对伯川德价格博弈的思考
市场竞争与价格-伯川德
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市场结构与竞争
6、课后练习
21
可编辑版
分组讨论：请尝试以某一类商品或服务市场为
例，分析差异化的来源、表现，及与价格的关系， 尽量有材料的支撑。
说明:豪泰林模型能够对产品差异化进行一定的解释，该模型便于使 用，参数设定可以简化处理
市场结构与竞争
豪泰林模型：
1
11
可编辑版
2
p1
x
p2
假设：
1、维度空间的距离为1
x
2、消费者选择的单位成本为k
P1 p1xk P2 p2(1x)k
市场结构与竞争
豪泰林模型：
1
12
可编辑版
2
p1
x
p2
此时厂商1、2对市场的分割状 态条件是：
厂商12的生产成本为0极值求解后计算与信息处理设备核心功能外围功能文字编辑数值计算视频播放外观个性服务5现实问题的分析以笔记本电脑市场为例商品配置品牌系列cpu内存显卡硬盘系统其他价格rmbapplemacbookproi54g512m500gmountainlion8888sonyi54g1g640gwin75999hpprobooki54g1g500gdos4799dellinspironi54g2g500gwin75499联想thinkpadi54g1g500gwin74500华硕i54g1g500gwin748506课后练习分组讨论
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民营快递企业涨价困境的伯特兰德博弈分析
民营快递企业涨价困境的伯特兰德博弈分析随着网络购物的兴起和政府对快递市场的开放，民营快递企业迅速发展起来，成为了我国快递行业中的重要力量。
然而，最近一段时间以来，一些民营快递企业不得不涨价以应对经营压力，而这一做法也引发了一些问题，如消费者的不满、竞争对手的反击等。
因此，本文将运用伯特兰德博弈的理论来分析民营快递企业“涨价困境”的原因及其可能带来的影响。
伯特兰德博弈是一种经典的博弈理论，旨在诠释市场的竞争行为。
在伯特兰德博弈中，两个企业在相同的市场中销售同样的产品，但他们的定价策略会影响销售量。
这种博弈包含了非法协作问题，也就是说，虽然企业之间不能合法协作，但他们却能够互相影响彼此的价格决策。
在民营快递企业“涨价困境”中，我们可以将快递企业视为伯特兰德博弈中的两个参与者，他们都希望获得更多的市场份额和利润。
然而，如果单纯的价格竞争导致利润极为微薄，民营快递企业不得不寻找新的经营策略。
其中一种可行的策略就是涨价。
当一家民营快递企业决定要涨价时，其影响可能会传导到整个市场。
因为在涨价之后，其他的快递企业将面临选择：他们可以参与涨价，也可以坚持原来的价格策略。
如果所有的企业都涨价，那么消费者将面临更高的价格，这可能会引发一些消费者的不满和流失。
相反，如果只有一部分企业涨价，那么那些决定继续使用原来价格的消费者可能会更容易去选择那些价格更低的快递企业，这样，那些决定涨价的企业将面临市场份额下降的风险。
因此，我们可以得出这样的结论：在民营快递企业涨价困境中，涨价可能会为企业带来更高的收益，但也可能面临市场份额下降和消费者的不满。
这样的博弈需要企业们进行平衡，也就是说，快递企业需要考虑影响涨价的因素，并决定如何坚持价格。
在实际操作中，企业们可以灵活地根据市场需求和竞争策略进行定价，以维持自己的市场竞争力。
事实上，企业们的涨价并不是选择中的唯一选项。
除了提高价格，企业们还可以改善自身的服务质量和运作效率，以吸引更多的客户。
产品替代系数视角下保险公司伯川德价格博弈分析
产品替代系数视角下保险公司伯川德价格博弈分析本文从对医疗保险公司在产品替代系数方面的不完全信息出发,运用伯川德价格博弈模型分别求出他们的博弈均衡解并对其进行分析。
