代数曲面拼接的理论与算法研究(厉玉蓉编著)思维导图
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a 2 ⎪ ⎪乘法运算 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎡ 2 ⎨ ⎥ ⎨ ⎪ 第一部分《数与式》知识点⎧ ⎧定义：有理数和无理数统称实数. ⎪ ⎪⎪ ⎪分类⎧有理数：整数与分数 ⎪⎪ 无理数：常见类型( 开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数） ⎪实数⎪ ⎩ ⎧法则：加、减、乘、除、乘方、开方 ⎪ ⎨实数运算⎨ ⎪ ⎩运算定律：交换律、结合律、分配律 ⎪ ⎪ ⎪数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法 ⎪ ⎪相关概念: ⎨ 2 ⎩ ⎩有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a a , a ) ⎪ ⎧ ⎧单项式：系数与次数⎪ ⎪分类⎨⎪ ⎪ ⎩多项式：次数与项数 ⎪ ⎪加减法则：(加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项) ⎪ ⎪ ⎛ a a m 1 ⎫ ⎪ ⎪幂的运算: a m ⋅a n = a m +n ; a m ÷ a n = a m -n ;(a m )n = a mn ,(ab )m = a m b m ;( )m = ; a 0 = 1;a - p = ⎪ ⎪ ⎝ b b m ⎪整式⎨ ⎛单项式单⨯ 项式；单项式多⨯项式；多项式多项⨯式 ⎫ : 单项式单÷ 项式；多项式单÷项式 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ a p ⎭ ⎪ ⎪混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧平方差公式：(a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 ⎪ ⎪乘法公式⎨2 2 2 ⎩ ⎩完全平方公式：(a ± b ) = a ± 2ab + b ⎧ ⎧分式的定义：分母中含可变字母 ⎪ ⎪分式分⎨ 式有意义的条件：分母不为零 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩分式值为零的条件：分子为零，分母不为零 数与式 ⎪⎪ ⎛ a a ⨯ m a a ÷ m ⎫ ⎪分式分⎨ 式的性质：通 分=与约分; 的=根据）( ⎪⎪ ⎪ ⎝ b b ⨯ m b b ÷ m ⎭ ⎪ ⎪ ⎧通分、约分，加、减、乘、除 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪分式的运算⎨ ⎧先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化） ⎪ ⎪ ⎪化简求值⎨ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩整体代换求值 ⎪ ⎧定义：式子≥a 叫(a 二0) 根式二次根.式的意义即被开方数大于等于 0. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪二次根式的性质：⎢( a ) = a ; = ⎧ a (a ≥ 0) ⎤ -a (a ≤ 0) ⎪ ⎪ ⎣ ⎩ ⎦ ⎪ ⎪ ⎧最简二次根式（分解质因数法化简） ⎪ ⎪ ⎪ 二次根式⎨二次根式的相关概念同⎨ 类二次根式及合并同类二次根式 ⎪ ⎪ ⎪分母有理化（“ 单项式与多项式” 型） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧⎪加减法：先化最简，再合并同类二次根式 ⎪ ⎪二次根式的运算⎨ a ⎪ ⎪ ⎪乘除法：a ⋅（b 结=果化ab 简; = ⎪ ⎩ ⎩ b ⎪ ⎪ ⎧定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底） ⎪ ⎪ ⎧提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底） ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 2 2 ⎪ ⎪ 平方差公式：a - b = (a + b )(a - b ) ⎪分解因式⎨ ⎪公式法⎨ 2 2 2⎪ ⎪方法⎨ ⎩完全平方公式：a ± 2ab + b = (a ± b ) ⎪ ⎪ ⎪十字相乘法：x 2 + (a + b )x + ab = (x + a )(x + b ) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎩分组分解法：（对称分组与不对称分组） a b ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 第二部分《方程与不等式》知识点 ⎧ ⎧ ⎧定义与解： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪一元一次方程解⎨ 法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. ⎪ ⎪ ⎪应用：确定类型、找出关键量、数量关系⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧⎪定义与解：⎪ ⎪二元一次方程（组）⎪解法：代入消元法、加减消元法⎪ ⎪ ⎨ ⎪方程⎨ ⎪简单的三元一次方程组： ⎪ ⎪ ⎩简单的二元二次方程组：⎪ ⎪ ⎧定义与判别式( △=b 2 - 4ac) ⎪⎪一元二次方程⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法. ⎧定义与根（增根）： ⎪ ⎪分式方程⎨⎪ ⎩ ⎪ ⎧⎪ ⎩解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根. ⎧⎪1. 行程问题： ⎪ ⎪ ⎪2. 工程（效）问题： ⎪ ⎪ ⎪3. 增长率问题：（增长率与负增长率） ⎪ 4.