关系的性质离散数学
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学中的逻辑关系及其应用
离散数学中的逻辑关系及其应用离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构及其上的操作。
逻辑关系是离散数学中的一个重要概念，它在数学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍离散数学中的逻辑关系及其应用。
1. 逻辑关系的定义及性质离散数学中的逻辑关系是指一种二元关系，即对于某个集合中的两个元素，这两个元素之间有一种特定的关系。
在逻辑中，这个关系通常表示为“P → Q”，其中P和Q是两个命题，表示“如果P成立，则Q也成立”的关系。
逻辑关系有以下几种性质：（1）自反性：对于任意元素a，a与自己之间存在关系。
（2）对称性：对于任意元素a和b，如果a与b之间存在关系，那么b与a之间也存在关系。
（3）传递性：对于任意元素a、b和c，如果a与b之间存在关系，b与c之间也存在关系，那么a与c之间也存在关系。
2. 逻辑关系的应用（1）逻辑门电路逻辑门电路是计算机硬件的基本组成部分，它们的功能是根据输入的命题逻辑值计算出输出的命题逻辑值。
逻辑门电路包括与门、或门及非门等，它们之间的逻辑关系可以用逻辑代数中的公式来表示。
（2）判断与证明逻辑关系在数学证明中有广泛应用，可以用来判断某些语句、假设或结论是否成立。
常见的逻辑关系有蕴含关系、等价关系和充分必要条件等，它们在判断和证明中有重要作用。
（3）数据结构逻辑关系在数据结构中也有着广泛的应用。
例如在二叉树中，每个节点有两个子节点，子节点之间存在着父子关系。
在图论中，节点之间则存在着边的关系。
这些关系可以使用逻辑关系来描述和分析。
3. 总结逻辑关系是离散数学中的重要概念，它无处不在，在数学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
熟练掌握逻辑关系的定义及性质，对于深入理解离散数学和其它相关领域有着重要的意义。
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学28.关系的性质1
例如，集合X上的全域关系EX、 恒等关系IX都不是X上的反 自反关系.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
2）若关系R不是反自反的，关系R也不一定是自反的，反之也 成立.
XZ-{0}时，整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件： • 1） R是自反的恒等关系IX R. • 2） R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3） R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如，数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ，均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件： • 1） R是反自反的恒等关系IX R= . • 2） R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3） R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的，也不是反自反的.
注意：
1）一个关系R如果是自反的，一定不是反自反的；如果是反自 反 的，则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种：自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.
关系的性质-集合与关系-离散数学
例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系() 是对称关系，相等关系(=)？？？ 。
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
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一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
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第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
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第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学-04-关系的性质
7
4.3.1 关系性质的定义和判别
对称性与反对称性（续）
例2 设A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>}， R2＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>} R3＝{<a,b>,<a,c>}， R4＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>} R1 对称 R2 对称 R3 对称 ？ ？ ？ 反对称 反对称 反对称 ？ ？ ？
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4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性（续）
例3 设A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>} R2＝{<a,b>,<b,c>} R3＝{<a,c>}
R1 和 R3 是A上的传递关系, R2 不是A上的传递关系.
13
4.3.1 关系性质的定义和判别
R∘RR 对MR2中1所在 位置, MR中相 位置都是1
如果顶点xi到 xj有边, xj到xk 有边,则从xi到 xk也有边
20
主对角 主对角 线元素 线元素 全是1 全是0
每个顶 点都有 环
每个顶 点都没 有环
注意：IA是对称关系也是反对称关系
4.3.1 关系性质的定义和判别
实例
例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由
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4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性证明
证明模式 证明 R 在 A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x, y>R<y, z>R …..………. <x, z>R 前提 推理过程 结论
4.3.1 关系性质的定义和判别
对称性与反对称性（续）
例2 设A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>}， R2＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>} R3＝{<a,b>,<a,c>}， R4＝{<a,b>,<b,a>,<a,c>} R1 对称 R2 对称 R3 对称 ？ ？ ？ 反对称 反对称 反对称 ？ ？ ？
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4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性（续）
例3 设A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<a,a>,<b,b>} R2＝{<a,b>,<b,c>} R3＝{<a,c>}
R1 和 R3 是A上的传递关系, R2 不是A上的传递关系.
