密码学中常用数学知识
密码学的数学基础
定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是研究如何保护信息安全的学科，它涉及到许多数学方法和技术。
在密码学中，数学方法被广泛应用于加密算法的设计、密钥管理和安全协议的分析等方面。
本文将介绍密码学中常用的数学方法，并探讨它们在信息安全领域的应用。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学方法之一。
在模运算中，我们将一个数除以另一个数后取余数，这个余数就是模运算的结果。
模运算在密码学中的应用非常广泛，特别是在对称密码算法和公钥密码算法中。
在对称密码算法中，模运算常用于实现加密和解密操作。
例如，在AES算法中，加密和解密操作都是通过模运算来实现的。
在公钥密码算法中，模运算则用于实现密钥交换和数字签名等操作。
例如，RSA算法中的密钥交换和数字签名都是基于模运算的。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学方法。
离散对数问题是指在一个有限域上，找到满足a^x ≡ b (mod p)的x的值。
在密码学中，离散对数问题被广泛应用于公钥密码算法中的密钥交换和数字签名等操作。
在Diffie-Hellman密钥交换算法中，离散对数问题被用来实现密钥交换。
该算法的基本思想是，两个通信方通过交换公开的信息，计算出一个共享的密钥，用于加密和解密通信内容。
离散对数问题的困难性保证了该算法的安全性。
在椭圆曲线密码算法中，离散对数问题也被用来实现密钥交换和数字签名等操作。
椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码算法，它具有较高的安全性和效率。
三、素数素数是密码学中常用的数学概念。
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
在密码学中，素数被广泛应用于公钥密码算法和哈希函数等方面。
在公钥密码算法中，素数被用来生成公钥和私钥。
例如，RSA算法中的公钥和私钥都是基于素数的。
素数的困难性保证了RSA算法的安全性。
在哈希函数中，素数被用来实现数据的散列。
哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的数据的函数。
素数的选择对于哈希函数的安全性和性能都有重要影响。
密码学中常用数学知识
定义Z 为小于n的所有非负整数集合 定义 n为小于 的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
4.1.4 费尔玛定理和欧拉定理
费尔玛定理： 费尔玛定理： 是素数， 是正整数且gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1， 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p • 证明： 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。 则 × 又因为a× 所以a× 又因为 ×0≡0modp,所以 ×(Zp-{0})=Zp-{0} 所以 即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1} (a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p × 因此： 因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp (p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p 与 互素 所以乘法可约律， 互素，
的公因子。 由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。 和 ， ， 是 和 的公因子 a,b以及 以及b,a mod b公因子集合相同，故最大公因子也相同。 公因子集合相同， 以及 公因子集合相同 故最大公因子也相同。 gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11 gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
第4章 公钥密码
密码学中常用的数学知识 公钥密码体制的基本概念 RSA算法 椭圆曲线密码体制
4.1.1 群、环、域
<G,*>的定义 的定义: 群<G,*>的定义
*为乘法时，称为乘法群 逆元（a-1） 为乘法时， 逆元（ ） 为乘法时 *为加法时，称为加法群 逆元（-a） 为加法时， 逆元（ ） 为加法时
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，它涉及到加密、解密、认证和数据完整性等方面。
在密码学中，数学方法被广泛应用于设计和分析各种加密算法。
本文将介绍密码学中常用的数学方法，包括模运算、离散对数、椭圆曲线密码学等内容。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学方法之一。
在模运算中，我们将一个数除以另一个数得到的余数作为结果。
例如，对于整数a和b，a mod b的结果就是a除以b的余数。
模运算在密码学中被广泛应用于加密算法中，特别是在对称加密算法和公钥加密算法中。
在对称加密算法中，模运算常用于生成密钥流或伪随机数序列。
这些密钥流或伪随机数序列可以用来对消息进行加密，从而保护信息安全。
