山东省济南市章丘区第四中学2020届高三数学2月模拟试题
山东省2020版高考数学二模试卷(理科)B卷
山东省2020版高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·杭州月考) 设全集，集合，，则（）A . [－1,0)B . (0,5]C . [－1,0]D . [0,5]2. （2分） i是虚数单位，则的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分） a>b是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2015高三上·滨州期末) 已知，则sin α＋cos α＝（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·肇庆模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A . [﹣6，﹣2]B . [﹣5，﹣1]C . [﹣4，5]D . [﹣3，6]6. （2分）(2020·赣县模拟) 如图所示，直线，点A是、之间的一定点，并且点A到、的距离分别为2、4，过点A且夹角为的两条射线分别与、相交于B、C两点，则面积的最小值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·吉林模拟) 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：① 当时，；② 函数的单调递减区间是；③ 对，都有 .其中正确的命题是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ②9. （2分） (2017高二下·陕西期中) 设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…+a5x5 ，那么的值为（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . ﹣110. （2分）(2017·洛阳模拟) 若实数x，y满足条件，则z=x+y的最大值为（）A . ﹣1B .C . 5D . ﹣511. （2分） (2017高二下·孝感期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A . y=±2xB .C .D .12. （2分） (2019高二上·南昌月考) 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（）A . 函数有极大值和极小值B . 函数有极大值和极小值C . 函数有极大值和极小值D . 函数有极大值和极小值二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·南阳月考) 关于统计数据的分析有以下结论：①一组数据的平均数一定大于这组数据中的每一个数；②将一组数据中的每一个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排（每排人数相同）中任取一排的人数进行调查属于分层抽样；④平均数、众数与中位数都能够为我们提供关于数据的特征信息，其中错误的是________．（填序号）14. （1分）若，若α，β是锐角，则β=________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知长方体中，，点在棱上移动，当 ________时，直线与平面所成角为．16. （1分）(2017·贵港模拟) 已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得 =0，则m的最大值为________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （15分） (2017高三上·红桥期末) 数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=2an﹣n（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）数列{an}中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2015高一上·福建期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE∥平面ADP；（2）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．19. （5分） (2018高二下·陆川期末) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.20. （5分）(2017·和平模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点（2 ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．21. （10分） (2015高二上·石家庄期末) 已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、选做题 (共2题；共15分)22. （5分）(2017·江苏) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．23. （10分） (2018高三上·成都月考) 设函数（1）求f(x)的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若集合，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共15分) 22-1、23-1、23-2、。
山东省济南市2020届高三二模考试数学试题及其答案
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2020-2021学年山东省高考二模考试数学试题（文）及答案解析
2020-2021学年⼭东省⾼考⼆模考试数学试题（⽂）及答案解析⼭东省⾼三下学期⼆模考试⾼三数学（⽂科）试题第Ⅰ卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -?=≥，则()U M N =I e（） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知平⾯向量a r 和b r 的夹⾓为60?，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r（）A ．20B ．12C ．D ．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.设3log 6a =，4log 8b =，5log 10c =，则（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>6.某产品的⼴告费⽤x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归⽅程9.4y x a =+，据此模型预测，⼴告费⽤为6万元时的销售额为（）万元 A ．63.6B ．65.5C ．72D ．67.77.下列说法正确的是（）A ．命题“x R ?∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ?∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//ll 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题8.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若AOB S ?=e =（）A ．32B ．2C ．2 D9.已知某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．403B ．343C ．4210+D ．436 10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤?=?-<f x b -=+（b R ∈）的四个实根从⼩到⼤依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（） A ．122x x += B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）⼆、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数221,1,()log (1),1,x x f x x x ?-≤=?->?则7(())3f f = ．12.在长为5的线段AB 上任取⼀点P ，以AP 为边长作等边三⾓形，3和3的概率为．13.设x，y满⾜约束条件360,20,0,0,x yx yx y--≤-+≥≥≥则22x y+的最⼤值为．14.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果是．15.若对任意的x D∈，均有()()()g x f x h x≤≤成⽴，则称函数()f x为函数()g x到函数()h x在区间D上的“任性函数”．已知函数()f x kx=，2()2g x x x=-，()(1)(ln1)h x x x=++，且()f x 是()g x到()h x在区间[]1,e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共75分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）16.某⾷品⼚为了检查甲、⼄两条⾃动包装流⽔线的⽣产情况，随机在这两条流⽔线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（Ⅰ）求甲流⽔线样本合格的频率；（Ⅱ）从⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有⼀件合格的概率．17.已知函数()4sin cos()33f x x x π=++，0,6x π??∈. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐⾓ABC ?的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最⼩值与最⼤值，且ABC ?的外接圆半径为32，求ABC ?的⾯积． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，13SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平⾯BDE ；（Ⅱ）求证：平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的⼀个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平⾏线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求||||MN OQ 的取值范围． 21.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成⽴？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．⾼三数学（⽂科）试题答案⼀、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB⼆、填空题13 12.2513.52 14.8 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）由表知甲流⽔线样本中合格品数为814830++=，故甲流⽔线样本中合格品的频率为300.7540=．（Ⅱ）⼄流⽔线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404??=，不合格产品件数为0.015402??=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，}(,)e f 共15个．⽤A 表⽰“２件产品恰好只有⼀件合格”这⼀基本事件，则{(,)A a e =，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，}(,)d f 共8个，故所求概率815P =． 17.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =?-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333ππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，∴函数()f x的值域为2??．