最后提出提高产品替代系数的建议:对已存在的医保产品的设计上进行创新、加强公司产品品牌建设和宣传、提高服务质量。
关键词：伯川德模型不完全信息替代系数据中国宏观经济网的研究数据显示，1990～1999 年我国城镇居民家庭人均可支配收入年均增长16.25%，消费性支出年均增长15.33% (均未扣除物价因素) ，而卫生总费用和人均卫生费用却几乎都是以21%左右的速度递增。
由此说明：城镇居民收入增长的速度远远跟不上卫生费用的增长速度；城镇居民个人负担的卫生费用越来越重。
然而，在卫生总费用和人均卫生费用都不长的情况下，我国的医疗保险并没有出现预期的销售业绩。
然而，1998年初的社会调查表明，民众对医疗保险的需求率为52% ，高于养老保险；2002年国务院对我国51个城市保险需求的调查发现，有76%的消费者愿意购买医疗保险；在各种商业保险的需求调查中，28.3%的居民将商业医疗保险作为首选。
因此，并不是老百姓不愿意购买商业医疗保险，而是因为我国的商业保险公司商业医疗保险基本处于亏损状态，本文认为这与医疗保险产品的价格有很大的关系。
本文运用伯川德价格博弈模型对此进行分析，得出产品替代系数越高的保险公司其保险产品的价格越高。
不完全信息下静态伯川德价格博弈（一）一个公司不知道另一个公司的具体的产品替代系数假设在市场中，仅有两个医疗保险公司1和2，双方通过制定不同的价格进行博弈。
设医疗保险公司1和2分别打算卖出的产品数量为q1和q2，产品价格分别为p1、p2 ；在不完全信息条件下，假定医疗保险公司2知道自己和医疗保险公司1的产品替代系数b，而医疗保险公司1除了知道自己的产品替代系数外，对医疗保险公司2的产品替代系数却无法知道，但他知道医疗保险公司2取高替代系数和低替代系数的概率服从二点分布，即（1）其中bH>b>bL，且00为常数。
伯特兰德(Bertrand)价格竞争模型
伯特兰德（Bertrand ）价格竞争模型伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫·伯特兰德（Joseph Bertrand ）于1883年提出的一个竞争模型。
它是分析寡头垄断市场上企业价格竞争的模型，这与古诺竞争模型是不同的。
古诺模型是把产量作为企业决策的变量，是一种产量竞争模型。
实际上，在企业的实际竞争过程中，定价是企业决策更基本的战略，每个企业所面临的消费者需求的大小往往取决于其定价。
特别是当市场上企业的数量较少时，企业在定价策略上的差异对企业产品需求的影响更为明显。
因此，伯特兰德模型对于研究寡头垄断企业的价格竞争行为的特征及其影响具有重要作用。
一、生产同质产品的伯特兰德竞争模型假定市场上只有两家企业：企业1和企业2，双方同时定价，它们生产的产品完全相同（即同质），寡头企业的成本函数也完全相同：生产的边际成本等于单位成本c ，且假设不存在固定成本。
市场需求函数()P D 是线性函数，相互之间没有任何正式的或非正式的串谋行为。
由于两个寡头垄断企业生产的产品同质，因而具有完全的替代性，所以两个企业中定价低者将获得所有需求，而定价高者将失去整个市场；如果两个企业定价相同，则他们将平分市场。
即若有企业1、企业2两企业，若企业1的定价1P 低于企业2的定价2P ，则企业1获得的需求)(1P D 将是整个市场的需求，而企业2的市场需求则为零；若双方定价相同，1P =2P =P ，则双方将平分市场，都将获得相当于整个市场需求量的一半，即21()P D 。
在上述情况下，两个企业中每一个企业的最优定价战略取决于其对另一家企业定价的推测。
（1）假设企业1预计企业2的定价将高于垄断价格，那么企业1的最优战略是按照垄断水平定价，此时它将获得所有的需求和垄断利润（即可能的最大利润）。