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4.3.1 关系性质的定义和判别
R∘RR 对MR2中1所在 位置, MR中相 位置都是1
如果顶点xi到 xj有边, xj到xk 有边,则从xi到 xk也有边
20
主对角 主对角 线元素 线元素 全是1 全是0
每个顶 点都有 环
每个顶 点都没 有环
注意：IA是对称关系也是反对称关系
4.3.1 关系性质的定义和判别
实例
例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由
18
4.3.1 关系性质的定义和判别
传递性证明
证明模式 证明 R 在 A上传递 任取<x, y>，<y, z> <x, y>R<y, z>R …..………. <x, z>R 前提 推理过程 结论
离散数学4.3-4
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结论
R是A上的关系，则： （1）R是自反关系的主要条件是IAA （2）R是反自反关系的主要条件是R∩IA=Ф。
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(3) 若x y(x,y∈A ∧<x,y> ∈R <y,x> ∈R),则称R 在A上是对称的。 也就是说, 对RAA, 对A中每个x和y, 若xRy, 则yRx, 称 R是对称的, 即
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例子
例3：N上的互质关系是反自反关系。 证明：x∈N，x与x是不互质的， ∴<x,x>R，∴R具有反自关系。 其他的例实数上的＜，＞关系,人与人的父子 关系,均是反自反关系。
8
关系矩阵的特点
自反关系的关系矩阵的对角元素均为1， 反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。
9
关系图的特点
自反关系的关系图，每个结点均有自回路， 而反自反关系的关系图的每个结点均没有 自回路。
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说明:
该定义的等价说法： a,b∈A,如a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R。即两个不同点结点间不允许有两 条弧。 该定义的否命题说法并不成立,如 “a≠b,<a,b>R,则<b,a>∈R”并不成立, 即反对称关系的关系图允许两个不同点间没有弧。
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有些关系既是对称的又是反对称的
设 R 是 A 上的关系，R 的性质主要有以下 5 种 (2) 若x(x ∈A <x,x> ∈R),则称 R 在 A 上是反自反的 也就是说，对RAA，若A中每个x，有xRx，则称R是 反自反的，即 A上关系R是反自反的x(xAxRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任 何相同元素的有序对。 例如：设A={1,2,3}，R 是 A 上的关系， R={<2,3>,<3,2>} R是反自反的
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CHAPTER Seven
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§7.3 关系的运算
(1) R0 = {<x,x>| xA}=IA;
(2) R n1 R n R 注: 1. 对A上的任何关系R,都有 R0=IA , R1=R。
2 1 4 3
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§7.3 关系的运算
一、基本概念 定义7.6 设R是二元关系。定义
CHAPTER Seven
(1) R的定义域: domR={x | y(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第 一元素构成的集合。 (2) R的值域，ranR={y | x(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第二 元素构成的集合。 (3) R的域: fld R= dom R∪ran R。 例7.5 R={ <1, 2>,<1, 3>,<2, 4>,<4, 3>}, 则
(4) 为真。 当A = 时,使AA×A.
