二元一次方程组数学活动课课件
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矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。
第五章 二元一次方程组-八年级数学上册教学课件(北师大版)
2
x
7.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在
同一条直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
1 = 3 +
=1
∴
−2 = 0 +
= −2
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直
线的交点坐标
两条线的交点坐标是
对应的方程组的解
做一做
x+2y=10
1.二元一次方程组
A.
C.
x=4
y=2x
的解是( C )
x=3
B.
y=3
y=6
x=2
x=4
y=4
D.
y=2
2.解下列方程组.
y=2x
(1)
(2)
x+y=12
解： (1)
4x+3y=65
x=4
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
知识点五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程和一次
函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标
的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标
都适合对应的二元一次方程.
二元一次方程组和一
(2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出x的Байду номын сангаас;
最新北师大版数学八年级上册《认识二元一次方程组》精品教学课件
【分析】根据题意可得到两个相等关系：
(1)1元贺卡张数+2元贺卡张数=8张；(2)1元贺卡钱数+2元贺卡钱数=10元．
解：设购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张.
根据题意可列方程组
+ = ，
+ = .
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
（“相同”或“不相同”）
因此x，y必须同时满足方程x-y=2，x+1=2(y-1)，联立两者，得
− = ，
+ = ( − ).
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所
组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
典例训练
③
【例2】下列方程组中是二元一次方程组的是_____.
= + ，
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
学习目标
1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判别一组数
是否是二元一次方程（组）的解.
2.会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组.
情境引入
设老牛驮了x个包裹，
小马驮了y个包裹.
根据题意列方程，得
x-y=2
__________________，
− = ，
= ，
【例4】已知
是二元一次方程组
= −
+ =
的解，求a，b的值.
解：将x=1，y=-2代入方程组中，得
5-（-2）a=7，b-2=3，
解得a=1，b=5.
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
购买了两种贺卡各多少张？
(1)1元贺卡张数+2元贺卡张数=8张；(2)1元贺卡钱数+2元贺卡钱数=10元．
解：设购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张.
根据题意可列方程组
+ = ，
+ = .
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
（“相同”或“不相同”）
因此x，y必须同时满足方程x-y=2，x+1=2(y-1)，联立两者，得
− = ，
+ = ( − ).
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所
组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
典例训练
③
【例2】下列方程组中是二元一次方程组的是_____.
= + ，
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
学习目标
1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判别一组数
是否是二元一次方程（组）的解.
2.会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组.
情境引入
设老牛驮了x个包裹，
小马驮了y个包裹.
根据题意列方程，得
x-y=2
__________________，
− = ，
= ，
【例4】已知
是二元一次方程组
= −
+ =
的解，求a，b的值.
解：将x=1，y=-2代入方程组中，得
5-（-2）a=7，b-2=3，
解得a=1，b=5.
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
购买了两种贺卡各多少张？
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
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(完整版)二元一次方程 组优秀课件
汇报人：可编辑
2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
3.5 认识二元一次方程组 课件(共21张PPT) 湘教版七年级数学上册
(2) 方程的左右两边都是整式.
典例精析
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(1) 4 y 3z z 6 ; 是
(2)2 y 5 x; 3
(3) x2 2 y 0;
不是
(4) x 3 1; y
不是 不是
(5)2 x2 2 x y 2 x2;是
(6)4 xy 1. 不是
总结 判断要点：
B. x = 3，
y=6
D. x = 4，
y=2
一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方 程组只有一个解.
典例精析
例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔， 共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元， 试列出相应的二元一次方程组. (2) xy＝＝34，是列出的二元一次方程组的一个解吗？
x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ②
x＝12， y＝23.
典例精析
例3 若
x y
= =
-2，是关于 3
x、y
的方程
x－ky
=
1
的解，
则 k 的值为 －1 .
练一练
2. 二元一次方程组 x = 4，
A. y=3
C. x = 2， y=4
总结
x + 2y = 10，
y = 2x
的解是 ( C )
能否设两个未知数解决？
1 二元一次方程组
探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 找出，上述趣题中的等量关系： (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
北师大版数学八年级上册求解二元一次方程组课件(第1课时27张)
5x+3y=34
将x=5代入
视察:二元一次方程组和一元
8-x=8-5=3.
一次方程有何联系？这对你
答：去了5个成人，3个儿童. 解二元一次方程组有何启示？
探究新知 用二元一次方程组求解
x+y=8①
5x+3y=34② 由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多程组 y = x + 10 的解是 x + y = 200
x = 95， y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
探究新知
解二元一次方程组的基本思路“消元”
5.2 求解二元一次方程组 （第1课时）
导入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 2x 10 x 16 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
连接中考
（202X•广州）解方程组： xx
y 1 3y 9
解：
x x
y 1 3y 9
①， ②
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3
y
2
将x=5代入
视察:二元一次方程组和一元
8-x=8-5=3.
一次方程有何联系？这对你
答：去了5个成人，3个儿童. 解二元一次方程组有何启示？
探究新知 用二元一次方程组求解
x+y=8①
5x+3y=34② 由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多程组 y = x + 10 的解是 x + y = 200
x = 95， y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
探究新知
解二元一次方程组的基本思路“消元”
5.2 求解二元一次方程组 （第1课时）
导入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 2x 10 x 16 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
连接中考
（202X•广州）解方程组： xx
y 1 3y 9
解：
x x
y 1 3y 9
①， ②
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3
y
2
七年级数学下册教学课件《二元一次方程组 数学活动》
x
y
-
= 0.1%
3.56108 3.56 3108
x=1453250
解得 y=3291750
我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的 人数分别是1453000、3292000.