（2）假如企业1预计企业2的定价低于垄断水平，但高于边际成本，那么企业1的最优战略是定价略低于企业2，价格制定得偏高会导致零需求和零利润，而价格制定得略低将使企业1获得所有的需求，但利润要少一些。
伯川德模型分析
3、引入伯特兰模型理论分析中国移动和中国 、 联通的价格战
• 由于一系列的前提假设原因，加之中国移动和中国联通在 通信行业是两大垄断巨头，又因为产品同质、行业因素、 市场情况、政策因素等等，两个企业在MC与PM 之间发 生价格战。双方都想获得更大的市场份额，且都有巨大利 润空间支撑其降价，于是就出现了高速发展的移动通信行 业双寡头垄断下的价格战--伯特兰模型。由于市场尚未完 全开发出来，技术也有待更新，则双方竞争后价格仍 在 PM 与MC之间，并没有完全在边际成本MC上。 通过 价格战，市场总量开发最大，比古诺和斯塔克尔伯格模型 都大，形成了均衡价格最低，消费者剩余最大，为整个社 会的总福利，而生产者剩余为零。消费者从价格战中得到 了诸多的实惠，厂商的剩余转为消费者剩余，价格在边际 成本的时候，达到伯特兰均衡时，整个行业的利润为零。 也即生产者剩余为零，是典型的只生产无赢利，又因为退 出壁垒高，还是继续生产相对划算。
• 不过，现实中虽然两大国有垄断企业打价 格战激烈，但仍未出现伯特兰均衡时的企 业利润为零的局面，他们仍有巨额利润可 图。又因为中国移动和中国联通都想打败 对方，占据市场老大或占据市场多数份额 而使价格战不会停息， 只会愈演愈烈。
• 2、伯特兰均衡（将两企业的反应函数放在一起） 、伯特兰均衡（将两企业的反应函数放在一起）
p1
∗ p2 ( p1 )
45o
p1∗ ( p2 )
p1N = MC
N
N p2 = MC
p2
均衡 : p 1N = p 2N = MC
• 如果P1 、P2 若都在垄断价格之上，则都没有市场，因为 价格太高，消费者无法接受，放弃消费，转移其他替代品 上。如果P1 、P2 都在MC之下，尽管两企业都得到市场， 但由于生产产品所获得利润为负，企业选择不生产来减少 损失。所以，两企业价格都定在MC和 PM 之间，出现了 双寡头垄断下的价格竞争。由于双方都想尽可能多的获得 更多的市场，就出现了降价来吸引消费者(因为产品同质， 信息完全)，消费者也总是购买价格更低的产品。如此轮 番降价，使得价格战形成最终，双方在MC成本处相交， 交点为均衡点，此时达到伯特兰均衡，停止价格战（因为 价格若在低于MC，利润都为负，生产都有会赔本）。
博弈论伯川德模型推导
博弈论伯川德模型推导1. 博弈论简介说到博弈论，大家可能会想：“这是什么高大上的东西？”其实，博弈论就是研究决策的科学，简单来说，就是在竞争和合作的场合下，怎么做决策才能赢得最多的利益。
想象一下，几个小伙伴在一起打麻将，每个人都想赢，得时刻考虑其他人可能的动作和反应，这就是博弈论的基本思路。
那今天咱们就聊聊伯川德模型，听起来有点复杂，但其实它就像是个有趣的游戏。
1.1 伯川德模型概述伯川德模型（BurkovDear model）是博弈论中的一个经典模型，主要用于分析参与者在重复博弈中的策略选择。
它的核心思想是，参与者会根据之前的结果来调整自己的策略。
比如说，你和朋友一起打扑克，如果你发现朋友总是先出一张高牌，那你下次就得琢磨琢磨怎么应对，是不是该出个小牌试试？通过不断观察和调整，最终找到对策，嘿，赢的机会就大大增加了。
1.2 模型的基本假设在这个模型里，有几个基本的假设。
首先，参与者都是理性的，意味着他们会根据自己的利益最大化来做出决策。
想想啊，谁会自愿跳进火坑呢？其次，信息是对称的，所有参与者都能获得相同的信息。
这就像是你和朋友们都在同一桌子上，大家都能看到牌，只是看谁出牌更聪明。
最后，参与者之间存在着策略的可重复性，换句话说，他们可以根据之前的结果调整自己的行为。
这就好比，玩游戏的时候，你总会总结经验，下次再也不犯同样的错误。