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ?的外接圆半径4r =，sin 2a A r ===，sin 232b B r ===，cos 3A =，1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，∴11sin 2223ABC S ab C ?==?=． 18.证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ，∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点，∴//EF SC ，⼜EF ?⾯BDE ，SC ?⾯BDE ，∴//SC 平⾯BDE ．（Ⅱ）∵2SB =，3BC =，13SC =，∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥，⼜四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，⼜AB 、SB 在平⾯SAB 内且相交，∴BC ⊥平⾯SAB ，⼜BC ?平⾯ABCD ，∴平⾯ABCD ⊥平⾯SAB ．19.解：（Ⅰ）∵等⽐数列{}n a 满⾜163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=?.∴13n n a -=，1n =时也成⽴，∴169a ?=+，解得3a =-，∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -??=-+??+?? .当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ??=+-++++=+??++??…；当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ??+-++-+=-??++??…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+． 20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆⼼到直线0x y b ++=的距离为11=，所以b =，⼜椭圆C经过点，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准⽅程为22132x y +=．（Ⅱ）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的⽅程为x my =，则MN 的⽅程为1x my =+.由22,1,32x my x y =+=??得222226,236,23m x m y m ?=??+??=?+?即22022026,236.23m x m y m ?=??+?=+所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =++=??，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，12||||MN y y =-====所以||||MNOQ====，因为2 11m+≥，所以21011m<≤+，即212231m<+≤+，即213221m≤<++，所以||23||MNOQ≤<，即||||MNOQ的取值范围为[,2) 3．21.解：（Ⅰ）当1 a=-时，21()2ln32f x x x x=+-，2232(1)(2)x x x xf x xx x x-+--=+-==．当01x<<或2x>时，'()0f x>，()f x单调递增；当12x<<时，'()f x<，()f x单调递减，所以1x=时，5()(1)2f x f==-极⼤值；2x=时，()(2)2ln24 f x f==-极⼩值．（Ⅱ）当0a<时，2'()(2)ax=-+-2(2)2x a x ax+--=(2)()x x ax-+=，①当2a->，即2a<-时，由'()0f x>可得02x<<或x a>-，此时()f x单调递增；由'()0 f x<可得2x a<<-，此时()f x单调递减；②当2a-=，即2a=-时，'()0f x≥在(0,)+∞上恒成⽴，此时()f x单调递增；③当2a-<，即20a-<<时，由'()0f x>可得0x ax>，此时()f x单调递增；由'()0f x<可得2a x-<<，此时()f x单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -；当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，⽆减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -．（Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成⽴可得：()()f m am f n an ->-恒成⽴，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成⽴，即'()0f x a -≥恒成⽴，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成⽴，⼜0x >，∴2220x x a --≥在0x >时恒成⽴，∴2min11(2)22a x x ??≤-=-??，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成⽴.。
山东省2020届高三数学二模试卷
山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。
2020年山东济南章丘市章丘第四中学高三下学期高考模拟数学试卷(2月)-学生用卷
2020年山东济南章丘市章丘第四中学高三下学期高考模拟数学试卷（2月）-学生用卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第1题5分2018~2019学年11月山东济南历城区济南市历城第二中学高三上学期月考文科第1题5分已知集合A={x|x2−2x>0}，B={x|−2<x<3}，则（）．A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第2题5分若复数z=i2019+|3+4i|3−4i，则z的虚部为（）．A. −15B. 15C. −15iD. 15i3、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第3题5分已知双曲线y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上焦点为F，点A在渐近线上，且△OAF是边长为2的正三角形（O为原点），则双曲线离心率为（）．A. 12B. 2√33C. 2D. √324、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第4题5分若△ABC的外接圆圆心为O，半径为1，OA→+OB→+OC→=0→，则OA→⋅OB→（）．A. −12B. 0 C. 1 D. 125、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第5题5分若(x2−a)(x+1x )10的展开式中x6的系数为30，则a=（）．A. −12B. −2 C. 2 D. 126、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第6题5分设x∈(0,π)，则函数f(x)=|√1+cosx−√1−cosx|的取值范围是（）．A. [0,√2)B. [0,2]C. [0,√2]D. [0,2)7、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第7题5分2020~2021学年重庆九龙坡区高一上学期期末第8题5分2020~2021学年四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高一上学期期中第11题5分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市南山区育才中学高一上学期段考（二）第12题5分2019~2020学年北京高一上学期单元测试第54题高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3．已知函数f(x)=2x+11+2x −13，则函数y=[f(x)]的值域是（）．A. {0,1}B. {−1,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1}8、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第8题5分2019~2020学年浙江衢州柯城区衢州第三中学高二上学期期末（五校联盟）第9题4分2019~2020学年浙江衢州龙游县浙江省龙游中学高二上学期期末（五校联盟）第9题4分2019~2020学年浙江衢州江山市浙江省江山中学高二上学期期末（五校联盟）第9题4分2019~2020学年浙江衢州常山县浙江省常山县第一中学高二上学期期末（五校联盟）第9题4分在三棱锥A−BCD中，△BCD是边长为√3的等边三角形，∠BAC=π3，二面角A−BC−D的大小为θ，且cosθ=13，则三棱锥A−BCD体积的最大值为（）．A. 3√64B. √64C. √32D. √36二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第9题5分2019~2020学年山东济南历下区山东省济南第一中学高二上学期期中第11题5分设数列{a n }n ∈N ∗是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，则下面结论正确的是（ ）． A. d <0 B. a 7=0 C. S 9>S 8D. S 6，S 7均为S n 的最大值10、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第10题5分将函数y =2sin(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ）． A. f(x)是偶函数 B. f(x)的周期是π2C. f(x)的图象关于直线x =π12对称 D. f(x)的图象关于点(−π4,0)对称11、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第11题5分已知3a =5b =15，则a ，b 可能满足的关系是（ ）． A. a +b >4 B. ab >4C. (a −1)2+(b −1)2>2D. a 2+b 2<812、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第12题5分若函数f(x)={2x2lnx,x>0−x3−4x2,x⩽0的图象和直线y=ax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是（）．A. −1eB. 0C. 2D. 4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第13题5分若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有种（用数字填空）．14、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第14题5分2020~2021学年湖南长沙宁乡市宁乡第一高级中学高三上学期期中第14题5分2019~2020学年12月重庆高三上学期月考理科第13题5分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a2=bc，则sinBsinC=．15、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第15题5分已知双曲线x 24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点且PF2与x轴垂直，若∠F1PF2的平分线恰好过点(1,0)，则b=，△PF1F2的面积为．16、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第16题5分2019年山东菏泽高三一模理科第15题5分2019年山东烟台高三一模理科第15题5分已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第17题10分在锐角三角形△ABC中，AC=5，点D在线段BC上，且CD=3，△ACD的面积为6，延长BA至E，使得EC⊥BC．(1) 求AD的值．(2) 若sin∠BEC=2，求AE的值．318、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第18题12分已知数列{a n}为正项等比数列，a1=3，且3a2，a42，2a3成等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式a n．