2019年全国III卷文科数学高考真题及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．56．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16B ．8C ．4D ．27．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，ae ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a =e ，b =–1B ．a =e ，b =1C ．a =e –1，b =1D ．a =e –1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________.14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（12分）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 19．（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2， ∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.20．（12分）已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 21．（12分）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． （二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标.23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题 1．A2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．C10．B11．A12．C二、填空题 13．14．100 15． 16．118.8三、解答题17．解：（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知ABC △的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是33,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 19．解：（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM ⊥CG ．在Rt △DEM 中，DE =1，EM =3，故DM =2． 所以四边形ACGD 的面积为4．20．解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭． 当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-． 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．22．解：（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-. 所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭. 23．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，13y =-，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．。
2019年高考文科数学全国卷Ⅲ真题文数(附参考答案和详解)
11.（2019全国卷Ⅲ·文）记不等式组 表示的平面区域为 ．命题 ： ， ；命题 ： ， ．下面给出了四个命题：① ② ③ ④
这四个命题中，所有真命题的编号是（）
A.①③B.①②C.②③D.③④
【解析】记 表示的平面区域为 ．在图形可行域范围内可知：
命题 ， ；是真命题，则 假命题；
命题 ， ．是假命题，则 真命题；
1.（2019全国卷Ⅲ·文）已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【解析】因为 ，又 ，所以 .故选A.
【答案】A
2.（2019全国卷Ⅲ·文）若 ，则 （）
A. B. C. D.
【解析】由 ，得 .故选D
【答案】D
3.（2019全国卷Ⅲ·文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）
所以 ， ，
所以 .
连接BD，BE，
因为点N是正方形ABCD的中心，所以点N在BD上，且 ，
所以BM，EN是 的中位线，
所以BM，EN必相交.故选B.
【答案】B
9.（2019全国卷Ⅲ·文）执行如图的程序框图，如果输入的 为 ，则输出 的值等于（）
A. B. C. D.
【解析】 ，
不成立；
不成立；
不成立；
由题设知 ，
解得 或 ．
【解析】由题知，挖去的四棱锥的是一个菱形，对角线长分别是6cm和4cm，
故 .
又 ，
所以模型的体积为
，
所以制作该模型所需原料的质量为 .
【答案】
三、解答题：本题共70分。
17.（2019全国卷Ⅲ·文）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 只小鼠随机分成A，B两组，每组 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
2019年高考试题全国卷III文科数学附答案详解
2019年高考试题全国卷III 文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则AB =A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2答案：A解析：}11|{≤≤-=x x B 则}1,0,1{-=⋂B A ,故选A 2．若(1i)2i z +=，则z =A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i答案：D 解析：1222)1)(1()1(212+=+=-+-=+=i ii i i i i i z 故选D 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12答案：D解析：两位男生和两位女生排成一列,共有44A 种站法,其中两位女生相邻的站法共有3322A A 种，所以两位女生相邻的概率是21123412312443322=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A A 。
故答案选D 4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8解析：7.0100)6080(90=--故选C5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：)cos 1(sin 2cos sin 2sin 22sin sin 2)(x x x x x x x x f -=-=-=，]2,0[π∈x 由0)(=x f 得0sin =x 或1cos =xππ2,,0=∴x ，所以函数)(x f 在]2,0[π上的零点由3个。
【数学】2019年高考真题——全国Ⅲ卷(文)(word版含答案).docx
