平顶山市2019-2020学年高二上学期数学(理)期末考试卷附答案详析
平顶山市2019-2020学年高二上学期期末考数学（理）试卷一、单选题1．已知命题p :(1,1)x ∀∈-，21x <，则p ⌝为（）A ．(1,1)x ∀∈-，21x ≥B ．0(1,1)x ∃∈-，201x ≥C ．(][)0,11,x ∃∈-∞-+∞ ，201x ≥D ．(][),11,x ∀∈-∞-+∞ ，21x ≥2．已知0a >，设p :3a x a -≤≤；q :16x -<<.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．[]1,2C ．(0,1)D ．(]0,13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a =，520S =，则公差d =（）A ．-8B ．-4C ．4D ．84．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线方程为0x y -=，则该双曲线的离心率为（）A ．52B ．2C ．2D ．45．已知实数x ，y 满足20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．不等式265x x+≤的解集是（）A ．[]2,3、B ．(][),16,-∞-⋃+∞C ．()[],02,3-∞ D ．()()0,23,+∞ 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（）A ．(1,1,3)-B ．(1,1,3)--C ．(2,3,6)-D ．(2,3,6)--8．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40︒的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20︒方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（）A ．17海里B ．16海里C ．15海里D ．14海里9．已知抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，且3||2pPF =，则cos PFx ∠=（）A ．12B ．32C ．13D ．3310．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD = ，则AE CF ⋅= （）A ．1324-B ．12-C ．12D ．132411．已知递增数列{}n a 中，11a =，且1211n n n a a a +=+-+(*n N ∈)，则20a =（）A ．360B ．362C ．364D ．36612．在直角坐标平面内，已知(1,0)A -，(1,0)B 以及动点C 是ABC ∆的三个顶点，且sin sin cos 0A B C +=，则动点C 的轨迹Γ的离心率是（）A ．3B ．2C ．32D ．22二、填空题13．椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且345,2,+a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5项和5S =______.15．已知x ，y 均为正实数，且满足1131x y xy++=，则x y +的最小值为______.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22(sin cos )10a a B B -++=，2b =，则ABC ∆的面积为______.三、解答题17．已知p :方程2222mx y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆.；q :不等式2210mx x +->有解.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18．已知抛物线C :22y px =(0p >)的准线过双曲线2211x ya a-=-(01a <<)的左焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设抛物线C 的焦点为F ，直线l :2y x =-与C 交于不同的两点A ，B ，求11||||FA FB +的值.19．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且13a =，11b =，3428b S +=，4222a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2B =-.（1）若sin sin 2sin b B a A c C -=，求ac的值.；（2）若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值.21．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，BC PB ⊥，且1AB BC PA ===，3PC =.（1）证明:平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点E 为PC 的中点，求二面角A BE C --的大小.22．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为32，设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O到直线l 的距离为255.（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析平顶山市2019-2020学年高二上学期期末考数学（理）试卷一、单选题1．已知命题p :(1,1)x ∀∈-，21x <，则p ⌝为（）A ．(1,1)x ∀∈-，21x ≥B ．0(1,1)x ∃∈-，201x ≥C ．(][)0,11,x ∃∈-∞-+∞ ，201x ≥D ．(][),11,x ∀∈-∞-+∞ ，21x ≥【答案】B【解析】由全称命题的否定为特称命题求解即可.【详解】解：因为命题p :(1,1)x ∀∈-，21x <，则p ⌝为0(1,1)x ∃∈-，201x ≥，故选：B.【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.2．已知0a >，设p :3a x a -≤≤；q :16x -<<.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．[]1,2C ．(0,1)D ．(]0,1【答案】C【解析】利用集合间的包含关系，即条件p 对应的集合为条件q 对应的集合的真子集，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以条件p 对应的集合为条件q 对应的集合的真子集.所以需1,36,0.a a a ->-⎧⎪<⎨⎪>⎩解得01a <<.故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的包含关系.3．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a =，520S =，则公差d =（）A ．-8B ．-4C ．4D ．8【答案】A【解析】利用520S =可求得3a ，再根据等差数列中的任意两项，即可求得公差.【详解】由题意得53520S a ==，所以34a =，所以公差324128d a a =-=-=-.故选：A.【点睛】本题考查等差数列中基本量法运算、公差d 的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线方程为0x y -=，则该双曲线的离心率为（）A ．52B ．2C ．2D ．4【答案】B【解析】先由双曲线渐近线方程求得a b =，再结合双曲线离心率2222a b e a+=求解即可.【详解】解：由双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)的一条渐近线方程为0x y -=可得a b =，则2222222222c a b a e a a a+====，所以2e =.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.5．已知实数x ，y 满足20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数2z x y =+的几何意义求解即可.【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由目标函数2z x y =+的几何意义，平移直线20x y +=至点(0,2)时，2z x y =+取得最大值，所以max 0224z =+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，重点考查了作图能力，属中档题.6．不等式265x x+≤的解集是（）A ．[]2,3B ．(][),16,-∞-⋃+∞C ．()[],02,3-∞ D ．()()0,23,+∞ 【答案】C【解析】分别讨论当0x >时，当0x <时，结合二次不等式的解法求解即可.【详解】解：当0x >时，不等式265x x +≤可化为2560x x -+≤，解得23x ≤≤；当0x <时，不等式265x x+≤可化为2560x x -+≥，此时，解得0x <.所以原不等式的解集为(,0)[2,3]-∞ .故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（）A ．(1,1,3)-B ．(1,1,3)--C ．(2,3,6)-D ．(2,3,6)--【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，求出,AE EF ，令00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即可得答案.【详解】设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为(),,n x y z =.则(1,0,0)A ，11,1,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,1,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,1,3AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11,0,3EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即10,310.3y z x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x =，则1y =-，3z =，故(1,1,3)n =-.