}的前n项和为T n，若T n⩾5恒成立，求λ的取值范围．(2) 记b n=log3a n，数列{λb n b n+119、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第19题12分如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别是AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．(1) 证明：EF⊥SC．(2) 若AB=12BC，求二面角B−SC−D的余弦值．20、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第20题12分12月13日，根据中国疾病预防控制中心监测数据显示，目前全国南、北方省份流感活动水平继续呈升高趋势，暴发疫情报告数明显增多，流感监测系统未发现影响流感病毒传播力、疾病严重性和耐药性的变异．随着国家流感中心的监控数据不断上升，2019年的流感季真的来了．预计接下来一段时间，流感活动度将会继续增强，需要加强预防．有分析人士指出，根据历年监测结果和流行规律，预计接下来一段时间，流感活动度将继续增强，学校、幼托机构等人群聚集场所发生流感聚集疫情的风险较高．为做好2019∼2020年流行季流感防控工作，济南市卫生健康委全面加强了流感监测、疫苗接种、健康教育、疫情处置等防控工作，并为此成立了专门的调研小组，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到济南市气象局与济南市中心医院调取了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该调研小组确定的研究方案是先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行实验．参考公式：b=∑x i y ini=1−nxy∑x i2ni=1−nx2=∑(x i−x)(y i−y)ni=1∑(x i−x)2ni=1，a=y−bx．(1) 求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率．(2) 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y^= bx+a．(3) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？21、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第21题12分已知点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆过点(0,√3)，点P为椭圆上一点，且k PA⋅k PB=−34．(1) 求椭圆的标准方程．(2) 若椭圆的右焦点为F，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限交于点Q，过点Q作抛物线的切线，该切线与椭圆交于点M，Q，试求△MFQ的面积．22、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（2月）第22题12分已知函数f(x)=e x−x+a（a∈R，e=2.71828⋯）．(1) 若f(x)⩾0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．(2) 设t为整数，对于任意正整数n，都有(1n )n+(2n)n+(3n)n+⋯+(nn)n<t，求t的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;B;D;10 、【答案】 A;D;11 、【答案】 A;B;C;12 、【答案】 A;C;13 、【答案】72;14 、【答案】34;15 、【答案】2√3;24;16 、【答案】2√23;17 、【答案】 (1) 4．;(2) 92．;18 、【答案】 (1) a n=3n(n∈N+)．;(2) λ⩾10．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√105．;20 、【答案】 (1) 13．;(2) y^=187x−307．;(3) 该小组所得线性回归方程是理想的．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 25√627．;22 、【答案】 (1) a⩾−1．;(2) 2．;。
2020年山东省济南市章丘第四中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年山东省济南市章丘第四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则tanα=（）A．B．2 C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan2α的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知，即sin（﹣α）?cos（﹣α）=﹣，即sin（﹣2α）=﹣，即?cos2α=﹣，∴cos2α=﹣==，∴tan2α=4．再结合tanα＞0，可得tanα=2，故选：B．2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1 C．1D．3参考答案：A3. 以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”成立的必要不充分条件C．对于命题，使得，则，均有D．若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D4. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．1 C．D．3参考答案：D5. 函数f（x）=1+log2x和g（x）=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上平移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、C，又∵g（x）=2x+1的图象是由y=2x的图象左平移1而得故其图象也必过（﹣1，1）点，故排除B故选D．【点评】本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于中档题．6. 关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．（，0）C．(，0) D．(0，2参考答案：A7. 已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值等于（）A．0.9 B．0.8 C．0.6D．0.2参考答案：A8. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差参考答案：C【命题立意】本题考查统计学中的数字特征与统计图。
2020年山东济南章丘市章丘第四中学高三下学期高考模拟数学试卷(3月)-学生用卷
2020年山东济南章丘市章丘第四中学高三下学期高考模拟数学试卷（3月）-学生用卷一、多项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第1题5分2017~2018学年1月浙江金华义乌市群星外国语学校高三上学期月考理科第1题5分若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y−4>0,x,y∈A}，则集合B中的元素个数为（）．A. 9 B. 6 C. 4 D. 32、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第2题5分2017年山东德州高三二模文科第2题5分2018~2019学年北京东城区北京市第五中学高三上学期开学考试理科第4题5分2017年山东德州高三二模理科第2题5分若复数(1+mi)(3+i)（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数m+3i的模等于（）．1−iA. 1B. 2C. 3D. 43、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第3题5分2018~2019学年湖南岳阳岳阳县岳阳县第一中学高三上学期期中文科第3题5分2019年陕西西安新城区西安市第八十九中学高三四模文科第5题5分已知a=1.90.4，b=log0.41.9，c=0.41.9，则（）．A. a>b>cB. b>c>aC. a>c>bD. c>a>b4、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第4题5分2017年山东淄博高三二模理科第8题5分2017年山东淄博高三二模文科第8题5分已知函数f (x )=x e sin(x−π2)（e 为自然对数的底数），当x ∈[−π,π]时，y =f (x )的图象大致是（ ）． A.B.C.D.5、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第5题5分已知xy =1，且0<y <√22，则x 2+4y 2x−2y 的最小值为（ ）． A. 4 B. 92 C. 2√2 D. 4√26、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第6题5分2020~2021学年3月陕西西安新城区西安市第八十九中学高一下学期月考第6题3分将函数f(x)=cosωx （其中ω>0）的图象向右平移π3个单位，若所得图像与原图象重合，则f (π24)不可能等于（ ）．A. 0B. 1C. √22D. √327、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第7题5分2020~2021学年高二上学期期末设F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0(O 为坐标原点)，且|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. √2+12B. √2+1C. √3+12D. √3+18、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第8题5分已知不等式ln(x +1)−1⩽ax +b 对一切x >−1都成立，则b a的最小值是（ ）． A. 1−eB. eC. 1−e −3D. 1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第9题5分2019~2020学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高一下学期期末第9题5分下列关于平面向量的说法中不正确的是（）．A. 已知a→，b→均为非零向量，则a→//b→⇔存在唯一的实数λ，使得b→=λa→B. 若向量AB→，CD→共线，则点A，B，C，D必在同一直线上C. 若a→⋅c→=b→⋅c→且c→≠0，则a→=b→D. 若点G为△ABC的重心，则GA→+GB→+GC→=0→10、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第10题5分2019~2020学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高二下学期期中理科第11题5分2019~2020学年4月江苏南京鼓楼区金陵中学高二下学期周测C卷第9题5分对于二项式(1x +x3)n（n∈N∗），以下判断正确的有（）．A. 存在n∈N∗，展开式中有常数项B. 对任意n∈N∗，展开式中没有常数项C. 对任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项D. 存在n∈N∗，展开式中有x的一次项11、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第11题5分2019~2020学年山东青岛崂山区青岛第二中学高二上学期期末第12题5分已知椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率可以是（）．A. 14B. 13C. 12D. 2312、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第12题5分2019~2020学年山东青岛市南区青岛第三十九中学高二下学期期末多选第12题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，则下列命题正确的是（）．A. 当x>0时，f(x)=−e−x(x−1)B. 