数字问题：（数位变化） ⎪ ⎪ ⎪类型⎨ 方程与不等式 ⎪ ⎪5. 图形问题：（周长与面积（等积变换）） ⎪⎨方程的应用⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6. 销售问题：（利润与利率） ⎪7. 储蓄问题：（利息、本息和、利息税） ⎩8. 分配与方案问题：⎪ ⎪ ⎧⎪1.线段图示法： ⎪ ⎪常用方法列⎨2表. 法： ⎪ ⎪ ⎪3.直观模型法： ⎧ ⎧一般不等式解法⎪一元一次不等式⎨ ⎪ ⎪ ⎩条件不等式解法 ⎪ ⎪ ⎧⎪解法：（借助数轴） ⎪ ⎪ ⎧1.不等式与不等式 ⎪不等式（组）⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2.不等式与方程 一元一次不等式组⎨ ⎪ ⎪ ⎪应用不⎨3等. 式与函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4.最佳方案问题 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩5. 最后一个分配问题 ⎪ ⎪⎩⎪第三部分《函数与图象》知识点⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ b ⎩ ⎪函数应用⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧①各象限内点的特点： ⎪ ⎪ ⎧x 轴：纵坐标y=0； ⎪ ⎪②坐标轴上点的特点⎨ y 轴：横坐标x=0. ⎪ ⎪ 直角坐标系⎪③平行于x 轴，y 轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标） ④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧关于x 轴对称( x 相同，y 相反） ⎪ ⎪ ⎪ ⑤对称点的坐标关于y 轴对称( x 相反，y 相同） 关于原点O 称( x ，y 都相反）⎪ ⎧ ⎩ ⎩ ⎧ ⎧一、三象限角平分线：y=x ⎪ ⎪正比例函数：y=kx( k ≠0) （一点求解析式）⎨ ⎪函数表达式⎨ ⎩二、四象限角平分线: y=- x ⎪ ⎪一次函数：y=kx+b( k ≠0) （两点求解析式） ⎪ ⎩ 增减性： 与y=kx+b 增减性一样，k ＞0时，x 增大y 增大；k ＜0, x 增大y 减小. ⎪ ⎪一次函数⎨y=kx ⎪ ⎪平移性：y=kx+b 可由y=kx 上下平移而来；若y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2平行，则k 1 = k 2 , b 1 ⎪ ⎪垂直性： 若y=k x+b 与y=k x+b 垂直，则k k = -1. b 2 . ⎪ ⎪ ⎪求交点：（联立函数表达式解方程组） ⎪ ⎪正负性：观察图像y 与0 ＜y 时，0 的取x 值范围（图像在轴上x 方或下方时，的取值x 范围）⎪ ⎩ ⎧ k ⎪ ⎪表达式：≠=一点(k 求解0)(析式） ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎧①区域性：＞时0 ，图像在一、三象限；＜k 时，0 图像在二、四象限. ⎪ ⎪ ⎪ ②增减性⎨⎧k ＞0在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ⎪反比例函数性⎨ 质 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩k ＜0在每个象限内，y 随x 的增大而减小. ⎪ ⎪ ⎪⎩③恒值性：（图形面积与k 值有关） 函数⎪ ⎪ ④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形. ⎨ ⎪求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小） ⎪ ⎪ ⎧ ⎧①一般式：y ax 2 + bx + c 其, 中 (a ≠ 0), ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪表达式②⎨ 顶点式：=y a (x - k ) +其h ,中（k (a , h ≠)0为),抛物线顶点坐标； ③交点式：= a (x - x )(x - x )其, 中，(a 、≠是0)函数x 图x 象与轴交点的横x 坐标； ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎧①开口方向与大小：a ＞0向上，a ＜0向下；a 越大，开口越小；越小，开口越小. ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪ ⎪ ⎪②对称性：对称轴直线x=- ⎪ ⎪ ⎪ 2a ⎪ ⎪ ⎪ ⎧a ＞0，在对称轴左侧，增x 大减y 小；在对称轴右侧，增大x 增大y ； ⎪ ⎪性质⎪⎪③增减性⎨⎪ ⎪ ⎨ ⎩a ＜0，在对称轴左侧，增x 大增y 大；在对称轴右侧，增大x 减小y ； ⎪ ⎪ ⎪ b 4ac - b 2 ⎪二次函数⎨ ④顶点坐标：（- , ） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2a 4a 4ac - b 2 b 4ac -b 2 ⎪ ⎪ ⎪⑤最值：当a ＞0时, x=- ，y = ；a ＜0时，x=- ，y = .⎪ ⎪ ⎩ 2a 最小值最大值 4a2a 4a ⎪ ⎪示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与、x 交y 点坐标） ⎪ ⎪ ⎧a 与：c 开口方向确定a 的符号，抛物线与y 轴交点纵坐标确定c 的值； ⎪⎪ ⎪b 的符号：b 的符号由a 与对称轴位置有关：左同右异. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪符号判断⎨Δ=b 2 - 4ac ：Δ＞0与x 轴有两个交点；Δ＝0与x 轴有两个交点；Δ＜0与x 轴无交点. ⎪ ⎪ ⎪a + b + c ：当x=1时，y=a+b+c 的值.⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩a - b + c ：当x=- 1时，y=a- b+c 的值. ⎪ ⎧①求函数表达式： ⎪ ⎪⎪②求交点坐标： ⎪ ⎪③求围成的图形的面积( 巧设坐标）： ⎪⎩⎩④比较函数的大小. ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 2 2 1 2 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪判定：⎨⎪平行于同一条直线的两条直线平行 ⎩ 第四部分《图形与几何》知识要点⎧ ⎧直线：两点确定一条直线 ⎪ ⎪ ⎪线射⎨ 线： ⎪ ⎪线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）⎪ ⎩ ⎪ ⎧角的分类: 锐角、直角、钝角、平角、周角. ⎪ ⎪ 0 ” ’ ” ⎪角⎪角的度量与比较：1 ，= 60 1 ；= 60 ⎪ ⎨余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等， ⎪ ⎪ ⎩角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角 几何初步 相交线⎧对顶角：对顶角相等. ⎨ ⎩垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短. ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线⎪ ⎪ ⎪平行线性⎨ 质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； ⎪ ⎪ ⎧同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行⎪ ⎪ ⎪ 平面内，垂直于同一条直线的两直线平行⎪ ⎩⎩⎧ 的对边的邻边的对边 ⎪定义：在R A B C 中，si n =，cos = ，t an =斜边斜边的邻边⎪ ⎧ ⎪ si n 300 = 1 ，co ；s 300 = 3 , tan 300 = 3 ⎪ 2 2 3 三角函数⎨ 特殊三角函数值 0 = 2 cos 450 = 2 , tan 450 = 1 ⎪ s ⎨i n45 ，； ⎪ ⎪ 0 ⎪si n6 = 2 2 3 ，cos 600 = 1 , tan 300 = 3. ⎪ 0 2 2 ⎪ ⎩应用：要构造△t ，才能使用三角函数 .⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧ ⎧按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 ⎪ ⎪分类⎨ ⎪ ⎪ ⎩按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ⎪ ⎪ ⎪⎧三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ⎪ ⎪边⎨ 1 ⎪⎪ ⎪面积与周长：C a+b=c ，=S 底 高.⨯ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎧⎪三角形的内角和等于180度，外角和等于360度； 角三 角形的一个外角等于不相邻的两内角之和； ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.⎪ ⎩ ⎪一般三角形⎨ ⎧中线：一条中线平分三角形的面积⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； ⎪ ⎪ ⎪角平分线判⎨ 定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上 . ⎪ ⎪⎪ ⎪内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等. ⎪ ⎪线段⎪⎩ ⎨高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部） ⎪ ⎪⎪中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ⎪ ⎪中垂线⎪判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.⎪ ⎪ ⎨ 三角形⎪ ⎪ ⎩⎪⎪外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 ⎪⎨ ⎧ ⎧ ⎩ 等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形. ⎪ ⎪性质⎨ ⎪ ⎩等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为6度0 . ⎪ ⎧有两边相等的三角形是等腰三角形； ⎪等腰三角形⎨ ⎪有两角相等的三角形是等腰三角形；⎪ ⎪ ⎪ ⎪判定⎨ ⎪ ⎪ ⎪有一个角为6度0的等腰三角形是等边三角形； ⎪ ⎪⎩ ⎩有两个角是度0的三角 形是等边三角形. ⎪ ⎧ ⎧一个角是直角或两个锐角互余； ⎪ ⎪ ⎪直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⎪ ⎪性质⎨⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半； ⎪直角三角形⎨ ⎪ ⎪ ⎩勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方. ⎧⎪证一个角是直角或两个角互余； ⎪ ⎪判定有⎨ 一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形； ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 0 ⎪ ⎪⎩ ⎩勾股定理的逆定理：若a +b =c ，则∠C = 90 . ⎪全等三角形 ⎪⎧性质⎨⎧全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等； 全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.