故选：A.【点睛】本题考查空间中平面法向量的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.8．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40︒的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20︒方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（）A ．17海里B ．16海里C ．15海里D ．14海里【答案】D【解析】先阅读题意，再在CAB ∆中利用余弦定理求解即可.【详解】解：记轮船行驶到某处的位置为A ，灯塔的位置为B ，20分钟后轮船的位置为C ，如图所示.则10AB =，6AC =，120CAB ∠=︒，所以222110621061962BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以14BC =，即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了解斜三角形，属中档题.9．已知抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，且3||2pPF =，则cos PFx ∠=（）A ．12B ．32C ．13D ．33【答案】C【解析】由抛物线的定义可得3||2p PF =，则有1cos sin 3PFx PFE ∠=∠=，得解.【详解】解：过P 作准线的垂线，交准线于D ，过F 作PD 的垂线，交PD 于E ，依题得||2p PE =，3||2pPF =，因为12sin 332pPFE p ∠==，所以1cos sin 3PFx PFE ∠=∠=.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的几何性质，属基础题.10．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD = ，则AE CF ⋅= （）A ．1324-B ．12-C ．12D ．1324【答案】A【解析】设AB a = ，AC b =，AD c =uuu r r，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案.【详解】设AB a = ，AC b =，AD c =uuu r r，由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+ ，14CF c b =-，则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅- 11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-.故选：A.【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.11．已知递增数列{}n a 中，11a =，且1211n n n a a a +=+-+(*n N ∈)，则20a =（）A ．360B ．362C ．364D ．366【答案】B【解析】根据递推关系1211n n n a a a +=+-+可得1111n n a a +-=-+，从而证明数列{}1n a -是以110a -=为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式，即可得答案.【详解】由1211n n n a a a +=+-+，得111211n n n a a a +-=-+-+.因为数列{}n a 是递增数列，且11a =，所以得()()221111n n a a +-=-+，所以1111n n a a +-=-+，即1111n n a a +---=.所以数列{}1n a -是以110a -=为首项，1为公差的等差数列.所以10(1)n a n -=+-，即222n a n n =-+，所以220202202362a =-⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查利用数列的递推关系求数列通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的变形.12．在直角坐标平面内，已知(1,0)A -，(1,0)B 以及动点C 是ABC ∆的三个顶点，且sin sin cos 0A B C +=，则动点C 的轨迹Γ的离心率是（）A ．3B ．2C ．32D ．22【答案】D【解析】利用两角和的余弦公式将条件化成12AC BC k k ⋅=-，设点(,)C x y 代入斜率公式，求得轨迹Γ的方程，再利用离心率公式，即可得答案.【详解】由sin sin cos 0A B C+=可得sin sin cos()0A B A B -+=，即sin sin cos cos sin sin 0A B A B A B -+=.因为,(0,)A B π∈，易知cos cos 0A B ≠，所以1tan tan 2A B =，所以12AC BC k k ⋅=-，设(,)C x y ，所以1112y y x x ⋅=-+-，即22112y x +=(1x ≠±)，所以21a =，212b =，则22212c a b =-=，则轨迹Γ的离心率22c e a ==.故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换、斜率公式、轨迹方程求解、离心率计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______.【答案】4【解析】由题意得两条曲线的2c 值相等，从而得到关于b 的方程，解方程即可得答案.【详解】由题意得两条曲线的2c 值相等，∴22581b -=+，求得216b =，则4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且345,2,+a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5项和5S =______.【答案】31【解析】利用等差中项的性质结合等比数列通项公式，求得1a ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案.【详解】由题意可得()43522a a a +=+，即()32411122222a a a +=⋅⋅⋅+，∴()111282416a a a +=+，解得11a =.所以55123112S -==-.故答案为：31.【点睛】本题考查等差中项的性质、等比数列通项公式、等比数列的前n 项和，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.15．已知x ，y 均为正实数，且满足1131x y xy++=，则x y +的最小值为______.【答案】6【解析】将等式进行变形得3xy x y =++，利用基本不等式，将求x y +的最小值，转化成解不等式2()4()120x y x y +-+-≥，即可得答案.【详解】由1131x y xy++=可得3xy x y =++.又因为22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以232x y x y +⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，即2()4()120x y x y +-+-≥，∴(6)(2)0x y x y +-++≥，∴2x y +≤-或6x y +≥.又∵x ，y 均为正实数，∴6x y +≥(当且仅当3x y ==时，等号成立)，即x y +的最小值为6.故答案为：6.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22(sin cos )10a a B B -++=，2b =，则ABC ∆的面积为______.【答案】134+【解析】把22(sin cos )10a a B B -++=看成关于a 的二次方程，由0∆≥结合正弦函数的有界性可得2sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而求得B 的值，再利用正弦定理求得A 的值，最后利用诱导公式可求sin C 并代入面积公式，即可得答案.【详解】把22(sin cos )10a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则由0∆≥，即22(sin cos )40B B +-≥得2sin 14B π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，而2sin 14B π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则2sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由于0B π<<，可得5444B πππ<+<，可得42B ππ+=，即4B π=，代入方程22(sin cos )10a a B B -++=，可得2210a a -+=，所以1a =.由正弦定理可得，12sin 22A=，所以1sin 2A =.又因为a b <，所以6A π=.易知62sin sin()sin()644C AB ππ+=+=+=.所以112613sin 122244ABC S ab C ∆++==⨯⨯⨯=.故答案为：134+.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边夹定理的运用.三、解答题17．已知p :方程2222mx y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆.；q :不等式2210mx x +->有解.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(1,)-+∞（2）(1,0][2,)-+∞ 【解析】（1）分别讨论当0m =时，当0m <时，利用方程有解求实数m 的取值范围即可；（2）先求出,p q 均为真命题时实数m 的取值范围，再结合p 与q 必然一真一假，求解即可得解.【详解】（1）当0m >时，不等式显然有解，当0m =时，210x ->有解.当0m <时，因为2210mx x +->有解，所以440m ∆=+>，所以10m -<<.所以当q 为真命题时，m 的取值范围为(1,)-+∞.（2）因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，所以p 与q 必然一真一假.