高阶导数公式
常用高阶导数公式证明
常用高阶导数公式证明一阶导数假设函数y=y(y)在y处可导，则函数y=y(y)在y处的导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数如果函数y=y(y)在y处可导，那么它的二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$高阶导数函数y=y(y)的y阶导数定义如下：$$ f^{(n)}(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f^{(n-1)}(x + \\Delta x) - f^{(n-1)}(x)}}{\\Delta x} $$常用高阶导数公式证明二阶导数的公式一阶导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$将一阶导数y′(y)的定义代入二阶导数公式中，得到：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0}\\frac{{\\left(\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x}\\right)\\big|_{x+\\Delta x} - f'(x)}}{\\Delta x} $$根据导数的定义，上式可简化为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} -f'(x)}}{\\Delta x} $$由此可得到二阶导数的通用公式。
高阶导数莱布尼茨公式
高阶导数莱布尼茨公式（原创版）目录1.高阶导数莱布尼茨公式的概述2.莱布尼茨公式的应用实例3.莱布尼茨公式的简化形式4.高阶导数的计算方法正文一、高阶导数莱布尼茨公式的概述高阶导数莱布尼茨公式是一种用于计算多元函数高阶导数的方法。
这个公式可以表示为：对 y(x)u(x)v(x) 求 n 阶导数时候，可以表示为u(x) 的 n-i 阶导数乘 v(x) 的 i 阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。
其中，C(i,n) 是组合符号，表示从 n 个元素中选取 i 个元素的组合数，计算公式为：C(i,n) = n!/(i!(n-i)!)。
二、莱布尼茨公式的应用实例为了更好地理解莱布尼茨公式，我们通过一个实例来说明其应用。
假设我们要求函数 y = u(x)v(x) 的 100 阶导数，其中 u(x) 和 v(x) 都是多项式函数。
根据莱布尼茨公式，我们可以将 y 的 100 阶导数表示为：y 的 100 阶导数 = Σ[C(i,100) * u 的 100-i 阶导数 * v 的 i 阶导数]，其中 i 从 0 到 100。
通过这个公式，我们可以将求 100 阶导数的复杂问题简化为求各个项的导数，然后将它们相乘。
三、莱布尼茨公式的简化形式在实际应用中，我们通常只需要计算较低阶的导数。
为了简化计算，我们可以将莱布尼茨公式进一步简化。
假设我们要求函数 y = u(x)v(x) 的 n 阶导数，其中 u(x) 和 v(x) 都是多项式函数。
根据莱布尼茨公式，我们可以将 y 的 n 阶导数表示为：y 的 n 阶导数 = u 的 n 阶导数 * v 的 0 阶导数 + u 的 (n-1) 阶导数 * v 的 1 阶导数 +...+ u 的 1 阶导数 * v 的 (n-1) 阶导数+ u 的 0 阶导数 * v 的 n 阶导数。
通过这个简化公式，我们可以更方便地计算多元函数的高阶导数。
四、高阶导数的计算方法在求解高阶导数时，我们可以采用以下方法：1.根据函数的定义，求出函数的各个阶导数。
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式在微积分中，初等函数的高阶导数是一个重要的概念和发展的重要方面。
它的研究可以帮助我们更好地理解函数和微积分的本质。
本文将介绍初等函数的高阶导数概念，定义，求解公式，并给出相关实例。
一、对初等函数的高阶导数的定义初等函数的高阶导数指的是求得函数的多次微分的结果，通常可以表示为一系列的积分运算过程，其中每一次的结果都是函数的某一阶导数。
由此可以得出如下定义：初等函数的高阶导数，是指将初等函数进行多次微分，而得到的函数中最高导数的数量。
根据这个定义，可以得出一般性的求解初等函数高阶导数的方法：1.根据题目给定的初等函数，将其求出其一阶（上）导数；2.由于一般情况下，一阶（上）导数等于函数本身，故可以将原函数代入其一阶（上）导数的表达式，并进行积分，求出其二阶（上）导数；3.再将二阶（上）导数的表达式中的原函数代入其一阶（上）导数的表达式，并进行积分，求出其三阶（上）导数；4.以此类推，直至到达求解题目要求的高阶导数为止。
