运筹学论文
大学生运筹学论文
大学生运筹学论文第一篇：大学生运筹学论文论数学与生活内容提要：步入大学，我们的学习已经不再停留于刻板的书本，我们学习的目的也不仅仅是去掌握那些常规的知识，大学学习，我们更多的是去学习一种思想，学习一种态度，然后用我们所学去实践生活。
当我们用心思考，我们也会发现，陪伴我们十几年的恼人的数学也蕴含了丰富的人生哲理。
关键字：生活，思考，哲理一、数学里的奇妙现象有时候我们会思考：无穷的边缘是什么？就像我们弄不懂广袤宇宙的边境是什么，无论多么科学的解释我们也始终想不明白怎么可以存在这样的一个空间去包括宇宙以及宇宙之外的东西。
而代表着这个含义的π=3.1415……..，无穷尽的不规则小数，没有尽头，但是它却确确实实是我们每天都会用到的具有现实意义的数值；二、最美丽的数字——0.618（1）人体上的黄金分割《达芬奇密码》一书中说讲，肩膀到指尖的距离除以肘关节到指尖的距离；臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离。
再看看手指关节、脚趾、脊柱的分节，都会得到PHI（黄金分割比）。
真的会这样吗？我半信半疑地进行了一点近似的计算。
按照一个正常体型的人为例：肩膀到指尖的距离：70㎝肘关节到指尖的距离：43㎝43÷70≈0.614 臀部到地面的距离：80㎝膝盖到地面的距离：49㎝49÷80≈0.613 这些数据的结果都接近于0.618。
（2）生理上的黄金分割再如网上说，人在环境气温22℃－24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。
37℃×0.618＝22.866℃所以当所有的这些都和黄金分割比联系上时，我们不得不感叹数学的奥秘，真的很不可思议，如果说是巧合，但是当种种现象都联系在一起的时候，就不仅仅是巧合可以解释的了，我们不得不承认这就是数学中蕴含的奥妙。
运筹学论文
吴禹锟一院八队201101044032 运筹学摘要：临近年末，家中生产的冰糖橙到了一个大卖的时候，采摘下来的冰糖橙需要合理的保存，才能够长期保鲜。
而摘下来的冰糖橙需要进行进一步包装，才能卖到一个更好的价格。
最后就是运输问题，怎样用最少的运价运到更多的地方。
这就需要制定一个严密的计划，使自己所用的花费最少。
关键字：生产与存储 动态规划 经济批量订货模型 运输问题 lingo正文：研究背景：家中种有3000余棵冰糖橙树，每年到年底时，也就是冰糖橙成熟的时候。
冰糖橙采摘需分阶段，且采摘需要请员工，这会产生一个费用，存贮需要存储空间，就会产生一个存储费用。
这就涉及到一个生产与存储的问题，可以建立一个数学模型。
采摘下来的冰糖橙，需要装入保鲜袋，然后装进箱子中，箱子需要订购。
这就会涉及到一个经济批量（EOQ ）问题，是一个优化问题，且不允许缺货。
最后就是卖往各个地区，这里还可能产生产销不平衡的情况，需要寻求最优解。
研究内容：一、生产与存储问题：这是一个动态规划问题，需要合理的安排生产与库存的问题，达到既要满足需求，又要尽量降低成本费用。
一次，确定不同时期的的的生产量和库存量，以使总的雇佣费与库存费之和最小。
设d k 为第k 阶段对产品的需求量，x k 为第k 阶段该产品的生产数量，sk 为第k 阶段初的产品数量，则有z k =s k -1+x k -1-d k -1。
C k （x k ）表示第k 阶段生产xk 数量的产品使的成本费用，它包括生产准备费用k 和产品城北ax k 两项费用。
即C k （x k ）={0, xk =0k +axk,0<xk ≤mk其中m k 为第k 阶段生产xk 数量的上限。
用h k （s k ）表示在地k 阶段初库存量为s k 时的存储费用。
因此，第k 阶段的成本费用为C k （x k ）+h k （s k ）所以，上述问题的数学模型为Minz=∑ck （xk ）+ℎk(sk ）n k=1s.t.{s0=0,sn +1=0sk =∑(xj −dj ), k =1,2,…,n −1k j=10≤xk ≤mk, k =1,2,…,n xk 为正整数用动态规划方法求解，s k 为状态变量，他表示第k 阶段开始时的库存量x k 为决策变量，他表示第k 阶段的生产量；状态转移方程为S k+1=s k +x k -d k , k=1,2，…,n 最优值函数f k （s k ）表示从第k 阶段初始库存量为s k 到底n 阶段末的最小总费用。
运筹学论文
运筹学论文摘要本论文主要探讨了运筹学在管理决策中的应用。
首先介绍了运筹学的基本概念和相关理论，然后分析了运筹学在企业管理中的实际应用案例，最后总结了运筹学的优势和局限性，并对未来运筹学研究方向进行了展望。
1. 引言随着企业管理的复杂性和竞争的加剧，越来越多的企业开始重视运筹学在管理决策中的应用。
运筹学作为一门应用数学学科，通过运筹学方法和技术来解决企业面临的各种问题，帮助企业高效运营和优化决策。
本文将从运筹学的基本概念、实际应用案例和研究展望三个方面展开论述。
2. 运筹学基本概念2.1 定义运筹学是一门研究如何对复杂系统进行优化决策的学科。
