向量的数量积学案2
新人教A版必修二 平面向量的数量积 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量的数量积 学案1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角。
②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向共线；若θ＝180°，则a 与b 反向共线；若θ＝90°，则a 与b 垂直。
(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0。
②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角。
(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2。
(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21。
(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22。
(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0。
(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22。
3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)。
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)。
高中数学 2.4 向量的数量积教案2 苏教版必修4(1)
第2课时数量积的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．2．过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．●重点难点重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入向量数量积的坐标运算.⇒引导学生类比数的乘法运算，推导出向量数量积的坐标运算法则.⇒结合数量积的定义及性质，引导学生对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握向量数量积的坐标运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量垂直问题的求解思路及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量夹角问题的求解思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)平面向量数量积的坐标表示 【问题导思】i ，j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量，a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，如何求a ·b?【提示】 a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.若两个向量为a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示 (1)向量的模：设a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2，即|a |＝x 2＋y 2.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，反之亦成立．数量积的坐标运算已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【思路探究】 由已知条件求出c 的坐标，再根据公式|c |＝x 2＋y 2求解． 【自主解答】 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12)＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.1．进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a |2＝a ·a .(a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2.(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )． 【解】 法一 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11， ∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.向量垂直的坐标表示的应用 已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .【思路探究】 题目中给出了向量a 的坐标，而欲求的向量b 满足：OA →＝a －b ，OB →＝a＋b 且三角形AOB 且以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b ＝(x ，y )，由OA →⊥OB →，列出方程组求出向量b .【自主解答】 法一 设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|， 从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x2＋32＋y 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 法二 设向量b ＝(x ，y )，依题意，OA →·OB →＝0， |OA →|＝|OB →|，则(a －b )·(a ＋b )＝0， |a －b |＝|a ＋b |，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.所以向量b 是与向量a 相互垂直的单位向量，即有⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋32y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．1．向量的垂直问题主要借助于结论：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，求实数m 的值． 【解】 由题设，a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)． ∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0.即(m ＋2)m ＋(m －4)(－m －2)＝0. ∴m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，即4m ＋8＝0， ∴m ＝－2.向量夹角问题 已知点A (2,2)，B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．【思路探究】 设点P (x,0)，将AP →·BP →表示成x 的函数，即可求得相应的最小值及x 的值，再由夹角公式即得结论．【自主解答】 设点P (x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1.此时，PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)． PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)， ∴|PA →|＝5，|PB →|＝2，∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值．利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握．已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若c ＝5，求cos A 的值；(2)若A 为钝角，求c 的取值范围．【解】 (1)AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)，当c ＝5时，AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－6＋16520＝15＝55. (2)若A 为钝角，则AB →·AC →＝－3(c －3)＋16＝25－3c ＜0，解得c ＞253.显然此时有AB →和AC →不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为(253，＋∞).由夹角范围求参数范围时 忽视向量共线情况致误已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【错解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12，∴t 的取值范围为(－12，＋∞) .【错因分析】 错解忽视了a 与b 反向共线时，也有a ·b ＜0成立，应排除使a 与b 反向的t 值．【防范措施】 两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cos θ的正负不能判定θ为锐角或钝角．cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角，cos θ＞0且cos θ≠1时，θ为锐角． 【正解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1， t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．∴t 的取值范围是(－12，2)∪(2，＋∞)．1．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ的值． (4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.1．已知A (1,2)，B (2,1)，则|AB →|＝________.【解析】 ∵AB →＝(1，－1)，∴|AB →|＝12＋－12＝ 2. 【答案】 22．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.【答案】3π43．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则x 的值等于________． 【解析】 由a ⊥b 得a ·b ＝0，即2(x －5)＋3x ＝0，解得x ＝2. 【答案】 24．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．【解】 ∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴AB →⊥AC →.又∵tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝1010＝1.∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.一、填空题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 【解析】 ∵a ＋2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝－15＋12＝－3. 【答案】 －32．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 【解析】 ∵a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a ＋b |＝－12＋32＝2.【答案】 23．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 【答案】 54．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于________． 【解析】 a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52.【答案】 525．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是________．【解析】 设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，∴x ＋2y＝－52.又|a |＝|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α∈[0，π]，α＝23π.【答案】 23π6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上取一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是________．【解析】 设点P 坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x－2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0)． 【答案】 (3,0)7．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 【解析】 a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45， 解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)． 【答案】 (－3,6)8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.【解析】 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ， 所以－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 又c ⊥(a ＋b )，所以3m －n ＝0.②联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73，则c ＝(－79，－73)．【答案】 (－79，－73)二、解答题9．在▱ABCD 中，A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)，求AB →与BD →夹角的余弦值．【解】 ∵A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)， ∴AB →＝(2,2)，AC →＝(3，－1)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(1，－3)．又由题意可知BC →＝AD →， ∴BD →＝AD →－AB →＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)． 设AB →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·BD →|AB →||BD →|＝－12413＝－31313.10．(2013·南昌高一检测)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，则|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，则|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5. ∴|a －b |＝2或2 5.11．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．【解】 ∵a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，∴|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.又∵a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，∴a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0，解得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.(教师用书独具)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【思路探究】 (1)分别求出AB →，AC →的坐标，通过向量的坐标运算得到AB →＋AC →，AB →－AC →，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t 的方程，解方程即得．【自主解答】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，解得t ＝－115.1．熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键．11 2．涉及方程思想的应用，一般地，求参数的值时，通常根据题意列出方程进行求解．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝2 5.AC →·BD →＝8＋8＝16.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
平面向量的数量积第二课时教案
教案：平面向量的数量积第二课时教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b|cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为C负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b|4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a= a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或||a =4︒cos θ =||||a ba b ⋅；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |6．判断下列各题正确与否：1︒若a = 0 ，则对任一向量b ，有a ⋅b= 0 ( √ )2︒若a ≠ 0 ，则对任一非零向量b ，有a ⋅b≠ 0 ( ³ )3︒若a≠ 0 ，a ⋅b = 0，则b =0 ( ³ )4︒若a ⋅b = 0，则a、b 至少有一个为零 ( ³ )5︒若a ≠ 0 ，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c( ³ )6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c当且仅当a ≠ 0 时成立 ( ³ )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c) ( ³ )8︒对任意向量a ，有a 2 = |a| ( √ )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a= |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a⋅(λb )=λ|a ||b|cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b|cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ3．分配律：(a + b )⋅c = a⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a , = b ，=c，∵a + b （即OB ）在c方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a| cos θ1 + |b | cos θ2 ∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b| cos θ2 ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b即：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c说明：（1）一般地，(a ²b )c ≠a （b ²c）（2）a ²c ＝b ²c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：a ２＝｜a ｜２，（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ²c ＋a ²d ＋b ²c ＋b ²d (a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a- 2b 垂直，求a 与b的夹角解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b-15b 2 = 0 ① (a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b+ 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a ⋅b= b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2212||||2||a b b a b b ⋅== ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图： ABCD 中，AB DC = ，AD BC = ，AC =AB AD +∴|AC |2=222||2AB AD AB AD AB AD +=++⋅而BD =AB AD -∴|BD |2=222||2AB AD AB AD AB AD -=+-⋅∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AB AD + = 2222||||||||AB BC DC AD +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，且a ²b＝b ²c ＝c ²d ＝d ²a，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d＝0，∴a ＋b ＝－（c ＋d ），∴(a ＋b )２＝（c ＋d ）２即｜a ｜２＋２a ²b ＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋２c ²d＋｜d ｜２由于a ²b ＝c ²d ，∴｜a ｜２＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋｜d ｜２① 同理有｜a ｜２＋｜d ｜２＝｜c ｜２＋｜b ｜２②由①②可得｜a ｜＝｜c｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ²b ＝b ²c，有b （a －c ）＝０，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c，代入上式得b ²(2a )＝０即a ²b ＝０，∴a ⊥b也即AB ⊥BC综上所述，四边形ABCD 是矩形评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0 ，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习：1 ）A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D ²b是一个实数|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )²(a -3b)等于（ ）A 72B -72C 36D -363a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b的位置关系为（ ）A 平行B 垂直C 夹角为3D 不平行也不垂直4|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝5|a |=2,|b |=5,a ²b =-3,则|a +b |=______,|a -b|= 6|a |=3,|b |=5,且a+λb 与a －λb 垂直，则λ＝参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2335 653五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 六、课后作业1|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b的夹角是（ ）A 60°B 30°C ° D2|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m ＝a -4b的模为（）A 2B 23C 6D 123a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b)垂直的（ ）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |²|a -b |=5a +b =2i -8j ,a -b=-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ²b= a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,| c|=3,则(a +2b -c )２＝______7|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ²b ;(2)若a 、b的夹角为６０°，求|a +b |； (3)若a -b 与a 垂直，求a 与b的夹角8m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角9a 、b ，求使|a +t b|最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角参考答案：1D 2B 3C 45 –636 1172 (2)23 (3)45° 8 120° 9 90°七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ²b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ²b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b｜解：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ²b ＋b ２＝２２＋２³（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ²b ＋b２＝2２－2³（－3）³５２＝35，∴｜a －b｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b的夹角θ(精确到１°)解：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ²b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜²｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２∴１６２＝８２＋２³８³１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°。
高中数学《向量的数量积》教案2 苏教版必修4
2.4 向量的数量积（2）一、课题：向量数量积（2）二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．两平面向量垂直的充要条件；2．两向量共线的坐标表示； 3．x 轴上单位向量i r ，y 轴上单位向量j r ，则：1i i ⋅=r r ，1j j ⋅=r r ，0i j j i ⋅=⋅=r r r r ．（二）新课讲解：1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+r r r r r r ，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+r r r r r r r r r r r r 1212x x y y =+. 从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+r r ．2．长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：(,)a x y =r ⇒222||||a x y a =+⇒=r r②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y，则AB =u u u r③夹角：cos ||||a b a b θ⋅==⋅r r r r ； ④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，即12120x x y y +=（注意与向量共线的坐标表示的区别）3．例题分析： 例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--r r ，求a b ⋅r r ． 解：5(6)(7)(4)30282a b ⋅=⨯-+-⨯-=-+=-r r ．例2 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。
两个向量的数量积学案
两个向量的数量积【明确目标，有的放矢】 （大约2分钟）要求：把握本节课的目标，带着问题自学课本内容，关注教学教学重点，突破教学难点。
学习目标：掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.教学重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．教学难点：空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题. 一、复习引入1．复习平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？2．向量a 与b 的数量积几何意义：已知向量AB＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l上的射影B ′，则''A B叫做___________________.3 .平面向量数量积的性质： 4. 平面向量数量积的运算律： 5. 正四面体的画法及理解。
【通读教材，学习新知】（大约15分钟）要求:1．读教材52、54页内容，填写以下内容。
2．上课时小组代表展示学习成果。
3．不明白的问题课间小组内交流，不能解决的请组长将问题报给课代表，由课代表汇总后上交老师，上课时提出共同讨论解决。
二、概念形成与深化1．空间向量的夹角的定义：（1）已知两非零向量b a ，，在空间任取一点O ，作射线OA 、OB ，则 叫做向量b a与的夹角，记作且规定 ，显然有.当＜a ，b ＞＝０时，a 与b ；当＜a ，b ＞＝π时，a 与b ； （2）两个向量的夹角唯一确定且＜a ，b ＞＝＜b ，a ＞．思考：上图中>=<∠OB OA AOB ,，下图中∠AOB 还是两向量的夹角吗？（3）b a与互相垂直：若= ，则称b a 与互相垂直，记作： 。
异面直线： 。
异面直线所成的角： 。
异面直线所成角的取值范围 。
两条异面直线互相垂直 。
(做例1及练习） 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量b a，，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数b a ∙叫做__ .记作b a∙，即b a ∙= ．空间向量数量积的性质：（1） 。
49 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教案
6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
教学方法：以学生为主探究式学习合作学习教学工具：多媒体课件相关资料教学过程多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1） a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
高中数学 两个向量的数量积教案 新人教B版选修2