点击观看吸烟的危害
从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编 成问题，看看能不能用二元一次方程组解决这些问题，
2.如图，已知关于x，y的二元一次
方程ax+by+c=0和kx+ny=0的图像 ax+by+c=0
-4
交于ax点+bPy，+c则=0根据图像可x得=-方4 程组 kx+ny=0 的解是___y_=_-_2___.
y
kx+ny=0
O
-2
x
3.若二元一次方程y=mx+1与y=nx-5的图像交于点A （2,5），则m，n的值为（ C ） A.2、3 B.3、5 C.2、5 D.3、6
每隔3 min从迎面驶来一辆18路公交车，当迎面刚刚驶来的公交车驶过的
路程是3x m时，小王行走的路程是3y m，此时迎面驶来的公交车与小王行
走的路程的和是s m，也就是两车的距离，即3x+3y=s ②
由①②，可得x=3y，所以
s x
=
4
.
因此，18路公交车的行驶速度是小王行走
速度的3倍，18 路公交车总站间隔4 min发一辆车.
方程组的解吗？
填写下面的表格：
根据左边的表格画出图像
2x+y=4 x -2 -1 0 1 2 3 4 y 8 6 4 2 0 -2 -4
2x+y=4 y 4
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题
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品分别以七折和九折销售。某顾客购买甲 乙两件商品共付款399元，这两件商品原销 售之和跑道上练习跑步，
甲的速度比乙快，当他们同时都从某地出 发，背向跑步时，每隔40秒相遇一次；同 向跑步时，每隔400秒才相遇一次，你能求 出这两名运动员的跑步速度么？
一次方程（组）在 生活中的运用
刘老师2016年3月份在万达买了一套88.9平方 米的房子，今年5月份准备装修。现在有皖匠、 维度两个装修队提出了两种装修方案：
方案一：若请两个装修队同时施工，合作8天， 需付两个装修队费用共3520元；
方案二：若先请皖匠装修队单独做6天，再请 维度单独做12天，需付两个装修队费用共 3480元。
如果皖匠队单独完成需25天，维度队单独完 成需要50天，那么刘老师单独请哪个装修队 所付费用最少？
想一想
1、用一元一次方程解决实际问题和用二元一次 方程组来解决实际问题有什么联系和区别？ 2、用哪一种方法更好呢？ 3、是不是所有的问题都可以用两种方法来解决？
清明节期间，七（1）班全体同学分成若干
2010年的一项调查显示，全世界每天平均 有13000人死于与吸烟有关的疾病。我国吸 烟者约有3.56亿人，占全世界吸烟人数的四
分之一。比较一年中死于与吸烟有关的疾
病人数占吸烟者总数的百分比，我国比世 界其他国家约高0.1%。那么我国及世界其
他国家一年之中死于与吸烟有关的疾病的 人数分别是多少？
说一说你的看法：
1、用一元一次方程解决实际问题和用二元一次 方程组来解决实际问题有什么联系和区别？ 2、用哪一种方法更好呢？ 3、是不是所有的问题都可以用两种方法来解决？
小组到革命传统教育基地缅怀革命烈士。 若每小组7人，则余3人；若每小组8人，则 少5人。由此可知该班共有多少名同学？
甲、乙两个工程队各有员工80人，100人， 现 队在人数从是外乙部队调的90人32 ，充则实甲到，两乙队两，队调各配分后到甲 多少人？
某商场购进商品后，加价40%作为销售价，
五一期间商场搞促销活动决定甲乙两种商
甲的速度比乙快，当他们同时都从某地出 发，背向跑步时，每隔40秒相遇一次；同 向跑步时，每隔400秒才相遇一次，你能求 出这两名运动员的跑步速度么？
一次方程（组）在 生活中的运用
刘老师2016年3月份在万达买了一套88.9平方 米的房子，今年5月份准备装修。现在有皖匠、 维度两个装修队提出了两种装修方案：
方案一：若请两个装修队同时施工，合作8天， 需付两个装修队费用共3520元；
方案二：若先请皖匠装修队单独做6天，再请 维度单独做12天，需付两个装修队费用共 3480元。
如果皖匠队单独完成需25天，维度队单独完 成需要50天，那么刘老师单独请哪个装修队 所付费用最少？
想一想
1、用一元一次方程解决实际问题和用二元一次 方程组来解决实际问题有什么联系和区别？ 2、用哪一种方法更好呢？ 3、是不是所有的问题都可以用两种方法来解决？
清明节期间，七（1）班全体同学分成若干
2010年的一项调查显示，全世界每天平均 有13000人死于与吸烟有关的疾病。我国吸 烟者约有3.56亿人，占全世界吸烟人数的四
分之一。比较一年中死于与吸烟有关的疾
病人数占吸烟者总数的百分比，我国比世 界其他国家约高0.1%。那么我国及世界其
他国家一年之中死于与吸烟有关的疾病的 人数分别是多少？
说一说你的看法：
1、用一元一次方程解决实际问题和用二元一次 方程组来解决实际问题有什么联系和区别？ 2、用哪一种方法更好呢？ 3、是不是所有的问题都可以用两种方法来解决？
小组到革命传统教育基地缅怀革命烈士。 若每小组7人，则余3人；若每小组8人，则 少5人。由此可知该班共有多少名同学？
甲、乙两个工程队各有员工80人，100人， 现 队在人数从是外乙部队调的90人32 ，充则实甲到，两乙队两，队调各配分后到甲 多少人？
某商场购进商品后，加价40%作为销售价，
五一期间商场搞促销活动决定甲乙两种商