函数f(x)有3个零点C. f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x1，x2∈R都有|f(x1)−f(x2)|<2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第13题5分2019~2020学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第13题5分若(12x2−x)n的展开式中第r+1项为常数项，则rn=．14、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第14题5分2019~2020学年广东梅州高三上学期期末设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，(n+1)a n+1=(n−1)S n，则S n=．15、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第15题5分2017~2018学年1月浙江金华义乌市群星外国语学校高三上学期月考理科第10题6分若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的√34倍，则双曲线的离心率为，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为．16、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第16题5分2020~2021学年4月湖南长沙高一下学期月考（炎德英才大联考）第16题5分在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC =BC =1，CO →=xCA →+yCB →且x +y =1，函数f (m )=|CA →−mCB →|的最小值为√32，则|CO →|的最小值为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第17题10分2017~2018学年10月湖南长沙雨花区雅礼中学高三上学期月考文科第17题12分已知f (x )=2cosxsin(x +π6)+√3sinxcosx −sin 2x ．(1) 求函数y =f (x )的单调递增区间．(2) 设△ABC 的内角A 满足f (A )=2，且AB →⋅AC →=√3，求边BC 的最小值．18、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第18题12分2017~2018学年10月天津和平区天津市第一中学高三上学期月考理科第19题2017年山东淄博高三二模理科第19题12分已知数列{a n } 的前n 项和为S n ，a 1=34 ，S n =S n −1+a n −1+12（n ∈N ∗ 且n ⩾2 ），数列{b n } 满足：b 1=−374，且3b n −b n −1=n +1 （n ∈N ∗ 且n ⩾2）．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 求证：数列{b n −a n } 为等比数列．(3) 求数列{b n }的前n 项和的最小值．19、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第19题12分2015~2016学年天津高三上学期期末理科六校联考第17题13分2016年黑龙江大庆高三二模理科第19题12分2017~2018学年1月浙江金华义乌市群星外国语学校高三上学期月考理科第17题15分如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．(1) 求证：AF⊥平面SBC．(2) 在线段上DE上是否存在点G，使二面角G−AF−E的大小为30°？若存在，求出DG的长．若不存在，请说明理由．20、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P(√6,−1)，且△PF1F2的面积为2．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为√2的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l的方程．21、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第21题12分某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民是否购买该款手机与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用如图所示的茎叶图表示．附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(1) 根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？(2) 从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望．22、【来源】 2020年山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高三下学期高考模拟（3月）第22题12分2019~2020学年安徽阜阳高三上学期期末文科第22题12分2019~2020学年3月河南郑州新密市新密市第一高级中学高三下学期月考文科第21题12分−tlnx，其中x∈(0,1)，t为正实数．设函数f(x)=x−1x(1) 若不等式f(x)<0恒成立，求实数t的取值范围．(2) 当x∈(0,1)时，证明：x2+x−1x−1<e x lnx．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;C;10 、【答案】 A;D;11 、【答案】 B;C;D;12 、【答案】 B;C;D;13 、【答案】23;14 、【答案】2n−1n;15 、【答案】2;4√3;16 、【答案】12;17 、【答案】 (1) 单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．;(2) √3−1．;18 、【答案】 (1) a n=12n+14．;(2) 证明见解析．;(3) −34．3;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 存在，此时DG=1，理由见解析．2;20 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;21 、【答案】 (1) 没有;(2) 见解析;22 、【答案】 (1) (0,2]．;(2) 证明见解析．;。
2020届山东省济南市高三二模数学试题(详解)
2020届山东省济南市高三二模数学试题一、选择题1．已知α为第四象限角，则5cos 13α=，则sin α=（ ） A ．1213-B ．1213 C ．512-D ．512【答案】A【解析】α为第四象限角，212sin 1cos 13αα=--=-.故选：A 2．已知,x y R ∈，集合{1,2}x A =，{,}B x y =，12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则xy =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故122x =，1x =-，12y =，故12xy =-.故选：B.3．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=.故选：C. 4．十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜．下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（ ）A ．在100米项目中，甲的得分比乙高B ．在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C ．甲的各项得分比乙更均衡D ．甲的总分高于乙的总分 【答案】C【解析】A. 在100米项目中，甲的得分比乙高，A 正确；B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同，B 正确；C. 乙的各项得分比甲更均衡，C 错误；D. 甲的总分约为10009505008008509504508507505007600+++++++++=，乙的总分约为7507507508008507506506507507007400+++++++++=，D 正确.故选：C.5．已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞C ．()1,4-D ．()(),14,-∞-+∞【答案】D【解析】()()2221,121,11,11,1x x x x x x f x f x x x x x ⎧-+-≤⎧-+-≤⎪===⎨⎨->->⎪⎩⎩，如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，()()243f a f a ->，即243a a ->，解得4a >或1a <-.故选：D.6．任何一个复数z a bi =+（其中,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：cos cos [(sin ]sin ,()n n n r i r i n n N θθθθ++=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数cos sin 44mi ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为纯虚数的是（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】cos sin cos sin4444mm m i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭为纯虚数，故cos 04m π=且sin 04m π≠， 故24m k =+，k Z ∈，故n 为偶数是24m k =+，k Z ∈的必要不充分条件. 故选：B.7．已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ）A ．3+22B ．222+C ．4D ．2【答案】B【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+.故选：B.8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为（ ）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π【答案】D【解析】2AB =，AC BC ⊥，故底面三角形外接圆半径为1r =，()2211124ABC S CA CB CA CB =⋅≤+=△，当2CA CB ==时等号成立，故1233ABC V S h =⋅=△，故2h ≥，当P 离平面ABC 最远时，外接球表面积最小，此时，P 在平面ABC 的投影为AB 中点1O ，设球心为O ，则O 在1PO 上，故()2221R h R =-+，化简得到122h R h =+，双勾函数122x y x=+在[)2,+∞上单调递增，故min 54R =，故2min min 2544S R ππ==.故选：D.二、多选题9．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）． 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N u σ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P u σξμσ-<<+=A ．该市学生数学成绩的期望为100B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC【解析】数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A 正确B 错误； 及格率为()1110.841100101001320p P ξ+=-<<-=-，C 正确；不及格概率为20.1587p =，优秀概率()3110020100200.02282P p ξ--<<+==，D 错误.故选：AC.10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（ ） A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等腰三角形C ．三角形PAB 面积的最大值为3D ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为6π 【答案】ABD【解析】如图所示：()22231PO =-=，A 正确；2PA PB ==，B 正确；易知直线PA 与圆锥底面所成角的为6PAO π∠=，D 正确；取AB 中点为C ，设PAC θ∠=，则,62ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，2sin 2cos 2sin 2PAB S θθθ=⋅=△，当4πθ=时，面积有最大值为2，C 错误.