在公钥加密算法中，模运算则用于实现数字签名和密钥交换等功能，确保通信的安全性。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学方法。
在离散对数问题中，给定一个素数p、一个整数a和一个整数b，我们需要找到一个整数x，使得a^x ≡ b (mod p)。
离散对数问题被广泛应用于公钥加密算法中，如RSA算法和Diffie-Hellman密钥交换算法。
在RSA算法中，离散对数问题被用来实现公钥加密和数字签名功能。
RSA算法的安全性基于大整数分解和离散对数两个数学难题的困难性。
在Diffie-Hellman密钥交换算法中，离散对数问题则用来实现双方在不安全信道上协商一个共享密钥的过程。
三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学结构的密码学方法。
椭圆曲线密码学具有很高的安全性和效率，因此被广泛应用于公钥加密算法和数字签名算法中。
椭圆曲线密码学的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性。
在椭圆曲线密码学中，公钥由一个点P和一个基点G生成，私钥则由一个整数d生成。
通过椭圆曲线上的点加法和标量乘法运算，可以实现加密和解密的过程。
椭圆曲线密码学在移动设备和物联网等资源受限环境中具有很高的适用性。
总结密码学中的数学方法包括模运算、离散对数和椭圆曲线密码学等内容，它们在设计和分析各种加密算法中起着重要作用。
信息安全导论5密码学数学基础
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3、模运算：对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那 样相加相减和相乘：
a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m)
a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
例：由同余式演算证明560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。
解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣(560-1)。 其次, 注意26=64≡-30(mod47),
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互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
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整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
g c d ( a ,b ) = P 1 m in ( e 1 ,f1 )P 2 m in ( e 2 ,f2 )
P m in ( e t,ft) t
lc m ( a ,b ) = P 1 m a x ( e 1 ,f 1 ) P 2 m a x ( e 2 ,f2 )
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全变得至关重要。
密码学作为保护信息安全的核心手段，其背后离不开离散数学的强大支撑。
离散数学中的众多概念和方法，为密码学提供了坚实的理论基础和有效的工具。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解离散数学在密码学中的应用，并对相关的知识点进行总结。
一、离散数学在密码学中的重要知识点（一）数论基础1、素数和整除性：素数在密码学中起着关键作用，例如在 RSA 加密算法中，选择两个大素数的乘积作为公钥和私钥的一部分。
2、同余和模运算：同余关系在加密和解密过程中被广泛应用，帮助确定加密后的数值与原始数值之间的关系。
（二）群论1、群的定义和性质：群的概念用于构建加密算法的数学结构，保证加密的安全性和有效性。
2、循环群和置换群：在密码算法的设计中，循环群和置换群可以提供高效的加密和解密操作。
（三）图论1、图的遍历和最短路径：图论可以用于分析密码算法的复杂性和效率。
2、网络安全中的图模型：帮助理解和防范网络攻击中的信息传播路径。
（四）布尔代数1、逻辑运算和布尔函数：在加密算法中用于数据的编码和解码。
2、布尔电路设计：实现加密和解密的硬件逻辑电路。
二、应用例题（一）RSA 加密算法中的数论应用RSA 算法是一种广泛使用的非对称加密算法。
假设选取两个素数 p ＝ 11，q ＝ 13，计算 n ＝ p q ＝ 143，φ(n) ＝（p 1) （q 1) ＝ 120。
选择一个整数 e ＝ 7（1 ＜ e ＜φ(n)，且 e 与φ(n) 互质），通过扩展欧几里得算法求出 d，使得e d ≡ 1 （mod φ(n)），得到 d ＝ 103。
加密过程：对于明文 m ＝ 8，计算密文 c ＝ m^e mod n ＝ 8^7 mod 143 ＝ 11。
解密过程：接收方收到密文 c ＝ 11，计算明文 m ＝ c^d mod n ＝11^103 mod 143 ＝ 8，成功恢复明文。
密码学 数学
密码学数学
密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。
在现代社会中，随着信息技术的快速发展，密码学的重要性也日益凸显。
数学在密码学中起着至关重要的作用。
密码学的基础是数论，它研究整数及其性质。
在密码学中，我们常常使用大素数和模运算等数论概念来构建安全的加密算法。
