气体分子碰撞频率和平均自由程公式的严格推导_王更
4-4 气体分子碰撞和平均自由程
单原子
i3
刚性双原子 i 5
刚性多原子 i 6
3.能均分定理
在温度为T 的平衡态下, 物质分子的每一个
自由度都具有相同的平均动能, 其大小为 1 kT. 2
4.每个分子的平均总动能
i kT
2 5.1mol 理想气体的热力学能
i
i
E0 N 0(2 kT ) 2 RT
6.质量为M 的理想气体的热力学能
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速 率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
得
上式表明
vt v Zt Z
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比，而与分子平均速率无关。
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
上式表明
kT
2 d 2 p
当气体的温度给定时，气体的压强越大 （即气体越密集），分子的平均自由程越短； 反之，若气体压强越小（即气体越稀薄），分 子的平均自由程越长.
4.4.3 例题分析
例1 求在标准状态下,空气分子的平均自由程、 平均速率及平均碰撞次数.（已知空气的平均摩 尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子的有效直 径为3. 5 10-10m）.
上式表明
分子间碰撞越频繁，平均自由程越小。
(1) 假设分子中只有一个分子A以平均速 率 v 运动，其余分子都静止不动。 请看动画演示
这样,凡是中心与
A分子中心的距离小
于或等于有效直径d
A
dd
的分子,都要与A分子
相碰。
分子平均自由程和碰撞次数
1
B
A
平均速率 (路程/时间)
分子自由程(free path):
气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。
碰撞频率(collision frequency):
在单位时间内分子与其他分子碰撞的平均次数。
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统 计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他 分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。 平均自由程 （mean free path) 平均自由程 的大小是一定的
23
273
10
1.41 3.14 ( 3.5 10
) 1.01 10
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6.9 10 m
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下 的平均速率
v
v
8 RT
448m / s
z
448 6.9 10
8
6.5 10 s
d v n
2
z d v n
2
z d v n
2
一切分子都在运动
z
2d v n
2
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 z
平均自由程
v z
1 2d n
2
平均自由程与分子的 有效直径的平方和分 子数密度成反比
当温度恒定时,平均自 由程与气体压强成反比
P nkT
kT 2d P
2
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体
(m )
d (m )
氢
1.13 10
《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。 通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。 通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和 热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系 数等物理量时，需要用到平均自由程 。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞 频率，进而影响平均自由程的大 小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由 程，因为它们受到的空气阻力较 小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧 烈，碰撞频率越高，平均自由程 越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞 频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、 压力等实验条件的关系，得出气体 分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平 均自由程在气体分子扩散、传递过 程中的作用，以及在实际应用中的 意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气 体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动 的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次 碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分 子运动和相互作用的规律。
§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反，其相对速度为 分子以90°角碰撞
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程.ppt
p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm 2 d2
瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
( The end )
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 13 / 12 .
作业：
12-25，12-28
答疑时间：周二下午1：30－3：30
1.5cm 1.5102m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm
2 d2
1.5cm
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 12 / 12 .
1. 平均碰撞频率： z 2 n d2v
2. 平均自由程： kT 2 d2 p
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
常用 z 表示。
则，在 △t 时间内，有：
vt zt
v z
☻ z、与哪些因素相关
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 5 / 12 .