二、初等函数的高阶导数求解公式一般情况下，初等函数的高阶导数求解公式可表达为：f^(n)(x)=a_n*f^n(x)+a_n-1*f^n-1(x)+a_n-2*f^n-2(x)+...+a1*f’(x)+a0*f(x)其中，n表示高阶导数的阶数，a_n表示每一阶导数的系数，f^n(x)表示函数的n阶导数，f’(x)表示函数的一阶导数，f(x)表示函数本身。
三、初等函数的高阶导数求解实例以下给出一个实例，使用初等函数的高阶导数求解公式求解三阶导数：求f(x)=x^3-1的三阶导数解：根据定义，高阶导数求解公式可表示为：f^(3)(x)=a_3*f^3(x)+a_2*f^2(x)+a_1*f′(x)+a_0*f(x)由于f(x)=x^3-1，则f^3(x)=6x，f^2(x)=6，f′(x)=3x^2，f(x)=x^3-1将以上结果代入，有：f^(3)(x)=6a_3*x+6a_2+3a_1*x^2+a_0*x^3-a_0解得a_3=1，a_2=0，a_1=0，a_0=1因此，f^(3)(x)=6x+x^3-1四、总结本文介绍了初等函数的高阶导数概念，定义，求解公式，并给出了相关实例。
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
一类函数的高阶导数公式
一类函数的高阶导数公式常见的一类函数的高阶导数公式如下：注：下图中a,k为任意实数(k≠0),n、m为任意正整数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f （x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df （x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式摘要：一、引言二、高阶导数概念介绍三、常见高阶导数公式1.n阶导数公式2.复合函数导数公式3.反函数导数公式4.隐函数导数公式5.参数方程导数公式6.微分中值定理与导数公式四、高阶导数在实际问题中的应用五、总结正文：一、引言在考研数学中，高阶导数是一个重要的知识点。
高阶导数是指函数在某一点处的导数的导数，即函数的二阶导数、三阶导数等。
掌握高阶导数的计算方法和公式，对于解决考研数学中的相关题目具有重要意义。
二、高阶导数概念介绍高阶导数是导数的推广，用于描述函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在点x_0处可导，则称f(x)在x_0处的一阶导数为f"(x_0)，二阶导数为f""(x_0)，三阶导数为f"""(x_0)，以此类推。
三、常见高阶导数公式1.n阶导数公式对于幂函数f(x) = x^n，有：f"(x) = n * x^(n-1)f""(x) = n * (n-1) * x^(n-2)f"""(x) = n * (n-1) * (n-2) * x^(n-3)...f^(n)(x) = n! * x^(n-n)2.复合函数导数公式设g(x) = f(u(x))，其中u(x)可导，f(x)可导，则有：(g(x))" = f"(u(x)) * u"(x)(g(x))"" = f""(u(x)) * u"(x) + f"(u(x)) * u""(x)...3.反函数导数公式设f(x)在区间I上可导，且在I内单调，则f(x)在I上的反函数f^(-1)(x)在区间f(I)上可导，且有：(f^(-1)(x))" = 1 / (f"(f^(-1)(x)))(f^(-1)(x))"" = -1 / (f"(f^(-1)(x)))^24.隐函数导数公式设F(x, y) = 0，x = x(y)，y = y(x)，则有：(x"(y))" = -x""(y) / y"^2(y"(x))" = -y""(x) / x"^25.参数方程导数公式设x = x(t)，y = y(t)，则有：(x"(t))" = x""(t)(y"(t))" = y""(t)6.微分中值定理与导数公式根据微分中值定理，设函数f(x)在区间I上可导，且在I内单调，则对于任意x_0∈I，存在一个ξ∈(x_0, x)，使得：f"(ξ) = (f(x) - f(x_0)) / (x - x_0)四、高阶导数在实际问题中的应用高阶导数在实际问题中的应用非常广泛，如在物理学、工程学、经济学等领域。
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式在微积分的学习中，学习到函数的高阶导数公式是十分重要的，而这部分的数学理论也是涉及到初等函数的情况。
总的来说，初等函数的高阶导数公式包括了分母为n的n阶多项式函数和分母不为n的n阶多项式函数。
一类是分母为n的n阶多项式函数，也就是常见的二次函数、三次函数等多项式函数。
这类函数的高阶导数公式是：对于f（x）=a0+a1x+a2x2+......+anxn，f（n）（x）的高阶导数为f（n）（x）=an（n-1）（n-2）......1xn-1。
即这类函数的每一阶导数的系数都是系数的比例减一。
另一类是分母不为n的n阶多项式函数，例如：函数f（x）=a0+a1x+a2x2+......+anxn/bn+1，其高阶导数公式为：fn（x）=an （n-1）（n-2）......1bn（bn-1）......1xn-1。