《两个向量的数量积》说课教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）我将通过教材分析、学情分析、目标设计、方法手段、过程设计和教学评价六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析1．教学内容《两个向量的数量积》是新课标人教版选修2-1第三章第一大节里第三小节的内容，根据教学大纲，本节共1课时，主要内容是空间两个向量的夹角的概念和空间两个向量的数量积的概念、性质、运算率及简单应用．2．地位与作用空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容.从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，起到承上启下的作用.同时，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高.二、学情分析1．知识准备高二年级学生在掌握了平面向量夹角、数量积以及平面向量数量积的性质、运算率的基础上，又学习了空间向量的线性运算及空间向量的基本定理等有关知识，具有了一定的知识储备.但用向量解决立体几何问题时，要将几何问题等价转化为向量问题，这是本小节的一个难点.2．能力储备学生经过初中以及高一的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想．3．学生情况考虑到任课实验班级学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，加深了对概念的理解，并对例题的选择进行了适当的调整和延展，为向量在立体几何中的综合应用打好基础．根据新课程标准的理念以及对教材、学情的分析，我进行了如下目标设计．三、目标设计１．教学目标【知识与技能】（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.【情感态度价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.2．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重、难点设置为：【重点】空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．【难点】空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：四、方法手段1.教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2.教学手段教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、过程设计根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学过程作了如下的设计：首先，通过步步设问引导学生掌握教材所要求的基本面：空间向量夹角的概念和空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了可以分别运用“几何法”和“向量法”来处理空间几何问题的例题.同时，为日后解决空间的度量、位置关系问题寻求一种新的方法，进一步拓展了学生的思维渠道.我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；类比探究，获得新知；回味建构，应用拓展；归纳小结，提高认识.时间安排如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念.引例：（设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．）(二)类比探究，获得新知在本阶段的教学中，为使学生加深对空间向量的夹角和空间向量的数量积概念的本质的认识，我设计了三个环节，引导学生分别完成对空间向量夹角、数量积概念的三次认识，形成并掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积概念，以及掌握空间两个向量数量积的性质、计算方法及运算率.1．回顾旧知，类比猜想在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？（设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.）问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）2．探究原因，理性认识在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？问题2：还有其它平移向量的方法吗？（设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）3．抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出空间两个向量夹角的概念：使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三次认识.在本环节我设计了如下问题：问题1：异面直线的概念和异面直线所成的角：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.问题2：如何解决引例中？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.）已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积），记作，即．问题3：空间向量数量积的性质？空间向量数量积满足的运算率？（设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.）性质：（1）；（2）；（3）；（4）.运算率：（1）；（2）；（3）．（三）回味建构，应用拓展本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.例1.已知正方体ABCD-A1B1C1E1的棱长为1，设求：(1)；(2)；(3)；(4).（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题2的解决打好基础.）例2.已知平面平面，=l，点A，B在内，并且它们在l上的正射影分别为A，B；点C，D在内，并且它们在l 上的正射影分别为C，D，求证：.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳方法.1．难点突破对于该题的证明，问题主要集中在两个方面：一方面部分学生不知道该如何处理，不敢动笔；另一方面部分学生处理方法不科学，陷入困境.困难出现在如果直接使用空间向量数量积的概念证明等式成立，向量的夹角不易求，同时向量模的关系不易找.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2．详细板书3．归纳方法在解决三个问题以及板书的基础上，我引导学生体会、归纳解决问题的方法.“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作.（设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法则及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.）（四）归纳小结，提高认识由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．1．课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.（设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．）2．布置作业板书设计(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)六、教学评价通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；。
6.2.4向量的数量积 导学案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
《6.2.4向量的数量积》导学案使用日期：一、自主学习1、理解平面向量的数量积的概念及物理意义会计算平面向量的数量积；2、通过几何直观，了解平面向量投影概念及投影向量的意义。
1.了解向量数量积的物理背景，培养数学抽象的核心素养；2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算掌握平面向量数量积的性质及其运算律难点：投影向量的概念探究数量积的性质及其应用1.本节所处教材的第页.2.复习——向量的加法、减法：向量的数乘运算：3.预习——数量积：数量积的性质：创设情境，生成问题：物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？1.向量的夹角【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移S,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( ) 定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作a bA．60° B．120°C．30° D．150°2.向量的数量积【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?特别提醒：数量积的结果为数量,不再是向量。
【做一做2】已知向量a，b满足|a|=2,|b3,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于( )A.1B.3C.3D.333.投影向量【探究1】如图，已知向量AB=a和向量b，过两个端点A，B，分别作向量b所在直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量11BA，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11BA叫做向量a在向量b上的投影向量。
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向量的数量积学案2 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
盐城市文峰中学高中数学教学案
第二章 平面向量
第10课时 向量的数量积（2）
教学目标：
1.掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2.掌握两个向量垂直的坐标条件；
3.能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 教学重点：
向量数量积及其重要性质
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
1.平面向量数量积的坐标表示：
2.两向量垂直的坐标表示：
Ⅲ.数学应用
例1.已知向量()1,2-=,()2,3-=,求()()23-⋅-.
练习.已知向量()8,2-=+b a ,()16,8-=-b a ,求22b a -,b a ⋅.
例2.已知直线02:1=-y x l 和03:2=+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.
练习.设)1,2(=a ,)1,3(-=b ,求和的夹角.
例3.在ΔABC 中,设()3,2=AB ,()k AC ,1=,且ΔABC 是直角三角形,求k 的值.
练习.已知A(1，2)，B （2，3），C(2-，5)，求证ΔABC 是直角三角形.
Ⅳ. 课时小结
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业。