2. 模型的推导过程接下来，我们就要进入推导过程了。
乍一看，推导可能有点晦涩，但其实只要耐心点，慢慢来，就能明白其中的奥妙。
2.1 基本方程式在这个模型中，参与者的收益可以用一个简单的方程表示。
假设有两个参与者A 和B，他们的收益分别是R_A和R_B。
根据博弈的不同阶段，他们的收益可以通过计算对手的策略来得出。
比如说，如果A选择合作而B选择背叛，那么A的收益会减少，B 的收益则会增加。
就像是一个你死我活的游戏，谁都想在最后成为赢家。
2.2 策略选择当我们分析参与者的策略选择时，通常会用“纳什均衡”这个概念。
伯川德博弈的均衡推导过程
伯川德博弈的均衡推导过程1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊一个有趣的经济学概念——伯川德博弈。
听起来有点复杂，但其实没那么难懂。
咱们可以把它想象成两个小孩在争抢一个玩具，各自有自己的策略和目标。
想象一下，如果这俩小家伙不合作，结果可就有趣了！好了，准备好了吗？我们一起来深入探讨这个博弈的均衡推导过程。
2. 伯川德博弈的基本概念2.1 定义首先，伯川德博弈（Cournot competition）是由法国经济学家奥古斯丁·伯川（Augustin Cournot）提出的。
它主要讲的是在一个市场上，有多个企业在竞争，通过决定自己生产多少来影响价格。
简单来说，大家都是在摸着石头过河，看谁能在这个游戏中获得最大的收益。
2.2 博弈的参与者接下来，咱们要了解一下博弈的参与者。
想象一下，有两家冰淇淋店在一个小镇上，一个叫“甜蜜冰屋”，另一个叫“冰爽一夏”。
他们都想在夏天赚个盆满钵满，所以就得想办法在价格和产量上做文章。
两个店面就像两位棋手，时刻在计算着对方的下一步，谁也不想输。
3. 均衡推导的过程3.1 反应函数好的，话说回来，咱们怎么推导这个均衡呢？首先得从反应函数入手。
冰屋和冰爽的老板各自会根据对方的产量来决定自己的产量。
假如“甜蜜冰屋”看见“冰爽一夏”做了100个冰淇淋，那他就会想，哎呀，我要不要做得多一点呢？这里面就有个权衡，要考虑成本和收益。
于是，他们各自会形成一个反应函数，根据对方的决策调整自己的策略。
3.2 求解均衡然后，咱们就要通过这些反应函数来找均衡点。
这个过程就像在解一个谜题：我们把“甜蜜冰屋”和“冰爽一夏”的反应函数放在一起，解这个方程，最终找到一个能让他们俩都满意的产量。
这种状态就是纳什均衡，也就是说，任何一方在知道对方的产量情况下，没法通过改变自己的产量来获取更多的收益。
这就像你和朋友一起吃饭，大家都点了喜欢的菜，突然有一个人想换，结果发现其实换了没好处。
4. 均衡的意义4.1 市场表现那么，这个均衡又意味着什么呢？首先，它让市场达到了一种稳定状态，大家都不再盲目竞争，反而在默契中找到了平衡。
伯川德模型分析
p1
p2
MC
企业1 剩余价格P1 高于企业2的价格P2 时， 企业1 市场为0，而企业2 的市场为整个市场； • 2）P1 = P2 则平分 平分市场， 平分 各得一半市场； • 3）MC≤P1 <P2 则企业 虽然能够得到整个市场， 但利润为负，因此企业1 不会生产产品。
• 2、伯特兰均衡（将两企业的反应函数放在一起） 、伯特兰均衡（将两企业的反应函数放在一起）
p1
∗ p2 ( p1 )
45o
p1∗ ( p2 )
p1N = MC
N
N p2 = MC
p2
均衡 : p 1N = p 2N = MC