故选：ABD.11．已知实数x ，y ，z 满足1ln yx e z==，则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC【解析】设1ln yx e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图像，如图所示： 当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ） A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数 B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD【解析】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误； 当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 三、填空题13．5G 指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5．则该公司攻克这项技术难题的概率为________． 【答案】0.8【解析】根据题意：()()110.610.50.8P =---=. 14．能够说明“若11a b>，则a b <”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________． 【答案】1a =，1b =-，答案不唯一，a ，b 分别取大于0，小于0的整数即可 【解析】取1a =，1b =-，满足11a b>，但a b >，得到命题为假命题. 15．已知函数()()1xf x e a x =-+，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1,)+∞【解析】()()10xf x e a x =-+=，当1x =-时，不成立，故1xe a x =+，设()1x e g x x =+，1x ≠-，则()()2'1xxe g x x =+，故函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递减，在[)0,+∞单调递增，()01g =，画出函数图像，如图所示，根据图像知：1a >.16．【2020届山东省济南市高三二模】已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π5by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交），则直线1F P 为()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=．设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF 的距离为：122ac bc d b a a b-==-+．设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=，1O 到直线2PF 的距离为2121c kc d d b a k -===-+，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =，当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去．故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=．联立方程得到()()a y x c bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241b a a b a c b c --=，化简整理得到：225c a =，故5e=.四、解答题17．2020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从[10,12)和[12,14]两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率．【解析】（1）由题知10021000a=，(20.0750.10.2)21b a++++⨯=，所以0.05a=，0.025b=．（2）因为2ab=，所以6名学生中有4名来自于[10,12)组，有2名来自于[12,14]组，记事件A为：“这2名学生来自不同组”，则1412268()15C CP AC⋅==.18．已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）证明：cos cosa Bb A c+=；（2）在①2cos cosc b aB A-=，②cos2cos cosA b A a C=-，③cos cos2cosb Cc BaA osA-=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若7a =，5b =，________，求ABC 的周长．【解析】（1）根据余弦定理：222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc +-+-+=⋅+⋅2222222a c b b c a c c +-++-==，所以cos cos a B b A c +=.（2）选①：因为2cos cos c b aB A-=，所以2cos cos cos c A b A a B ⋅=+， 所以由（1）中所证结论可知，2cos c A c =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=；选②：因为cos 2cos cos c A b A a C =-，所以2cos cos cos b A a C c A =+， 由（1）中的证明过程同理可得，cos cos a C c A b +=，所以2cos b A b =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=； 选③：因为cos cos 2cos cos C Ba b c A A-⋅=⋅，所以2cos cos cos a A b C c B =+， 由（1）中的证明过程同理可得，cos cos b C c B a +=，所以2cos a A a =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=． 在ABC 中，由余弦定理知，222212cos 2510492a b c bc A c c =+-=+-⋅=，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍），所以75820a b c ++=++=， 即ABC 的周长为20．19．如图，三棱维P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，45PAB PBA ︒∠=∠=，260BAC ABC ︒∠∠==，D 是棱AB 的中点，点E 在棱PB 上点G 是BCD 的重心．（1）若E 是PB 的中点，证明//GE 面PAC ；（2）是否存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30︒，若存在，求BEBP的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）延长DG 交BC 于点F ，连接EF ，因为点G 是BCD 的重心，故F 为BC 的中点， 因为D ，E 分别是棱AB ，BP 的中点，所以//DF AC ，//DE AP ， 又因为DF DE D =，所以平面//DEF 平面APC ，又GE 平面DEF ，所以GE平面PAC ．（2）连接PD ，因为45PAB PBA ︒∠=∠=，所以PA PB =，又D 是AB 的中点， 所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，而平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面ABC ，如图，以D 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，DB ，DP 所在直线分别为y 轴，z 轴建空间直角坐标系，设2PA PB ==，则22AB =2PD CD ==，所以(0.0,0)D ，2,0)B ，622C ⎫⎪⎪⎝⎭，622G ⎫⎪⎪⎝⎭，2)P ，假设存在点E ，设BE BP λ=，(0.1]λ∈，则2,0)(0,2,2)2(12)DE DB BE DB BP λλλλ=+=+=+=-，所以2(12)E λλ-，又6222DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1126202(1)20n DC x y n DE y λλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令1x =，解得13(1)1,3,n λ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 又平面CDG ，平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =， 而二面角E CD G --的大小为30︒，所以1212123|cos ,|||||n n n n n n ⋅〈〉==， 即2223(1)33(1)1(3)1λλλλ-=⎛⎫-+-+⨯ ⎪⎝⎭13λ=， 所以存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30︒，此时13BE BP =．20．如图1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表，如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列{}n a ，其中11a =，21a =，32a =…设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求8a 的值，并写n a ，1n a +，2n a +出满足的递推关系式（不用证明）； （2）记2022a m =，用m 表示2020S ．【解析】（1）81610421a =+++=；21()n n n a a a n N +++=+∈．（2）因为321a a a =+，432a a a =+，…202120202019a a a =+，202220212020a a a =+， 相加得()342022232021122020a a a a a a a a a +++=+++++++………， 所以202222020a a S -=，所以20201S m =-．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为A ，B ，||25AB =，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知M 为椭圆C 上一动点（M 不与A ，B 重合），直线AM 与y 轴交于点P ，直线BM 与x 轴交于点Q ，证明：||||AQ BP ⋅为定值．【解析】（1）由题意可知2222022a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）(4,0)A -，(0,2)B -，设()00,M x y ，()0,P P y ，(),0Q Q x ，因为()00,M x y 在椭圆C 上，所以2200416x y +=，由A ，P ，M 三点共线得：0044P y y x =+，即0044P y y x =+，同理可得：0022Q x x y =+．所以||||42P Q AQ BP x y ⋅=+⋅+00000024824842x y x y x y ++++=⋅++()()()22000000004416481642x y x y x y x y +++++=++16=．所以||||AQ BP ⋅为定值16． 22．已知函数()ln axxf x e =存在唯一的极值点0x ． （1）求实数a 的取值范围；（2）若()120,,x x x ∈+∞，证明：1122()12log (x a x ax x x e e x -+-+>+）．