二、平均碰撞频率与平均自由程
设分子的有效直径为d，某分子以 u 相对于其他分子
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，则
p (Pa)
(m)
1.01105 1.33 102
6.9 108 5.2 105
kT 2 d2 p
常温常压下： 约108 ~ 107 (m)
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均
1
2 d2 n
而： p nkT
z
07 气体动理论答案(2016)
一．选择题 1、［ A ］（基础训练2）下列各式中哪一式表示气体分子的平均平动动能？（式中M 为气体的质量，m 为气体分子质量，N 为气体分子总数目，n 为气体分子数密度，N A 为阿伏加得罗常量）(A)pV M m 23． (B) pV M Mmol23．(C) npV 23． (D) pV N M M A 23mol ． 【解】：根据气体分子的平均平动动能：201322k m v kT ε==，==N p nkT kT V ，而=M N m，则333==222k pV mkT pV N Mε= 2、［ B ］（基础训练5）一定量某理想气体按pV 2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度(A) 将升高． (B) 将降低． (C) 不变． (D)升高还是降低，不能确定． 【解】：由于pV 2＝恒量，又=pVC T，则有=VT C '，因此，体积膨胀，温度将降低。
3、［ C ］（基础训练8）设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 (A)⎰21d )(v v v v v f ． (B) 21()d v v v vf v v ⎰．(C)⎰21d )(v v v v v f /⎰21d )(v v v v f ． (D)⎰21d )(v v v v v f /()d f v v ∞⎰．【解】：速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总和：⎰21d )(v v v v v f N ，速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总和：21()d v v Nf v v ⎰，因此速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率：222111222111()()()()v v v v v v v v v v v v vdN vNf v dv vf v dvv dNNf v dvf v dv===⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、［ B ］（基础训练9）一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是：(A) Z 减小而λ不变． (B)Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D)Z 不变而λ增大．【解】：根据分子的平均碰撞频率：n v d Z22π=，和平均速率公式：v =，在温度不变的条件下，平均速率不变，当体积增大时，分子数密度Nn V=减小，平均碰撞频率Z 减小。
8-5 分子的平均碰撞频率和平均自由程
分子碰撞的引入： 分子碰撞的引入： 问题：常温下空气分子的平均速度有多大？ 问题：常温下空气分子的平均速度有多大？ 解： 已知
8 RT RT v= ≈ 1 .60 πm M M = 29 ×10 −3 kg / mol
8 RT ≈ 4 .5 × 10 2 (m . s −1 ) πm
修正：对于实际气体，各个分子都在运动， 修正：对于实际气体，各个分子都在运动， 且运动速率服从麦克斯韦分布率， 且运动速率服从麦克斯韦分布率，对上式加 以修正后， 以修正后，得
Z = 2σvn = 2πd vn
2
3、平均自由程
1 1 = λ= 2σn 2πd 2n
平均自由程与平均 速率无关， 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关 分子数密度有关。 径及分子数密度有关。
2、平均碰撞次数 假设只有一个分子以平均速度运动， 假设只有一个分子以平均速度运动，其余分子看 成不动。分子A的运动轨迹为一折线 的运动轨迹为一折线， 成不动。分子 的运动轨迹为一折线，以A的中心运 的中心运 动轨迹为轴线，以分子有效直径d 为半径， 动轨迹为轴线，以分子有效直径 为半径，作一曲折 圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰 相碰。 圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与 相碰。 圆柱体的截面 积为σ = πd 2 ， 叫做分子的碰 叫做分子的碰 撞截面。 撞截面。
A
d
在∆t内，A 所走过 内 的路程为 v∆t ， ∆ 相应圆柱体的体积 为 σ v∆t ，设气 ∆ 体分子数密度为n。 体分子数密度为 。 则中心在此圆柱体 内的分子总数，亦 内的分子总数， 即在∆t时间内与 即在∆ 时间内与A 时间内与 相碰的分子数为
A
d
气体分子的平均自由程输运过程的宏观规律输运过程的微观解释
一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向
2013第七章气体动理论答案 (1)
一． 选择题1. （基础训练2）［ C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量?的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，??不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，??相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，??不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，??相同． 【解】： ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同∴n 相同；∵kTn V kTNVE k2323==，而n ，T 均相同∴V E k 相同 由RT M m pV =得m pMV RTρ==，∵不同种类气体M 不同∴ρ不同 2. （基础训练6）［ C ］设v 代表气体分子运动的平均速率，p v 代表气体分子运动的最概然速率，2/12)(v 代表气体分子运动的方均根速率．处于平衡状态下理想气体，三种速率关系为(A) p v v v ==2/12)( (B) 2/12)(v v v <=p(C) 2/12)(v v v <<p(D)2/12)(vvv>>p【解】：最概然速率：pv==算术平均速率：()v vf v dv∞==⎰2()v f v dv∞==⎰3.（基础训练7）［B］设图7-3所示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令()2Opv和()2H p v分别表示氧气和氢气的最概然速率，则(A)图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；()2Opv/()2H p v=4．(B)图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；()2Opv/()2H p v＝1/4．(C)图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v/()2H p v＝1/4．(D)图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；()2O p v/()2H p v＝ 4．【解】：理想气体分子的最概然速率pv=pv越小，又由氧气的摩尔质量33210(/)M kg mol-=⨯，氢气的摩尔质量3210(/)M kg mol-=⨯，可得()2Opv/()2H p v＝1/4。
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT