飞行器结构力学 王生楠 受剪板式薄壁结构内力和位移计算
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飞机结构力学_第6章
F tyds M x
F
txds
M
y
F tds N z
假定组成该薄壁结构的各元件的材料相同，则剖面上各点 的正应力为
z = Ax + By + C
6.2.1 理论推导
薄壁梁受复合载荷时的剖面正应力计算公式（坐标轴xoy 为剖面任意形心坐标轴）：
6.1 工程梁理论基本假设 6.2 自由弯曲时正应力的计算 6.3 自由弯曲时开剖面的剪流 6.4 开剖面弯心的计算 6.5 自由弯曲时单闭室剖面剪应力的计算 6.6 多闭室剖面剪流与弯心的近似计算
剪流的大小
图示结构为一个剖面周线为任意的不闭合形状，且沿纵向 不变的开剖面薄壁梁。在横向载荷作用下，纵向任意剖面 上的内力为Qy、Mx和Qx、My等。假设整个剖面都能承受 正应力。
推导开剖面剪流计算公式时，没有明确剪力Qx和Qy的作 用点，但明确了剪力与剪流的合力应相平衡。
由于开剖面的弯曲剪流的分布规律只取决于剖面的几何性 质Sx及Sy，故剖面上剪流合力作用点也就由剖面几何特性 决定，而与载荷Qx、Qy无关。
对于一个开剖面薄壁结构来说，剖面上存在着一个由其几 何特性决定其位置的点，即自由弯曲时，剖面剪流合力的 作用点——弯心（剪心、扭心、刚心）。
剪流的大小
N z 0 z
M x z
Qy
M y z
Qx
1
q Jx
s 0
1 k (Qy
Qx
J xy Jy
) ytds
1 Jy
s 0
1 k (Qx
Qy
J xy Jx
) xtds
飞行器结构力学 王生楠 第三章 受剪板式薄壁结构内力和位移计算
取 2-3 杆 N 32 qb Pb / c ； 取 1-6 杆 N 61 Pb / c
验证结构剩余局部 3-6 杆的平衡，满足。 内力图：
P
q=P/c Pb/c
P Pb/c P
q=P/c
P
(d)静定结构。 零力杆端：
N 32 0, N 34 0, N 29 0, N 94 0, N 98 0, N 69 0, N 54 0, N 56 0, N 89 0, N 78 0, N 69 0
分析总体平衡得 N12 P, N 76 P . 对称结构，受对称载荷，内力具有对称性。 取 4-9 杆 ，
q P/a；
取 3-4 杆， N 43 qb Pb / a ；
取 2-3 杆， N 23 qa P ；
取 1-2 杆， q12 0 ； 取 2-9 杆， N 29 qb Pb / a
取总体平衡
M
6
0 ，得 N1 2
2 P， 2
取结点 2
得 N 27
P P ， N 2 3 2 2
取杆 3-2，有 q0
P 2a P 2
取杆 6-3，有 N 63
校核总体平衡，满足。 内力图：
P 0.5P
q0
P 2a
0.5P
2 P 2
0.5P
(f)静定结构。 零力杆端:
段结构静不定次数为 7； 七个四缘条盒段双边连接结构静不定次数为 7×3； 再加两根杆和一 个四边形板，三个约束。因而 f=1+7+7×3+3=32. (o) 几何不变系统，多余约束数 f=31. 一个自由的单层端框有 10 个结点的空心笼式结构为静定结构； 三个单端固定的单层端 框有 10 个结点的空心笼式结构静不定次数为 3×（10-3） ；增加元件法：将开洞处的板补全 后为依次连接两个单端固定的单层端框有 9 个结点的空心笼式结构静不定次数 2×（ （9-3） -1）.因而 f=31. 3-3 平面薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图所示。求各元件内力并作内力图。
飞行器结构力学电子教案7-1
飞机薄壁结构典型元件受力分析及其理想化 ▄ 飞机薄壁结构典型元件受力分析及其理想化 （1）蒙皮 ）