若p :方程2222mx y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆为真命题，方程可化为2212x y m+=，则需02m <<.由(1)知，若q 为真，则1m >-.所以021m m <<⎧⎨≤-⎩或0 21m m m ≤≥⎧⎨>-⎩或，解得10m -<≤或2m ≥.所以实数m 的取值范围为(1,0][2,)-+∞ .【点睛】本题考查椭圆的标准方程、重点考查了不等式以及常用逻辑用语，属基础题.18．已知抛物线C :22y px =(0p >)的准线过双曲线2211x ya a-=-(01a <<)的左焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设抛物线C 的焦点为F ，直线l :2y x =-与C 交于不同的两点A ，B ，求11||||FA FB +的值.【答案】（1）24y x =（2）1013【解析】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-，所以12p-=-，求出p 的值，即可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式代入计算，即可得答案.【详解】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-，所以12p-=-，即2p =.所以抛物线的方程为24y x =.（2）把直线l 的方程2y x =-代入24y x =得2840x x -+=.所以2(8)16480∆=--=>.设()11,Ax y ，()22,B x y .所以128x x +=，124x x =.所以121212122111110||||11113x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、抛物线焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且13a =，11b =，3428b S +=，4222a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，12n nb -=（2）n T (21)21n n =-⋅+【解析】（1）先设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q (0q >)，再结合已知条件求解即可.（2）由数列{}n c 为等差比数列，则用错位相减法求和即可得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q (0q >).由3428b S +=，4222a b a -=，得243122823323q d d q d⨯⎧++=⎪⎨⎪+-=+⎩，解得2,2,d q =⎧⎨=⎩(负值舍去)所以32(1)21n a n n =+-=+，12n nb -=，（2）由（1）可知，1(21)2n n n n c a b n -=⋅=+⋅，所以0121325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅ .①所以1232325272(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ .②由②-①可得()12132222(21)2n nn T n -=--⋅+++++⋅ ()121232(21)212n n n --=--⨯++⋅-(21)21nn =-⋅+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项，重点考查了错位相减法求和，属中档题.20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2B =-.（1）若sin sin 2sin b B a A c C -=，求ac的值.；（2）若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值.【答案】（1）1（2）9【解析】（1）由正弦定理化角为边可得2222b a c =+，再结合余弦定理可得2c ac =，得解；（2）由三角形面积公式可得111a c+=，再结合基本不等式的应用求解即可.【详解】解：（1）由正弦定理，得2222b a c -=，即2222b a c =+.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又1cos 2B =-，所以2c ac =.所以1a c=.（2）由题意得ABC ABD DBC S S S ∆∆∆=+，即111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒.所以ac a c =+，即111a c+=.则114(4)a c a c a c ⎛⎫+=++⎪⎝⎭445529c a c a a c a c=++≥+⋅=，当且仅当2c a =，即3c =，32a =时取等号.故4a c +的最小值为9.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了三角形面积公式及基本不等式的应用，属中档题.21．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，BC PB ⊥，且1AB BC PA ===，3PC =.（1）证明:平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点E 为PC 的中点，求二面角A BE C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）120 .【解析】（1）先利用勾股定理证明PA AB ⊥，从而证得PA ⊥平面ABC ，进一步证明BC ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的判定定理，可证得面面垂直；（2）由（1）有PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，BA的方向为y 轴正方向，过点B 且与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量(1,0,1)m =- ，平面EBC 的法向量(0,1,1)n =-，求出法向量夹角的余弦值，即可得答案.【详解】（1）因为BCPB ⊥，3PC =，1BC =，所以222PB PC BC =-=.又1==PA AB ，所以222PB PA AB =+，即PA AB ⊥.又因为PA AC ⊥，且AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.又因为BCPB ⊥，PB PA P = ，PA ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC .（2）由（1）有PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，BA的方向为y 轴正方向，过点B 且与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,0,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)A ，(0,1,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭.所以(0,1,0)BA = ，111,,222BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,0,0)BC =.设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即0,1110.222y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1x =，则(1,0,1)m =-.设平面EBC 的法向量为()000,,n x y z = ，则00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00000,1110.222x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令01y =，则(0,1,1)n =-.所以11cos ,222m n m n m n⋅<>===⋅⋅.由图可知，二面角A BE C --是钝角，所以二面角A BE C --的大小为120.【点睛】本题考查空间中线面垂直、面面垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意坐标系建立之前，要证明三条直线两两互相垂直.22．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为32，设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O到直线l 的距离为255.（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）存在，54【解析】（1）设直线l 的方程为1x y a b+=，由离心率和原点O 到直线l 的距离为255，可得关于,a b 的方程组，解方程组得,a b 即可得答案；（2）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+，()11,Ax y ，()22,B x y ，直线方程代入曲线方程，利用判别式大于0得m 的范围，利用韦达定理可得12,y y 与m 的关系，并假设存在点Q 使命题成立，利用斜率公式代入坐标进行计算，将问题转化为恒成立问题，即可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为c .根据题意得，椭圆离心率32e =，即32c a =，所以222112b ac e a a -==-=.①因为直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，所以设直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=.又由点O 到直线l 的距离为255，得22255ab a b =+.②联立①②解得2a =，1b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立221,43,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224650m ymy +++=.所以()2223645416800m m m ∆=-⨯+=->，所以25m >.所以12264m y y m -+=+，12254y y m=+，则()121222464x x m y y m +=++=+，()221212122364394m x x m y y m y y m-=+++=+.假设存在定点(,0)Q t (0t >)，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数，所以121200AQ BQy y k k x t x t --⋅=⋅--()1221212y y x x t x x t =-++()22222544362444m t m t t m +=-+-++()2225436244t m t t =-+-+.要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,362440,t t t ⎧-=⎨-+≠⎩解得2t =(负值舍去).当2t=时，常数为553648164=-+.所以x 轴的正半轴上存在定点(2,0)Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为常数54.【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率、点到直线距离、直线与椭圆位置关系、椭圆中的定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意探究性问题的求解是先假设存在，再进行推理论.。