【解析】（1）函数的定义域为(0,)+∞，1ln ()ax a xx f x e-'=，令1()ln g x a x x=-， ①若0a =，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意； ②若0a <，21()ax g x x+'=-，令()0g x '=，得10x a =->， 所以()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，111ln 1ln g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （ⅰ）若11ln 0a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即0e a -≤<时，1()ln 0g x a x x =-≥，()0f x '≥， ()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意；（ⅱ）若11ln 0a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，即a e <-时，10g a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，(1)10g =>，因为11()ln 2g x a x a x x ⎫=->+=+⎪⎭，则2104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在(0,)+∞上有两个变号零点，所以()f x 有两个极值点，不合题意； ③若0a >，21()0ax g x x+'=-<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减； 且(1)10g =>，1110a a g e e --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，存在唯一101,a x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，当()00,x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0<g x ，()0f x '<，所以0x 是()f x 的唯一极值点，符合题意； 综上，a 的取值范围是(0,)+∞． （2）由（1）可知，01x >，因为10x x >，20x x >，所以()1ln 0x >，()2ln 0x >，()12ln 0x x +>， 由（1）可知函数()f x 在()0,x +∞上单调递减， 所以()()112f x f x x >+，()()212f x f x x >+， 即()1121)21(ln ln ax a x x x x x e e ++>，()2121)22(ln ln ax a x x x x x e e++>， 现证明不等式：a c a cb d b d++>+，其中(),,,0,a b c d ∈+∞ 要证a c a c b d b d ++>+，即证ad bc a cbd b d++>+，即证22abd ad b c bcd abd bcd +++>+，即证220ad b c +>，易知成立.所以()121212121212)(ln ln ln ln ln ax ax ax ax a x x x x x x x x e e e c e++++>>+，即()121212(1)2ln ln ln ax ax a x x x x e e x x e +++>+， 即()121212ln ln ax ax x x e e x x -->++，所以()1212(12)log ax ax x x x x e e --+>+，证毕．。
山东省2020版高考数学二模试卷(理科)(II)卷
山东省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·鞍山模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·深圳模拟) 复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分）设随机变量X~N（0，1），已知，则（）A . 0.025B . 0.050C . 0.950D . 0.9754. （2分）等差数列中，“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·龙泉驿模拟) 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若对满足的、，有，则A .B .C .D .7. （2分）设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值分别为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·吉林期末) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·三明期末) 已知M（x0 ， y0）是双曲线C：x2﹣y2=1上的一点，F1 ， F2是C 上的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018高二下·抚顺期末) 已知函数，若关于的方程有5个实数不同的解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）已知⊙C：x2+y2﹣2x+my﹣4=0上有两点M、N关于2x+y=0对称，直线l：λx+y﹣λ+1=0与⊙C 相交于A、B，则|AB|的最小值为________．12. （1分） (2018高三上·杭州月考) 如果的展开式中各项系数之和为，则含项的系数等于________.(用数字作答)13. （1分）当m=8时，执行如图所示的程序框图，输出S的值为________14. （1分）(2017·武邑模拟) 方程x2+x+n=0（n∈[0，1]）有实根的概率为________．15. （1分） (2018高一上·西宁期末) 已知函数的定义域是，且满足，.如果对于，都有，则不等式的解集为________（表示成集合）．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2017高一下·新余期末) 已知函数f（x）= sinxcosx﹣cos2x+ ，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣， ]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．17. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计表：噪音值（单位：分贝）频数（1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.（ii）学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这天校园出现的重度噪音污染天数记为，求的分布列和方差 .18. （5分） (2017高一下·丰台期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，点E是棱PA的中点，PB=PD，平面BDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：PC⊥平面ABCD；（Ⅲ）设PC=λAB，试判断平面PAD⊥平面PAB能否成立；若成立，写出λ的一个值（只需写出结论）．19. （10分） (2017高一下·嘉兴期末) 已知等比数列{an}满足，a2=3，a5=81．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an ，求{bn}的前n项和为Sn ．20. （10分） (2017高二下·临淄期末) 已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax+b．（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（2）若φ（x）= ﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．21. （10分） (2019高二上·成都期中) 已知动点满足： . （1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2020届山东省济南市章丘区高三上学期月考数学试题
2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞， 所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 【详解】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A.32B.23-C.23D.32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【答案】D【解析】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的,则实数a 的取值范围为（ ） A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据实数a 的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】当0a =时, ()23f x x =-,因为20>,所以函数()23f x x =-是整个实数集上的增函数,故在区间(),4-∞上也是单调递增的,符合题意；当0a ≠时，要想函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的只需满足：102442a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩,综上所述：实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.9．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过 A.向右平移3π个单位长度得到 B.向右平移23π个单位长度得到 C.向左平移3π个单位长度得到D.向左平移23π个单位长度得到【答案】B【解析】把函数cossin 222x x y π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，可得函数sin sin 23226x x y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选B.10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n na t aa t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 11．已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（ ） A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D【解析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a ag x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数， 此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数； 当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数；当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.二、多选题12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数， 故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得exa =，当ex a >时，()0f x '>，当0ex a<<时，()0f x '<， 如图：所以()f x 有极小值)e f a ，要使函数有4个零点，只需)0e f a<即可， 即111()ln()ln 02222ea e e a f a ae ae a e a ⋅=-=-=-<， 解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合α为第二象限的角,可以求出cos α的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出tan α的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出tan2α的值. 【详解】因为α为第二象限的角,所以2234cos 1sin 1()55αα=-=-=-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为：247- 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力. 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14-【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．