它以数学为基础，涉及多个学科领域，如线性规划、整数规划、图论、排队论等。
2.2 运筹学方法运筹学通过建立数学模型来描述和分析问题，然后采用优化算法和技术对模型进行求解，得到最优解或近似最优解。
常用的运筹学方法包括线性规划、整数规划、动态规划、启发式算法等。
3. 运筹学在企业管理中的应用案例3.1 生产调度优化运筹学可以帮助企业优化生产调度，提高生产效率和资源利用率。
通过建立生产调度模型，运用线性规划、整数规划等方法，可以实现最优生产调度方案的确定，使得生产过程更加高效。
3.2 配送路径优化对于物流企业来说，配送路径的优化是提高物流效率和降低成本的关键。
运筹学可以通过图论、整数规划等方法，确定最优的配送路径，减少行驶里程和时间，达到节约成本的目的。
3.3 库存管理优化运筹学可以帮助企业优化库存管理，减少库存成本和缺货风险。
通过建立库存模型，根据需求、供应、存储成本等因素，利用线性规划、动态规划等方法，确定最优的库存策略，实现库存成本的最小化和保证供应的可靠性。
4. 运筹学的优势与局限性4.1 优势 - 运筹学可以提供量化的决策支持，帮助企业从数据驱动的角度优化决策； - 运筹学方法和技术可以快速求解大规模、复杂的优化问题； - 运筹学可以提供全局最优解或近似最优解，并具有较高的准确性和可信度。
运筹学期末论文
运筹学期末论文运筹学基础及应用论文学校： XXX班级：XXX 姓名：XXX 学号：XXX运筹学在实际生活中的应用——运输问题的表上作业法【摘要】运筹学，是应用数学和形式科学的跨领域研究，利用像是统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
运输问题可以用求解线性规划的方法来解决。
但是一般来说，运输问题用普通的线性方法求解更麻烦得多，而表上作业法则是一种简单方便的方法。
【关键词】运筹学、最佳解答、改善优化、表上作业法一、理论依据运输问题的表上作业法步骤1、制作初始平衡表用“西北最大运量，然后，每增加角方法”：即在左上角先给予最大运量，然后，每增加一个运量都使一个发量或手里饱。
如果所有运量的数字少于?m?n?1?，则补0使之正好?m?n?1?个。
注:补零时不能使这些书构成圈。
2、判断初始方案是否最优（1）求位势表：对运价表加一行一列，圈出运价表中相应于有运量的项，在增加的行列上分别添上数，使这些元素之和等于圈内的元素。
这些元素称为位势数。
（2）求检验数：?ij?Ai?Bj?Cij?Ai,Bj分别表示行、列位势? 从而得到检验数表。
结论：若对任意的i,j,?ij?0，则方案最优，否则转3进行调整。
3、调整（1）找回路：在?ij?0（若有多个?ij?0选大者）对应的运量表上对应元素为起点，沿横向或纵向前进，如遇到有运量的点即转向，直至起点，可得到一个回路。
（2）找调整量：沿上述找到的回路，从起点开始，在该回路上奇数步数字的最小者作为调整量?0。
（3）调整方式：在该回路上奇数步-?0，偶数步+?0，得到新回路。
重复上述步骤，使所有?ij?0，即得最优方案。
二、背景1.1鉴于市场竞争日益激烈，消费者需求渐趋多样，工厂作为市场消费品的产出源头，唯有对这种趋势深刻理解、深入分析，同事具体的应用于实际中，才能使自身手艺，断发展壮大，不被新新行业所淘汰。
运筹学论文
运筹学论文1. "运筹学在制造业中的应用案例分析"这篇论文可以研究运筹学在制造业中的应用案例，探讨如何运用运筹学方法来优化制造流程、减少生产成本、提高生产效率等方面的实践经验。
2. "运筹学在物流管理中的应用及挑战"这篇论文可以研究运筹学在物流管理中的应用，分析运筹学方法在物流优化、路线规划、货物配送等方面的应用，并讨论实施这些方法面临的挑战和解决方案。
3. "基于运筹学的供应链管理优化研究"这篇论文可以研究基于运筹学的供应链管理优化方法，分析如何利用运筹学方法来改善供应链的效率和响应能力，以及解决供应链中的库存管理、订单分配等问题。
4. "运筹学在项目管理中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在项目管理中的应用，探讨如何利用运筹学方法来优化项目进度安排、资源分配、风险管理等方面的实践经验，并探讨这些方法在项目管理中的效果和局限性。
5. "基于运筹学的决策支持系统研究"这篇论文可以研究基于运筹学的决策支持系统的开发和应用，分析如何利用运筹学方法来辅助决策制定，提供精确的数据分析和模型建立，以及讨论这些系统在实际决策中的应用效果和局限性。
6. "运筹学在金融风险管理中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在金融风险管理中的应用，分析如何利用运筹学方法来评估和控制金融风险，包括市场风险、信用风险等方面，以及讨论这些方法的优点和局限性。
7. "运筹学在医疗资源优化中的应用研究"这篇论文可以研究运筹学在医疗资源优化中的应用，探讨如何利用运筹学方法来优化医疗资源的配置、排班安排、手术室管理等方面，以提高医疗服务的效率和质量。
