运筹学小论文
（运筹学与控制论专业论文）线性规划的可行点算法
摘要本文研究的是线性规划的可行点算法，一个由线性规划的内点算法衍生而来的算法．线性规划的内点算法是一个在线性规划的可行域内部迭代前进的算法．有各种各样的内点算法，但所有的内点算法都有一个共同点，就是在解的迭代改进过程中，要保持所有迭代点在可行域的内部，不能到达边界．当内点算法中的迭代点到达边界时，现行解至少有一个分量取零值．根据线性规划的灵敏度分析理论，对线性规划问题的现行解的某些分量做轻微的扰动不会改变线性规划问题的最优解．故我们可以用一个很小的正数赋值于现行锯中等于零的分量，继续计算，就可以解出线陛规划问题的最优解．这种对内点算法的迭代点到达边界情况的处理就得到了线性规划的可行点算法．它是一个在可行域的内部迭代前进求得线性规划的最优解的算法．在此算法中，只要迭代点保持为可行点．本文具体以仿射尺度算法和原始一对偶内点算法为研究对象，考虑这两种算法中迭代点到达边界的情况，得到相对应的’仿射尺度可行点算法’和’原始．对偶可行点算法，．在用理论证明线性规划的可行点算法的可行性的同时，我们还用数值实验验正了可行点算法在实际计算中的可行性和计算效果．关键词：线性规划，仿射尺度算法，原始一对偶内点算法，内点，可行点算法，步长可行点．ＡｂｓｔｒａｃｔｄｅｒｉｖｅｄＴｈｉｓＤａｐｅｒｆｏｃｕｓｅｓｏｎａｆｅａｓｉｂｌｅｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｒｏｍｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｌｉｎｅｚａ＂ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙｓｅａｒｃｈｉｎｇｗｉｔｈｉｎｔｈｅｆｅａｓｍｌｅＴｅ譬ｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｒｅａｒｅａＵｋｉｎｄｓｏｆｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｌｒｍａｌｌｔｈｅｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇ．Ｂｕｔａｌｌｔｈｅｓｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈａｒｅａｓｐｅｃｉａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｉｓｓｏｌｕｔｉｏｎ｜ｔｅｒａｔｉｖｅＤｏｉｎｔｓｃａｎｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｂｏｕｎｄｓＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｌｌｎｏｔｂｅｃｈａｎｇｅｄｂｙｌｉｔｔｌｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎ·ＳｏＷｅｌｅｔｔｈｅ｛ｘｊＩｚＪ＝ｏ，Ｊ＝１，２，－··）ｎ）ｅｑｕａｌａｖｅｒｙｓｍａｌｌｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｎｌｂｅｒ，ｇｏｏｎｗｉｔｈｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ“一ａｎｄｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｌｌｔｈｅｓｅｌｅａｄｔｏｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ。
运筹学建模论文
摘要运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。
通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。
收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。
此题研究的主要内容是根据早餐供应点早餐进货带来的一系列问题进行合理规划。
目的是依据各种食物的成本、标准要求规划各种食品的总利润，考虑每种早餐如何进货才能达到基准，如何进货才能使预期总利润最高，这完全符合运筹学线性规划的理论。
按照目标规划，添加整数约束，加入存储成本，求解计算出既科学又合理的最优进货方案：在使预期销量达到基准的情况下，用食品单价乘以餐配量计算出总花费，根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件，运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学模型。
所以对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立起了食品搭配研究的线性规划模型。
结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析，将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优解决方案，就可以对问题一一进行解答。