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ 卷）文科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A{ 1,0,1,2}，B { x x21} ，则 A B（）A ．1,0,1B ．0,1C．1,1D．0,1,2 2．若z(1 i)2i，则 z=（）A ．1 iB ．1+i C．1i D．1+i 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）1B ．11D．1A ．4C．2634．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A ． 0.5B ．0.6C． 0.7D．0.85．函数f ( x)2sinx sin2 x 在[0，2π]的零点个数为（）A ． 2B ．3C． 4D． 56．已知各项均为正数的等比数列{ a n} 的前 4项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=（）A ． 16 B ． 8C． 4D． 27．已知曲线y ae x x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A ． a= e， b=-1B ．a= e， b=1-1，b=1 D a= e-11 C． a= e．，b8．如图，点 N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面 ABCD ，M 是线段 ED 的中点，则（）A ． BM=EN ，且直线 BM 、 EN 是相交直线B ． BM ≠EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线C ． BM =EN ，且直线 BM 、 EN 是异面直线D ． BM ≠EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出 s 的值等于（）0.011 B. 1 1 1 A. 22C. 2D. 22425262710．已知 F 是双曲线 C ：x 2y 2 1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 OP = OF ，45则 △OPF 的面积为（）3 B ．5 7 9 A ．2C ．D ．222x y ⋯6,表示的平面区域为D.命题 p : (x, y) D ,2 x y ⋯9 ；命题11．记不等式组2x y 0q : ( x, y) D ,2 x y, 12 .下面给出了四个命题① p q②p q③ p q④p q 这四个命题中，所有真命题的编号是（）A ．①③B ．①②C．②③ D ．③④12．设f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则（）132A ．f（ log3）＞ f （22）＞ f （23）4123B．f（ log3）＞ f （23）＞ f （22 ）4C．f（2 D．f（23223）＞ f （2）＞ f （223321）＞ f （log3）1）＞ f （log3）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|1B x x =≤，则A B =（ ）A.{1,0,1}-B.{}0,1C.{1,1}-D.{}0,1,22.若(1)2z i i +=，则z =（ ）A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A.16 B.14 C.13 D.124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A.,1a e b ==-B.,1a e b ==C.1,1a e b -==D.1,1a e b -==-8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A.BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（ ） A.4122-B.5122- C.6122- D.7122- 10.已知F 是双曲线22145x y C -=：的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若OP OF =，则OPF △的面积为（ ） A.32 B.52 C.72 D.9211.记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),2p x y D x y ∃∈+≥，命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤.下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A.①③B.①②C.②③D.③④12.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在0,+∞（）单调递减，则（ ） A.233231(log )(2)(2)4f f f -->> B.233231(log )(2)(2)4f f f -->> C.233231(2)(2)(log )4f f f -->> D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos ,a b <>=_____________.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35a =，713a =，则10S =_____________.15.设12F F ,为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为______________.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E F G H ,,,分别为所在棱的中点，6AB BC cm==，14AA cm =.3D 打印所用的材料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【全国Ⅲ卷】(精校版)2019年高等学校招生全国统一考试文数试题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3． 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．124． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85． 函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2]π的零点个数A ．2B ．3C ．4D ．56． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．27．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组62x y x y +⎧⎨-⎩，≥≥0表示的平面区域为D ．命题p ：(,)29x y D x y ∃∈+，≥；命题q ：(,)212x y D x y ∀∈+，≤．下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3． 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．124． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85． 函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2]π的零点个数A ．2B ．3C ．4D ．56． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．27．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为 A ．32 B ．52C ．72D ．9211．记不等式组62x y x y +⎧⎨-⎩，≥≥0表示的平面区域为D ．命题p ：(,)29x y D x y ∃∈+，≥；命题q ：(,)212x y D x y ∀∈+，≤．下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】
【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=()A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1}D.{0,1,2}2. 若z(1+i)=2i，则z=()A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.1 6B.14C.13D.124. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.85. 函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.56. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= ()A.16B.8C.4D.27. 已知曲线y=ae x+xlnx在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A.a=e,b=−1B.a=e,b=1C.a=e−1,b=1D.a=e−1,b=−18. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A.BM=EN，且直线BM, EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM, EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM, EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM, EN是异面直线9. 执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于()A.2−124B.2−125C.2−126D.2−12710. 已知F是双曲线C:x24−y25=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|= |OF|，则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.9211. 记不等式组{x+y≥6,2x−y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9；命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②¬p∨q③p∧¬q④¬p∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④12. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则()A.f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B.f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C.f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D.f(2−23)>f(2−32)>f(log314)二、填空题已知向量a→=(2,2)，b→=(−8,6),则cos<a→,b→>=________.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=5,a7=13，则S10=________.设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.三、解答题为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服用甲离子溶液，B组小鼠给服用乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同，经过一段时间后，用某种科学方法测算出残留在小鼠体内的离子百分比，根据试验数据分析得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE= BF=2,∠FBC=60∘,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积.已知函数f(x)=2x3−ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围.已知曲线C:y=x22,D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B.(1)证明：直线AB过定点;(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.如图，在极坐标系Ox中，A(2, 0),B(√2, π4),C(√2, 3π4),D(2, π)，弧AB^，BC^,CD^所在圆的圆心分别是(1, 0)，(1, π2)，(1, π)，曲线M1是弧AB^，曲线M2是弧BC^，曲线M3是弧CD^.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1,M2,M3构成，若点P在M上，且|OP|=√3，求P的极坐标.设x,y,z∈R，且x+y+z=1.(1)求(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13成立，证明：a≤−3或a≥−1.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为B={x|x2≤1}，所以B={x|−1≤x≤1}，又因为A={−1,0,1,2}，所以A∩B={−1,0,1}.故选A.2.【答案】D【考点】复数的运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：由z(1+i)=2i得，z=2i 1+i=2i(1−i) (1+i)(1−i)=1+i.故选D.3.【答案】D【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，两位男同学和两位女同学随机排成一列，共有A44=4×3×2×1=24种方式，两位女同学相邻有2×A33=2×3×2×1=12种方式，所以两位女同学相邻的概率是1224=12,故选D.4.【答案】C【考点】容斥原理古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：分析如图，∴70100=0.7.故选C.5.【答案】B【考点】二倍角的正弦公式函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcosx=2sinx(1−cosx),令f(x)=0,因为x在区间[0,2π]内，所以当sinx=0时，x可以取0，π，2π,当1−cosx=0时，x取0，2π,综上可得零点有3个.故选B.6.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：由a5=3a3+4a1以及等比数列的基本性质，得q4−3q2−4=0，解得q2=4，又各项均为正数的等比数列，故q=2.根据S4=a1+a2+a3+a4=15，解得a1=1，故a3=a1q2=4.故选C.7.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，y′=ae x+lnx+1，所以ae+1=2，解得，a=e−1，又2+b=ae,所以b=−1,故选D. 8.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：建立如图所示坐标系，连接BE，BD，设四边形ABCD边长为2，由图可知，B(0,2,0), E(1,0,√3), N(1,1,0), M(32,0,√32)，所以|BM→|=√(32−0)2+(0−2)2+(√32−0)2=√94+4+34=√7，|EN→|=√(1−1)2+(1−0)2+(0−√3)2=√0+1+3=2，∴ EN≠BM，∴BM→=(32,−2,√32),BN→=(1,−1,0),BE→=(1,−2,√3).∵BM→=12BE→+BN→，由平面向量基本定理可知，点B , M , E ，N四点共面，∴BM与EN相交.故选B.9.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：模拟执行程序，可得：x=1,s=0，不满足条件x<ε，执行循环体，x=12,s=1；不满足条件x<ε，执行循环体，x=14,s=1+12；不满足条件x<ε，执行循环体，x=18,s=1+12+14；不满足条件x<ε，执行循环体，x=116,s=1+12+14+18；不满足条件x<ε，执行循环体，x=132,s=1+12+14+18+116；不满足条件x<ε，执行循环体，x=164,s=1+12+14+18+116+132；不满足条件x<ε，执行循环体，x=1128,s=1+12+14+18+116+132+164；满足条件x<ε，退出循环，输出s=1+12+14+18+116+132+164=1×(1−127)1−12=2−12.故选C.10.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，c=3,因为点P在双曲线C上，所以可设P(−√20+4y25, y)，因为|OP|=|OF|，所以(−√20+4y25)2+y2=32，解得，|y|=53，所以△OPF的面积为=12×3×53=52，故选B.11.【答案】A【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可作出可行域D，如图所示，可求得交点坐标为(2, 4),而2x+y≥9经过可行域，故命题p为真命题，而2x+y≤12经过可行域但并不是所有点都满足条件，故命题q为假命题，①p∨q为真命题；¬p为假命题，故②¬p∨q为假命题；¬q为真命题，故③p∧¬q为真命题；④¬p∧¬q为假命题，故为真命题的是①③，故选A.12.