在结构作为一个整体的受力和传力过程中， 在结构作为一个整体的受力和传力过程中，蒙皮的主要作用是支承和传递由于剪切 和扭转而引起的剪应力，同时它还部分支承和传递由于弯曲而引起的正应力。正应力 和扭转而引起的剪应力，同时它还部分支承和传递由于弯曲而引起的正应力。 主要由较强的长桁和突缘等纵向元件承担，蒙皮在这方面的作用是第二位的。因此， 主要由较强的长桁和突缘等纵向元件承担，蒙皮在这方面的作用是第二位的。因此， 在对蒙皮进行理想化的时候，假设蒙皮只承受并传递剪应力； 在对蒙皮进行理想化的时候，假设蒙皮只承受并传递剪应力；蒙皮实际上具有的承受 并传递正应力的能力将人为地附加到纵向元件（如长桁）上去。 并传递正应力的能力将人为地附加到纵向元件（如长桁）上去。 由于蒙皮壁厚一般很薄，可近似认为蒙 由于蒙皮壁厚一般很薄， 皮上的剪应力大小沿厚度方向不变化， 皮上的剪应力大小沿厚度方向不变化，且 剪应力沿厚度中线的切线方向。 剪应力沿厚度中线的切线方向。因为剪应 力的值沿厚度方向不变， 力的值沿厚度方向不变，所以可以用剪应 力沿厚度方向的合力 q = τ ×t 来替代剪应 为剪流， 力，称 q为剪流，用半箭头表示。 为剪流 用半箭头表示。
（2）组成骨架的杆子只承受轴向力；镶在骨架上的板（蒙皮）四边只受剪切， ）组成骨架的杆子只承受轴向力；镶在骨架上的板（蒙皮）四边只受剪切， 即每块板与其周围的杆子之间只有剪力作用。 即每块板与其周围的杆子之间只有剪力作用。
▄ 受剪板式薄壁结构的计算模型
（3）板的厚度相对于长、宽等其它 ）板的厚度相对于长、 尺寸是很小的，可以认为板很薄。 尺寸是很小的，可以认为板很薄。因 此可近似认为板剖面上的剪应力τ 此可近似认为板剖面上的剪应力 沿厚 度不变（如图(a)示 度不变（如图 示）。
西工大飞行器结构力学电子教案1-1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
三、结构力学计算模型
第一章 绪论
刚接
刚接力学特征：
被连接元件在刚接点处，即不能 发生相对移动，也不能绕刚接点 发生相对转动。
所以，刚接即能够传递力，也能 够传递力矩。
夹角保持不变
将刚性连接处涂黑来表示刚接，
也称为刚结点。
19/38
飞行器结构力学基础
三、结构力学计算模型
第一章 绪论
组合结点
组合结点力学特征：
37/38
飞行器结构力学基础
六、基本关系和基本假设
第一章 绪论
2. 基本假设
（1）小变形假设
结构在外载荷作用下变形与几何尺寸 相比很小。建立力平衡方程时，能够 不考虑变形对结构几何关系影响。
（2）线弹性假设
结构在载荷作用下会产生内力和变形， 当载荷卸调后，内力和变形也随之消 失，结构恢复到原始状态，无残余变 形(弹性体)。
平面定向支座
36/38
飞行器结构力学基础
六、基本关系和基本假设
第一章 绪论
1. 基本关系
（1）平衡关系
作用在结构上力是平衡，结构系统中 全部元件也是平衡。
（2）协调关系 结构发生变形时，各个元件之间变形
是协调。
（3）物理关系 元件力和位移之间，满足材料物理性
质。
结构力学原理和计算方法均是基于这三种基本关系而 建立。
固定支座（或称固持） 定向支座
21/38
飞行器结构力学基础
三、结构力学计算模型
第一章 绪论
可动铰支座
可动铰支座几何特征：
结构含有绕铰A转动及平行 于基础平面方向平动，但在 垂直于基础平面方向上不能 发生平动。 相当于限制了结构一个平动。
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飞行器结构力学基础
第一章 绪论
刚接
刚接力学特征：
被连接元件在刚接点处，即不能 发生相对移动，也不能绕刚接点 发生相对转动。
所以，刚接即能够传递力，也能 够传递力矩。
夹角保持不变
将刚性连接处涂黑来表示刚接，
也称为刚结点。
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三、结构力学计算模型
第一章 绪论
组合结点
组合结点力学特征：
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六、基本关系和基本假设