即这类函数的每一阶导数的系数都是系数比例的差的乘积。
另外，初等函数的高阶导数公式还包括幂函数的高阶导数公式和指数函数的高阶导数公式。
对于幂函数 f（x）=xn，n为大于等于零的整数，该函数的高阶导数为：f（n）（x）=n（n-1）（n-2）......1xn-1。
注意，在这里，常数项在计算高阶导数时，系数为零，所以幂函数的高阶导数都可以表示成n！；xn-1的形式。
而指数函数f（x）=abx，其高阶导数为f（n）（x）=abnbxn-1。
总的来说，初等函数的高阶导数公式包含了多项式函数的高阶导数公式、幂函数的高阶导数公式和指数函数的高阶导数公式，这三类初等函数的高阶导数公式有着不同的规则和表示方法。
在实际应用中，了解初等函数的高阶导数公式对于求解有关微积分的问题非常重要，比如：解决多元函数极值及极值点问题、求解不定积分、求解微分方程等。
因此，从理论上来讲，学习到初等函数的高阶导数公式是很有必要的，熟练运用这些公式，可以帮助我们更好的解决数学上的问题，也可以帮助我们更好的理解和掌握微积分的知识点。
3.4解析函数的高阶导数
∫C
π5i cos πz 2πi dz = (cos πz )( 4 ) z == − ; 12 ( z − 1)5 (5 − 1)!
ez ( 2) 函数 2 内有两个奇点： 在 C 内有两个奇点： z = ± i ． y 2 ( z + 1) 1 C i 在 C 内作正向圆周 C1 : z − i = , 2 1 o C 2 : z + i = . 根据复合闭路定理 −i C 2 z z e e z e ( z + i )2 ( z − i )2 ∫C ( z 2 + 1)2 dz = ∫C1 ( z − i )2 dz + ∫C dz 2 (z + i) ′ ′ z z 2πi e 2πi e = ( z + i )2 + ( 2 − 1)! ( z − i )2 ( 2 − 1)!
z0 在C 内, g ( z0 ) = 2(6 z0 + 1)π i .
2
小结与思考
高阶导数公式是复积分的重要公式. 高阶导数公式是复积分的重要公式 它表明了 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. 结论 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别 高阶导数公式
2! f (ζ ) dζ , 再继续一次得 f ′′(z) = 2π i ∫C 3 (ζ − z)
( n)
依次下去可推测 f
或改写为 f
( n)
n! f (ζ ) (z) = ∫C (ζ − z)n+1 dζ , 2π i
n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z )n+1 dz (z0在C内部) 2π i 0 (n = 1,2,L ).
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D
zz00
证明 用数学归纳法和导数定义。 用数学归纳法和导数定义。
先证 n = 1的情形 . ∀z 0 ∈ D f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) f ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z
1 f ( z0 ) = 2π i
由柯西积分公式
∫
C
f (z) dz z − z0
注：定理表明解析函数的导数仍为解析函数。 定理表明解析函数的导数仍为解析函数
推论： 推论：
(1) f ( z )在正向简单闭曲线C所围成的区域及C上解析 (2) z0为C内任意一点 ! f (z) 则有 f (n) (z ) = n 0 ∫C (z − z0 )n+1 dz 或 2πi
f ( z) 2πi ( n ) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz = n! f ( z0 )( n = 1,2,...)
∆z→ 0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) = lim = ∫C ( z − z0 )2 dz （*） ∆z → 0 2πi ∆z
再利用(∗)式及推导(∗பைடு நூலகம்的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + ∆z ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z f (z) 2! = 依次类推， ∫C ( z − z 0 ) 3 dz 依次类推，用数学归纳法可得 2π i
解： ) f ( z ) = e 5 z , z 0 = 0, n = 2, (1 2πif ′′(0) 原式 = = 25πi 2!