【答案】C【考点】指数函数与对数函数的关系偶函数函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由偶函数的性质得，f (log 314)=f (−log 34)=f (log 34),又∵ log 34>1,1>2−23>2−32>0, ∴ log 34>2−23>2−32>0,∵ f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∴ f (2−32)>f (2−23)>f (log 314). 故选C .二、填空题【答案】−√210【考点】平面向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得， cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−√210.故答案为：−√210.【答案】100【考点】等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据等差数列的基本性质，由a 3=5,a 7=13，可得a 1=1,d =2, 由S n =na 1+n(n−1)2d,n ∈N ∗,可得S 10=100,故答案为：100.【答案】(3, √15)【考点】椭圆中的平面几何问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，F 1(−4, 0),F 2(4, 0), M 为C 上一点且在第一象限， 所以可设M(t, √180−5t 29)(t >0),又因为△MF 1F 2为等腰三角形， 所以|MF 1|=|F 1F 2|， 所以(t +4)2+180−5t 29=64，解得，t =3或t =−21(舍去), 所以M 的坐标为(3, √15). 故答案为：(3, √15). 【答案】 118.8【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，挖去的四棱锥的底面GHEF 是一个菱形， 面积S =12HF ×GE =12cm 2，所以四棱锥的体积V =13Sℎ=13×12×3=12cm 3，所以该模型的体积为V 剩余=6×6×4−12=132cm 3，又因为原料密度为0.9gcm 3，所以该模型所用原料质量为132×0.9=118.8g . 故答案为：118.8. 三、解答题【答案】解：(1)由已知得：0.70=a +0.20+0.15， 故a =0.35，所以b=1−0.05−0.15−0.70=0.10.故a=0.35,b=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知得：0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35，所以b=1−0.05−0.15−0.70=0.10.故a=0.35,b=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC=sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】三角恒等变换综合应用正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinA sinC=sin(120∘−C)sinC=√32tanC +12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘,0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32,因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).【答案】(1)证明：由已知得AD//BE,CG//BE，所以AD//CG，故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四点共面，由已知得AB⊥BE,AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE,又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连结EM,DM,如图所示，因为AB//DE,AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60∘,得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM,因此DM⊥CG在Rt△DEM中，DE=1,EM=√3，故DM=2,所以四边形ACGD的面积为4.【考点】直线与平面垂直平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知得AD//BE,CG//BE，所以AD//CG，故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四点共面，由已知得AB⊥BE,AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE,又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连结EM,DM,如图所示，因为AB//DE,AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60∘,得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM,因此DM⊥CG，在Rt△DEM中，DE=1,EM=√3，故DM=2,所以四边形ACGD的面积为4.【答案】解：(1)f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)令f′(x)=0,得x=0或x=a3,若a >0，当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0， 当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减， 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+2， 最大值为f(0)=2或f(1)=4−a ，于是 m =−a 327+2,M ={4−a,0<a <22,2≤a <3，所以M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3，当0<a <2时，可知2−a +a 327单调递减,所以M −m 的取值范围是(827,2), 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M −m 的取值范围是[827,1), 综上，M −m 的取值范围是[827,2).【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a) 令f ′(x)=0,得x =0或x =a3,若a >0，当x ∈(−∞,0)∪(a 3,+∞)时，f ′(x)>0， 当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减， 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增， 所以f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4−a ，于是 m =−a 327+2,M ={4−a,0<a <22,2≤a <3，所以M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3，当0<a <2时，可知2−a +a 327单调递减,所以M −m 的取值范围是(827,2), 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M −m 的取值范围是[827,1), 综上，M −m 的取值范围是[827,2).【答案】(1)证明：设D(t,−12), A(x 1,y 1),则x 12=2y 1,由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1， 整理得2tx 1−2y 1+1=0，设B(x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0， 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0, 所以直线AB 过定点(0,12).