第一章 绪论
2. 基本假设
（1）小变形假设
结构在外载荷作用下变形与几何尺寸 相比很小。建立力平衡方程时，能够 不考虑变形对结构几何关系影响。
（2）线弹性假设
结构在载荷作用下会产生内力和变形， 当载荷卸调后，内力和变形也随之消 失，结构恢复到原始状态，无残余变 形(弹性体)。
平面定向支座
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六、基本关系和基本假设
第一章 绪论
1. 基本关系
（1）平衡关系
作用在结构上力是平衡，结构系统中 全部元件也是平衡。
（2）协调关系 结构发生变形时，各个元件之间变形
是协调。
（3）物理关系 元件力和位移之间，满足材料物理性
质。
结构力学原理和计算方法均是基于这三种基本关系而 建立。
固定支座（或称固持） 定向支座
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三、结构力学计算模型
第一章 绪论
可动铰支座
可动铰支座几何特征：
结构含有绕铰A转动及平行 于基础平面方向平动，但在 垂直于基础平面方向上不能 发生平动。 相当于限制了结构一个平动。
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飞行器结构力学基础
飞行器结构力学讲义
飞行器结构力学郑晓亚王焘西北工业大学2011年6月目录第一章绪论 (1)1.1 结构力学在力学中的地位 (1)1.2 结构力学的研究内容 (1)1.3 结构力学的计算模型 (1)1.4 基本关系和基本假设 (3)第二章结构的组成分析 (5)2.1 几何可变系统和几何不变系统 (5)2.2 自由度、约束和几何不变性的分析 (5)2.3 组成几何不变系统的基本规则、瞬变系统的概念 (7)2.4 静定结构和静不定结构 (12)第三章静定结构的内力及弹性位移 (13)3.1 引言 (13)3.2 静定桁架的内力 (13)3.3 静定刚架的内力＊ (16)3.4 杆板式薄壁结构计算模型 (19)3.5 杆板式薄壁结构元件的平衡 (20)3.6 静定薄壁结构及其内力 (25)3.7 静定系统的主要特征 (34)3.8 静定结构的弹性位移 (35)第四章静不定结构的内力及弹性位移 (45)4.1 静不定系统的特性 (45)4.2 静不定系统的解法——力法 (45)4.3 对称系统的简化计算 (54)4.4 静不定系统的位移 (57)4.5 力法的一般原理和基本系统的选取 (60)第五章薄壁梁的弯曲和扭转 (64)5.1 引言 (64)5.2 自由弯曲时的正应力 (65)5.3 自由弯曲时开剖面剪流的计算 (68)5.4 开剖面的弯心 (71)5.5 单闭室剖面剪流的计算 (77)I5.6 单闭室剖面薄壁梁的扭角 (81)5.7 单闭室剖面的弯心 (82)5.8 多闭室剖面剪流的计算＊ (86)5.9 限制扭转的概念＊ (91)第六章结构的稳定 (94)6.1 引言 (94)6.2 压杆的稳定性 (95)6.3 薄板压曲的基本微分方程 (95)6.4 薄板的临界载荷 (99)6.5 板在比例极限以外的临界应力 (102)6.6 薄壁杆的局部失稳和总体失稳 (103)6.7 加劲板受压失稳后的工作情况——有效宽度概念 (104)6.8 加劲板受剪失稳后的工作情况——张力场梁概念 (108)II第一章绪论1.1 结构力学在力学中的地位结构力学是飞行器结构计算的理论基础。
计算固体计算力学-第二章非线性方程组的解法解答
15
计算固体计算力学
Newton法得到的序列{an}具有二阶收敛速度。 粗略的说，用Newton法迭代一次大约有效数位 增加一倍，例如， a0准确到一位，则迭代3次就 可以得到准确8位的近似解。这意味着Newton 法收敛很快，这是它的主要优点。
Newton法自校正的。也就是说，an+1仅依赖于 Ψ(an)及an，前面迭代产生的舍入误差不会一步步 传下去。
am+1=am+Δam 在以上各式中，下标m表示增量步的步数， 而λm=1的解对应于Ψ(a)=P(a)-R=0的解。
34
计算固体计算力学
在一个自变量的情况下，求解非线性方程 组的过程如下图所示。如果Δλm足够小，则认 为所得解即为方程组的合理的近似解。
但是，在计算的每一步，都会引起某些偏 差，结果使解答漂移，而且随着求解步数的 增多，这种偏差不断积累，以致 最后的解将偏离真解较远。
31
计算固体计算力学
2.4 增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
Kn
1
an
,
K
n1
an1 an
a n 1
an
,
K n1 K n K n
n 0,1, 2,
其中，ΔKn是Kn的一个低秩修正矩阵，常 用的是秩1或秩2的矩阵，以减小计算量。
ΔKn的选取查阅相关的资料。
计算固体计算力学
Newton法得到的序列{an}具有二阶收敛速度。 粗略的说，用Newton法迭代一次大约有效数位 增加一倍，例如， a0准确到一位，则迭代3次就 可以得到准确8位的近似解。这意味着Newton 法收敛很快，这是它的主要优点。
Newton法自校正的。也就是说，an+1仅依赖于 Ψ(an)及an，前面迭代产生的舍入误差不会一步步 传下去。
am+1=am+Δam 在以上各式中，下标m表示增量步的步数， 而λm=1的解对应于Ψ(a)=P(a)-R=0的解。
34
计算固体计算力学
在一个自变量的情况下，求解非线性方程 组的过程如下图所示。如果Δλm足够小，则认 为所得解即为方程组的合理的近似解。
但是，在计算的每一步，都会引起某些偏 差，结果使解答漂移，而且随着求解步数的 增多，这种偏差不断积累，以致 最后的解将偏离真解较远。
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计算固体计算力学
2.4 增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
Kn
1
an
,
K
n1
an1 an
a n 1
an
,
K n1 K n K n
n 0,1, 2,
其中，ΔKn是Kn的一个低秩修正矩阵，常 用的是秩1或秩2的矩阵，以减小计算量。
ΔKn的选取查阅相关的资料。
结构力学(王生楠)西工大出版 课后题答案第四章_力法
P
P
P
1
P
(b)
(b)解：对称结构，在反对称载荷作用下，在对称轴上对称的内力为零。受力分析如图所示
有 2 根对称轴，结合平衡方程，剩下三个未知数，为 3 次静不定。 本题中通过对称性条件的使用，将 6 次静不定问题转化为 3 次静不定。
(c) (c)解：对称结构，在对称载荷作用下，在对称轴上反对称内力为零。
(
)
N13 = P + X 1 ⋅ 1 =
(182 2⎞ 1− 9 2 ⎟=− P + X1 ⋅ ⎜ − P ⎜ 2 ⎟ 2 18 ⎝ ⎠
N 24 = 0 + X 1 ⋅ 1 = −
5+ 2 P 23
N34 = −
4、校核。 结点 2： 结点 3：
⎛ 2 2 ⎞ 1− 9 2 ⎟ P + X1 ⋅ ⎜ − ⎜ 2 ⎟ = 18 P 2 ⎝ ⎠
3
4 -2 √3 1 2 <1>
a
3
2 <P>
计算影响系数
∆1 P =
a ⎡ 2 ⎤ Pa 3P × (− 2 ) + (− 2 P )× 3 × =− 4+ 2 3 ⎢ ⎥ EA ⎣ EA 3⎦
(
)
δ11 =
列正则方程：
a ⎛ 2 ⎞ a + 1× 1× 2 ⎟ = 6+2 3 ⎜2× 2 + 3× 3 × EA ⎝ 3 ⎠ EA
(
)
N13 = 2 P + X 1 ⋅1 =
(2 + 2 ) P
4
⎛ 2 ⎞ 3− 2 ⎟ N14 = 0 + X 1 ⋅ ⎜ P ⎜− 2 ⎟ = 4 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ 3− 2 ⎟ N 23 = 0 + X 1 ⋅ ⎜ − P ⎜ 2 ⎟= 4 ⎝ ⎠
飞行器结构力学电子教案5-2
θ1
