有关变力做功问题的求解
求解变力做功的四种方法
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况 ．
*
栏目 导引
图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做旳功W可用F－l图线与l轴所围成旳面积 表达．l轴上方旳面积表达力对物体做正功旳多 少，l轴下方旳面积表达力对物体做负功旳多少 ．
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功旳两个必要原因 • (1)作用在物体上旳力． • (2)物体在力方向上旳位移． • 2．功旳体现式：W＝Flcos α，α为力F与位移l旳
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功旳位移等于左边绳旳变短旳部分，而 不等于物体旳位移．
*
栏目 导引
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的解题方法
变力做功的解题方法在中学阶段，功的计算公式只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。
如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。
一、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一次函数关系的直线运动中。
1.如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
二、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
2.如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为E kB和E kC，图中AB=BC，则一定有（）A．W1＞W2 B．W1＜W2C．E kB＞E kC D．E kB＜E kC三、图像法表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。
其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。
图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
4.如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？5.用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）四、功率法当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法功是一个基本物理量，功是能量转化的量度．因此，功的计算在中学物理中占有十分重要的地位．中学阶段所学的功的计算公式W=FS COS α只适用于计算恒力做功情况，但如果是变力做功，一般不能用该公式去计算．那么，在高中知识的范围内如何处理有关变力做功的问题呢？本文介绍几种常见的求解方法．一、 用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，其表达式是W 外＝ΔE ｋ，W 外是指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，ΔE ｋ是物体动能的变化量．如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．例1．如图1所示，一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂在O 点，小球在水平拉力F 的作用下，从平衡位置A 点缓慢地移到B 点，求力F 所做的功？分析：小球从A 点拉到B 点时，受重力、绳子的拉力和水平拉力F ，由受力分析知F=mg tan θ，随着θ的增大，Ｆ也增大，故F 是变力，因此不能直接用W=FS COS θ计算．解：从A 缓慢拉到B ，由动能定理得：ＷＦ－ＷＧ＝ΔＥＫ，因为小球缓慢移动，速度可视为零，即动能的变化量ΔＥＫ为零,则有：ＷＦ＝ＷＧ＝mgL(1-COS θ) ．二、用机械能守恒定律求解如果物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，所研究的系统的机械能守恒．如果重力和弹力中有一个力是变力，这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解.例2．一条均匀铁链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图2所示．铁链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，当铁链的最后一节离开桌面时，求铁链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?分析：铁链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，这部分所受的重力是变力，整个铁链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．解：取桌面为零势能面，设整个铁链质量为ｍ，下垂部分质量为ｍ０．则有：ab m m =0，m a b m =0， 链条开始下滑时:动能E ｋ1＝0，势能E ｐ1＝－2b ｍ０ｇ＝－a b 22ｍｇ,机械能E 1＝E ｋ1＋E ｐ1＝－ab 22ｍｇ， 设链条全部离开桌面时的瞬时速度为ｖ，此时：动能E ｋ2＝21ｍｖ2，势能E ｐ2＝－2a ｍｇ，机械能E 2＝21ｍｖ2－2a ｍｇ， 根据机械能守恒定律有E 1＝E 2，即：－ab 22ｍｇ=21ｍｖ2－2a ｍｇ， 解得：ｖ＝ab a g )(22-.因此，在这一过程中重力所做的功为：W Ｇ＝ΔE ｋ＝21ｍｖ2－0＝)(222b a amg -. 三、用功能原理求解如果系统除重力和弹力之外的力对物体做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统就有多少机械能发生变化，这就是功能原理．如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其它力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题．例3．质量为m 的均匀链条长为L ，自然堆放在光滑的水平面上，现用力F 将其一端竖直向上缓慢地提起，求该链条另一端刚好离开水平面时拉力F 所做的功？分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,作用在链条上的拉力是变力，因此不能直接用W=FS COS α计算．根据功能原理，上提过程中拉力F 所做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求解．解：当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L ，故机械能增加量为：ΔE=mgL ，根据功能原理知力F 所做的功为：W=mgL .四、用公式W=Pt 求解将功率的定义式P=t W 变形，得W=Pt ．在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式． 例4．质量为5×105kg 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km ／h ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功？分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用W=FS COS α求解，但可用公式W=Pt 来计算．解：根据题意，机车所受阻力f ＝kmg ，当机车速度达到最大值v ｍａｘ时，机车牵引力Ｆ＝f ＝kmg ，故机车的功率为：Ｐ＝ＦＶｍａｘ＝kmgv ｍａｘ＝0.06×5×105×10×3600101083⨯Ｗ＝9×106Ｗ， 根据Ｗ＝Ｐｔ，得机车所做的功为：Ｗ＝9×106×300J ＝2.7×109Ｊ.五、用图象法求解如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有关变力做功问题的求解
在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。
而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。
1，运用等值法求变力做功
求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。
此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。
这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。
例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。
T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。
解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中
拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β
所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)
2，运用微元法求解变力做功
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角或者说力的方向与速度方向的夹角不变，且力与速度的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
这时的功应为该变力的大小乘以物体的路程而不是位移。
这种方法一般也只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。
例2 、如图2所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
A: 0J B: 20πJ C: 10 J D: 20 J
分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。
3，运用图象法求解变力做功
如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
这里要注意的是，如果图象在X轴上方，则“面积”为正，即力做功为正；图象在X轴下方，则“面积”为负，即力做功为负。
那么总功就为各部分“面积”即功的代数和。
例3、如图3所示是F随着x变化的关系，求在0-100m的位移内，力F做的功是多少？
解析：当x变化时，F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，根据F-x图象与x轴所围的面积表示牵引力F所做的功，故牵引力F所做的功等于梯形OABD的“面积”。
所以。
W=（0.15+1.5）×105×1×102/2=1×107 J
4，运用功能关系求变力做功
做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，某力做了多少功就有对应的多少能量发生了变化。
我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求变力做功提供了一条简便的途径。
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量。
当然，其中重力做功等于重力势能的减少量，弹力做功等于弹性势能的增量等等。
如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都能够求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。
例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，即重力做功W G和BC段的摩擦力做功WBC以及AB段阻力做功W AB，而物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
所以我们可以根据功能关系来求解。
解：已知W G=mgR，f BC=um g根据功能关系中的动能定理可知：W外=0，所以W G+W BC+W AB =0即W AB =mgR-umgL BC=1×10×0.8-1/15×10×3=6J
5，用公式Ｗ＝Ｐｔ求解变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，由P=FV可知,如果在某个过程中保持功率P
恒定，随着机车或物体速度V的改变，牵引力F也改变。
这时要求该过程中牵引力的功，我W 求变力做功，这里的P必须是恒定的。
们可以通过Pt
例5、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过300s速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功。
分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓcosa来求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算。
解：根据题意，机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，当机车速度达到最大值时，机车功率为
Ｐ＝Ｆｖmax＝ｆｖmax＝ｋｍｇｖmax
＝0．06×5×105×10×（108×103／3600）
＝9×106Ｗ．
根据Ｐ＝Ｗｔ，该时间内阻力做功为
Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ
根据动能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牵引力做功
ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ
＝（1／2）ｍｖmax2＋Ｗｆ
＝（1／2）×5×105×302＋3×104
＝2．25×108Ｊ
我们相信，通过各位老师的积极引导以及学生的深入思考和总结，掌握各知识环节的实质，根据具体问题具体分析，可以让变力做功这一类问题迎刃而解。