二次函数与几何图形结合

二次函数与几何图形结合

类型一图形面积有关

1、已知抛物线y ax22x c的图象与x轴交与点A（3,0 ）和点C,与y轴交与点B（0，

3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B C的距离之和最小，并求出点D

的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P,使得△ ABP的面积最大？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2、已知抛物线y x bx c的图象与x轴的一个交点为B (5,0 )，另一个交点为A,且与y轴交与点

C( 0,5 )。

(1)求直线BC与抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线在x轴

下方图象上的一动点，过点M作MN/ y轴交直线BC

于点N,求MN勺最大值；

(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一

点，以BC为边作平行四边形CBPQ设平行四边形CBPQ勺面积为$,△ ABN的面积为S2,

且S=6S，求点P的坐标.

3、如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴交x 轴于点E,点B的坐标为（-1 , 0）.

（1 ）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M使得直线CM把四边形

DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由.

4、如图1,已知抛物线y= ax2+ bx + c 经过A( —3, 0) , B(1 , 0), C(0, 3)三点,

其顶点为D,对称轴是直线l , l与x轴交于点H.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线对称轴丨上的一个动点，求△ PBC周长的最小值；

⑶如图2,若E是线段AD上的一个动点(E与A D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m △ ADF的面积为S.

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明

理由.

类型二探究图形形状问题

1、

如图，已知抛物线经过 A (1.0 ), B (0,3 )两点，对称轴是x=-1。

②△ AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

2、如图，抛物线与x轴交与A (1,0 )、B (-3,0 )两点，与y轴交与点C (0,3 ),设抛物线

的顶点为D。

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.

（2）试判断△ BCD勺形状，并说明理由.

（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A C为顶点的三角形与△ BCD相似？若存在，请直接写岀点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

3、如图，直线y= kx —1与抛物线y= ax + bx+ c交于点A—3,2）、B（0，- 1），抛物线的

顶点为C( —12)，对称轴交直线AB于点D,连接0C

(1)求k的值及抛物线的解析式；

⑵若P为抛物线上的点，且以P、A D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的

直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标;

⑶在⑵的条件下所得到三角形是否与厶证

明过程)•

1 2

4、如图，已知直线y = —2x+ 2与抛物线y = a (x+ 2)相交于A、B两点，点A在y轴上,

M为抛物线的顶点.

(1) 请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

(2) 若P为线段AB上一个动点(A B两端点除外)，连接PM 设线段PM的长为I，点P 的横坐标为

x,请求出I2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

(3) 在(2)的条件下，线段AB上是否存在点P,使以A M P为顶点的三角形是等腰三角形？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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类型三线段长度有关问题

1、如图，抛物线y=ax+bx+c (a^ 0)经过点A (-3 , 0)、B (1, 0)、C (-2 , 1),交y 轴于点M

(1)求抛物线的表达式；

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x

轴于点E，交线段AM于点F,求线段DF

长度的最大值，并求此时点D的坐标；

(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、

N为顶点的三角形与△ MAO 相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由

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2与x 轴交与点A 和点B ,与y 轴交于点C,已知点B 的 坐标为（3,0 ）。

求a 的值和抛物线的顶点坐标；

（2） 分别连接 AC BC.在x 轴下方的抛物线上求一点 M 使厶AMC ABC 的面积 相等；

（3） 设N 是抛物线对称轴上的一个动点， d=|AN - CN| .探究：是否存在一点 N,使 d 的值最大？若存在，请直接写出点 N 的坐标和d 的最大值；若不存在，请简单说 明理由.

2、如图，抛物线y ax 2 -x 3 (1)