河南省平顶山市第十四中学2019-2020学年高二数学理期末试卷含解析
河南省平顶山市第十四中学2019-2020学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等比数列{a n}中，已知a1=2，a2=4，那么a4等于（）A．6 B．8 C．10 D．16参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得公比q==2，从而得到a4=a1?q3，运算求得结果．【解答】解：在等比数列{a n}中，已知a1=2，a2=4，则公比为q==2，∴a4=a1?q3=16，故选D．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．2. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论，则其中正确的结论的个数有（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可能是异面直线，所以不正确；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行，也可能相交，所以不正确；故选：C．3. 若集合，（）。
A. B.C. D.参考答案：B略4. 已知双曲线的左顶点与抛物线的的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1)，则双曲线的虚轴长为（）A. 1B. 2C. 4D.参考答案：B【分析】根据交点坐标可确定准线，从而求得；利用双曲线左顶点与抛物线焦点的距离可求得；将交点坐标代入渐近线方程可求得，进而得到所求虚轴长.【详解】由题意知：设双曲线方程为：，则其渐近线方程为：将代入渐近线方程得：，即将代入渐近线方程得：，舍去双曲线的虚轴长为：本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线、双曲线性质的应用问题，属于基础题.5. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①②③④其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③参考答案：C6. 设函数若是奇函数，则的值是（）A. B.C.D. 4参考答案：A7. 已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8D8. 若i为虚数单位，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据复数的除法运算法则，即可求出结果.【详解】.故选D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.9. 直线的斜率是( )A. B. C.D.参考答案：10. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为，则样本方差为A． B． C． D．D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．参考答案：充分不必要考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出?p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题?p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p?q为真且q?￢p为假命题，即?p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．12. 圆心的极坐标为C（3，），半径为3的圆的极坐标方程是．参考答案：ρ=6cos（θ﹣）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】由题意画出图形，利用圆周角是直角，直接求出所求圆的方程．【解答】解：由题意可知，圆上的点设为（ρ，θ）所以所求圆心的极坐标为C（3，），半径为3的圆的极坐标方程是：ρ=6cos（θ﹣）．故答案为：ρ=6cos（θ﹣）．13. 某厂1—4月用水量（单位：百吨）的数据如下表：由散点图知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是，则b= .参考答案：14. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中，AB=AD=3cm，四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3，则AA1= ．参考答案：2cm考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得BD=3，设四棱锥A﹣BB1D1D的高为h，则，再由四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6，能求出AA1．解答：解：∵在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中，AB=AD=3cm，∴BD==3，设四棱锥A﹣BB1D1D的高为h，则，解得h===，∵四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6，∴，解得AA1=2（cm），故答案为：2cm．点评：本题考查长方体的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15. 已知f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3），g（x）=2x﹣4．若同时满足条件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，则m的取值范围是．参考答案：（﹣5，﹣）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由①可推得f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由②可得：?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立，只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得答案．【解答】解：∵g（x）=2x﹣4，当x≥2时，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥2时恒成立，∴二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（2，0）的左侧，即，解得﹣5＜m＜0；又∵?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．而此时有g（x）=2x﹣4＜0．∴?x∈（﹣∞，﹣4），使f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＞0成立，由于m＜0，∴?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立，故只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，当m∈（﹣，0）时，3m＞﹣m﹣3，只要﹣4＞﹣m﹣3，解得m＞1与m∈（﹣，0）的交集为空集；当m=﹣时，两根为﹣2；﹣2＞﹣4，不符合；当m∈（﹣5，﹣）时，3m＜﹣m﹣3，∴只要﹣4＞3m，解得m＜﹣，综上可得m的取值范围是：（﹣5，﹣）．故答案为：（﹣5，﹣）．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面，是中档题也是易错题．16. 已知f （）=，则f （x）的解析式为．参考答案：【考点】函数的表示方法．【分析】用换元法求解析式，令t=，解得x=代入f （）=，整理即可得到f （x）的解析式．【解答】解：令t=，解得x=代入f （）=，得f（t）====（t≠﹣1）故f （x）=，（x≠﹣1）故答案为f （x）=，（x≠﹣1）17. 设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则此双曲线的离心率为。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