8. "基于运筹学的环境保护决策研究"这篇论文可以研究基于运筹学的环境保护决策方法，分析如何利用运筹学方法来评估不同环境保护措施的效果，并对环境保护决策进行优化，以达到经济、社会和环境的可持续发展。
运筹学期末论文
运筹学的发展与运用【摘要】运筹学是系统工程学的一门重要专业基础课。
它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。
他的产生、发展与具体实施运用均随着其在各个领域的推广而深入人心。
通过对本学科的学习，我深刻认识到运筹学思想的重要性和实用性，并将其运用于以后的学习、生活和工作中。
【Abstract】Systems Engineering Operations Research is important for a basic course. It is the beginning of the 1930s developed a new discipline, its main purpose is to provide decision-making in the scientific basis for the management is to achieve effective management, one of the important methods correct decision and modern management. His emergence, development and application of specific implementation are with their promotion in various fields and popular. . Through the discipline of study, I deeply understand the importance and usefulness of operations research ideas and applied their future learning, life and work.【关键词】运筹学、运用、发展、心得体会【key words】operational research, apply, develop, comments一、运筹学的产生运筹学原意是操作研究、作业研究、运用研究、作战研究，译作运筹学，是借用了《史记》“运筹策于帷幄之中，决胜于千里之外”一语中“运筹”二字，既显示其军事的起源，也表明它在我国已早有萌。
运筹学课程论文
运筹学课程论文运筹学在现代社会中的应用班级：运筹学2班年级:2014级学院:园艺园林教师：陈涛姓名：宋春雄学号：222014325052030摘要：运筹学发展至今，它的应用已经不仅仅局限于军事领域了，运筹学已被广泛应用于工商企业，民政企业等研究组织内的统筹协调问题,既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效。
运筹学在管理方面有着很突出的作用。
管理就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的最佳解释。
关键字：企业管理，生活，筹划正文：运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课。
它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。
该学科是一应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答.运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。
而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。
因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业密切相关。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。
虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学,但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
运筹学的思想在古代就已经产生了。
敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法,这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外"的说法。
但是作为一门数学学科,用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排,却相对较晚。