⎪ ⎨ ⎩ ⎪判定：，S ，A ，S ，A .S AAS SSS HL⎩ ⎩⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧多边形：多边形的内角和为（n- 2）⋅ 1800 ，外角和为3600 . ⎪ ⎧定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪直角梯形 ⎧性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等. ⎪梯形⎨ ⎪ ⎪ ⎪特殊梯形两⎨ 腰相等的⎪梯形是⎧ 等腰梯形； ⎪等腰梯形⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 判定对角线相等的梯形是等腰梯形； ⎨ ⎪同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形； ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧两组对边分别平行且相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪性质：平行四边形的⎨两组对角分别相等 ⎪ ⎪ 两条对角线互相平分 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪平行四边形⎪ ⎧两组对边分别平行 ⎪ 一组对边平行且相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪判定：⎨两组对边分别相等的⇒四边形是平行四边形. ⎪ ⎪ ⎪两组对角分别相等 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩对角线互相平分⎪ ⎩ ⎪ ⎧⎪性质⎧⎨共性：具有平行四边形的所有性质. 四边形⎨ ⎪ ⎩个性：对角线相等，四个角都是直角. ⎪矩形⎪⎨ ⎧⎪先证平行四边形，再证有一个直角； 判定先证平行四边形，再证对角线相等；⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪三个角是直角的四边形是矩形.⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧共性：具有平行四边形的所有性质. ⎪ ⎪性质⎨ ⎪菱形⎪ ⎪ ⎨ ⎩个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等. ⎧先证平行四边形，再证对角线互相垂直； ⎪ ⎪ ⎪判定先⎨ 证平行四边形，再证一组邻边相等； ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩四条边都相等的四边形是菱形.⎪ ⎧⎪性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. ⎪正方形⎨ ⎧证平行四边形矩→形正方→形 ⎪ ⎪判定⎨⎩ ⎩证平行四边形菱→形正方→形 ⎧ 1 ⎪梯形：（=上 底下底+ ）⨯高=中位线高⨯ ⎪ 2 ⎪ ⎪平行四边形：底=高 ⨯ ⎪ 面积求法⎨矩形：长=宽 ⨯ ⎪ ⎪ 菱形：=底高⨯=对角线乘积的一半 ⎪ ⎪ ⎩正方形：边=长边长⨯=对角线乘积的一半 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧点在圆外：d ＞r ⎪ ⎪ ⎪点与圆的三种位置关系点⎨ 在圆上：d ＝r ⎪ ⎪点在圆内：d ＜r⎪ ⎩ ⎪ ⎧弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系 ⎪圆的轴对称性⎨垂径定理⎨⎧定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ⎪ ⎪ ⎩推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧 ⎪ ⎧ ⎧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、 ⎪五组量的关系：⎨两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等. ⎩ ⎧同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半； ⎪ ⎪ 0 ⎪圆的中心对称性⎨圆周角与圆心角半⎨ 圆（或直径）所对的圆周角是；90 900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪相交线定理：圆中两弦A 、B 相交C 于D 点，则P PA PA = P C PD. ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩圆中两条平行弦所夹的弧相等. ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎪⎧相离：d ＞r⎪ ⎪直线和圆的三种位置关系相⎨ 切：d ＝r ( 距离法） 圆⎨ ⎪ ⎪相交：d ＜r ⎩ ⎪ ⎪ ⎧性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径） ⎪ ⎪圆的切线⎨ 直线和圆的位置关系⎨ ⎩判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.