其中一个重要的应用是公钥密码体制。
公钥密码体制使用了一对密钥：公钥和私钥。
公钥可以被任何人获得，而私钥只能由密钥持有者保管。
这种体制依赖于数论中一个重要的问题：大整数分解问题。
大整数分解问题是指将一个大整数分解为两个素数的乘积。
这个问题在计算机科学领域被认为是非常困难甚至不可解决的。
基于这个问题，我们可以构建一种加密算法，使得只有私钥持有者才能够解密加密信息。
除了公钥密码体制外，对称加密算法也是密码学中常用的一种方法。
对称加密算法使用相同的密钥进行加密和解密。
在这种算法中，数学中的置换和替代等概念被广泛应用。
在密码学中，数学还可以用于验证密码算法的安全性。
通过数学方法，我们可以对密码算法进行分析，评估其抵抗各种攻击的能力。
这种分析可以帮助我们设计更加安全可靠的密码算法。
总之，密码学是一个依赖于数学的领域。
数学为密码学提供了理论基础和工具，帮助我们构建安全可靠的加密算法，并保护信息安全。
随着技术的不断发展，数学在密码学中的作用将变得越来越重要。
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
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整除中的一个论断：
若gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d=ma+nb。
那么当gcd(a,b)=1时，有ma+nb=1， 即m是a模b的逆元，n是b模a的逆元。
Galois 域：
如果 n是素数 p ，则模运算modulo p 形成 Galois
Field modulo p
记为： GF(p)
4.1.2 素数和互素数
因子：
• 对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子。 • 记作 b|a • 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24
4.1.6 欧几里得算法
1. 求两个正整数的最大公因子
2. 两个正整数互素，可以求一个数关于另一个数的乘法逆 元 • 性质: 对任意非负整数a和正整数b, 有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) • 证明： a=kb+r≡r mod b a mod b=a-kb 设d是a，b的公因子，即d|a , d|b, 所以d|kb.
同余的性质：
• • • • 若n|(a-b)，则a≡b mod n (a mod n) ≡(b mod n),则a≡b mod n a≡b mod n，则b≡a mod n a≡b mod n， b≡c mod n，则a≡c mod n
求余运算a mod n将a映射到集合{0,1,…,n-1},求余运算称 为模运算。 模运算的性质 –[(a mod n)+(b mod n)] mod n=(a+b) mod n –[(a mod n)-(b mod n)] mod n=(a-b) mod n –[(a mod n)×(b mod n)] mod n=(a×b) mod n
定理:设a∈Zn,gcd(a,n)=1,则a在Zn有逆元。 证明思路： 1. 用反证法证明a和Zn中任何两个不同的数相乘结果 都不相同 2. 从1得出a×Zn=Zn,因此存在x∈Zn,使a×x=1 mod n • 设a为素数，Zp中每一个非零元素都与a互素，因此 有乘法逆元，有乘法可约律 (a×b)=(a×c) mod n, b=c mod n
5. (T1 T2 T3)(X1-QY1,X2-QY2,X3-QY3);
6. (X1 X2 X3)(Y1Y2 Y3); 7. (Y1Y2 Y3)(T1 T2 T3); 8.Goto 2
例：求解 11d (mod51) = 1的步骤。 即求11-1mod51=？
循 环 次 数
Q
X 1 1 0 1 -1 2
• 欧拉定理
若a和n互素,则aφ (n)=1 mod n
4.1.5 素性检验
对给定的数检验其是否为素数
• 爱拉托斯散(Eratosthenes)筛法 定理： 设n是正整数，若对所有满足p≤ p | n，那么n一定是素数。 若要找出不大于n的所有素数：
n 的素数p，都有
先将2到n之间的整数列出，从中删除小于等于 n 的所有 素数的倍数，余下的整数即是所要求的素数。 此方法在n很大时，实际上是不可行的。
• 欧拉函数 –设n为一正整数，小于n且与n互素的正整数的个数 称为n的欧拉函数，记为φ(n) 例：Φ(6)=2, Φ(7)=6, Φ(8)=4 显然，若n是素数， Φ(n)=n-1
定理： 若n是两个素数p和q的乘积，则Φ(n)＝ Φ(p) Φ(q)=(p-1)(q-1)
例：21=3×7 ，因此φ(21)= φ(3) × φ(7)=2×6=12
扩展欧几里德算法： Extended Euclid(f,d) (f>d) 求d模f的逆元 1.（X1 X2 X3)(1,0,f);(Y1Y2 Y3)(0,1,d);
2. If Y3=0, then return X3=gcd(f,d);停止，没有逆元;
3. If Y3=1, then return X3=gcd(f,d);Y2=d-1 mod f; 4. Q=X3 div Y3（整数除）;
X 2 0
X 3
Y 1
Y 2 1
Y 3 11
f *X1+ d*X2 =X3 f *Y1+ d*Y2 =Y3 f *T1+ d*T2 =T3