也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支.运筹学的具体内容包括：规划论(包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、库存论、图论、决策论、对策论、排队论、博弈论、可靠性理论等。
运筹学论文-运筹学案例分析报告
运筹学论文-运筹学案例分析报告一、背景运筹学是一门研究解决实际问题的科学，它专注于提高组织、企业和政府的生产效率，优化执行过程，使其能够有效地获得最大价值。
本案例旨在探讨一个具体的现实例子，概述如何使用运筹学进行解释以及识别和解决可能存在的潜在问题。
二、案例概述本案例涉及解决一个具体的实际问题，即如何利用有限的资源，有效的改变一个公司的业务流程，以降低其成本。
该方案涉及一家名为“关爱社会”的非营利组织，致力于为社会弱势群体提供支持和帮助。
该机构的活动主要集中在受支持者的社区中，提供技能培训、帮扶活动、营养指导和教育补助等服务。
该机构最近发现，其资金有限，从而导致社会服务无法有效现实受助者的需求。
通过运筹学方法分析，可以辨别机构拥有资源的可用性，从而重新安排和调整该机构对社会服务的投入，以优化执行过程。
三、运筹学原理运筹学方法可以帮助分析和解决实际问题。
运用运筹学，可以避免直接决策而遭受不必要的损失，改善组织的绩效，使其能够有效的改善锁定的资源，同时有效地改变业务流程，以获得最大价值。
四、案例分析针对本案例，我们首先对“关爱社会”机构的资源进行评估和分析，这包括人力资源、金融资源、工作经验和机构的实力等。
这样，我们可以更好的识别和分配公司的资源，以实现最优的结果。
在进而分析资源可用性的基础上，另一项重要的工作是对“关爱社会”机构所提供的服务的全面审查和审查。
由于公司的资源有限，因此必须仔细考虑每一项服务的重要性，并以此来决定机构把资源投入在哪里。
调整业务流程，将投入重点放到最需要的领域上是提高服务质量的最佳选择。
五、结论通过本次运筹学案例分析，我们有了更清晰的认识，即如何使用运筹学方法有效的改善现有的业务流程，使其能够更好的服务于受支持者的社区。
只有有效的资源安排和有效调整，“关爱社会”才能真正实现自身的价值，而运筹学正能够提供这样的解决方案。
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课程设计任务书2012—2013学年第二学期专业班级：10普本信息与计算科学学号：xxxxxxxx 姓名：xxxxxxxx 课程设计名称：运筹学设计题目：线性规划的问题及其应用完成期限：自2013 年06月10 日至2013年06 月16日共7天设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握求解线性规划的方法以及关于这些方法的分析和综合应用，能够较熟练地应用LINGO软件编写求解线性规划的程序。
二、设计内容（1）认真挑选有代表性的线性规划问题．（2）根据线性规划的解的概念和基本理论，运用单纯形法来求解线性规划问题。
（3）列出目标函数，编程序用LINGO 软件来求解。
三、设计要求1．掌握线性规划的求解方法和一些基本理论。
2．先分析题中的数据，列出目标函数。
3．然后使用所用的方法编写LINGO程序求解。
计划答辩时间：2013年06 月16 日工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字．指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：2013 年6月9日线性规划的问题及其应用摘要本文考虑的是快餐店如何获得最高利润问题。
影响快餐店利润的因素主要有顾客对等待时间的态度；当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系等。
我们在模型中主要从以上二个因素来考虑对快餐店能获利润进行预测。
根据此模型得到了顾客平均到达率，快餐店平均服务率来分析此问题。
我们运用运筹学中排队论模型对快餐店排队系统进行优化,在常规优化方案的基础上提出进一步的优化方案。
通过优化不仅提高了服务效率,而且增强了顾客满意度,增加了经济效益。
关键词：快餐店，排队论，数学模型，运筹学，优化目录1 前言 (3)2 解题思想和方法 (3)2.1 线性规划解的概念 (3)2.2 线性规划解的基本理论 (4)2.3 线性规划的求解方法 (4)3 问题的提出 (5)4 问题的分析 (6)5 模型假设与符号说明 (6)6 模型的建立与求解 (7)7 模型的评价 (11)总结 (11)参考文献 (12)1 前言运筹学是运用代数学、统计学等现代应用数学的方法和技术，通过建立数学模型分析研究各种（广义）资源的运用、筹划及相关决策等问题的一门新兴学科。
其目的是根据实际问题的具体要求，通过定量的分析与运算，对资源运用、筹划及相关决策等问题做出综合最优的合理安排，以使有限的资源发挥更大的效益或作用。
一般线性规划问题的求解方法—单纯形法，使得线性规划在实际中的应用日益广泛。