关键词：目标规划存储问题整数规划 lingo软件目录一、问题的提出1.1、意义 (2)1.2、背景 (2)1.3、问题的提出 (2)二、问题的实现2.1、问题思路总概 (2)2.2、基于问题的调查 (3)2.3、问题的实现 (4)三、问题的解决3.1、问题的分析 (6)3.2、问题的假设 (6)3.3、建模 (7)3.4、lingo软件求解 (8)四、结果分析及拓展4.1、结果分析 (14)4.2、联系实际分析 (15)4.3、建议方案 (15)五、心得体会 (16)六、附录 (17)一、问题1.1、意义：早餐是一天三餐中的第一餐。
俗话说：一年之计在于春，一日之计在于晨。
早餐不仅要营养丰富，而且很重要的一点是，一定要多样化，因为上午是一天中学习和工作任务最繁重的一个时段。
运筹学论文
吴禹锟一院八队201101044032 运筹学摘要：临近年末，家中生产的冰糖橙到了一个大卖的时候，采摘下来的冰糖橙需要合理的保存，才能够长期保鲜。
而摘下来的冰糖橙需要进行进一步包装，才能卖到一个更好的价格。
最后就是运输问题，怎样用最少的运价运到更多的地方。
这就需要制定一个严密的计划，使自己所用的花费最少。
关键字：生产与存储 动态规划 经济批量订货模型 运输问题 lingo正文：研究背景：家中种有3000余棵冰糖橙树，每年到年底时，也就是冰糖橙成熟的时候。
冰糖橙采摘需分阶段，且采摘需要请员工，这会产生一个费用，存贮需要存储空间，就会产生一个存储费用。
这就涉及到一个生产与存储的问题，可以建立一个数学模型。
采摘下来的冰糖橙，需要装入保鲜袋，然后装进箱子中，箱子需要订购。
这就会涉及到一个经济批量（EOQ ）问题，是一个优化问题，且不允许缺货。
最后就是卖往各个地区，这里还可能产生产销不平衡的情况，需要寻求最优解。
研究内容：一、生产与存储问题：这是一个动态规划问题，需要合理的安排生产与库存的问题，达到既要满足需求，又要尽量降低成本费用。
一次，确定不同时期的的的生产量和库存量，以使总的雇佣费与库存费之和最小。
设d k 为第k 阶段对产品的需求量，x k 为第k 阶段该产品的生产数量，sk 为第k 阶段初的产品数量，则有z k =s k -1+x k -1-d k -1。
C k （x k ）表示第k 阶段生产xk 数量的产品使的成本费用，它包括生产准备费用k 和产品城北ax k 两项费用。
即C k （x k ）={0, xk =0k +axk,0<xk ≤mk其中m k 为第k 阶段生产xk 数量的上限。
用h k （s k ）表示在地k 阶段初库存量为s k 时的存储费用。
因此，第k 阶段的成本费用为C k （x k ）+h k （s k ）所以，上述问题的数学模型为Minz=∑ck （xk ）+ℎk(sk ）n k=1s.t.{s0=0,sn +1=0sk =∑(xj −dj ), k =1,2,…,n −1k j=10≤xk ≤mk, k =1,2,…,n xk 为正整数用动态规划方法求解，s k 为状态变量，他表示第k 阶段开始时的库存量x k 为决策变量，他表示第k 阶段的生产量；状态转移方程为S k+1=s k +x k -d k , k=1,2，…,n 最优值函数f k （s k ）表示从第k 阶段初始库存量为s k 到底n 阶段末的最小总费用。
（运筹学与控制论专业优秀论文）一类最优化问题的算法设计
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1.3 本文的主要内容
本文主要研究一类具有特殊形式的最优化问题，求解这一类最优化问题的全 局最优解，并应用到求解互补问题上。虽然目前已经有很多算法，但是我们考虑 到本最优化问题的约束条件是特殊的，因此可以利用约束条件的特殊性构造更为 简单有效的算法。
本文提出了一类新的函数，将它定义为半正定函数。利用这类函数将原问题； 分别转化为无约束最优化和含等式约束的最优化问，并分别设计了算法，进行了 数值实验，验证了算法的有效性。为了给出问题的全局最优解，我们又研究了算 法子问题的全局最优化算法，利用填充函数法来求解子问题。这样就保证了前面 设计的算法可以求得问题的全局最优解。最后，针对约束最优化问题（P），提出 了拟填充函数的概念，构造了一类拟填充函数并设计了算法。具体内容如下：
In this article we propose a new type of function, which is called a semi-positive function. We use this function to make another function, then we can turn the original problem into another one. We give algorithms and numerical results. Then we investigate the sub-problem. Also we propose the definition of quasi-filled function. We propose a quasi-filled function and design algorithm. It mainly contains the following six chapters:
运筹学论文
运筹学论文摘要本论文主要探讨了运筹学在管理决策中的应用。
首先介绍了运筹学的基本概念和相关理论，然后分析了运筹学在企业管理中的实际应用案例，最后总结了运筹学的优势和局限性，并对未来运筹学研究方向进行了展望。