(2)解：由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12, 由{y =tx +12,y =x 22可得x 2−2tx −1=0, 于是x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1, 设M 为线段AB 的中点，则M(t,t 2+12),由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0,解得t =0或t =±1, 当t =0时，|EM →|=2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4;当t =±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2.【考点】直线恒过定点利用导数研究曲线上某点切线方程 平行向量的性质 点与圆的位置关系 中点坐标公式 斜率的计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：设D(t,−12), A(x 1,y 1),则x 12=2y 1,由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1， 整理得2tx 1−2y 1+1=0，设B(x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0， 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0, 所以直线AB 过定点(0,12).(2)解：由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12, 由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0, 于是x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1, 设M 为线段AB 的中点，则M(t,t 2+12),由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0,解得t =0或t =±1,当t =0时，|EM →|=2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4; 当t =±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2.【答案】解：(1)由题设可得，弧AB^,BC ^,CD ^所在圆的极坐标方程分别为 ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=−2cosθ.所以M 1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4)， M 2的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cosθ(3π4≤θ≤π). (2)设P(ρ, θ),由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cosθ=√3，解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sinθ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cosθ=√3，解得θ=5π6.综上，P的极坐标为(√3,π6)或(√3, π3)或(√3, 2π3)或(√3, 5π6).【考点】圆的极坐标方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设可得，弧AB^,BC^,CD^所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=−2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4)，M2的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤3π4)，M3的极坐标方程为ρ=−2cosθ(3π4≤θ≤π).(2)设P(ρ, θ),由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cosθ=√3，解得θ=π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cosθ=√3，解得θ=5π6.综上，P的极坐标为(√3,π6)或(√3, π3)或(√3, 2π3)或(√3, 5π6).【答案】(1)解：由于[(x−1)+(y+1)+(z+1)]2=(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x−1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x −1)]≤3[(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2]故由已知得(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53, y=−13, z=−13时等号成立，所以(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)由于[(x−2)+(y−1)+(z−a)]2=(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2+2[(x−2)(y−1)+(y−1)(z−a)+(z−a)(x −2)]≤3[(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2]故由已知得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4−a3,y=1−a3,z=2a−23时等号成立，因此(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤−3或a≥−1.【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由于[(x−1)+(y+1)+(z+1)]2=(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x−1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x −1)]≤3[(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2]故由已知得(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53, y=−13, z=−13时等号成立，所以(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)由于[(x−2)+(y−1)+(z−a)]2=(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2+2[(x−2)(y−1)+(y−1)(z−a)+(z−a)(x −2)]≤3[(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2]故由已知得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4−a3,y=1−a3,z=2a−23时等号成立，因此(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤−3或a≥−1.。
2019年全国III卷高考数学(文科)试题(带答案)
A
因此DM.LCG.
在Rt6.DEM中 ， DE=l. EM＝石 ，故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
20. (12分）
已知函数／（x)=2x'-ax'+2 .
( 1 )讨论／（x）的单调性；
(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m， 求M-m的取伯范围
解：
(I) f'(x)=6x1 -2ax=2x(3x-a).
l烦率／组距
03. 0•········-·····-·········
�::;�ti::::1· .