⎪ ⎪ ⎪ ⎪弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 ⎪ ⎪切线长定理：如图，PA ，P B 平分PO ∠ ⎪ ⎪⎪ ⎪切割线定理：如图，PA 2 = PC PD. ⎪外心与内心： APB A P .O ⎩ ⎪ ⎧相离：外离（d ＞R+r ），内含（d ＜R- r ） C D ⎪ B ⎪圆和圆的位置关系⎪ 相⎨ 切：外切（d=R+r ），内切（d=R- r ） ⎪ ⎪相交：R- r ＜d ＜R+r ） ⎪ ⎧ ⎩ n n ⎪ ⎪弧长公式：l 弧长 = 360 2r = r 180 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪扇形面积公式：S = n r 2 =1 ⋅l ⋅ r 圆的有关计算⎪ ⎪ ⎪ 360 2 弧长 1⎪ ⎪圆锥的侧面积：为侧底=面 ⋅圆2的r 半⋅l =径，rl 为(r 母线） l ⎪⎪圆锥的全面积：S ⎩⎩ 全 =2 r 2 +rl⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b d n b + d +... + n ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 第五部分《图形的变化》知识点⎧ ⎧ ⎧①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等 ⎪⎪ ⎪②对应点的连线段被对称轴垂直平分 ⎪ ⎪轴对称（折叠）⎪⎨ ⎪ ⎪③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行） 轴对称⎨⎪ ⎪ ⎩④图形折叠后常用勾股定理求线段长 ⎪ ⎪ ⎧①指一个图形 ⎪ ⎪轴对称图形⎨ ⎪ ⎪ ⎩②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等 ⎪ ⎪ ⎧⎪①平移前后两个图形全等⎪平 移⎪②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）⎨ ⎪③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线） ⎪ ⎩④平移的两个要素：平移方向、平移距离 ⎪ ⎧①旋转前后的两个图形全等 ⎪②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角⎪旋 转⎨⎪③旋转前后对应角相等，对应线段相等⎪ ⎪ ⎪ ⎩④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 ⎪ ⎧ ⎧①大小、比例要适中 ⎪ ⎪视图的画法⎨ ⎪ ⎪ ⎩②实线、虚线要画清 ⎪视图与投影⎪⎨ ⎪⎧平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线 ⎪ ⎪投影⎪中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪视点、视线、盲区 ⎪ ⎩ ⎩投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用 图形的变化 ⎧ ⎧ a c ⎪ ⎪基本性质： = ⇔ ad = bc ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ b a d c a ± b c ± d 比例的性质合比性质： = ⇒ =⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ b d b d a c m a + b +... + m ⎪ ⎪ ⎪等比性质： ，= （条= .件.. =≠ = k ⇒ = k b + d +... + n 0) ⎪ ⎪ ⎪黄金分割：线段被B 点分成C 、两线A C 段（B ＞C ），满足A =C BC ， ⎪ 则点C 为的A 一B 个黄金分割点 AC 2 BC AB ⎪ ⎪ ⎧ ⎧性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等 ⎪ ⎪相似多边形⎨ ⎪ ⎪ ⎩判定：全部的对应边成比例、对应角相等⎪ ⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎧⎪①对应角相等、对应边成比例 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪性质②⎨ 对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比 ⎪相似形⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪③面积的比等于相似比的平方 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧①有两个角相等的两个三角形相似 ⎪相似图形 ⎪ ⎪ ⎪相似三角形⎨判定 ⎪②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪③三边对应成比例的两个三角形相似 ⎪ ⎪ ⎪ ④有一条直角边与斜边对应成0比例的两个直角三角2 形相似 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪射影定理：在△t 中A ，B ∠C ，⊥，则==90 CD ， AB AC AD ⋅AB ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ BC =BD ⋅AB ，=D AD （⋅ B 如D 图） ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎩ C ⎧①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 位似图形②⎨ 位似图形对应点所确定的直线过位似中心 ③通过位似可以将图形放大或缩小 A D B ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 第六部分《统计与概率》知识要点⎧⎪两查⎧⎨普查：总体与个体（研究对象中→心词） 抽样调查：样本与容量（无单位的数量） ⎪ ⎩ ⎪ ⎧折线图（发展趋势与波动性横→纵轴坐标单位长度要统一） ⎪三图条⎨ 形图（纵坐标起点为零高→度之比等于频数或频率之比） ⎪ ⎪扇形图（知道各量的百分比可→用加权平均数求平均值） ⎪ ⎩ ⎪ ⎧ ⎧算术平均数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 平均数参⎨ 照平均数 加权平均数⎪ ⎪ ⎩⎪三数⎨⎪ ⎪众数( 可能不止一个） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩中位数（排序、定位） ⎪ 统计与概率⎨ ⎪ ⎧方差：s 2 = 1 ⎪ n (x - x )2 + (x - x )2 + + (x - x )2 1 2 n ⎪ ⎪(一组数据整体被扩大n ，平均数扩大倍n ，方差扩大倍n ）2 ； ⎪三差（⎨⎪ 一组数据整体被增加m ，平均数增加m ，方差不变） ⎪ ⎪标准差：方差的算术平方根s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪极差：最大数与最小数之差 ⎪ （⎩⎪ 方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小） ⎪ ⎧ ⎧必然事件：（概率为1） ⎪确定事件⎨ 事件⎨ ⎩不可能事件：（概率为0） ⎪ ⎪不确定事件：（概率在0与1之间）⎪ ⎩ ⎧频率：（试验值，多次试验后频率会接近理论概率） ⎪ ⎪ ⎧比例法（数量之比、面积之比等） ⎪两率⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪概率：求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率） ⎪ ⎪ ⎪树⎩状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率 ⎪ ⎣ ⎦初中数学常考知识点I、代数部分:一、数与式：1、实数：1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第 1 题)2）科学记数法表示一个数(选择题第二题)3）实数的运算法则：混合运算（计算题）4）实数非负性应用：代数式求值（选择、填空）2、代数式：代数式化简求值（解答题）3、整式：1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式求取值范围（一般为填空题）（易错点：分母不为0）5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题）二、方程与不等式：1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题）2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题）4、一元二次方程根的判别式三、函数及其图像1、平面直角坐标系与函数1）函数自变量取值范围，并会求函数值；2）坐标系内点的特征；3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（选择8 题）2、一次函数（解答题）1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像2）理解一次函数的性质3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点4）解决实际问题3、反比例函数（解答题）1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）4、二次函数（必考解答题）1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）3）解决实际问题4）与其他函数综合应用、求交点5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）II、空间与图形一、图形的认识1、立体图形、视图和展开图（选择题）1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒2）几何体的展开图，立体模型相互推倒2、线段、射线、直线（解答题）1）垂直平分线、线段中点性质及应用2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系3）线段长度的求解4）两点间线段最短（解决路径最短问题）3、角与角分线（解答题）1）角与角之间的数量关系2）角分线的性质与判定（辅助线添加）4、相交线与平行线1）余角、补角2）垂直平分线性质应用3）平分线性质与判定5、三角形1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）6、等腰三角形与直角三角形1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）8、四边形（解答题）1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）3）梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计算题，辅助线的添加等9、圆（必考解答题）1）圆的有关概念、性质2）圆周角、圆心角之间的相互联系3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式解决问题4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位置关系）5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）二、图形与变换1、轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题3、旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证明），会判断中心对称图形4、相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）III、统计与概率一、相关概念的理解与应用：平均数、中位数、众数、方差等（选择题）二、能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）三、会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题，填空题）“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
中科院课程
Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 撰写人： 肖良(中国科学院研究生院) 撰写日期： 2001 年 10 日
