函数极限的唯一性和局部有界性(老黄学高数第89讲)
高等数学(第二版)上册课件：函数的极限
定理1.5（唯一性） 若极限 lim f x 存在，则其
极限是唯一的.
如 lim2x 1 3 x1
定义1.8 在 x x（0 或 x ）的过程中，若M 0,
使 x U x0 （或 x X ）时， f x M，则称 f x
是 x x（0 或 x ）时的有界变量.
定理1.6 若极限 lim f x 存在，则 f x是该极限过程
趋近于某个确定的常数A，则称当 x x
时函数 f x 的极限为A.
记作 lim f x A ( lim f x A)
x
x
考查 f x 2x 的图像，问lim 2x , lim 2x ,lim 2x 是否存在？ x x x
当 x 时，f x arctan x 是否有极限？为什么？
时都有不等式 f x A 成立，则称常数A为函数 f x
当 x x0 时的极限，记为
lim
xx0
f
x
A 或者
f
x
Ax
x0
lim f x A 的几何意义：
xx0
对于任意的正数 ，存在正数 ，当点 x, f x 的横坐标
x 落入 x0 的去心领域 x0 , x0 x0, x0 之内时，纵
函数值无限接近一个常数的情形与数列极限类似. 所不同的是，自变量的变化可以是连续的.
有时，当 x 和 x 时，函数 f x
无限趋近的常数不同.
例如反正切函数 f x arctan.x
lim arctan x
x
2
,
lim arctan x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2
故有下列定义
定义1.5 如果当x x 时，函数 f x
极限分析知识点总结图
极限分析知识点总结图1. 极限的概念极限是函数在某一点附近的局部行为，通俗地说就是当自变量趋于某个值时，函数的值会趋于一个确定的值。
数学上通常用“x趋于a时，f(x)趋于L”来表示函数的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
其中a为自变量x的取值，L为函数值f(x)的极限。
在极限概念中，有重要的一点是函数在该点附近可以不被定义。
极限的概念是整个极限分析的基石，理解和掌握好这一概念对于后续的学习至关重要。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，可以方便我们进行极限计算和推导。
这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则、复合函数法则、夹逼定理等。
其中，四则运算法则指出了函数的和、差、积、商的极限计算法则；复合函数法则用于计算由复合函数构成的整体函数的极限；夹逼定理则用于确定函数极限的存在性。
这些性质在极限计算过程中有着重要的作用，掌握这些性质可以简化问题的处理过程。
3. 极限的计算方法对于不同形式的函数，极限的计算方法也有所不同。
常见的极限计算方法包括有理函数极限、指数函数极限、三角函数极限、对数函数极限、幂函数极限、复合函数极限等。
在计算极限的过程中，需要结合具体的函数形式来选择合适的计算方法，有时还需要进行变量代换、分子有理化、分拆成简单函数等技巧。
熟练掌握各种函数类别的极限计算方法对于进一步深入学习和应用是非常必要的。
4. 无穷小量和无穷大量在极限分析中，无穷小量和无穷大量是重要的概念。
无穷小是指当自变量趋于某一值时，函数值趋于零；无穷大则是指函数的绝对值可以大到任意大。
无穷小和无穷大的概念是极限分析中非常关键的一部分，它们广泛应用于微积分、微分方程等领域，并且有很强的应用性。
5. 极限存在条件对于函数的极限而言，并非所有函数都存在极限。
学习极限分析的过程中，需要注意函数极限存在的一些条件，比如局部有界、单调有界、柯西收敛原理等。
理解这些条件对于确定函数极限的存在性有着重要的指导意义。
6. 夹逼准则夹逼准则是极限分析中的一个非常重要的原理，它通常用于证明极限存在或者计算不确定形式的极限。
收敛数列的性质和函数极限的性质
2. 局部有界性
定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
2021/4/21
21
如：(1) 若 lim f ( x) A, A R
x x0
则 U ( x0, ),
f ( x)在U ( x0 , )上有界.
x x0
x x0
(2) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U ( x0, ), 有 f ( x) g( x).
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问题: 若 f (x) < g(x), 能否推出
lim f ( x) lim g( x) ？
x x0
a (2) 用反证法证明.
注
由
xn
0
(n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim
n
1 n
0.
a 0.
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推论2.3 (保序性)
(1) 若 N N ，使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
n
n
(2) 若
ab 2
矛盾！故假设不真 !
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5
例1 证明数列 xn (1)n1(n 1,2,) 是发散的.