1. 引言随着企业管理的复杂性和竞争的加剧，越来越多的企业开始重视运筹学在管理决策中的应用。
运筹学作为一门应用数学学科，通过运筹学方法和技术来解决企业面临的各种问题，帮助企业高效运营和优化决策。
本文将从运筹学的基本概念、实际应用案例和研究展望三个方面展开论述。
2. 运筹学基本概念2.1 定义运筹学是一门研究如何对复杂系统进行优化决策的学科。
它以数学为基础，涉及多个学科领域，如线性规划、整数规划、图论、排队论等。
2.2 运筹学方法运筹学通过建立数学模型来描述和分析问题，然后采用优化算法和技术对模型进行求解，得到最优解或近似最优解。
常用的运筹学方法包括线性规划、整数规划、动态规划、启发式算法等。
3. 运筹学在企业管理中的应用案例3.1 生产调度优化运筹学可以帮助企业优化生产调度，提高生产效率和资源利用率。
通过建立生产调度模型，运用线性规划、整数规划等方法，可以实现最优生产调度方案的确定，使得生产过程更加高效。
3.2 配送路径优化对于物流企业来说，配送路径的优化是提高物流效率和降低成本的关键。
运筹学可以通过图论、整数规划等方法，确定最优的配送路径，减少行驶里程和时间，达到节约成本的目的。
3.3 库存管理优化运筹学可以帮助企业优化库存管理，减少库存成本和缺货风险。
通过建立库存模型，根据需求、供应、存储成本等因素，利用线性规划、动态规划等方法，确定最优的库存策略，实现库存成本的最小化和保证供应的可靠性。
4. 运筹学的优势与局限性4.1 优势 - 运筹学可以提供量化的决策支持，帮助企业从数据驱动的角度优化决策； - 运筹学方法和技术可以快速求解大规模、复杂的优化问题； - 运筹学可以提供全局最优解或近似最优解，并具有较高的准确性和可信度。
运筹学论文
中国矿业大学运筹学结课论文姓名：魏恒征学院：矿业工程学院班级：采矿工程09-7班学号：01090235教师：付乳燕运筹学的初步学习及认识背景：本学期在付老师的指导下学习了运筹学，初步了解运筹学的发展历史及运筹学在生活实例中的应用。
运筹学是一门和社会生活紧密联系的一门科学，学习运筹学不仅是仅仅的学习知识，运筹学的诸多思想在实际决策中很有指导意义。
关键词：运筹学历史特点学习收获前景一、运筹学简介英语全称为：Operational Research(英国)或者是Operations Resear ch(美国)在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。
田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。
可见，筹划安排是十分重要的。
现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。
前者提供模型，后者提供理论和方法。
运筹学的思想在古代就已经产生了。
敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。
但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。
也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。
运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。
当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。
运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，已达到最好的效果。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。
虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
运筹学基础论文
运筹学基础论文——单纯形乘子定理摘要：对偶理论是线性规划在早期发展中的重要成果之一，是线性规划的重要组成部分。
对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题之间深刻的内在联系。
对偶理论充分显示了线性规划理论逻辑的严谨和结构的对称美；对偶问题的对偶解是进行经济分析的重要工具。
正确理解单纯形乘子定理；最优基B是什么,在单纯形表中如何找到；Y*=CB﹣¹在单纯形表中的位置；原问题、对偶问题的最优值，在单纯形表中的确定；理解“对于原问题LP，其对偶问题DP的最优解就是LP最优单纯形表中松弛变量检验数的相反数。
”；CB﹣¹和CB﹣¹b的计算及体现。
关键字：运筹学线性规划单纯形法对偶问题单纯性乘子定理最优值单纯形表1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。
单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。
对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。
在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。
设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。
当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。
即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。
所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。
因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。
线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出生产计划问题：某家具厂生产桌子和椅子，桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。
需要木工和油漆工，生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时，生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每月可用木工工时120小时，油漆工工时50小时。
问：如何组织生产，使得每月销售收入最大？线性规划模型为（桌、椅数量为变量）：12121212max 503043120..250,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩现考虑一个成本最小化的问题：另一厂商，接到上述生产订单后组织生产，其中的劳动力欲向家具厂雇佣，如何才能使得生产成本（工资）最小？分析： 确定决策变量1y ＝木工的工资，2y ＝油漆工的工资得对偶问题规划模型： 12121212min 12050 4250..330 ,0 z y y y y s t y y y y =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩目标函数—使工资支出最小约束方程—向外转让的收入至少要大于自己生产的收入工资的非负约束二、对称形式的对偶问题的矩阵表述：原问题：既定的资源（成本）b 约束下产量X 最大化 m a x ..z CXAX b s t X O=≤⎧⎨≥⎩ 对偶问题：既定的产量C 约束下资源（成本）b 最小化： m i n ..w b YA Y C s t Y O'=''≥⎧⎨≥⎩ 三、对偶原理在经济学厂商理论中的应用：从实物形态研究生产——生产理论；从货币形态研究成本结构——成本理论 在完全竞争市场上，一定成本下产量最大化的投入组合问题互为对偶问题一定产量下成本最小化的投入组合问题1、 一定成本下产量最大化的投入组合问题：max (,)..Q f L K s t C wL rK==+令(,)()Z f L K C wL rK λ=+--，0Z Q w L Lλ∂∂=-=∂∂，0Z Q r K Kλ∂∂=-=∂∂ 得：Q Q w r L K ∂∂=∂∂， 即：L K w r P MP MP == 2、 一定产量下成本最小化的投入组合问题：min ..(,)C wL rK s t Q f L K =+=用拉格朗日乘数法求解：令((,))Z wL rK Q f L K λ''=+--，0Z Q w L L λ'∂∂'=-=∂∂， Z Q r K K λ'∂∂'=-∂∂,(,)0Z Q f L K λ∂=-='∂ 得：QQw r LK∂∂=∂∂，即：L K w r P MP MP == 四、如何将原问题转化为对偶问题 （一）约束条件为标准形式（见前例）目标函数的最大值max ←→ 目标函数的最小值min 目标函数的价值系数C ←→ 约束方程右端的资源量C ’ 约束系数矩阵A ←→ 约束系数矩阵A ’原问题的n 个变量（≥0）←→ 对偶问题的n 个约束方程 约束条件“AX ≤B ”←→ 对偶问题的约束条件“A ！Y ≥C ” （二）约束条件为非标准形式将下列线性规划问题转化为对偶问题12312312323123min 7434262436415..53300,0z x x xx x x x x x s t x x x x x =+--+-≤⎧⎪---≥⎪⎨+=⎪⎪≤≥⎩取值无约束， 1、先化为标准形式，再根据标准形式进行转化：令11x x '=-，222x x x '''=-； 并将等式约束235330x x +=化为两个不等式约束235330x x +≤和235330x x +≥；对于min 问题，统一约束不等式为“≥”，得：1223122312232232231223m i n 7443422624366415..5533055330,,0z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ''''=-+--''''--++≥-⎧⎪''''-+-≥⎪⎪'''-+≥⎨⎪'''-+-≥-⎪''''≥⎪⎩， → 1234121234123412341234max 2415303043726554..2655464333,,0w y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y y y =-++--+≤-⎧⎪--+-≤⎪⎪+-+≤-⎨⎪-+-≤-⎪≥⎪⎩，y2、将多余的量还原：第一个约束方程的右边还项原为正数，令11y y '=-，334y y y '=-，并将第三、第四约束方程合并为等式约束，得： 12312123123123max 2415304372654..64330,0w y y y y y y y y s t y y y y y ''=++'--≥⎧⎪''-+=⎪⎨''--+≤-⎪⎪''≤≥⎩取值无约束，y 结论：对于非标准约束的原问题和对偶问题，可得出约束条件和变量如下的对应逻辑关系：五、原问题化为对偶问题的2种求解思路：（一）根据表格中约束条件和变量对应的逻辑关系，直接转换为对偶问题； ——注意，对于min 原问题，应该从表格右列向左列转化（变量转为约束时，不等号相反）；对于max 原问题，应该从表格左列向右列转化（变量转为约束时，不等号不变）（二）将约束条件和变量转化为标准形式后，转换过去，具体步骤稍微繁琐，但可靠性高——对于原问题为min ，其约束条件统一化为“C YA ≥'”，含义：资源的转让收入AY 要大于产品的市场价格C 。
运筹学论文
运筹学论文1. "运筹学在制造业中的应用案例分析"这篇论文可以研究运筹学在制造业中的应用案例，探讨如何运用运筹学方法来优化制造流程、减少生产成本、提高生产效率等方面的实践经验。
2. "运筹学在物流管理中的应用及挑战"这篇论文可以研究运筹学在物流管理中的应用，分析运筹学方法在物流优化、路线规划、货物配送等方面的应用，并讨论实施这些方法面临的挑战和解决方案。
3. "基于运筹学的供应链管理优化研究"这篇论文可以研究基于运筹学的供应链管理优化方法，分析如何利用运筹学方法来改善供应链的效率和响应能力，以及解决供应链中的库存管理、订单分配等问题。
4. "运筹学在项目管理中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在项目管理中的应用，探讨如何利用运筹学方法来优化项目进度安排、资源分配、风险管理等方面的实践经验，并探讨这些方法在项目管理中的效果和局限性。
5. "基于运筹学的决策支持系统研究"这篇论文可以研究基于运筹学的决策支持系统的开发和应用，分析如何利用运筹学方法来辅助决策制定，提供精确的数据分析和模型建立，以及讨论这些系统在实际决策中的应用效果和局限性。
6. "运筹学在金融风险管理中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在金融风险管理中的应用，分析如何利用运筹学方法来评估和控制金融风险，包括市场风险、信用风险等方面，以及讨论这些方法的优点和局限性。
7. "运筹学在医疗资源优化中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在医疗资源优化中的应用，探讨如何利用运筹学方法来优化医疗资源的配置、排班安排、手术室管理等方面，以提高医疗服务的效率和质量。
8. "基于运筹学的环境保护决策研究"这篇论文可以研究基于运筹学的环境保护决策方法，分析如何利用运筹学方法来评估不同环境保护措施的效果，并对环境保护决策进行优化，以达到经济、社会和环境的可持续发展。
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运输问题
摘要：
运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
引言：
物流的运输则专指“物”的载运及输送。
它是在不同地域围间（如两个城市.两个工厂之间，或一大企业相距较远的两车之间），以改变“物”的空间位置为目的的活动，是对“物”进行的空间位移。
运输一般分为运输和配送。
关于运输和配送的区分，有许多不同的观点，可以这样来说，所有物品的移动都是运输，而配送则专指短距离、小批量的运输。
因此，可以说运输是指整体，配送则是指其中的一部分，而且配送的侧重点在于一个''配''字，它的主要意义也体现在''配''字上；而''送''是为最终实现资源配置的''配''而服务的。
运输功能要素。
包括供应及销售物流中的车、船、飞机等方式的运输，生产物流中的管道、传送带等方式的运输。
运输是指把人.财.物由一个地方转移到另外一个地方的过程.运输又被认为是国民经济的根本．
运输的主要工具有自行车.板车.三轮车.摩托车.汽车.火车.飞机.轮船.宇宙飞船.火箭.等等
运输按服务对象不同分为客运和货运
公共运输,泛指所有收费提供交通服务的运输方式。
轿车托运:(轿车运输)是指将汽车做为商品出厂后,通过大型汽车运输工具,到达指定地方的运输方式</CN>
运输运价的构成
发到基价，运行基价构成，货物运输杂费
零担货物年车运价=每吨运价×计费重量
整车货物每吨运价= 发到基价+运行基价×运价里程
集装箱货物每箱运价= 发到基价+运行基价×运价里程
运输问题的数学模型
某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1
于是可构造如下数学模型：
（；运出的商品总量等于其产量）
（；运来的商品总量等于其销量）
通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）
（；运来的商品总量等于其销量）
供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运输问题的求解：
运输问题的求解采用表上作业法，该方法是单纯形法求解运输问题的一种特定形式，其实质是单纯形法。
既然表上作业法是一种特定形式的单纯形法，它自然与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所不同的只是完成各步采用的具体形式。
表上作业法的基本步骤可参照单纯形法归纳如下：
1．找出初始基可行解：即要在阶产销平衡表上给出“”个数字格（基变量）；
2．求各非基变量（空格）的检验数，判断当前的基可行解是否是最优解，如已得到最优解，则停止计算，否则转到下一步；