2019-2020学年河南省平顶山市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南省平顶山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知命题p :(1,1)x ∀∈-，21x <，则p ⌝为（ ）A ．(1,1)x ∀∈-，21x ≥B ．0(1,1)x ∃∈-，201x ≥C ．(][)0,11,x ∃∈-∞-+∞U ，201x ≥D ．(][),11,x ∀∈-∞-+∞U ，21x ≥【答案】B【解析】由全称命题的否定为特称命题求解即可.【详解】解：因为命题p :(1,1)x ∀∈-，21x <，则p ⌝为0(1,1)x ∃∈-，201x ≥，故选：B.【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.2．已知0a >，设p :3a x a -≤≤；q :16x -<<.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．[]1,2C ．(0,1)D ．(]0,1【答案】C【解析】利用集合间的包含关系，即条件p 对应的集合为条件q 对应的集合的真子集，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以条件p 对应的集合为条件q 对应的集合的真子集. 所以需1,36,0.a a a ->-⎧⎪<⎨⎪>⎩解得01a <<.故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的包含关系.3．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a =，520S =，则公差d =（ ）A ．-8B ．-4C ．4D ．8【答案】A【解析】利用520S =可求得3a ，再根据等差数列中的任意两项，即可求得公差.【详解】由题意得53520S a ==，所以34a =，所以公差324128d a a =-=-=-.故选：A.【点睛】本题考查等差数列中基本量法运算、公差d 的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 4．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线方程为0x y -=，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】B【解析】先由双曲线渐近线方程求得a b =，再结合双曲线离心率2222a b e a +=求解即可. 【详解】 解：由双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线方程为0x y -=可得a b =， 则2222222222c a b a e a a a +====，所以e =故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.5．已知实数x ，y 满足20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数2z x y =+的几何意义求解即可.【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由目标函数2z x y =+的几何意义，平移直线20x y +=至点(0,2)时，2z x y =+取得最大值， 所以max 0224z =+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，重点考查了作图能力，属中档题.6．不等式265x x+≤的解集是（ ） A ．[]2,3B ．(][),16,-∞-⋃+∞C ．()[],02,3-∞UD ．()()0,23,+∞U【答案】C【解析】分别讨论当0x >时，当0x <时，结合二次不等式的解法求解即可.【详解】解：当0x >时，不等式5x≤可化为2560x x -+≤，解得23x ≤≤； 当0x <时，不等式265x x+≤可化为2560x x -+≥，此时，解得0x <. 所以原不等式的解集为(,0)[2,3]-∞U .故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（ ）A ．(1,1,3)-B ．(1,1,3)--C ．(2,3,6)-D ．(2,3,6)--【答案】A 【解析】设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，求出,AE EF u u u r u u u r ，令00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即可得答案.【详解】设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r .则(1,0,0)A ，11,1,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,1,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以10,1,3AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，11,0,3EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，则n AEn EF⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，即0,310.3y zx z+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x=，则1y=-，3z=，故(1,1,3)n=-r.故选：A.【点睛】本题考查空间中平面法向量的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 8．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40︒的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20︒方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（）A．17海里B．16海里C．15海里D．14海里【答案】D【解析】先阅读题意，再在CAB∆中利用余弦定理求解即可.【详解】解：记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示.则10AB=，6AC=，120CAB∠=︒，所以222110621061962BC⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭，所以14BC=，即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了解斜三角形，属中档题.9．已知抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，且3||2p PF =，则cos PFx ∠=（ ）A ．12 BC ．13 D【答案】C【解析】由抛物线的定义可得3||2p PF =，则有1cos sin 3PFx PFE ∠=∠=，得解. 【详解】解：过P 作准线的垂线，交准线于D ，过F 作PD 的垂线，交PD 于E ，依题得||2p PE =，3||2p PF =， 因为12sin 332pPFE p ∠==， 所以1cos sin 3PFx PFE ∠=∠=. 故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的几何性质，属基础题. 10．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =u u u r u u u r ，14AF AD =u u u r u u u r ，则AE CF ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．1324- B ．12- C ．12 D ．1324 【答案】A【解析】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =uuu r r ，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅u u u r u u u r 转化为基底的数量积运算，即可得答案.【详解】设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =uuu r r， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，14CF c b =-u u u r r r ，则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r r r r r 2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-r r r r r r r 11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.11．已知递增数列{}n a 中，11a =，且11n n a a +=+(*n N ∈)，则20a =（ ） A ．360B ．362C ．364D ．366 【答案】B【解析】根据递推关系11n n a a +=+1=，从而证明数列0=为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式，即可得答案. 【详解】由11n n a a +=+，得1111n n a a +-=-+.因为数列{}n a 是递增数列，且11a =，所以得)221=，1=1=.所以数列0=为首项，1为公差的等差数列.0(1)n =+-，即222n a n n =-+，所以220202202362a =-⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查利用数列的递推关系求数列通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的变形.12．在直角坐标平面内，已知(1,0)A -，(1,0)B 以及动点C 是ABC ∆的三个顶点，且sin sin cos 0A B C +=，则动点C 的轨迹Γ的离心率是（ ）ABCD【答案】D 【解析】利用两角和的余弦公式将条件化成12AC BC k k ⋅=-，设点(,)C x y 代入斜率公式，求得轨迹Γ的方程，再利用离心率公式，即可得答案.【详解】 由sin sin cos 0A B C +=可得sin sin cos()0A B A B -+=，即sin sin cos cos sin sin 0A B A B A B -+=.因为,(0,)A B π∈，易知cos cos 0A B ≠， 所以1tan tan 2A B =，所以12AC BC k k ⋅=-， 设(,)C x y ，所以1112y y x x ⋅=-+-，即22112y x +=(1x ≠±)， 所以21a =，212b =，则22212c a b =-=，则轨迹Γ的离心率c e a ==. 故选：D.【点睛】 本题考查三角恒等变换、斜率公式、轨迹方程求解、离心率计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______. 【答案】4【解析】由题意得两条曲线的2c 值相等，从而得到关于b 的方程，解方程即可得答案.