特别是随着计算机技术的飞速发展，使得大规模线性规划的求解成为可能，从而使线性规划的应用领域更加广泛。
例如在工业、农业、商业、交通、运输、军事、政治、经济、社会和管理等领域的最优设计和决策问题很多都可归结为线性规划问题。
2 解题思想和方法2.1 线性规划解的概念（1）解 称满足约束条件的解12(,,,)T n x x x x =⋅⋅⋅为线性规划问题的可行解；可行解的全体构成的集合称为可行域，记为D ；使目标函数达到最大的可行解称为最优解。
（2）基 设系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩为m ，称A 的某个m n ⨯非奇异子矩阵B≠（|B|0）为线性规划问题的一个基。
不妨设m 12()ij m m B a ⨯==⋅⋅⋅（p ,p ,,p ），则称向量12(,,,)T j j j mj a a a =⋅⋅⋅p (1,2,,)j m =⋅⋅⋅为基向量，矩阵A 的其他列向量称为非基向量；与基向量对应的决策变量(1,2,,)j x j m =⋅⋅⋅称为基向量，其他的变量称为非基变量。
（3）基解 设问题的基为m 12()ij m m B a ⨯==⋅⋅⋅（p ,p ,,p ），将约束方程组变为11m n jj j j j j m p x b p x ==+=-∑∑在上方程的解中令0(1,2,,)j x j m m n ==++⋅⋅⋅，则称解向量12(,,,,0,,0)T m x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅为问题的基解。
（4） 基可行解 满足非负约束条件的基解称为基可行解。
（5） 可行基 对应于基可行解的基称为可行基。
2.2 线性规划解的基本理论在介绍线性规划的几个重要结论之前，先引入凸集和顶点的概念。
假设K 为n 维欧式空间n E 中的点集，如果对于任意两点x x K ∈（1）（2），，其连线上一切点(1)(1)(01)x x xK λλλ=+-∈≤≤（2），则称K 为凸集。
设,,x x x ⋅⋅⋅（1）（2）（k ），是n 维欧式空间n E 中的k 个点，如果存在i λ：()011,2,,i i k λ≤≤=⋅⋅⋅，且11k i i λ==∑，使得(1)12k x x x x λλλ=++⋅⋅⋅+（2）（k ），则称x 为,,x x x ⋅⋅⋅（1）（2）（k ），的凸组合。
对于凸集k 中的点x ，如果x 不能用相异的两点xx K ∈（1）（2），的凸组合表示为(1)(1)(01)x x x K λλλ=+-∈≤≤（2），则称x 为凸集K 的一个顶点（或极点）。
由上述的概念，下面不加证明地给出线性规划的几个重要定理，这是解决线性规划问题的理论基础。
定理 1 如果线性规划问题（2.5），（2.6）存在可行域D ，则其可行域j 1x |b x 0m j j j D p x =⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭∑，一定是凸集。
定理 2 线性规划问题（2.5），（2.6）的任一个基可行解x 必对应于可行域D 的一个顶点。
定理 3 （1）如果线性规划问题（2.5），（2.6）的可行域有界，则问题的最优解一定在可行域的顶点上达到。
(2) 如果线性规划问题（2.5），（2.6）的可行域无界，则问题可能无最优解；若有最优解也一定在可行域的某个顶点上达到。
2.3 线性规划的求解方法根据线性规划的解的概念和基本理论，求解线性规划问题可采用下面的方法：求一个基可行解（即对应可行域的一个顶点）；检查基可行解是否为最优解；如果不是，则设法再求另一个没有检查过的基可行解（可行域的另一个顶点），如此进行下去，直到得到某一个基可行解为最优解为止。
解决此问题的方法称为单纯形法。
（1） 初始基可行解的确定如果线性规划问题为标准型（即约束方程全为等式），则从系数矩阵()ij m n A a ⨯= 中总可以得到一个m 阶单位阵m E 。
如果问题的约束条件的不等号均为“≤”则引入m 个松弛变量，可化为标准型，并将变量重新排序编号，即可得到一个m 阶单位阵m E ；如果问题的约束条件的不等号为“≥”和“=”，则首先引入松弛变量化为标准型，再通过人工变量法（人工加上一个系数为1的变量）总能得到一个m 阶单位阵m E 。
综上所述，取如上m 阶单位阵m E 位初始可行基，即m B E =，将相应的约束方程组变,11(1,2,,)i i i m m in n x b a x a x i m ++=--⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅令0(1,,)j x j m n ==+⋅⋅⋅，则可得到一个初始基可行解(0)(0)(0)(0)1212(,,,,0,,0)(,,,,0,,0)T T m m x x x x b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 寻找另一个基可行解假设要检验基可行解(0)(0)(0)(0)12(,,,,0,,0)T m x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅对应的可行基111(,,,,,,)l m t l m B p p p p p -++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，从而可以求出一个新的基可行解(0)(0)(0)(0)12(,,,,0,,0)T m x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅。