• 如果P1 、P2 若都在垄断价格之上，则都没有市场，因为 价格太高，消费者无法接受，放弃消费，转移其他替代品 上。如果P1 、P2 都在MC之下，尽管两企业都得到市场， 但由于生产产品所获得利润为负，企业选择不生产来减少 损失。所以，两企业价格都定在MC和 PM 之间，出现了 双寡头垄断下的价格竞争。由于双方都想尽可能多的获得 更多的市场，就出现了降价来吸引消费者(因为产品同质， 信息完全)，消费者也总是购买价格更低的产品。如此轮 番降价，使得价格战形成。最终，双方在MC成本处相交， 交点为均衡点，此时达到伯特兰均衡，停止价格战（因为 价格若在低于MC，利润都为负，生产都有会赔本）。
1、基本的伯特兰德模型（理论） 、基本的伯特兰德模型（理论）
• 假定市场需求曲线为线性，市场中仅有两 家企业，企业1和企业2，其成本结构相同； 产品同质；有完全信息市场，有限次的重 复博弈，并且假定一下规则：（1）消费者 总是从价格低的卖方购买，而对价格高的 需求为0，对价格极为敏感。（2）如果两 个企业都以相同的价格出卖产品，则两企 业各得市场的一半 。
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《预测》2000年第6期 ・理论与方法研究・ 收稿日期:2000-04-11对伯川德价格博弈的思考史剑新(天津大学管理学院,天律300072)摘 要:在不变边际成本的同质产品伯川德价格博弈中,通常认为唯一均衡结果是各个企业获得零利润的纯战略纳什均衡。
本文的研究表明,存在使企业获得正利润的混合战略纳什均衡,并给出了能够保证零利润伯川德博弈结果的条件。
此外,还存在一种E 均衡,使企业获得(相对于E 的)较高的正利润。
关键词:伯川德博弈;价格竞争;混合战略纳什均衡;E 均衡中图分类号:F 019.1∶F 224.32 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2000)06-0057-03A Supplement of Ber tr and Pr icing GameSHI J ia n -xin (School of Management ,Tianjin University,Tianjin 300072China )Abstr act :It's commonly viewed as t he only equilibrium outcom e that each fir m ear ns zer o pr ofit in t he homogeneous pr oduct Ber tr and game with constant m arginal cost .This pa per shows that ther e exist m ixed sr ategy equilibr ia satisfying that each fir m ca n ear n positive pr ofit s,as well as giving the condit ions t hat guarantee the zer o profit outcome .Besides ,this pa per shows an E -equilibr ia which m ake firms ear n lar ge pr ofits relative to E .Key wor ds :Bert rand game;pr icing competition;m ixed str ategy equilibr ium;E -equilibrium 1 引言当两个以不变边际成本生产同质产品的企业制定产品价格时,等于边际成本的价格是唯一的纳什均衡,这就是伯川德悖论[1]。
通常认为,在没有生产能力约束的条件下,不考虑固定成本,同质产品伯川德竞争将导致企业按边际成本制定产品价格并获得零利润。
为保证均衡的存在性和唯一性,伯川德悖论规定整个市场都购买价格最低的全部产品,但没有对需求加以限定。
伯川德悖论问题在于,它的证明过程简单地排除了正利润纯战略均衡,从而产生零利润均衡的存在性。