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§7.2 二元关系
一、基本概念
CHAPTER Seven
定义7.3 如果一个非空集合的元素都是有序对，则称该集合为一个二 元关系。特别地，空集也是一个二元关系。 注：对一个二元关系R，如果<x,y>R,则记为xRy； 如果<x,y>R，则记为xRy。
CHAPTER Seven
（1）A×B＝A×C B=C
（2）A – (B×C) = (A – B)×(A – C) （3）(A=B)∧(C=D) A×C=B×D （4）存在集合A,使 AA×A 当A=, B={1}, C={2,3}时，便不真。 解:(1) 不一定为真， (2) 不一定为真，当A=B={1},C={2}时， A–(B×C) = {1}–{<1,2>} = {1}, 而(A–B)×(A–C)= ×{1}= . (3) 为真。 等量代入。
二元素组成的所有有序对的集合，称为集合A与B的笛卡尔积， 记为A×B。即 A×B＝{<x,y>| xA∧yB }。
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§7.1 有序对与笛卡尔积
注：笛卡尔积的性质： 1. A×= , ×A= ; 2. A×B B×A, 除非 A= 或 B= 或 A=B;
CHAPTER Seven
定义7.1 由两个元素 x和y（允许x＝ y）按一定顺序排列成的二 元组叫做一个有序对，记为<x, y>。 注：有序对的性质： 1. 当xy时，<x, y> <y, x>。 2. <x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。 定义7.2 设A,B是集合。由A中元作为第一元素，B中元作为第
CHAPTER Seven
定义7.10 设R是A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为:
2. Rn的求法: 除了根据定义按关系的复合来求之外, 还可以用矩阵法和关系图法。
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CHAPTER Seven
例7.8 设A={a,b,c,d}, R={<a, b>, <b,a>, <b,c>, <c,d>}, 求R的各次幂,分 别用矩阵和关系图表示. 解:R的关系矩阵:
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§7.2 二元关系
二. 关系的表达方式
1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例7.4 设A=1,2,3,4, 试列出下列关系R的元素。 (1)R=<x,y>x是y的倍数 (2)R=<x,y>(x－y)2A (3)R=<x,y>x/y是素数 (4)R=<x,y>xy (5)R=<x,y> (x,yA)∧(xy)
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§7.3 关系的运算
定义7.9 设R是二元关系, A是集合(通常AdomR) (1) R在A上的限制: R A ={<x,y> | xRy∧xA} (2) A在R下的像: RA=ran(R A) 例7.7 设R为{<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则 R {1}={<1,2>,<1,3>}, R =, R {2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>}， R {1}={2,3}, R= , R{2,3}={2,4} 。
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§7.1 有序对与笛卡尔积
例 证明A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。
证：任取 <x,y>， <x, y>A×(B∪C) xA ∧ y(B∪C)
CHAPTER Seven
xA ∧ (yB ∨ yC)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
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CHAPTER Seven
1 0 3 2 M M M 0 0 0 1 4 3 M M M 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
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§7.2 二元关系
2. 关系矩阵法： 设A={x1,x2,…xn},R 是 A 上的关系。令：
1 若 xi Rx j rij , 0 否则 (i, j 1,2,, n)
CHAPTER Seven
CHAPTER Seven
解:(1) R={ <4, 4>,<4, 2>, <4, 1>,<3,3>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>} (2) R={<2, 1>,<3, 2>,<4, 3>,<3,1>,<4,2>, <2,4>,<1,3>,<3,4>,<2,3>,<1,2>} (3) R={ <2, 1>,<3, 1>,<4, 2>} (4) R=EA-IA={<1, 2>,<1, 3>, <1, 4>, <2,1>,<2,3>,<2,4>, <3,1>,<3,2>, <3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} (5) R={ <1, 2>,<1, 3>,<1, 4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}
可见 M4=M2。故 R2 = R4 = R6 = …; R3 = R5 = R7 = …。
CHAPTER Seven
第 七 章 二 元 关 系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 有序对与笛卡儿积 二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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§7.1 有序对与笛卡尔积
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9
§7.2 二元关系
3. 关系图法
CHAPTER Seven
设A={x1,x2,…xn}, R是A上的关系。以A的元素作为顶点，当且仅当 xiRxj时，xi 向 xj 连一条有向边，所得的图形称为R的关系图，记为 GR。 例7.6 设 A={1,2,3,4}, R={<1, 1>,<1, 2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, 则R的关 系图为
(xA ∧ yB)∨(xA ∧ yC) (<x, y> A×B)∨(<x, y> A×C)
<x, y> (A×B) ∪(A×C)
∴ A×(B∪C) = (A×B) ∪(A×C)
例7.2 设 A= {1, 2} ,求 P(A)×A。
解：P(A)×A ={Ø,{1},{2},{1,2}}×{1,2}
则矩阵
r11 r21 M R (rij ) r n1