证 用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
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感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高等数学中的极限理论及其应用研究
高等数学中的极限理论及其应用研究极限是高等数学中的核心概念之一，它在数学分析、物理学、经济学等多个领域中具有重要的应用。
本文将重点探讨高等数学中的极限理论以及它在实际问题中的应用。
首先，我们来讨论极限的定义及其基本性质。
在高等数学中，极限是指当自变量逼近某一特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x无限靠近某一点c时，如果存在一个常数L，使得当x充分靠近c时，f(x)的取值无论如何都可以无限地接近L，那么我们称L为函数f(x)在点c处的极限，记作lim(x→c)f(x)=L。
极限理论有以下基本性质：1. 极限的唯一性：当函数的极限存在时，它是唯一的。
2. 极限的局部性质：如果函数在某一点的极限存在，则它在该点的任何邻域内都有定义。
3. 极限的保序性：如果函数在某一点的极限存在，并且在该点的左侧（或右侧）取值总是小于（或大于）极限值，那么函数在该点的左侧（或右侧）都小于（或大于）极限值。
接下来，我们将探讨极限理论的应用。
极限理论在微积分中有广泛的应用，尤其是在导数和积分的计算中。
通过求极限，我们可以推导出一些重要的微积分定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，这些定理在解决实际问题时非常有用。
此外，极限理论在数列和级数的研究中也具有重要的作用。
对于数列而言，极限可以帮助我们判断数列的趋势和性质。
如果数列收敛到某一极限，我们可以利用极限的性质推导出数列的一些重要性质，比如收敛性、有界性等。
对于级数而言，如果级数前n项的部分和存在极限，我们可以判断级数是否收敛，并且可以计算出它的极限值。
此外，极限理论还在微分方程、概率论等领域有广泛的应用。
在微分方程中，通过求极限，我们可以解决一些特殊的微分方程，如常微分方程中的初值问题。
在概率论中，我们可以通过极限理论来计算随机变量的分布函数、期望值等重要指标，从而解决一些实际问题。
总结起来，高等数学中的极限理论是数学分析的重要内容，它不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的应用价值。
高中微积分第二讲(函数的极限)
高中 微积分第二讲（函数的极限）定义：设函数在点的某一区邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A 就叫做函数当时的极限，记作：左图解释：对于x 的数值，x 属于c 的邻域（或者去心邻域）内，函数值区域一个定值L 。
我们就叫L x =→)(f lim cx函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果)(f lim 0x x x →存在，那么这极限唯一。
定理2（函数极限的局部有界性）如果)(f lim 0x x x →=A ，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|≤M 。
定理3（函数极限的局部保号性）如果)(f lim 0x x x →=A ，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0,使得0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0).定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(f lim 0x x x →存在，{x n }为函数f （x ）的定义域内任一收敛域x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N +），那么相应的函数值数列{f(x n )}比收敛，且）（x f lim )(f lim 0x x n n →∞→=x函数极限的求法： 一、利用函数连续性：（即直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）练习：求下列极限的值：1、）（1-x 3lim 3x →2、）（3x 2lim 4x +→3、6x 23x lim 5x -+→二、恒等变形 当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决： ①因式分解，通过约分使分母不会为零例如：2-x 4-lim x 22x →三、采用洛必达法则求极限洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
高等数学 第4章 一元函数积分学及其应用
x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
成立, 则称x x0时, f x有右极限A.记作:
f
x0
0
lim
xx0 0
f
x
A.
极限存在的充要条件(38
题)
定理3：
lim
x x0
f x
A
f x0
0
f x0
0
A
注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。
8
4. x 时函数 f (x) 的极限
自变量的绝对值x 无限增大x 时, 函数值f x无限接近 于确定的数值A f x A, 则A就叫做函数f x当x 时的
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。
函数的极限百科
好的，让我来为你介绍一下函数的极限。
在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的值。
这个确定的值就叫做函数在该点的极限。
如果函数在该点没有定义，那么函数在该点的极限可能存在也可能不存在。
函数的极限可以分为左极限和右极限。
左极限是指当自变量从左侧趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的值；右极限是指当自变量从右侧趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的值。
如果左极限和右极限都存在且相等，那么函数在该点的极限就存在。
函数的极限有很多性质，例如极限的唯一性、保号性、有界性等。
极限的唯一性是指如果函数在某个点的极限存在，那么它是唯一的；保号性是指如果函数在某个点的极限大于0，那么在该点的某个邻域内，函数的值也大于0；有界性是指如果函数在某个点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数的值是有界的。
函数的极限是微积分的基础，它在数学中有着广泛的应用。
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第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9讲 函数极限的 唯一性与局部有界性
六种类型的函数极限： (1) f(x)；(2) f(x)；(3) (4) f(x)；(5) f(x)；(6)
f(x)； f(x).
1、(唯一性)若 f(x)存在，则此极限唯一.
证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则 ∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使 当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε/2； 当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε/2 ； 取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时， |A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,
(2)令t=1/x，则
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(2)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|a1/x-1|<ε，即1-ε<a1/x<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<1/x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<1/x<loga(1-ε). 只要令M=max{1/|loga(1+ε)|,1/|loga(1-ε)|}，
则当|x|>M时，就有|a1/x-1|<ε，
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 若 f(x)存在，则f在某U⁰-(x0) 内有界； 若 f(x)存在，则f在某U⁰+(x0)内有界； 若 f(x)存在，则f在(M, +∞)内有界；(M>0)
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)内有界；
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)∪(M, +∞)内有界.
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(1)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|ax-1|<ε，即1-ε<ax<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<x<loga(1-ε). 只要令δ=min{|loga(1+ε)|,|loga(1-ε)|}， 则当0<|x|<δ时，就有|ax-1|<ε，
由ε的任意性，可知A=B. 得证！ 类似地，可证其它类型的极限也具有唯一性.
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设 f(x)=A，取ε0=1，则存在正数δ，使得 对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1， ∴|f(x)|<|A|+1. 得证！