本文构造了一个例子,表明还存在能够使企业获得正的期望利润的混合战略均衡。
然后给出了只产生零利润均衡结果的条件。
最后指出,即使是在能够保证零利润纳什均衡结果的唯一性的很强的条件下,仍然可以获得正利润E 均衡支付。
这些E 均衡也是混合战略均衡。
2 一个正利润混合战略均衡在考虑市场需求的基础上,把伯川德博弈稍做扩展:n 个试图将利润最大化的企业以零边际成本生产同种产品;对任何一个有限的价格,市场需求总是1;产品价格最低的企业占领整个市场;价格相同时,各个企业以相同的机会占领整个市场(或者说,将市场平均分配);存在消费者能够承受的最高价格r ,超过此价格市场需求下降为零。
设需求函数[2]为:D (p)=p -A (p F r )0(p >r )其中,A ∈(12,1)。
设r 的分布密度为在[1,∞)上的帕累托分布g (r )=B /r B +1,则对应分布函数为G =1-r -B 。
给定前面的各种假设之后,企业将制定最低价格(低于r )以获取相应的垄断利润。
于是,在采用最低价格的条件下,i 的期望(垄断)利润为:P (p i )=[1-G (p i )]D (p i )p i =p 1-A -Bii 的支付函数为:P i (p 1,p 2,…,p n )=p 1-A -Bi(p i <p j ,i ≠j )1m p 1-A -Bi(i 与另外m -1个企业的价格相同,且都是最低价格)0(其他)命题1 设伯川德博弈支付如上式(A+B<1),则对于每个n>1和k∈(0,∞),存在一个对称的混合战略纳什均衡,使得每个企业的期望利润为k1-A-B。
通过构造如下概率分布即可得到这种均衡:F(p)=0(p F k11-A-B) 1-(kp)1-A-Bn-1(p>k11-A-B)上述命题表明,除了人们熟知的零利润纯战略均衡之外,还存在正利润纳什均衡。
3 伯川德博弈的一般模型伯川德悖论认为,同质产品条件下价格竞争将产生唯一的纯战略纳什均衡。
命题1与之相矛盾。
这说明需要进一步分析伯川德悖论结果的存在性和唯一性的条件。
伯川德竞争是以获得垄断利润为“赢者赢得全部”的竞争。
不失一般性,考虑在一个市场中,有集合为N={1,2,…,n}(n>1)的企业提供同质产品。
用P (p)表示一个垄断者以价格p∈P A[0,∞)获得的经营利润函数(未剔除固定成本)。
设P为连通集,f∈[0,∞)为固定成本。
因为博弈是对称的,所以所有企业有相同的战略空间P,伯川德博弈的战略空间为P n。
每个企业通过选择一个价格p i∈P,价格最低者获胜。
当存在相同的最低价格时,认为将市场在选择相同最低价格的企业之间平均分配。
于是,如果(p1, p2,…,p n)∈P n是n个企业的价格,则企业i的利润为:P i(p1,p2,…,p n)=P(p i)-f(p i<p j,i≠j)1 m P(p i)-f(i与另外m-1个企业有相同的最低价格)-f(其他)令0=(P1,P2,…,P n)为支付函数向量,则同质产品伯川德博弈可以用#(N,P n,0)表示。
令L表示P上的全部概率测度的集合,L n表示所有这类测度的n元组的集合。
对于价格概率分布函数F∈L,令S F表示F的支撑集。
这样,如果给定对手的混合战略矢量F*-i,i采用F*i的混合战略将得到不少于比采用任何其他混合战略F*i∈L所得的期望利润,则(F*1,F*2,…,F*n)∈L n是一个混合战略纳什均衡;即,E P i(F*i,F*-i)F P i(F*i,F*-i) (i∈N)如果SF*i对所有i∈N是单元素集合,则(F*1, F*2,…,F*n)包含了一个纯战略纳什均衡。
定义1 (伯川德悖论均衡概念的扩展)令#为一个同质产品的伯川德博弈。