( 2) I = (12 − π )πi
作业
• P100 7,9
小结
c n→ ∞
求积分的方法
n k =1
(1) ∫ f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k )∆ x k
z∈C
1 取 ∆z < d , 则有 2
1 1 z − z0 ≥ d , ≤ z − z0 d d z − z0 − ∆z ≥ z − z0 − ∆z > , 2 2 < z − z0 − ∆z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < ∆z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
f
n! f (z) ( z0 ) = ∫C ( z − z ) n+1 dz (n = 1,2,L) 2πi 0
定理(高阶导数公式 定理 高阶导数公式) 高阶导数公式
1)设f ( z )在区域D内处处解析; 2)C是D内任意一条正向简单闭 曲线,内部完全含于 D; 3) z0为C内任意一点, 则有 n! f (z) (n) f ( z0 ) = ∫C ( z − z0 ) n +1 dz (n = 1,2,...) 2πi
( 2)
∫
c
f ( z )dz =
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
β α
( 3 ) ∫ f ( z )dz = ∫ f [ z ( t )]z ′( t )dt
c
( 4 )若 f ( z )解析 , B 单连通 , C ⊂ B , 则 ∫ f ( z )dz = 0
c
( 5 )若 f ( z )在 B 内解析 , B 单连通 , 则
C1 i
C2
−i
z
C
r
ez ez ez dz = ∫ dz + ∫ dz ∴∫ 2 2 2 2 2 2 C (1 + z ) C1 (1 + z ) C2 (1 + z )
=∫
C1
e e ( z + i )2 ( z + i )2 dz + ∫ dz 2 2 C2 ( z + i ) (z − i)
z
z
z
′ 2πi e = ( z + i) 2 1!
z =i
′ 2πi e + ( z − i) 2 1!
z
z =−i
练习：沿曲线正向求积 分 5z cos πz e 2) ∫ dz （1） dz 3 2 z = 4 z ( z − 1) ∫|z|=1 z 3
§6 解析函数的高阶导数
1 f (z) 柯西积分公式 f ( z 0 ) = ∫C z − z 0 dz ( z 0 ∈ D ) 2πi
1 形式上求导得，f ' ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz 2 ( z − z0 )
2! f " ( z0 ) = 2π i
(n)
f (z) ∫C ( z − z0 ) 3 dz LL
∫
z1
z0
f ( z )dz = F ( z ) z ,
0
z1
F '(z) = f (z)
(6)复合闭路定理和闭路变形原理 : ∫ f ( z )dz = 0
Γ
f (z) (7)柯西积分公式： ∫ dz = 2πif (z0 ) C z−z 0
(8)高阶导数公式：
f ( z) 2πi ( n ) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz = n! f ( z0 )( n = 1,2,...)
1 I = 2π
∫
C
∆ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − ∆ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
∆z f ( z ) z − z0 − ∆z z − z0
2
C
ds
Q f ( z )在C上解析， f ( z )在C上连续 上解析， ∴ 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
cos πz 1) ∫ dz 5 C ( z − 1)
ez 2) ∫ dz 2 2 C (1 + z )
1
r
(1) f ( z ) = cos πz, z0 = 1, n = 4
cos πz 2πi (cos πz ) ( 4) dz = ∫C ( z − 1)5 4!
z =1
=−
π5
12
i
e 2) ∫ dz 2 2 C (1 + z )
C D z0
注：常用于计算函数沿闭曲线的积分！ 常用于计算函数沿闭曲线的积分！
2πi dz dz ∫C ( z − z ) n+ 1 = ∫ z − z0 = r ( z − z ) n+1 = 0 0 0
n=0 n≠0
z0
r
例1 求下列积分值 , C 为正向圆周 : z = r > 1
1 f ( z0 + ∆z ) = 2π i
∫
C
f (z) dz z − z0 − ∆z
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ( z) dz dz − ∫ = ∫C C z − z 2πi∆z z − z0 − ∆z ∆z 0 1 f (z) = ∫C ( z − z0 − ∆z )( z − z0 ) dz 2πi 令为I 令为 1 f (z) 1 ∆ zf ( z ) = ∫C ( z − z 0 ) 2 dz + 2π i ∫C ( z − z 0 − ∆ z )( z − z 0 ) 2 dz 2π i