12 8L3 6 − 2 4L 12 8L3 6 − 2 4L − 6 4L2 2 2L 6 − 2 4L 4 2L v2
θ2
v3
θ3
消除总刚奇异性。 (4) 引入位移边界： v1 = v 3 = 0 ，消除总刚奇异性。 引入位移边界：
4 L 6 − 2 EJ L 2 L 0
e
k13 k23 k33 k43 k53 k625 k35 k45 k55 k65
k16 k26 k36 k46 k56 k66
Ui Vi Mi Uj Vj Mj
[Kii ] [Kij ] K = [K ji ] [K jj ]
位移法
Displacement Method of Structure Analysis 第二讲 梁元素与刚架的位移法求解
5.3 平面梁元素与平面刚架位移法求解
一、梁元素在局部坐标系中的平衡方程及刚度矩阵 在元素局部坐标系中， 在元素局部坐标系中， 长度为L，结点编号为i 长度为 ，结点编号为 j 的平面梁元素如图所 示，梁的截面拉伸刚 度为EA， 度为 ，截面抗弯刚 度为EJ 度为 。因为梁元素 记梁元素在局部坐标系中的结点位移 能承受轴向力、 能承受轴向力、横向 列阵和结点力列阵分别为： 列阵和结点力列阵分别为： 剪力和弯矩， 剪力和弯矩，故梁的 {δ }e = ui vi θ i u j v j θ j 每个结点上有三个位 移分量， 移分量，相应的也有 {F }e = U i Vi M i U j V j M j 三个结点力。 三个结点力。
EA L 0 0 [ K ]e = EA − L 0 0
0 12 EJ L3 6 EJ L2 0 12 EJ − 3 L 6 EJ L2
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第三章 受剪板式薄壁结构内力和位移计算 3-1 分析下图所示各平面薄壁结构的几何不变性，并计算多余约束数 f。
1
2 4
3
23 5
6
1
4
(a)
(b)
1
2
3
4
(c)
1
2
3
4
5
6
(d)
(e)
(f)
分析：平面四边形板 f=1，三角板 f=0；一个“内十字”结点增加一次静不定。结构分析有： 增加元件法，去掉约束法。 解：(a)几何不变系统，有多余约束 f=8.
有 12 个“内十字”结点。因而 f=12. 3-2 分析下图所示空间薄壁结构的几何不变性，并计算多余约束数 f。
2 1
3 4
2 1
3
4 5 6
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
1 6
5
2 3
4
(i)
(j)
1
2
6
3
5
4
8
7 6
1 2 3 4
5
(k)
(l)
1
8
2
7
65
(m)
(n)
(o) 分析：三缘条盒段若以四边形面与基础连接则有 1 次静不定（进行结构分析：视结点 为自由体有 3 个自由度，板和杆各自起一个约束作用），若以三边与基础相连则为无多余约 束的静定结构；对于一端固定的一段空心薄壁结构，端框有 n 个结点，其静不定次数为(n-3), 故单边连接的四缘条盒段有 1 次静不定；对于四缘条盒段若以相邻两面和基础相连则由结构 分析可知有 3 次静不定；对于三缘条盒段若以一边为三角形另一边为四边形和基础相连则由 结构分析可知有 2 次静不定，若以双边四边形形式连接三缘条盒段则静不定次数为 3。 解：(a)几何不变系统，多余约束数 f=4。 增加元件法：将开洞处的板 1-2-3-4 补全，为 5 个单边连接的四缘条盒段。因而 f=5-1=4。 (b)几何不变系统，多余约束数 f=3. 增加元件法：将开洞处的板 1-2-5-6、2-3-4-5 补全，依次为一个三缘条盒段以四边形面 与基础连接有 1 次静不定和四个四缘条盒段单边连接有 1 次静不定。因而 f=1+4-2=3. (c) 几何不变系统，多余约束数 f=4. 一个单边连接四缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。因而 f=1+3=4.