次方法称为基变换法。
事实上()(0),,(1)1,2,,,,1,1.{i i m t x i l i m i i l l m t n m x θβθ+-≠=⋅⋅⋅=≤≤≤≤-=, 其中(0)(0),,11,,|0,min m i i i m t m t i m t i i m i l m t i m t x x P P θββββ+++≤≤=++⎧⎫⎪⎪==>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑ 如果(0)(0)(0)(0)12(,,,,0,,0)T m x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍不是最优解，则可以重复利用这种方法，直到得到最优解为止。
3 问题的提出如何吸引更多的顾客以获取更高的利润是每一位快餐店老板最关心的问题.除了增加花色、提高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点“快”字上下功夫.有人向老板建议，公开向顾客宣布：如果让哪位顾客等待超过一定时间(譬如3分钟)，那么他可以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失.但是老板希望对于利弊有一个定量的分析.告诉他在什么条件下作这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作几分钟的承诺，利润能增加多少。
4 问题的分析本问题是关于快餐店利润的问题。
随着经济水平的提高,外出到快餐店用餐的人越来越多,由于服务生产与消费的同步性、服务的不可储藏性,以及顾客到达的随机性,让顾客进行排队等待是不可避免的。
排队等待通常出现在服务的最开始阶段,它会对顾客如何看待接下来的服务产生“晕轮”的效果我们首先从顾客进入快餐店他在订餐处订餐的起始时刻出发，我们规定顾客定餐后就拿到一张收据，上面标明时间为起始时刻，接着服务在厨房进行，厨房只有一位厨师，按订单到达的顺序配餐，配好一份立即送往取餐处.最后，服务员将饭菜交给顾客，并核对收据，若发现顾客等待时间超过店方的承诺，则将所收款项如数退还。
这个问题建模的关键有二：一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作什么样的假设；二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系应该用什么规律描述.对于前者，M/M/1模型是一个合理的、简化的选择；对于后者，我们将在直观分析的基础上用最简单的定量关系表示出来。
5 模型假设与符号说明1、由于顾客较多，而服务员又相对较少，故我们可认为在各段时间段中顾客源是无限的，且顾客单独到来且相互独立。
2、每个服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。
所以由一般统计规律，认为其满足指数分布，且服务员之间无差异。
3、顾客在快餐店的服务服从M/M/1模型。
4、店方承诺等待时间超过u的顾客免费享用订餐，u越小则顾客越多，c越小，在一定范围内设c与u成正比，同时又存在u的最大值u0，当u≥u0时快餐店的承诺对顾客无吸引力，相当于不作承诺。
5、顾客在快餐店的服务服从M/M /1模型；顾客平均到达率为λ=1/c,c 为平均到达间隔，在未宣布承诺时c =c 0；6、快餐店平均服务率μ=1/d,d 为平均服务时间；d ＜c 。
6 模型的建立与求解首先，根据本讲对M /M /1模型的分析，顾客等待时间(记作随机变量Y )服从参数μ-λ的指数分布，即t c d t e e t y P )11()()(----==>λμ （6.1）对于等待时间为Y 的顾客设店方获得的利润为Q (Y)，则在宣布承诺时间为u 的情况下有⎩⎨⎧--=,,)(q q p Y Q u Y u Y >≤ （6.2） 利润Q 的期望值为)()()(u Y qP u Y P q p EQ >-≤-= （6.3）用（6.1）式代入得u c d pe q p EQ ⎪⎭⎫ ⎝⎛----=11 （6.4）因为顾客到达的平均间隔为c ，所以单位时间利润的期望值为][11)(11u c d pe q p c EQ c u J ⎪⎭⎫⎝⎛----== （6.5） 建模的目的是确定承诺时间u 使利润J(u)最大.下面我们根据对于c 和u 关系的假设确定函数c(u).因为可以假定c (0)=0(理解为u →０时顾客将无穷多)，当u ≥u 0时c(u)=c 0(因为这时相当于不作承诺)，所以若假设在0≤u ≤u 0时c 与u 成正比，函数c(u)的图形就如图6－5（见下）所示，并且由于d ＜c 的基本要求,必须u>00c du ，于是c(u)可表为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=0000000,,)(u u c u u c du u u c u c （6.6） 将(6.5)式代入(6.6)式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<<--=---0)11(000000]1[),1()()(0u u e q p p c q p u u c du e u c q p u u J u c d d u α (6.7)图5-5其中00c u e qp p --=α (6.8) J (u )中除u 外均为已知常数，问题化为求u 使J (u )最大.对于(6.7)式的J (u )应按u 的不同范围分别求解.当000u u c du <<时，用微分法求出μ的最优值u *应满足)1(**du e d u +=α (6.9) 且算出J 的最大值为)()()(*00*d u c q p u u J +-= （6.10） 当u ≥u 0，显然u →∞时J (μ)最大，且)(c q p J -=∞ (6.11)比较)(*u J 和)(∞J 可知，当且仅当0*u d u <+时)(*u J >)(∞J ，所以J (μ)最大值问题的解应为⎩⎨⎧≥+∞<+=0*0**u d u u d u u u (6.12) 其中*u 由(6.9)式确定.这就是说，对于给定的p 、q 、0c 、0u 和d ，以及按(6.8)、(6.9)式算出的*u ，仅当0*u d u <+时,才可承诺服务慢了免费供餐，并且承诺时间为*u 时利润最大.进一步分析可以作承诺的条件du d u 0*1<+ (6.13) 根据(6.9)式，如果用方程)1(f e f +=α （6.14） 条件(6.13)可以表为)(10αf u d +< (6.15) 因为(6.8)式中的α是q p /、0u 、0c 的函数，即),,/(1//0000c u q p e q p q p c u αα=-= (6.14) 若记 ),,/()(1000c u q pd f u d c c =+=α (6.16) 则当q p /、0u 、0c 给定时快餐店可以作承诺的条件(6.17)，应该表为平均服务时间d 满足),,/(00c u q p d d c < (6.17)在这个条件下最优承诺时间*u 由(6.16)式确定.与不作承诺时的利润J (∞)相比，此时的利润)(*u J 为)()()(*0*∞>∞+=J J du u u J (6.18) 目标函数：min z=16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11）x1+x9+x10+x11>=8x1+x2+x10+x11>=8x1+x2+x3+x11>=7x1+x2+x3+x4>=1x2+x3+x4+x5>=2x3+x4+x5+x6>=1x4+x5+x6+x7>=5x5+x6+x7+x8>=10x6+x7+x8+x9>=10x7+x8+x9+x10>=6x8+x9+x10+x11>=6x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11>=0程序如下：Model:Sets:Row/1…11/:b;Arrange/1…11/:x,c;Link(row,arrange):a;EndsetsData:b=8,8,7,1,2,1,5,10,6,6;c=16,16,16,16,16,16,16,16,16,16,16;a=1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1 ,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0 ,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1;enddata[OBJ]min=@sum(arrange(j):c(j)*x(j));@for(row(i);@sum(arrange(j):a(i,j)x (i,j))>=b(i););@for(arrange(j):x(j)>=0;);End最优解为x=(2,1,0,0,1,0,9,0,1,0,5),最优值为z=304，即临时工班次为11:00~12:00开始上班2人，12:00~13:00开始上班1人，15:00~16:00开始上班1人，17:00~18:00开始上班9人，19：00~20：00开始上班1人，21:00~22:00开始上班5人，雇佣临时工19人，临时工的总工资为304元。