【详解】由题意得两条曲线的2c 值相等，∴22581b -=+，求得216b =，则4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且345,2,+a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5项和5S =______.【答案】31【解析】利用等差中项的性质结合等比数列通项公式，求得1a ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案.【详解】由题意可得()43522a a a +=+，即()32411122222a a a +=⋅⋅⋅+， ∴()111282416a a a +=+，解得11a =. 所以55123112S -==-. 故答案为：31.【点睛】本题考查等差中项的性质、等比数列通项公式、等比数列的前n 项和，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.15．已知x ，y 均为正实数，且满足1131x y xy ++=，则x y +的最小值为______. 【答案】6【解析】将等式进行变形得3xy x y =++，利用基本不等式，将求x y +的最小值，转化成解不等式2()4()120x y x y +-+-≥，即可得答案.【详解】 由1131x y xy++=可得3xy x y =++. 又因为22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以232x y x y +⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，即2()4()120x y x y +-+-≥，∴(6)(2)0x y x y +-++≥，∴2x y +≤-或6x y +≥.又∵x ，y 均为正实数，∴6x y +≥(当且仅当3x y ==时，等号成立)，即x y +的最小值为6.故答案为：6.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin cos )10a B B ++=，b =ABC ∆的面积为______.【解析】把2(sin cos )10a B B ++=看成关于a 的二次方程，由0∆≥结合正弦函数的有界性可得2sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而求得B 的值，再利用正弦定理求得A 的值，最后利用诱导公式可求sin C 并代入面积公式，即可得答案.【详解】把2(sin cos )10a B B ++=看成关于a 的二次方程，则由0∆≥，即22(sin cos )40B B +-≥得2sin 14B π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 而2sin 14B π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则2sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由于0B π<<，可得5444B πππ<+<，可得42B ππ+=，即4B π=，代入方程2(sin cos )10a B B -++=，可得2210a a -+=，所以1a =.由正弦定理可得，1sin 2A =1sin 2A =.又因为a b <，所以6A π=.易知sin sin()sin()64C A B ππ=+=+=.所以111sin 12244ABC S ab C ∆+==⨯=.. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边夹定理的运用.三、解答题17．已知p :方程2222mx y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆.；q :不等式2210mx x +->有解. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(1,)-+∞（2）(1,0][2,)-+∞U【解析】（1）分别讨论当0m =时，当0m <时，利用方程有解求实数m 的取值范围即可； （2）先求出,p q 均为真命题时实数m 的取值范围，再结合p 与q 必然一真一假，求解即可得解. 【详解】（1）当0m >时，不等式显然有解，当0m =时，210x ->有解.当0m <时，因为2210mx x +->有解，所以440m ∆=+>，所以10m -<<.所以当q 为真命题时，m 的取值范围为(1,)-+∞.（2）因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，所以p 与q 必然一真一假.若p :方程2222mx y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆为真命题，方程可化为2212x y m+=，则需02m <<.由(1)知，若q 为真，则1m >-.所以021m m <<⎧⎨≤-⎩或0?21m m m ≤≥⎧⎨>-⎩或，解得10m -<≤或2m ≥.所以实数m 的取值范围为(1,0][2,)-+∞U . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、重点考查了不等式以及常用逻辑用语，属基础题.18．已知抛物线C :22y px =(0p >)的准线过双曲线2211x y a a-=-(01a <<)的左焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设抛物线C 的焦点为F ，直线l :2y x =-与C 交于不同的两点A ，B ，求11||||FA FB +的值.【答案】（1）24y x =（2）1013【解析】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-，所以12p-=-，求出p 的值，即可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式代入计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-， 所以12p-=-，即2p =. 所以抛物线的方程为24y x =.（2）把直线l 的方程2y x =-代入24y x =得2840x x -+=.所以2(8)16480∆=--=>.设()11,A x y ，()22,B x y .所以128x x +=，124x x =. 所以121212122111110||||11113x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、抛物线焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且13a =，11b =，3428b S +=，4222a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+，12n nb -=（2）n T (21)21n n =-⋅+【解析】（1）先设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q (0q >)，再结合已知条件求解即可.（2）由数列{}n c 为等差比数列，则用错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q (0q >).由3428b S +=，4222a b a -=，得243122823323q d d q d⨯⎧++=⎪⎨⎪+-=+⎩，解得2,2,d q =⎧⎨=⎩(负值舍去) 所以32(1)21n a n n =+-=+，12n nb -=，（2）由（1）可知，1(21)2n n n n c a b n -=⋅=+⋅， 所以0121325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅L .① 所以1232325272(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅L .②由②-①可得()12132222(21)2n nn T n -=--⋅+++++⋅L ()121232(21)212nn n --=--⨯++⋅-(21)21n n =-⋅+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项，重点考查了错位相减法求和，属中档题. 20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2B =-. （1）若sin sin 2sin b B a A cC -=，求ac的值.；（2）若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值. 【答案】（1）1（2）9【解析】（1）由正弦定理化角为边可得2222b a c =+，再结合余弦定理可得2c ac =，得解； （2）由三角形面积公式可得111a c+=，再结合基本不等式的应用求解即可. 【详解】解：（1）由正弦定理，得2222b a c -=，即2222b a c =+. 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又1cos 2B =-， 所以2c ac =. 所以1ac=. （2）由题意得ABC ABD DBC S S S ∆∆∆=+，即111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒. 所以ac a c =+，即111a c+=.则114(4)a c a c a c ⎛⎫+=++⎪⎝⎭445529c a c a a c a c=++≥+⋅=， 当且仅当2c a =，即3c =，32a =时取等号. 故4a c +的最小值为9. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了三角形面积公式及基本不等式的应用，属中档题. 21．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，BC PB ⊥，且1AB BC PA ===，3PC =.（1）证明:平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点E 为PC 的中点，求二面角A BE C --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）120o .【解析】（1）先利用勾股定理证明PA AB ⊥，从而证得PA ⊥平面ABC ，进一步证明BC ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的判定定理，可证得面面垂直；（2）由（1）有PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BC uuu r的方向为x 轴正方向，BA u u u r的方向为y 轴正方向，过点B 且与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABE 的法向量(1,0,1)m =-u r ，平面EBC 的法向量(0,1,1)n =-r，求出法向量夹角的余弦值，即可得答案. 