同构定理；共轭定理。 第五章 存在定理
通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。 第六章 表示理论
有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的 Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。 第七章 李群与李代数
指数映射；伴随表示；李群与李代数。
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时 也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代 数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过 本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技 巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚 实基础。 内容提要: 第一章 欧氏空间
单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列； Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理； CW 复形及其同调群。 第四章 上同调与对偶定理
上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理； Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。
主要参考书： 1．Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology，Cambridge University Press，
离散数学-第11章
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
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11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
一张图读懂初中代数、几何（思维导图）很全面，值得为孩子收藏
一张图读懂初中代数、几何（思维导图）很全面，值得为孩子收藏初中数学是很重要的，不论是函数还是基础对于高中的数学来说都是一个打基础的的阶段。
初中数学学得好的学生到高中无论是在数学理解能力还是在解题方面都会比其他的学生领悟性强的多。
所以初中数学需要一步步的把基础打牢，为什么要把初中数学学好呢？想要知道原因的一起来看看吧。
首先初中数学对高中数学的学习起着重要的基础作用。
初中阶段被称为培养数学运算能力的黄金期，初中的代数学习中，运算是一项重要的内容，比如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算以及解方程等。
在数学的学习中经常会强调基础的重要性，而初中阶段运算能力就是数学学习中的基础内容，为进一步学习内容的深化打下良好基础。
初中三角函数部分的内容是对基本概念和定理的初步认识，在高中阶段则会进一步深入学习，如果没有掌握基础内容，则会对接下来的数学学习产生影响。
在初中数学的几何部分，主要涉及平面几何的内容，这为高中阶段难度更大的立体几何的学习做好理论基础的准备。
接下来，老师整理了初中代数、几何所有模型、知识点汇总，内容pdf格式、可下载、可打印、可编辑，有条件的家长、老师打印给孩子练练，吃透这些知识点对孩子基础知识积累、学习成绩提升有帮助。
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第六章 二次型与二次曲面1
x cos π 4 ⇒ = y sin π 4 − sin π x′ 4 cos π y′ 4
y
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25 x
第六章 二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例1. 用正交变换把将二次型化为标准形 正交变换把 f(x) = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x3−4x2x3 . 3x +3x +2x +4x 3 1 2 的矩阵A 解: f 的矩阵A = 1 3 −2 , 2 −2 0 |λE−A| = (λ+2) (λ−4)2. ∴λ1= −2, λ2=λ3= 4. −5 −1 −2 1 5 −2 −2E−A = −1 −5 2 初等 0 2 −1 行变换 0 0 0 −2 2 −2 对应于λ = −2的一个特征向量: α1 = (−1, 1, 2)T, 的一个特征向量:
5 y’ 3 O x’
50x’2+18y’2=450 50x’ +18y’ x’2 y’2 + =1 9 25
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
平面中二次曲线类型的判断 |λE − A| =λ2− 68λ+50×18 50×
Q AQ TAQ =Λ = 50 0 =Q 0 18
∃正交阵 Q = −1
第六章 二次型与二次曲面
教学内容和学时分配 教 学 内 容 §6.1 二次型 §6.2 空间中的曲面与曲线 §6.3 二次曲面 Matlab解题 §6.4 用Matlab解题 学时数 4 2 2
归纳计算思维与思维导图.ppt
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O 抽象和分解 来迎接庞杂的任务或者设 计巨大复杂的系统。它是关注的分离 （SOC方法）。它是选择合适的方式去陈 述一个问题，或者是选择合适的方式对 一个问题的相关方面建模使其易于处理。 它是利用不变量简明扼要且表述性地刻 画系统的行为。它使我们在不必理解每 一个细节的情况下就能够安全地使用、 调整和影响一个大型复杂系统的信息。 它就是为预期的未来应用而进行的预取 和缓存。
.精品课件.