17．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.()1ln 212- 【解析】对函数进行求导，把2x =代入导函数中,求出'(2)f 的值,这样可以确定函数的解析式以及函数的导函数,这样利用导函数可以判断函数的单调性,最后求出函数的极大值点和极大值. 【详解】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112(()222x x x f x x x x x-++=-+==-,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x ,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.()1ln 212-【点睛】本题考查了求函数的极大值点及极大值问题,正确求出函数的解析式是解题的关键,考查了数学运算能力.四、解答题18．已知函数()()lg 1f x x =+的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ．(1)当8a =-时,求AB ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值． 【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.【解析】(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,得到不等式组和不等式,解不等式组和不等式即可求出集合,A B ,利用集合交集定义求出AB ；(2)先求出R C B ,再根据{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可以求出a 的值． 【详解】(1)函数()()lg 1f x x =+有意义,则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤,当8a =-时,()()2lg 28g x x x =--,所以2280x x -->,解得4x >或2x <-,所以{}|45A B x x ⋂=<≤；(2){}{}212|20|R C B x x x a x x x x =-+≤=≤≤ 12()x x ≤, 由(){}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可得11x ≤-,23x =,将23x =代入方程,解得3a =-,11x =-,满足题意，所以3a =-．【点睛】本题考查了求函数定义域,考查了集合的交集定义,考查了已知集合交集运算的结果求参数问题,考查了数学运算能力.19．已知()()4sin sin 13f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期；(2)当[]0,2x π∈时,求()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π；(2)5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)先用两角和的正弦公式展开化简计算,最后运用辅助角公式把函数()f x 的解析式化成正弦型函数解析式形式,运用求正弦型函数最小正周期公式求出求()f x 的最小正周期；(2)利用正弦型函数的单调性,结合[]0,2x π∈,求出()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()14sin sin cos 122f x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+2cos 2x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为π.（2）当3222262k x k πππππ+≤-≤+, 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈时,()f x 为减函数, ∵[]0,2x π∈,∴()f x 的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了辅助角公式,考查了正弦型函数的最小正周期公式以及单调性,考查了数学运算能力.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2,1；(2)13k <-. 【解析】1）由定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．可得()00f =，()1(1)f f =--，联立即可解得,a b ，并验证即可．（2）由（1）得：11()221x f x =-++．利用2y x =在R 上单调递增，可得()f x 在R 上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立⇔()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．即可解出．【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()1(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知12111()22221x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+． 因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在ABC ∆中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c 2sin a B =.(1)求角A ；(2)将函数1sin y x =的图象向左平移6π个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()y f x =的图象,若()12f A =,1b =,且ABC ∆的面积S =判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3A π=或23A π=；(2)ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆. 【解析】(1)运用正弦定理实现边角转化,再利用特殊角的三角函数值,可以求出角A ；(2)按照正弦函数图象的平移变换、伸缩变换的解析式之间的关系,求出()y f x =的解析式,根据面积公式、余弦定理、勾股定理的逆定理最后可以判断出ABC ∆的形状.【详解】(1)2sin sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以sin A =， 又()0,A π∈，得：3A π=或23A π=. (2)已知可得：()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得3A π=. 又1sin 22S bc A ==，得2c =.由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得a =显见222+=a b c ，所以ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.考查了正弦函数图象的平移变换、伸缩变换.22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件，需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)()21402503L x x x =-+-；(2)年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【解析】(1)根据题意可以分成两种情况进行分析讨论：一是当080x <<时,二是当80x ≥时，根据年利润=销售收入-成本,这样可以用分段函数形式写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)分别利用配方法和基本不等式求出当080x <<时、当80x ≥时,函数()L x 的最大值,通过比较,最后求出函数()L x 的最大值.【详解】(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元, ①当080x <<时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()210.0510********L x x x x =⨯---21402503x x =-+-； ②当80x ≥时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()100000.051000511450250L x x x x =⨯--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 综①②可得,()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)①当080x <<时,()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+, ∴当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元；②当80x ≥时,()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=,即100x =时,()L x 取得最大值()1001000L =万元． 综合①②,由于9501000<,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【点睛】本题考查了利用函数的最值解决实际问题的能力.考查了配方法和基本不等式的应用,考查了数学运算能力.23．已知函数()21xx f x e +=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()()ln 21f x g x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22x x e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可.【详解】（1）()()22421212x x x x e x e x f x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e-=--， 整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=.（1）要证()1g x <，只需证()2ln 2xx a e +<， 又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<， 即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-， ∵()()122t h t e t t '=->+单调递增， ()1110h e '-=-<，()10102h '=->， ∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012t e t =+，即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>，∴()()()020000min 0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++， ∴()()ln 20t h t e t =-+>，即()1g x <.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。
