高二数学人教B版选修2-1同步教学案：3.1两个向量的数量积
4.已知 ，点 分别是点A,B在OB，OA上的正射影，
求证：
当堂检测
1、下列命题：①若 =0，则 ， 中至少一个为 ②若 且 ，则 ③
正确个数（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2、在 中，设 ， ， ，若 ，则 （）
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定
2）空间向量数量积的性质：
(1)____________________(2)___________________(3)______________(4)______________
3)空间向量数量积运算律：
（1）_____________________(2)_________________________(3)______________________-
3、已知 中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则 =。
4、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为。
5、已知 ， ， ，则 。
6、已知 和 是非零向量，且 = = ，则 与 的夹角为______.
规律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
本反思
反思一下本节课，你收获到了什么啊
自学指导：预习课本选修2-1 P85-88页，然后回答下列问题：
问题1：何谓空间向量的夹角,它的范围是什么？何谓两条异面直线所成的夹角，它的范围是什么？
问题2：两个空间向量的数量积是什么？它有什么样的性质与运算律？
填空：
1）定义：①设< >= ,则 =（ 的范围为）
注：① 不能写成 ，或 ② 的结果为一个数值。
注：①没有结合律
自学检测
1.在长方体 中，
（1）哪些棱所在直线与直线 成异面直线，且互相垂直？
（2）已知 的夹角。
2.已知正方体 的棱长为1，设 求：
（1）
合作探究
1.已知正方体 的棱长为1，设 求：
（1）
2.已知四面体 的每条棱长都等于 ，点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，求下列向量的内积
人教B版2—1第三章3.1两个向量的数量积（12）月（ ）日
编者:张晓燕审稿人：全组人员星期授课类型：新授
教学目标
1.明确空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；
2.知道空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
课堂内容展示
人教B版 选修2-1 高中数学 第三章 3.1.3两个向量的数量积 教学课件
教学目标
知识目标
（1）掌握空间向量的数量积公式及 向量的夹角公式;
（2）运用公式解决立体几何中的有 关问题.
能力目标
（1） 比较平面、空间向量，培养学 生观察、分析、类比转化的能力;
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
继续
∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内 的任一条直线，所以l⊥ .
例题2
已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、
CD的中点.
求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
反向时,
r
a·b=-|a|·|b|;特别地，a
r a
=
r a
2
或
r a
=
rr a a
用于计算向量的r 模r ;
（3）cosθ =
a b
rr
用于计算向量的夹角.
a b
3.平面向量数量积满足的运算律
rr rr （1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律:
ur r (λa)·b
=
λ(
rr a·b
A
M
D B
N C
证明
因为
uuuur uuur uuur uuur MN = MA+ AD + DN
所以
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur AB·MN = AB·( MA + AD + DN )
人教B版高中数学选修2-1课件两个向量的数量积
例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中 心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BC ED ' 16
A'
c B' E a
BF AB ' 0 EF FC ' 2
F D'
A
C' b D
B
•
C
练习题 1、 下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
' '
如何求AE与CF的数量积？
D'
F
C'
B' E
A'
D A B
C
•
3．向量的数量积：
已知向量 a, b ，则 | a | | b | cos a, b 叫做 a, b 的 数量积，记作 a b ， 即 a b | a | | b | cos a, b ．
AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．
•
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ， ∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ， 同理： a b b c ，， ∴ ac bc ， ∴ c (b a) 0 ，
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线， 求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的 取值范围。
(－2，2)
•
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念； 利用空间向量性质、运算率计算和证明几 何问题的方法与步骤 方法上：数形结合，等价转化，类比等， 注意“向量法”解决立体几何问题的优势
高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.1.3两个向量的数量积
0≤<a，b>≤π ，显然有<a，b>＝<b，a>； 规定_______________ a⊥b ． 如果<a，b>＝90° ，则称 a 与 b 互相垂直，记作________
名师点拨：两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹 角为π.
