浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷及解析

浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}

C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}

2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）

A．2 B．1 C．D．

3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥αC．若α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m?α，则n∥α

5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函

数只能是（）

A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）

6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．

7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）

A．120 B．150 C．240 D．300

8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若

，则=（）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC?α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）

A ．

B ．

C ．或

D ．或

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=．

12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：

012

ξ﹣

1

P x y

若，则x+y=，D（ξ）=．

13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．

14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3?a11=4a7，且b7=a7，则a7=，T13=．

15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．

17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；

（2）若，求△ABC的面积．

19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．

（1）求证：BD⊥平面AEC；

（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．

20．（15分）已知函数．

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．

21．（15分）已知椭圆．

（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；

（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．

22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．

＜a n；

（1）求证：1＜a n

+1

（2）记，求证：．

2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}

C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}

【解答】解：由≤0，得

或，

解得﹣1≤x＜3，

故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．

故选：D．

2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）

A．2 B．1 C．D．

【解答】解：∵=，

∴|z|=．

故选：B．

3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

【解答】解：∵在三角形中，＞0，

∴sin2＞sin2，

∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，

∴cosA＜cosB，则A＞B，

即，“A＞B”是“”的充要条件，

故选：C

4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥αC．若α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m?α，则n∥α

【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；

在B中，若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l与α相交、平行或l?α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m?α，m⊥l，则m与β相交、平行或m?β，故C错误；在D中，若m∥n，m?α，则n∥α或n?α，故D错误．

故选：A．

5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函

数只能是（）

A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）

【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，

且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，

而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x）的图象相同，

故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．

故选：C

6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影

部分．

则的取值范围是斜率k的取值范围，且k PC≤k或k≤k PA．

解得A（0，1），

解得C（，﹣）

而k PA==﹣2，k PC==．

∴k或k≤﹣2，

故选：A．

7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）

A．120 B．150 C．240 D．300

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，将5本不同的书分成3组，

若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；

若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；

则有15+10=25种分组方法；

②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，

则有25×6=150种不同的分法；

故选：B．

8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，

∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，

∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，

∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（1）﹣f （2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，

∴M≥5，

故选：C

9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．

由?5+13=﹣12，则25+169+130=144，?，

由?12+13=﹣5，

则144+169+2×=25?，

则==﹣+=﹣．

故选：B

10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC?α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．或D．或

【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，

连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，

在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，

∴cos，则sin．

设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，

当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，

则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=；

当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，

则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）

=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（）=．

∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．

故选：A．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=﹣．

【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为，则x=﹣，y=，r=|OP|=1，

∴sinα==，tanα==﹣，

故答案为：，﹣．

12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：

012

ξ﹣

1

P x y

若，则x+y=，D（ξ）=．

【解答】解：∵，

∴由随机变量ξ的分布列，知：，

∴x+y=，x=，y=，

D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．故答案为：，．

13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为4+4．

【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：

其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，

EA==2．

∴棱锥的体积V==．

棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，

∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4．

故答案为：；4+4．

14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3?a11=4a7，且b7=a7，则a7=4，T13=52．

【解答】解：因为{a n}为等比数列，且a3?a11═4a7，

由等比数列的性质可得a3?a11=a7?a7=4a7，所以解得a7═4，

因为{b n}为等差数列，且b7═a7═4，

所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52

故答案为a7=4，T13=52．

15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是±2．【解答】解：的展开式的通项

=．

由，可得（舍），由6﹣=0，得r=4．

∴的展开式中常数项为==60，解得a=±

2．

故答案为：±2．

16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，

设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①

联立，解得x=，

取A（，n），

同理可得B（﹣，n）．

=（﹣m，0），=（﹣﹣m，0），

由?=﹣，

可得（﹣m）（﹣﹣m）=﹣，

化为m2﹣n2=﹣，②

由①②可得=，

则e====．

故答案为：．

17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是[，] ．

【解答】解：作函数f（x）=的图象如右，

由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；

故=x3+=+x4，1＜x4≤2；

由y=+x4在（1，]递减，（，2]递增．

故x4=取得最小值，且为2=，

当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．

即有取值范围是[，]．

故答案为：[，]．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；

（2）若，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）由余弦定理可知：cosC==﹣，

由0＜C＜π，则C=；

（2）由sinA=，由C=，则A为锐角，

∴cosA==，

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，

由正弦定理可知：=，则a===，

则△ABC的面积S=×absinC=×2××=，

∴△ABC的面积为．

19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．

（1）求证：BD⊥平面AEC；

（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，

∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，

∵AC⊥平面BCDE，BD?平面BCDE，

∴BD⊥AC，

∵EC∩AC=C，

∴BD⊥平面AEC．

解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，

BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．

∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

∴BO=，EO=，CO=，

∴E（0，﹣，0），A（0，，），

M（0，，），B（，0，0），

=（，﹣，﹣），平面AEC的法向量=（1，0，0），

设直线MB与平面AEC所成角为θ，

sinθ===．

∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．

20．（15分）已知函数．

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．

【解答】解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，

当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，

可得f（x）递增；

当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，

由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．

综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；

减区间为（﹣1，1）；

（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，

可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；

f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），

由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；

又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；

当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，

可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，

最大值为f（﹣1）=a+，

则a+≤a﹣+恒成立．

综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．

21．（15分）已知椭圆．

（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；

（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．

【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，

则a=2，b2=a2﹣c2=3，

∴椭圆C的标准方程为；

（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，

设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），

则

|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+

=+

，

=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）

=（2++）≥，

∴|AB|的最小值为．

22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．

＜a n；

（1）求证：1＜a n

+1

（2）记，求证：．

【解答】证明：（1）∵a1=2＞1，成立，

假设a k＞1成立，则有2a k﹣1＞1成立，即成立，

＞1，

即a k

+1

a n﹣a n﹣1===＞0，

∴a n＞a n+1，

∴1＜a n

＜a n．

+1

（2）=

=

=

=（a n﹣a n+1）?﹣（），

∵=＜，

＞2（），

∴原式＜2（a n﹣a n+1）﹣3（）+2（）

＜

=3[（）﹣（）]，

∴b 1+b2+b3+…+b n＜3[（）﹣（）+（）﹣（）+…+（）﹣（）

=3[]

＜3（）

=3（2﹣）=6﹣3，

∴．