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山东省济南市章丘区第四中学2020届高三数学2月模拟试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，则 A ．B ．C ．D ．的的虚部为则若复数z ii i z ,4343.22019-++=51.-A 51.B i C 51.- i D 51.心率为为原点），则双曲线离正三角形（的是边长为在渐近线上，且点的上焦点为已知双曲线O OAF A F b a bx a y 2,)0,0(1.32222∆>>=-21.A 332.B 2.C 23.D OB OA OC OB OA O ABC ⋅=++∆则，半径为的外接圆圆心为若,0,1.421.-A 0.B 1.C 21.D5.若的展开式中的系数为，则A ．B ．C ． 2D ．()0,()1cos 1cos x f x x x π∈=+--6.设，则函数的取值范围是).0,2A ⎡⎣ [].0,2B .0,2C ⎡⎤⎣⎦[).0,2D7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是A ．B ．C ．D ．体积的最大值为则三棱锥且的大小为二面角的等边三角形，是边长为中，在三棱锥BCD A DBC A BAC BCD BCD A --=--=∠∆-,31cos ,,33.8θθπ463.A 46.B 23.C 63.D二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9. 设{})(*N n a n ∈是等差数列，d 是其公差，n S 是其前n 项和.若,,87665S S S S S >=<则下列结论正确的是0.<d A 0.7=a B 59.S S C > 的最大值均为与n S S S D 76.10.将函数)62sin(2π+=x y 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数)(x f y =的图像，则下列关于函数)(x f 的说法正确的是是偶函数)(.x f A 2)(.π的周期是x f B对称的图像关于直线12)(.π=x x f C 对称的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,4-)(.πx f D 11.已知,1553==ba则b a ,可能满足的关系是4.>+b a A 4.>ab B ()2)1(1.22>-+-b a C 8.22<+b a D12. 若函数⎩⎨⎧≤-->=0,40,ln 2)(232x x x x x x x f 的图像和直线ax y =有四个不同的交点，则实数a 的取值可以是 eA 1.- 0.B 2.C 4.D三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填空) 14.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若︒=60A ，bc a =2，则=C B sin sin _______..)3,2(.),0,1(,,,)0(14.152********2分第二空分本题第一空的面积为则的平分线恰好过点若轴垂直与为右支上一点且的左右焦点分别为已知双曲线F PF ，b PF F x PF P F F b by x ∆=∠>=-16.已知一16正四棱柱(底16面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 . 三、解答题17、（10分）在锐角三角形ABC ∆中，5=AC ，点D 在线段BC 上，且3=CD ，ACD ∆的面积为6，延长BA 至E ，使得BC EC ⊥ （1）求AD 的值； （2）若32sin =∠BEC ，求AE 的值.18、（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，31=a ，且3422,2,3a a a 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式n a .（2）记n n a b 3log =，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n b b λ的前n 项和为n T ，若5≥n T 恒成立，求λ的取值范围.19、（12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，E,F 分别是AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45˚. （1） 证明：EF ⊥SC（2） 若AB=BC,求二面角B-SC-D 的余弦值SAEFDCB20、（12分）12月13日，根据中国疾病预防控制中心监测数据显示，目前全国南、北方省份流感活动水平继续呈升高趋势，暴发疫情报告数明显增多；流感监测系统未发现影响流感病毒传播力、疾病严重性和耐药性的变异。
随着国家流感中心的监控数据不断上升，2019年的流感季真的来了。
预计接下来一段时间，流感活动度将会继续增强，需要加强预防。
有分析人士指出，根据历年监测结果和流行规律，预计接下来一段时间，流感活动度将继续增强，学校、幼托机构等人群聚集场所发生流感聚集疫情的风险较高。
为做好2019-2020年流行季流感防控工作，济南市卫生健康委全面加强了流感监测、疫苗接种、健康教育、疫情处置等防控工作，并为此成立了专门的调研小组，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到济南市气象局与济南市中心医院调取了了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该调研小组确定的研究方案是先从这六组数据中选取组,用剩下的组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行实验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;（2）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于的线性回归方程ˆybx a =+; （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?参考公式: 1122211()(),()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y b a y bx xnxxx ====---===---∑∑∑∑21、（12分）已知点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点，椭圆过点)3,0(，点P 为椭圆上一点，且43-=⋅PB PA k k .（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的右焦点为F ，抛物线x y 42=与椭圆在第一象限交于点Q ，过点Q 作抛物线的切线，该切线与椭圆交于点Q M ,，试求MFQ ∆的面积.22、（12分）已知函数.....)71828.2,()(=∈+-=e R a a x e x f x（1）若0)(≥x f 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围（2）设t 为整数，对于任意正整数n ，都有,...321t n n n n n nn n n <⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛求t 的最小值答案一、选择题 1-8 BBCACDDB 9、ABD 10、AD 11、ABC 12、A C 二、填空题 (13)72 (14)43(15)2432 (16)三、解答题17解：（1）在ACD ∆中，6sin 3521sin 21=∠⨯⨯=∠⋅=∆ACD ACD CD AC S ACD 所以54sin =∠ACD 因为0900<∠<ACD ，所以53cos =∠ACD 由余弦定理得：16cos 2222=∠⋅-+=ACD CA CD CA CD AD 所以4=AD （2）因为BC EC ⊥所以53cos )90sin(sin 0=∠=∠-=∠ACD ACD ACE 在AEC ∆中，由正弦定理AECACACE AE ∠=∠sin sin 得：32553=AE 故29=AE 18解：（1）由已知，得32423a a a +=0322=--∴q q 3=∴q 或1-=∴q 30=∴>q a n n n n a 3331=⋅=∴-（2）由（1）可得n b a n nn =∴=,3则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+11111n n n n b b n n λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=1111113121211n n n T n λλ5≥n T 即51≥+n n λ ()nn 15+≥∴λ ()1011515≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n 10≥∴λλ∴的取值范围为[)+∞,1019解：（1）连接A C ,取 A C 中点O ，连接 F O , EO .因为F为SC 中点，O 为A C 中点∴FO ∥SA . 又因为SA ⊥平面ABC D∴FO ⊥面ABCD∴EO 是FE 在面ABC D内的射影∠F E O 就是E F 与面A B C D 所成角.∴∠F E O = 4 5，又在EFO 中，∠FO E = 90 ︒∴EO =FO= 2 a , 设A D = 2 设EO =FO =a , 则SA = 2O FSA ⊥ 平面 ABC D ，A B C D 为矩形，以 A 为原点， A B , A D , A S 为 x , y , z 轴建立坐标系，则A (0, 0, 0) D (0, 2b , 0) S (0, 0, 2a )C (2a , 2b , 0) E (0, b , 0) F (a , b , a )B (2a , 0, 0) AD = (0, 2b , 0) SC = (2a , 2b , -2a ) EF = (a , 0, a )∴ E F A D = 0 , E F S C = 0 ∴ E F ⊥ A D , EF ⊥ SC 即E F 是 A D 与 SC 的公垂线. （2）AB=BC,可设AB==AS=a,BC=2a.设面SBC 的法向量为设面SCD 的法向量为20、解：（1）.设抽到相邻两个月的教据为事件A .因为从6组教据中选取2组教据共有26C=15种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两个月份的教据的情况有5种,所以()51153P A ==. （2）.由数据求得: 11x =,24y =,由公式求得187b =. 再由ˆˆa y bx=-,求的ˆ307a=-. 所以y 关于的线性回归方程为18307ˆ7yx =-. （3）. 当10x =时, ˆ1507y =,1502227-<, 同样,当6x =时, ˆ787y=,781227-<, 所以该小组所得线性回归方程是理想的。
21、解：（1）设点),(y x P ，因为),0,(),0,(a B a A -所以,,a x y k a x y k PB PA -=+=所以,4322222-=-=-=⋅a b a x y k k PBPA 又椭圆过点)3,0(，所以,2,3==a b所以椭圆的标准方程为13422=+y x . （3）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1344222y x xy解得（舍）或632-==x x ， 所以点)362,32(Q ，设抛物线在点)362,32(Q 处的切线方程为362)32(+-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x k y 4362)32(2消去x 并整理，得,0)868(1232=-+-k y ky由题得0)868(12144=--=∆k k ，解得26=k ， 所以切线方程为0263=+-y x .联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-134026322y x y x消去x 并整理，得,0166292=--y y解得,964-=M y 又椭圆的右焦点为),0,1(F 直线MQ 与x 轴的交点为)0,32(-，所以MFQ ∆的面积2762596103521)32(121=⨯⨯=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=MQ y y S22、解：（1）因为()()R x a x e x f x∈+-=，所以()1-='xe xf ，令()001==-='x e x f x，得()001>>-='x e x f x 时，，()001<>-='x e x f x 时，所以()()R x a x e x f x∈+-=在区间()()上单调递增，上单调递减，在区间，∞+∞00- 所以()()010min ≥+==a f x f 所以1-≥a（2）由（1）知xxe x x e ≤+≥--1,01即 令()1,...,2,1,0,-=∈-=*n k N n nkx 则n ke nk-≤-<10所以k nn kn e e n k --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-1 所以()()211111111......321110121<-+=-=-<--=++++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--------e e e e e e e e e e n n n n n nn n nn n n所以,2...321<⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n n n n又1333231333>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以t 的最小值为2。