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应用方向
O 计算思维在其他学科中有很大影响。例如，机器学习已经改 变了统计学。各种组织的统计部门都聘请了计算机科学家。 计算机学院（系）正在与已有或新开设的统计学系联姻。
O 计算机学家们对生物科学越来越感兴趣，因为他们坚信生物 学家能够从计算思维中获益。计算机科学对生物学的贡献决 不限于其能够在海量序列数据中搜索寻找模式规律的本领。 最终希望是数据结构和算法（我们自身的计算抽象和方法） 能够以其体现自身功能的方式来表示蛋白质的结构。计算生 物学正在改变着生物学家的思考方式。类似地，计算博弈理 论正改变着经济学家的思考方式，纳米计算改变着化学家的 思考方式，量子计算改变着物理学家的思考方式。
O 国内关于计算思维的研讨大部分都是在与计算机方法 论一起研究的。桂林电子科技大学计算机与控制学院董荣 胜教授在对计算思维和计算机方法论的研究中指出：计算 思维与计算机方法论虽有各自的研究内容与特色，但它们 的互补性很强，可以相互促进，计算机方法论可以对计算 思维研究方面取得的成果进行再研究和吸收，最终丰富计 算机方法论的内容；反之，计算思维能力的培养也可以通 过计算机方法论的学习得到更大的提高。两者之间的关系 与.精现品代课件数. 学思维和数学方法论之间的关系非常相似。 6
O 计算思维这一概念提出后，立即得到美国教育界的
一轮复习(理)141合情推理与演绎推理课件(40张)_1
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确
解析：对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 不一定是函数 f(x)的极值点，大 前提错误，故选 A.
答案：A
高频考点 4 推理案例分析 【例 4.1】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问 成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成 绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根 据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
骤
推出________________
的命题(猜想)
3.演绎推理 (1)模式：三段论 ①大前提——已知的________； ②小前提——所研究的________； ③结论——根据一般原理，对________做出的判断． (2)特点：演绎推理是由________到________的推理．
答案 1．(1)已知的判断 思维过程 (2)合情推理 演绎推理 2．(1)归纳、类比 猜想 (2)归纳推理 类比推理 (3)部分对象 全部对象 某些类似 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 部分对象 某些相同性质 相同性质 一个明确表述的一般性命题(猜想) 相似性或一致性 性质 另一类事物的性质 3．(1)①一般原理 ②特殊情况 ③特殊情况 (2)一般 特殊
[强化训练 3.1] (2019 年保定模拟)有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数
f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 是函数 f(x)的极值点．因为 f(x)＝x3 在 x＝0 处的导数值 f′(0) ＝0，所以 x＝0 是函数 f(x)＝x3 的极值点．以上推理中( )
高中数学(必修5)知识结构框图
高中数学（必修5） 知识结构框图第一章 解三角形1sin 221sin S ab ca == 第二章数列第三章不等式¤知识要点： 结 构 特 征图例棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 选D.【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径.解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r ，梯形的高即球的直径为22()()2r R R r rR +--=rR .第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.(2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进¤知识要点：表面积相关公式表面积相关公式 棱柱 2S S S S l c =+=侧全底侧侧棱长直截面周长，其中 圆柱 222S r rh ππ=+全 （r ：底面半径，h ：高）棱锥 S S S =+侧全底 圆锥 2S r rl ππ=+全 （r ：底面半径，l ：母线长）棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l rl π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）¤知识要点：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱V S h =底高圆柱2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S S S S h =++圆台221('')3V r r r r h π=++2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：13V S h =锥 '0S =←−−− 1('')3V S S S S h =++台 'S S=−−−→ V S h =柱. 第7讲 §1.3.2球的体积和表面积¤知识要点：1. 表面积：24S R π=球面 （R ：球的半径）. 2. 体积：343V R π=球面. 第8讲 §2.1.1 平面¤知识要点：1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α⊂.公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面 ,lP P P lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤知识要点：1.空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.第24讲 §3.3.2 两点间的距离两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,PP 在直线y kx b =+上时，1212|||P P x x =-.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程.第27讲 §4.1.2 圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别； 方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则： （1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用¤知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。