0.05
频率／纠距
罚i1··:······
00. 51········
芦Lt 0 2,5 3,5 4.5 5.5 6 5 7.5
甲离子残衔百分比n方图
乙离子残钳Li分比五方图
记C为水件： ＂乙离千残留在体内的百分比不低千55. ",根据直方图得到P(C )的估计值为0.70
(I)求乙离子残衍百分比直方图中a, b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残衍百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ．
一2 —
蛁：
(I)山已知得0.70=a+0.20+0.15 ,故
a=0.35 .
b=1-0.0 S-O.IS -0.70 =0.IO
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
B.
/(log，
一I4）汀(2-,' ）汀
＿2 (2勺
-－2
－ －,
l
D. /(2 1)>/(2')>/(log) 一4）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
(精校版)2019年全国卷Ⅲ文数高考真题文档版(含答案)
1 26
D.
2
1 27
10．已知 F 是双曲线 C： x2 y2 1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 OP = OF ，则 △OPF 45
的面积为
3
A．
2
5
B．
2
7
C．
2
9
D．
2
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D．0.8
5．函数 f (x) 2sinx sin2x 在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=
A．16
B．8
C．4
D．2
7．已知曲线 y aex x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
f
1
（log3
）
4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a (2, 2), b (8, 6) ，则 cos a, b ___________.
14．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a3 5, a7 13 ，则 S10 ___________.
A．a=e，b=–1
B．a=e，b=1
C．a=e–1，b=1
D．a=e–1， b 1
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2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)-解析版
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x = ，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==- ，所以{1A B =- ，0，1}，故选：A ．2．若(1)2z i i +=，则(z =)A ．1i--B ．1i -+C ．1i -D ．1i+【解答】解：由(1)2z i i +=，得22(1)12i i i z i -==+1i =+．故选：D ．3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A ．16B ．14C ．13D ．12【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有323212A A =种排法，再所有的4个人全排列有：4424A =种排法，利用古典概型求概率原理得：121242p ==，故选：D ．4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出韦恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100=．故选：C ．5．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为()A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数，即：2sin sin 20x x -=在区间[0，2]π的根个数，即2sin sin 2x x =，令左右为新函数()h x 和()g x ，()2sin h x x =和()sin 2g x x =，作图求两函数在区间[0，2]π的图象可知：()2sin h x x =和()sin 2g x x =，在区间[0，2]π的图象的交点个数为3个．故选：B ．6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a =)A ．16B ．8C ．4D ．2【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选：C ．7．已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【解答】解：x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++，由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-，故选：D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线【解答】解： 点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=，62BM a ∴=，223144EN a a a =+=，BM EN ∴≠，故选：B ．9．执行如图所示的程序框图，如果输入ò为0.01，则输出的s 值等于()A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-【解答】解：第一次执行循环体后，1s =，12x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，112s =+，212x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，211122s =++，312x =，不满足退出循环的条件0.01x <；⋯由于610.012>，而710.012<，可得：当261111222s =++++⋯，712x =，此时，满足退出循环的条件0.01x <，输出2661111122222s =+++⋯=-．故选：C ．10．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92【解答】解：如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =，则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得P ，5)3．5sin 9POF ∴∠=．则15533292OPF S ∆=⨯⨯⨯=．故选：B ．11．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩ 表示的平面区域为D ．命题:(,)p x y D ∃∈，29x y + ；命题:(,)q x y D ∀∈，212x y + ．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是()A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【解答】解：作出等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩的平面区域为D ．在图形可行域范围内可知：命题:(,)p x y D ∃∈，29x y + ；是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，212x y + ．是假命题，则q ⌝真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p q ∨真；②p q ⌝∨假；③p q ∧⌝真；④p q ⌝∧⌝假；故答案①③真，正确．故选：A ．12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则()A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log (2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【解答】解：()f x 是定义域为R 的偶函数∴331(log )(log 4)4f f =，33log 4log 31>= ，2303202221--<<<<=，23323022log 4--∴<<<()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴233231(2)(2)()4f f f log -->>，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。