Extended Euclid(f,d) (f>d) 1.（X1 X2 X3)(1,0,f); (Y1Y2 Y3)(0,1,d); 2. If Y3=0, then return X3=gcd(f,d); 停止，没有逆元; 3. If Y3=1, then return X3=gcd(f,d);Y2=d-1 mod f; 4. Q=X3 div Y3（整数除）; 5. (T1 T2 T3) (X1-QY1,X2-QY2,X3QY3); 6. (X1 X2 X3)(Y1Y2 Y3); 7. (Y1Y2 Y3)(T1 T2 T3); -1 11 mod51=14 8.Goto 2
公钥密码
制的基本概念
RSA算法
4.1.1 群、环、域
群<G,*>的定义:
*为乘法时，称为乘法群 逆元（a-1） *为加法时，称为加法群 逆元（-a）
一些数字组成的集合 一个二元运算，运算结果属于此集合（封闭性） 服从结合律。有单位元，逆元 。 如果是可交换的，则成为Abel群
即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1}
(a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p
因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp
(p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p
初 -值 1 2 3 4 4 1 1 1
51 0
1 11 1 -4 7 5 4 -1 2
-4 7 5 -9 4 3 1
-9 3
-3 14
Q=X3 div Y3 = 51/11 = 4 T1=X1-Q*Y1 = 1- 4*0 = 1
Miller-Rabin素性概率检测法
引理： 如果p为大于2的素数，则方程x2≡1 mod p的解只有和 x≡1和x≡-1
证明: x2≡1 mod p x2 -1 ≡0 mod p(x+1)(x-1)≡0 mod p 例： x2=1(mod8) 所以： p|(x+1)或p|(x-1)或p|(x+1)且p|(x-1) 若 且p|(x-1) ，则存在 x+1=kp, 12p|(x+1) =1 mod8 32=1 mod8 k,j，使 52=1 mod8 x-1=jp 72=1 mod8 可得：2=(k-j)p, 这是不可能的。 又5=-3 mod8 ， 7=-1 mod8， 所以： p|(x+1)或p|(x-1) 所以方程的解为：1，-1，3，-3 8不是素数。 设： p|(x+1)，则x+1=kp x=-1modp 设： p|(x-1)，则x-1+1=kp x=1modp
定义Zn为小于n的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
4.1.4 费尔玛定理和欧拉定理
费尔玛定理： 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p • 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。 又因为a×0≡0modp,所以a×(Zp-{0})=Zp-{0}
素数：
• 素数: 只有因子 1 和自身 • 1 是一个平凡素数 • 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是
200以内的素数：
• 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。 a,b以及b,a mod b公因子集合相同，故最大公因子也相同。 gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11 gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
Euclid算法： Euclid(f,d) f>d 1. Xf;Yd;
素数分解：
• • • 把整数n写成素数的乘积 分解整数要比乘法困难 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积 eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52
互素数：
• 整数 a, b 互素是指 它们没有除1之外的其它因子。 8 与15 互素 8的因子1,2,4,8 15的因子 1,3,5,15 1 是唯一的公因子 • 记为：gcd(8,15)=1
环<R,+,*>的定义:
Abel 群，及一个乘法运算： 满足结合律与加法的分配律 如果加法满足交换律, 则称交换环 例：整数 mod N （for any N ）
域<F,+,*>的定义： <F,+>是Abel加群 环 <F-{0},*>是Abel 乘群 例： 整数 mod P （ P 为素数）
引理的逆命题： 若方程x2≡1 mod p，有唯一解x不为+1或-1，p不是素数。
• Miller-Rabin素性概率检测法 –n为待检测数，a为小于n的整数，将n-1表示为二进 制形式bkbk-1…b0,d赋初值为1，算法核心如下： for i=k downto 0 do n-1≡-1 mod n,所以x ≠1和x ≠n-1指 {xd; x2≡1 mod n 有非±1的根,n不是素数。 d(d×d) mod n; if d=1 and (x≠1)and(x≠n-1) then return False if bi=1 the d(d×a) mod n } For循环结束,有d≡an-1 mod n。 由费尔玛定理,若n为素数,d为1。 if d ≠1 then return False; 所以d≠1，则d不是素数。 return True –若返回False,n不是素数,若返回True,有可能是素数。