对于给定的正整数n，将一个整数a除以n所得的余数。
模运算具有以下几个重要性质：1. 加法的封闭性。
对于任意的整数a和b，(a+b) mod n=(a mod n + b mod n) mod n。
2. 乘法的封闭性。
对于任意的整数a和b，(a×b) mod n=(a mod n × b mod n) mod n。
3. 乘法的分配律。
对于任意的整数a、b和c，(a+b) mod n=(a mod n + b mod n) mod n。
二、欧拉函数和费马小定理在密码学中，欧拉函数和费马小定理是密码算法设计的重要数学基础。
1. 欧拉函数欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
对于任意正整数n，欧拉函数满足以下性质：- 如果p是一个质数，那么φ(p)=p-1。
- 如果a和b互质，那么φ(a×b)=φ(a)×φ(b)。
2. 费马小定理费马小定理是一个基本的数论定理，它指出如果p是一个质数，a是不可被p整除的整数，那么a^(p-1) mod p ≡ 1。
费马小定理在密码学中应用广泛，特别是在RSA算法中。
RSA算法是一种非对称加密算法，基于大数因子分解的困难性。
三、素数和大数因子分解密码学中的许多算法都依赖于素数和大数因子分解的困难性。
1. 素数素数是只能被1和自身整除的正整数。
在密码学中，素数的选取十分重要，因为对于一个大的合数，将其分解质因数是非常困难的。
2. 大数因子分解大数因子分解是指将一个大的合数分解成质因数的过程。
在密码学中，大数因子分解的困难性是许多加密算法的基础，如RSA算法。
信息安全导论5密码学数学基础
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3、模运算：对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那 样相加相减和相乘：
a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m)
a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
例：由同余式演算证明560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。
解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣(560-1)。 其次, 注意26=64≡-30(mod47),
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互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
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整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
g c d ( a ,b ) = P 1 m in ( e 1 ,f1 )P 2 m in ( e 2 ,f2 )
P m in ( e t,ft) t
lc m ( a ,b ) = P 1 m a x ( e 1 ,f 1 ) P 2 m a x ( e 2 ,f2 )
密码学数学基础
第三章密碼學數學基礎本章摘要3.1 有限場3.2 同餘及模運算3.3 乘法反元素3.4 線性同餘3.5 中國餘數定理3.6 二次剩餘3.7 單向函數與單向暗門函數3.8 指數函數3.9 小結本章前言密碼學中需要使用到許多數學理論，如數論(Number Theory)、資訊理論(Information Theory)、複雜度理論(Complexity Theory)、機率(Probability)，與線性代數(Linear Algebra)等，均為設計密碼系統與協定不可或缺的工具。
在分析密碼系統與協定時，這些理論提供我們証明或相信，這些密碼系統或協定提供足夠安全的保障。
在本章中，我們將對密碼學中必要的數學基礎，作一重點整理，期使讀者能全盤了解密碼學的運作原理及如何分析與証明其安全性。
學習路徑❖密碼學數學基礎包括有限場、同餘及模運算、乘法反元素、線性同餘、中國餘數定理、二次剩餘、單向函數與單向暗門函數，與指數函數等。
由於數論是密碼學中最重要的數學基礎，本章將針對必要的數論理論為讀者做一整體概念的介紹。
❖本章主要探討有限場、同餘及模運算、乘法反元素、線性同餘、中國餘數定理、二次剩餘、單向函數與單向暗門函數，與指數函數等。
有限場方面，將介紹環、群，與場。
同餘及模運算方面，包括同餘基本運算、尤拉商數、尤拉定理與費瑪定理之介紹。
乘法反元素方面，探討如何運用尤拉定理與歐幾里德演算法求得乘法反元素。
接著介紹線性同餘、中國餘數定理、二次剩餘，與單向函數與單向暗門函數之定義及其應用，並輔以實例加以說明。
本章最後將探討指數函數之特性。
本章內容 3.1 有限場若一個場中的元素個數為無限多個則稱為無限場(infinite field)；反之，稱為有限場(finite field)。
密碼理論應用中常用有限場。
無限場的例子有實數場R 、有理數場Q 、複數場C 等；有限場的例子有Galois Field (GF)、模運算結果等。
密码学数学基础exercise 2st
例5
S3 = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)} H={(1),(12)}不是 3的正规子群， 不是S 的正规子群， 不是 S3/H={(1)H,(13)H ,(23)H}不构成群。 不构成群。 不构成群 H={(1),(123),(132)}是S3的正规子群， 是 的正规子群， S3/H={(1)H,(13)H}构成群。 构成群。 构成群
总 复 习
数论部分
一、主要概念： 主要概念： 带余除法、同余、剩余系、剩余类环、逆元、 带余除法、同余、剩余系、剩余类环、逆元、元素的 二次剩余、 阶、二次剩余、原根 二、重要定理： 重要定理： 唯一分解定理、中国剩余定理、欧拉定理、 唯一分解定理、中国剩余定理、欧拉定理、Fermat小 小 定理、欧拉判别定理、 定理、欧拉判别定理、原根的存在性 三、基本计算： 基本计算： 辗转相除、模幂 模逆运算 一次同余式求解、 和 符 模逆运算、 辗转相除、模幂/模逆运算、一次同余式求解、L和J符 号计算、 号计算、原根的计算
g 8 , g 20 模41是否为 ： 是否为1 计算 是否为
28 mod 41 = 10,2 20 mod 41 = 1 48 mod 41 = 18,420 mod 41 = 1 68 mod 41 = 10,620 mod 41 = 40
38 mod 41 = 1