【详解】（1）因为BC PB ⊥，PC =，1BC =，所以PB ==又1==PA AB ，所以222PB PA AB =+，即PA AB ⊥. 又因为PA AC ⊥，且AC AB A ⋂=，AC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.又因为BC PB ⊥，PB PA P =I ，PA ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .（2）由（1）有PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BC uuu r的方向为x 轴正方向，BA u u u r的方向为y 轴正方向，过点B 且与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,0,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)A ，(0,1,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以(0,1,0)BA =u u u r ，111,,222BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，(1,0,0)BC =u u u r.设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即0,1110.222y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1x =，则(1,0,1)m =-u r.设平面EBC 的法向量为()000,,n x y z =r ，则00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即00000,1110.222x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令01y =，则(0,1,1)n =-r.所以1cos ,222m n m n m n⋅<>===⋅⋅u r ru r r u r r . 由图可知，二面角A BE C --是钝角，所以二面角A BE C --的大小为120o .【点睛】本题考查空间中线面垂直、面面垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意坐标系建立之前，要证明三条直线两两互相垂直.22．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)3设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O 到直线l 25. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）存在，54【解析】（1）设直线l 的方程为1x y a b+=，由离心率和原点O 到直线l 25，可得关于,a b 的方程组，解方程组得,a b 即可得答案；（2）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入曲线方程，利用判别式大于0得m 的范围，利用韦达定理可得12,y y 与m 的关系，并假设存在点Q 使命题成立，利用斜率公式代入坐标进行计算，将问题转化为恒成立问题，即可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为c .根据题意得，椭圆离心率2e =，即c a =所以12b a a ===.①因为直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点， 所以设直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=. 又由点O 到直线l=② 联立①②解得2a =，1b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立221,43,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224650m ymy +++=.所以()2223645416800m m m ∆=-⨯+=->，所以25m >. 所以12264m y y m -+=+，12254y y m=+， 则()121222464x x m y y m +=++=+，()221212122364394m x x m y y m y y m-=+++=+. 假设存在定点(,0)Q t (0t >)，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数， 所以121200AQ BQy y k k x t x t --⋅=⋅--()1221212y y x x t x x t =-++()22222544362444m t m t t m +=-+-++()2225436244t m t t =-+-+.要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,362440,t t t ⎧-=⎨-+≠⎩解得2t =(负值舍去). 当2t =时，常数为553648164=-+.所以x 轴的正半轴上存在定点(2,0)Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为常数54. 【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率、点到直线距离、直线与椭圆位置关系、椭圆中的定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意探究性问题的求解是先假设存在，再进行推理论.。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学(理)试卷含解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}|22B x x =-≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}1,0- C. {}|10x x -<< D.{|10}x x -≤≤2.已知向量(1,2)a m =-,(,3)b m =-,若a b ⊥,则实数 m 等于( )A. 2-或3B. 2或3-C. 3D. 353.在ABC ∆中,若2a =,b =,30A =︒,则B 为( )A. 60B. 60或120C. 30D. 30或1504.已知命题11:,23xxp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题2000:,10q x R x x ∃∈--=；则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值 为( )A. 10-B. 6C. 14D. 186.若4cos 5α=-, α是第二象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) )A. 10-C. 10-D.107.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是( )A ．2cm 3B ．32m 3C ．1cm 3D ．31cm 38.抛物线214y x =的准线方程是( ) A. 1y =- B. 2y =- C. 1x =- D. 2x =-9.已知,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-04001y x y x x ,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 10.已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( )A.1024B.511C.512D.1023 11.函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.8 C.-6 D.-812.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A. 2B. 3C. 12D. 13第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省平顶山市高二上学期期末考试数学(理)试题.pdf
三角形的中位线 创设情境 情境1 如图1，若点O是□ABCD的对称中心，则□ABCD是由△ABC经过怎样的变换而得到的？ （图1） 情境2 如图2，若点E是AB上的一点，延长EO交CD于点F． （1）OE=OF吗？为什么？
（2）若E是AB的中点（如图3），你还能发现与EF相关的结论吗？ (图2) (图3) （3）在图4中，若 O、E是AB和AC的中点，你能说出图中线段OE与边BC的关系吗？ (图4） 问题探究 问题1 根据下列图形提供的条件，写出“？”处线段的长，请说明理由． （1）如图5，在△ABC中，D、E是AB、AC的中点，DE=5，则BC=． （2）如图6，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，DE=3，则AB=． （3）如图7，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，E是AD的中点，CD=8，则OE=． (图5) (图6) (图7) 问题2 如图8，A、B两地被建筑物阻隔，现在要测量出A、B两地间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？ A B (图8) 问题3 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，是分成的两部分能拼成一个平行四边形？请在图9上操作． (图9) 问题4 如图10，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ (图10) 变式拓展 如图11，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、DA的中点．EFGH是平行四边形吗？为什么？ (图11) 反思小结 （1）三角形的中位线和三角形的中线有何区别？ （2）证明三角形中位线性质的方法是什么？ （3）三角形中位线有何意义？
（4）在学习的过程中感悟到哪些数学思想方法？。