(d) 几何不变系统，多余约束数 f=3. 一个单边连接三缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。因而 f=3. (e) 几何不变系统，多余约束数 f=8. 一个单边连接三缘条盒段，两个双边连接四缘条盒段，一个双边连接三缘条盒段。因 而 f=2×3+2=8. (f) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 进行结构分析，短的四缘条盒段与基础为单边连接静不定次数为 1，在此基础上增加了 4 个结点，5 个板，8 根杆。因而 f=1+5+8-4×3=2. (g) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 以自由短四缘条盒段为基础，静定结构；以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定 次数为 1；单边连接四缘条盒段，静不定次数为 1。因而 f=1+1=2. (h) 几何不变系统，多余约束数 f=10. 以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定次数为 1；连个双边连接的四缘条盒段，静 不定次数为 2×3；双边四边形形式连接三缘条盒段，静不定次数为 3。因而 f=1+2×3+3=10. (i) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 两个以单边四边形方式连接的三缘条盒段。f=2×1=2. (j) 几何不变系统，多余约束数 f=5. 单层端框有六个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为 1；单端固定的单层端框有六 个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为（6-3+1）.因而 f=1+（6-3+1）=5。 (k) 几何不变系统，多余约束数 f=3. 单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数为（6-3）。因而 f=3. (l) 几何不变系统，多余约束数 f=14. 为两个单端固定的单层端框有八个结点的有两个隔框笼式结构静不定次数 2× （8-3+2）.因而 f=14. (m) 几何不变系统，多余约束数 f=7. 单端固定的单层端框有八个结点的空心笼式结构静不定次数 （8-3）；增加元件法：将 开洞处的板补全后为单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数 （（6-3） -1）。因而 f=7. (n) 几何不变系统，多余约束数 f=32. 一个三缘条盒段以四边形面与基础连接结构静不定次数为 1；七个单边连接的四缘条盒
P
1
2
4
3
b
1
c
P 2
c 2
3
4
c
(a)
(b)
bb
a
bbc)
2
2P
3
4
12
3
2P
8
9
4
7 a 6a 5
(d)
5
a
6 P7
1
4
3
2
a
a
a
(e)
P
a 1
P
a
2
3
2P
8
5
4
2P
7
6
(f)
1
2
a
段结构静不定次数为 7；七个四缘条盒段双边连接结构静不定次数为 7×3；再加两根杆和一 个四边形板，三个约束。因而 f=1+7+7×3+3=32.
(o) 几何不变系统，多余约束数 f=31. 一个自由的单层端框有 10 个结点的空心笼式结构为静定结构；三个单端固定的单层端 框有 10 个结点的空心笼式结构静不定次数为 3×（10-3）；增加元件法：将开洞处的板补全 后为依次连接两个单端固定的单层端框有 9 个结点的空心笼式结构静不定次数 2×（（9-3） -1）.因而 f=31. 3-3 平面薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图所示。求各元件内力并作内力图。
增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有 9 个“内十字”结点。因而 f=9-1=8. (b)几何不变系统，有多余 f=5.
增加元件法：将开洞处的一块板补全，切开端口杆的杆端处连上，则系统有 4 个“内 十字”结点，外部多余约束数为 3，对于端口切开的杆：丁字节点 6 处为零力杆端切开与否 对静不定次数无影响，而处于“内十字”结点处的 5 处，则解除一次静不定。因而 f=4+3-1-1=5. (c)几何不变系统，有多余约束 f=4.
有 4 个“内十字”结点。因而 f=4. (d) 几何不变系统，有多余约束 f=3.
增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有 4 个“内十字”结点。因而 f=4-1=3. (e)几何不变系统，有多余约束 f=21.
有 21 个“内十字”结点。因而 f=21. (f) 几何不变系统，有多余约束 f=12.
1
2 4
3
23 5
6
1
4
(a)
(b)
1
2
3
4
(c)
1
2
3
4
5
6
(d)
(e)
(f)
分析：平面四边形板 f=1，三角板 f=0；一个“内十字”结点增加一次静不定。结构分析有： 增加元件法，去掉约束法。 解：(a)几何不变系统，有多余约束 f=8.
有 12 个“内十字”结点。因而 f=12. 3-2 分析下图所示空间薄壁结构的几何不变性，并计算多余约束数 f。
2 1
3 4
2 1
3
4 5 6
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
1 6
5
2 3
4
(i)
(j)
1
2
6
3
5
4
8
7 6
1 2 3 4
5
(k)
(l)
1
8
2
7
65
(m)
(n)
(o) 分析：三缘条盒段若以四边形面与基础连接则有 1 次静不定（进行结构分析：视结点 为自由体有 3 个自由度，板和杆各自起一个约束作用），若以三边与基础相连则为无多余约 束的静定结构；对于一端固定的一段空心薄壁结构，端框有 n 个结点，其静不定次数为(n-3), 故单边连接的四缘条盒段有 1 次静不定；对于四缘条盒段若以相邻两面和基础相连则由结构 分析可知有 3 次静不定；对于三缘条盒段若以一边为三角形另一边为四边形和基础相连则由 结构分析可知有 2 次静不定，若以双边四边形形式连接三缘条盒段则静不定次数为 3。 解：(a)几何不变系统，多余约束数 f=4。 增加元件法：将开洞处的板 1-2-3-4 补全，为 5 个单边连接的四缘条盒段。因而 f=5-1=4。 (b)几何不变系统，多余约束数 f=3. 增加元件法：将开洞处的板 1-2-5-6、2-3-4-5 补全，依次为一个三缘条盒段以四边形面 与基础连接有 1 次静不定和四个四缘条盒段单边连接有 1 次静不定。因而 f=1+4-2=3. (c) 几何不变系统，多余约束数 f=4. 一个单边连接四缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。因而 f=1+3=4.