58 mod 41 = 18,520 mod 41 = 1
( d , ϕ ( 41)) = ( d ,40) = 1 时，6d是模 的原根，即 是模41的原根 的原根，
61 mod 41 = 6,
63 mod 41 = 11,
6 7 mod 41 = 29,
69 mod 41 = 19,
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第一节 整除与带余数除法
定理1 下面的结论成立： (1) ab，bc ac；（传递性） (2) ma，mb m(a±b) (3) mai，i = 1, 2, , n ma1q1 a2q2 anqn， 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
第一节 整除与带余数除法
注： ① ab ab； ② ba bcac，此处c是任意的非零整数； ③ ba，a 0 |b| |a|； ba且|a| < |b| a = 0。
密码学数学
整数性质
教学目的和要求 （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公
倍数、质数的概念，正确理解带余数除法 的意义及作用。 （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大 公因数。
第一节 整除与带余数除法
定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
a = bq
成立，则称b整除a或a被b整除，此时a是 b的倍数，b是a的因数（约数或除数）， 并且记作：ba；如果不存在整数q使得 a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整 除，记作：b a。 |
此题可以推广为：
推论 (a1, a2, , an) = 1的充要条件是：存在 整数x1, x2, , xn，使得 a1x1 a2x2 anxn = 1。
欧几里德公式
gcd(a,b) gcd(b, a modb)
第四节 模运算
令整数 a及, b n ， 0若 a b (kkn为任一整
Pi
pi
欧拉定理 对于任何互素的两个整数a和n，有
a(n) 1modn
当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
求7803的后三位数字 求11803的后三位数字
思考
1、如果今天是星期一，问从今天起再过
101010 天是星期几？
第七节 本原元
对于任何互素的两个整数a和n，在方程 这一am方程1m（od中因n ，为至少有是(一n其) 个中正的整一数个m解满）足，
那么，最小的正整数解m为模n下a的阶。
如果a的阶m= ，称a为(nn的) 本原元。
第八节 中国剩余定理
《孙子算经》下卷第26题所提出的问题如下: “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二。问物几何？” “答曰：二十三。”
相当于求同余方程组 n 2 (mod 3) n 3(mod 5) n 2 (mod 7)
任何大于1的整数a都可以分解成素数幂
之积，且唯一。
a
p a1 1
p a2 2
p at t
其中，pi为素数，ai为正整数。
第三节 最大公因数
定义1 设a1, a2, , an是n（n≥2）个整数， 若整数d是它们之中每一个的因数，则d就 叫做a1, a2, , an的一个公因数；其中最大 的一个公因数叫做a1, a2, , an的最大公因 数。记为(a1, a2, , an)。
第五节 模逆元
模逆元的计算可以通过扩展欧几里德算 法实现。
第六节 费马欧拉定理
费马定理 如果p是素数，且p不能被a整除，那么
a p1 1mod p
欧拉函数 (m)
表示比m小，且与m互素的正整数的个数
欧拉函数性质：
当m是素数时， =m-1 当m=pq，且p、q（(mp) ≠q）均为素数时，
，
数)，则称 a在maobd nm下o与db同n余，记为
。
性质：
(a b)
modn
((a
modn)
(b
modn))modn
(a b) modn ((a modn) (bmodn))modn
(a b)modn ((a modn)(bmodn))modn
例（7+9）mod11 （7×9）mod11计算 97 mod 13 证来自 13200-1 是51的倍数
例 说明 225 是1 否被641整除。
解 ： 22 4，24 16，28 256，216 154，232
1 (mod 641)。
因此 225 1 0 (mod 641)，
即641225 1
例 求(25733 46)26 mod 50 解： (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 21 29 (mod 50)， 即所求的余数是29。
第一节 整除与带余数除法
定理2(带余数除法)
设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得
a = bq r，0 r < b。
(1)
此外，ba的充要条件是r=0
第二节 素数
如果正整数P >1只能被1和它本身整除， 则该数为素数（也叫质数）
100以内的素数有25个，分别是2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89和97。
由于每个非零整数的因数的个数是有
限的，所以最大公因数是存在的，且是正
整数。
最大公因数
若(a1, a2, , an) = 1， 则称a1, a2, , an是互质的； 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， 则称a1, a2, , an是两两互质的。 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1, a2,
=
=(p-1)(q-1)
(m) ( p) (q)
计算欧拉函数的公式 1. 若一个数m可以写成m=
p e1 1
p e2 2
p et t
( 为pi 素数)，则
t
(m) pi ei 1 ( pi 1)
i 1
2.对任一正整数m，若其可写成，
p e1 1
p e2 2
则 p et t
(m) m (1 1 )
, an) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1， 但(2, 6) = 2。
最大公因数
由上我们容易得到：
定理 （裴蜀（Bé zout,1730-1783）恒等式） 设a，b是任意两个不全为零的整数，则 存在s，t∈Z，使得
as bt = (a, b)
最大公因数
推论 (a, b)＝1的充要条件是：存在s，t∈Z， 使得 as bt = 1。