3．确定入基变量，若，那么选取为入基变量；
4．确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；
5．在表上用闭合回路法调整运输方案；
6．重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。
确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问题一定具有可行解（同时也一定存在最优解），这一点是显然的。
确定初始基可行解的方法有很多，下面是最小元素法。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止。
下面就用例4-1说明最小元素法的应用。
第一步：从表4-1中找出最小运价“1”，这表示先将B生产的产品供应给甲。
由于B 每天生产4个单位产品，甲每天需求3个单位产品，即B每天生产的产品除满足甲的全部需求外，还可多余1个单位产品。
在（B，甲）的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的甲列运价划去得表4-3，划去甲列表明甲的需求已经得到满足。
表4-2
第二步：在表4-3的未被划掉的元素中再找出最小运价“2”，最小运价所确定的供应关系为（B，丙），即将B余下的1个单位产品供应给丙，表4-2转换成表4-4。
划去B行的运价，划去B行表明B所生产的产品已全部运出，表4-3转换成表4-5。
表4-4
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”，这样一步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素均被划去为止。
最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表4-6。
这一方案的总运费为86个单位。
表4-5
表4-6
最小元素法各步在运价表中划掉的行或列是需求得到满足的列或产品被调空的行。
一般情况下，每填入一个数相应地划掉一行或一列，这样最终将得到一个具有“”个数字格（基变量）的初始基可行解。
然而，问题并非总是如此，有时也会出现这样的情况：在供需关系格（）处填入一数字，刚好使第个产地的产品调空，同时也使第个销地的需求得到满足。
按照前述的处理方法，此时需要在运价表上相应地划去第行和第列。
填入一数字同时划去了一行和一列，如果不加入任何补救措施的话，那么最终必然无法得到一个具有“”个数字格（基变量）的初始基可行解。
为了使在产销平衡表上有“”个数字格，这时需要在第行或第列此前未被划掉的任意一个空格上填一个“0”。
填“0”格虽然所反映的运输量同空格没有什么不同；但它所对应的变量却是基变量，而空格所对应的变量是非基变量。
表4-7
第一步在（B，甲）处填入“3”，划去甲列运价；第二步在（B，丙）处填入“1”，划去B 行运价，此二步的结果见表4-8和表4-9。
表4-8
表4-10
表4-11
表4-9中剩下的最小元素为“3”，其对应产地A的产量是4，销地丙的剩余需要量也是4，在格（A，丙）中填入“4”，需同时划去A行和丙列。
在填入“4”之前A行和丙列中除了（A，丙）之外，还有（A，乙）、（A，丁）和（C，丙）三个空格未被划去；因此，可以在（A，乙）、（A，丁）和（C，丙）任选一格填加一个“0”，不妨选择（A，乙），结果可见表4-10和表4-11。
注意这个“0”是不能填入（A，甲）或（B，丙）的，因为在填入“4”之前它们已经被划去了。
实例分析：
有三个化肥厂供应四个地区的化肥需求，假定等量化肥在这些地区的使用效果相同。
各化肥厂年产量、各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的单位运价如表38所示，试求出总的运费最节省的化肥调拨方案。
表38（单位：万吨）
这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨，四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。
根据现有产量，除满足地区1、地区2和地区3的最低需求外，地区4每年最多能分配到60（）万吨，这样其不限的最高需求可等价认为是60万吨。
按最高需求分析，总需求为210万吨，大于总产量160万吨，将此问题定义为销大于产的运输问题。
为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，令其年产量为50（）万吨。
各地区的需要量包含最低和最高两部分：如地区1，其中30万吨是最低需求，故这部分需求不能由假想的化肥厂D来供给，因此相应的运价定义为任意大正数M；而另一部分20万吨满足与否都是可以的，因此可以由假想化肥厂D来供给，按前面讲的，令相应运价为“0”。
凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区来看待，这样可以将表4-38所示的运输问题转换为表39所示的运输问题。
表39 （单位：万吨）
这个问题的最优方案，如表40所示。
表40 （单位：万吨）
结论：
运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在，运用此类方法，可以大大减少成本，提高运输效率。