满足下列条件的(F*1,F*2,…,F*n)∈L n是一个伯川德悖论均衡:(1)(F*1,F*2,…,F*n)是#的一个纳什均衡;(2)E P i(F*1,F*2,…,F*n)=-f对所有的i∈N 成立。
这个定义将伯川德价格竞争导致零利润的概念一般化(考虑了固定成本f)。
这种均衡情况下,削价竞争使得企业经营利润变为零,不能弥补其固定成本f。
原始的伯川德悖论只是将价格概率质量全部分布在不变边际成本c(即S F*1=S F*2={c})上且固定成本f=0情况下的特例。
4 关于伯川德均衡的几个命题定义2 如果存在一个价格p0∈P满足:对于所有的p∈P,p<p0意味着P(p)F P(p0)=0则称p0为初始收支平衡价格。
命题2 (伯川德悖论均衡存在性)当且仅当p0存在时,博弈#的伯川德悖论均衡存在。
这样,当p0存在时,如果每个企业的价格均为p0,则没有企业能够通过削价来获利。
命题2表明,任意具有伯川德悖论均衡的同质产品伯川德博弈在纯战略上至少有一个均衡。
然而,由第一部分的例子可以看出,伯川德悖论均衡的存在不足以排除企业能够获得正利润均衡的可能性。
命题3 (正利润均衡存在性)#为同质产品伯川德博弈。
如果垄断经营利润P(・)满足:(1)存在一个p*∈P使得P(p*)E0,且对于所有的p∈P,p<p*意味着P(p)F P(p*);(2)P(・)在[p*,p-)A P上严格增加;(3)limp→p-P(p)→∞。
则在#的一个纳什均衡中每个企业可能取得任意经营利润k∈[P(p*),∞)。
命题2和命题3表明:在同质产品伯川德博弈中,出现伯川德悖论均衡并不能排除正利润均衡,不出现伯川德悖论均衡也并不意味着正利润均衡不存在。
因此,还需找出那些使得一个给定的同质产品伯川德博弈中的每个纳什均衡都是伯川德悖论均衡的条件。
命题4 (伯川德悖论结果的唯一性)#为一个同质产品伯川德博弈。
如果#满足:(1)定义2中的p0存在;(2)P(p)有上界;(3)P(p)下半连续。
则#的每个纳什均衡都是伯川德悖论均衡。
命题4的含义是,如果状态空间是紧的和凸的,且垄断利润连续并且p0存在,则唯一的纳什均衡结果将与伯川德悖论结果一致。
5 正利润E均衡E均衡是Radner首先提出的一个概念,指的是这样一种均衡状态:没有参与人能够通过单方面的偏离而获得额外的超过E(E>0)的支付。
尽管命题4给出的弱条件保证了伯川德悖论结果,一组(更严格的)标准条件也可以保证伯川德悖论结果。
而且,在这些条件下,仍然存在能令企业获得高额(相对于E)利润的E均衡。
命题5 令#为满足如下条件的同质产品伯川德博弈:(1)P是R的一个紧子集;(2)定义2中的p0存在;(3)P(p)连续且在P上严格增加,maxp∈PP(p)≡P M >0。
对于每个E∈0,nn-1n-12-n P M,存在J(E)>E,J(E)满足:在#E以获得任意的k∈[0,J(E)]的期望利润。
考虑每个企业可以获得的最大经营利润J(E)。
命题5保证了一个有限的垄断价格p M和有界的垄断经营利润P M≡P(p M)。
因为P(・)严格增加,所以可以构造一个在半开半闭区间[P-1(H-),p M)上的概率分布,其余的概率质量分布在p M上。
构造一个对称的具有如下性质的E均衡战略:当价格低于P-1(H-)时,每个企业的期望经营利润低于H-,而当价格在[P-1(H-,p M)内时每个企业的期望经营利润正好为H-。
当所有企业制定的产品价格均为p M时,期望经营利润为1nH-。
对于给定的E,可以获得期望经营利润为J(E)>E。
通过构造,把质量从p M转移从而单方面偏离指定的E均衡的企业至多获得大小为E的额外的期望经营利润。
因为在一个给定的E均衡中每个企业可以得到的最大经营利润为J(E),所以比较一下E和J(E)数量级是很有意义的。
假设两个企业(n=2)以同质产品伯川德博弈方式竞争时,都采用能够产生最大E均衡利润k=J(E)的战略。