(d) 几何不变系统，多余约束数 f=3. 一个单边连接三缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。因而 f=3. (e) 几何不变系统，多余约束数 f=8. 一个单边连接三缘条盒段，两个双边连接四缘条盒段，一个双边连接三缘条盒段。因 而 f=2×3+2=8. (f) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 进行结构分析，短的四缘条盒段与基础为单边连接静不定次数为 1，在此基础上增加了 4 个结点，5 个板，8 根杆。因而 f=1+5+8-4×3=2. (g) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 以自由短四缘条盒段为基础，静定结构；以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定 次数为 1；单边连接四缘条盒段，静不定次数为 1。因而 f=1+1=2. (h) 几何不变系统，多余约束数 f=10. 以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定次数为 1；连个双边连接的四缘条盒段，静 不定次数为 2×3；双边四边形形式连接三缘条盒段，静不定次数为 3。因而 f=1+2×3+3=10. (i) 几何不变系统，多余约束数 f=2. 两个以单边四边形方式连接的三缘条盒段。f=2×1=2. (j) 几何不变系统，多余约束数 f=5. 单层端框有六个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为 1；单端固定的单层端框有六 个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为（6-3+1）.因而 f=1+（6-3+1）=5。 (k) 几何不变系统，多余约束数 f=3. 单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数为（6-3）。因而 f=3. (l) 几何不变系统，多余约束数 f=14. 为两个单端固定的单层端框有八个结点的有两个隔框笼式结构静不定次数 2× （8-3+2）.因而 f=14. (m) 几何不变系统，多余约束数 f=7. 单端固定的单层端框有八个结点的空心笼式结构静不定次数 （8-3）；增加元件法：将 开洞处的板补全后为单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数 （（6-3） -1）。因而 f=7. (n) 几何不变系统，多余约束数 f=32. 一个三缘条盒段以四边形面与基础连接结构静不定次数为 1；七个单边连接的四缘条盒
P
1
2
4
3
b
1
c
P 2
c 2
3
4
c
(a)
(b)
bb
a
bbc)
2
2P
3
4
12
3
2P
8
9
4
7 a 6a 5
(d)
5
a
6 P7
1
4
3
2
a
a
a
(e)
P
a 1
P
a
2
3
2P
8
5
4
2P
7
6
(f)
1
2
a
段结构静不定次数为 7；七个四缘条盒段双边连接结构静不定次数为 7×3；再加两根杆和一 个四边形板，三个约束。因而 f=1+7+7×3+3=32.
(o) 几何不变系统，多余约束数 f=31. 一个自由的单层端框有 10 个结点的空心笼式结构为静定结构；三个单端固定的单层端 框有 10 个结点的空心笼式结构静不定次数为 3×（10-3）；增加元件法：将开洞处的板补全 后为依次连接两个单端固定的单层端框有 9 个结点的空心笼式结构静不定次数 2×（（9-3） -1）.因而 f=31. 3-3 平面薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图所示。求各元件内力并作内力图。
增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有 9 个“内十字”结点。因而 f=9-1=8. (b)几何不变系统，有多余 f=5.
增加元件法：将开洞处的一块板补全，切开端口杆的杆端处连上，则系统有 4 个“内 十字”结点，外部多余约束数为 3，对于端口切开的杆：丁字节点 6 处为零力杆端切开与否 对静不定次数无影响，而处于“内十字”结点处的 5 处，则解除一次静不定。因而 f=4+3-1-1=5. (c)几何不变系统，有多余约束 f=4.
有 4 个“内十字”结点。因而 f=4. (d) 几何不变系统，有多余约束 f=3.
增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有 4 个“内十字”结点。因而 f=4-1=3. (e)几何不变系统，有多余约束 f=21.
有 21 个“内十字”结点。因而 f=21. (f) 几何不变系统，有多余约束 f=12.