2019-2020年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）A．3 B．9 C．27 D．817．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）A．B．C．D．||10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.615．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是．19．计算log28+log2的值是．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算直接求出M∩N．【解答】解：因为集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，所以M∩N={1，3}，故选：C．3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A是偶函数，对于B是奇函数，对于C、D是非奇非偶函数，故选：B．4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：y=cos（x∈R）∴函数f（x）的最小正周期T=；故选D．6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件a＞30，跳出循环，计算输出a的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=3×1=3；第二次循环a=3×3=9；第三次循环a=3×9=27；第四次循环a=3×27=81，满足条件a＞30，跳出循环，输出a=81．故选：D．7．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于A，c≤0时，不成立，对于B，﹣a＜﹣b，对于C，根据不等式的性质，成立，对于D，a，b是负数时，不成立，故选：C．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴+=．故选；A．10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由条件根据这两条直线的斜率互为负倒数，可得这两条直线垂直．【解答】解：两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的斜率分别为﹣、2，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故选：B．11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据题意得直线的斜率k=﹣，从而得到倾斜角α满足tanα=﹣，结合倾斜角的取值范围，可得α．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣，∵α∈[0，π），∴α=，故选C．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c 的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2=﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P=4，∴=2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，进而计算可得c的值，结合椭圆的几何性质可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25x2+9y2=225，变形可得+=1，则其中a==5，b==3，则有c==4；故椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==0.8；故选：B．15．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设等轴双曲线的方程为：﹣=1，从而可求得其离心率．【解答】解：设等轴双曲线的方程为：﹣=1，则c=a，∴其离心率e==．故选B．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵集合A=（2，+∞）⊊B=[1，+∞），∴“a＞2”是“a≥1”的充分不必要条件，故选：A．17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是∀x∈R，使x2+2x+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使x2+2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0故答案为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0．19．计算log28+log2的值是2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为==3﹣1=2．故答案为：2．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y即可得出．【解答】解：由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y=．∴直线在y轴上的截距是．故答案为：21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】分析函数y=2x在[0，1]上单调性，进而可得答案．【解答】解：函数y=2x在[0，1]上为增函数，故当x=0时，函数取最小值1，故答案为：122．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=27．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由数列性质得a5=S5﹣S4=3，由等差数列的通项公式及前n项和公式得S9==9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案为：27．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【分析】（1）由条件利用二倍角的正弦公式可得y=1+sin2x，再根据正弦函数的周期性性和最大值得出结论．（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间．【解答】解：（1）∵y=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，∴函数的最1=2．小正周期为，y最大值=1+（2）由，k∈z，可得要求的递增区间是，k∈z．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由lg，得＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．（2）证明f（﹣x）+f（x）=0，进而证明f（x）=﹣f（﹣x）得出答案【解答】（1）解：∵由lg，得出＞0，且1+x≠0∴有（1﹣x）＞0且（1+x）＞0或者（1﹣x）＜0且（1+x）＜0∵解得第一个不等式有﹣1＜x＜1，第二个不等式不存在∴函数的定义域{x|﹣1＜x＜1}（2）证明∵f（﹣x）+f（x）=lg+lg=lg1=0∴f（x）=﹣f（﹣x）∴函数f（x）为奇函数26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）由准线的方程为x=﹣1可求p的值；（2）直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，利用抛物线过焦点的弦长公式|AB|=x1+x2+2=8．可求【解答】解：（1）由准线的方程为x=﹣1，可知：，即p=2（2）易得直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，消去x得y2﹣4y﹣4=0，y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴x1+x2=y1+y2+2=6，所以：弦长|AB|=8．2017年2月18日。
2019-2020年高二上学期期末考试试卷数学(理)含答案
秘密★启用前2019-2020年高二上学期期末考试试卷数学（理）含答案数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆22143xy的焦距为（）A.1B.2C.3D.4 2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A.2B.3 C.4 D.3.已知圆22:440C xy ax y 的圆心C 在直线20xy上，则实数a 的值为（）A.1B.1C.2 D.24.已知实数,x y 满足2000xy x y，则2zx y 的最大值为（）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（）A.x R ，都有210xB.平面直角坐标系中任意直线都有斜率C.aR ，使得21aD.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（）A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面的距离都相等”是“平面//ABC 平面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC 所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂直，1OA OC ，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥OABC 的体积为1412，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（）A.66B.33C.12D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（）A.55B.255C.52D.5410.（原创）已知点M 是双曲线22:1C xy上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（）A.34B.23C.13D.1211.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（）种A.2880B.2156C.3040D.354412.（原创）已知抛物线2:4(0)ypx p ，AB 为过抛物线焦点的弦，AB 的中垂线交OACBE抛物线于点,C D 。