2．异面直线 任何一个 平面内的两条直线； (1)定义：不同在___________ 平移到 一个平 (2) 两条异面直线所成的角：把异面直线 ________ 锐角或直角 叫做两条异面直线 面内，这时两条直线的夹角 _____________ 直角 ，则称两条异面直线互 所成的角；如果所成的角是 ________ 相垂直．
确的给出理由．
(1)a·b＝0，则a＝0或b＝0； (2)p2·q2＝(p·q)2； (3)|p＋q||p－q|＝|p2－q2|； (4)若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
[思路分析] 只需考虑数量积的概念与性质．
[解析] (1)此命题不正确．
∵a·b＝0有两种情况： ①当a，b均不为零向量时，则a与b垂直， 此时a·b＝0； ②当a与b至少有一个为0向量时，
[分析] 结合图形，利用空间向量的夹角定义求．
[ 解析]
→ → → → (1)∵CC′＝AA′，∴<AB，CC′>＝90° .
→ → (2)在 BA 的延长线上作AE＝CD，易知∠EAC＝135° ， → → ∴<AC，CD>＝135° .
课堂典例讲练
求向量的数量积的概念与性质
下列命题是否正确？正确的给出证明，不正
2 2
2 4． 已知|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2， 则<a， b>＝________.
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.1.3 两个向量的数量积》6
《两个向量的数量积》教学设计——民办大连阳光学校张艳艳一、教学内容解析【教材分析】《两个向量的数量积》是人教B版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第三章空间向量与立体几何中节空间向量及其运算第三课时的内容，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。
一方面，巩固空间向量的线性运算及在空间向量基本定理中的建立基底的方法。
另一方面，为后续学习空间向量的坐标运算解决几何问题做铺垫。
【内容分析】①教材中直接从空间向量夹角概念及范围开始。
在教材的注释中，提到“一条直线在空间有自己固定位置，而一个向量在空间可平行移动，没有固定位置”。
这也就是在说，空间向量平移后成为平面向量，任意两个空间向量都是共面的，因此学习空间向量数量积可以类比平面向量的数量积。
②教材中的三道例题设计的目的，分别是巩固夹角概念，应用空间向量数量积解决几何问题以及在建立基底的方法上，应用数量积运算。
【学情分析】学生在必修四中学习了平面向量的数量积运算，掌握了应用平面向量数量积解决夹角，长度等问题。
是从平面向量向空间向量推广的过程，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律。
在例题中体会建立基底的方法的应用，体会数量积运算在处理立体几何中垂直关系的重要性。
学生在做题中，公式的代入及运算比较容易，准确的找到一组基底将立体几何问题等价转化为向量问题成为了解题障碍。
二、教学目标【知识与技能目标】（1）理解空间向量的夹角概念。
（2）会空间向量的数量积运算。
（3）会利用空间向量数量积解决例题几何中的简单问题。
【过程与方法目标】引导学生运用类比平面向量的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
【情感态度与价值观目标】通过空间向量在立体几何中的应用，学生的空间想象力得到锻炼，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）能力，体会解决问题逐步提高的成功感。
【教学重点】空间向量数量积的运算。
【教学难点】将立体几何问题等价转化为向量问题。
三、教学过程四、教学反思本节课从已学过的平面向量数量积运算开始，先让学生从“形”和运算公式的角度开始，体会从平面到立体的“形”的变化，抓住“空间向量可以平移成为平面向量”的本质，引导学生类比平面向量的夹角定义，数量积定义，性质，运算律，学习空间向量的相关知识。
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计
3.1.3 空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积 定义已知两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b运 算 律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ) 交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c两个向量数量积的性质(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0(2)若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |特别地：a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a(3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a |·|b |(4)|a ·b |≤|a |·|b |应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a ·b 的几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1] 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1) OA u u r ·OB u u u r； (2) EF u u u r ·BC u u u r ； (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )．[思路点拨] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析] (1)正四面体的棱长为1，则|OA u u r |＝|OB u u u r|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：OA u u r ·OB u u u r ＝|OA u u r ||OB u u u r |cos 〈OA u u r ，OB u u u r 〉 ＝|OA u u r ||OB u u u r |cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF u u u r ·BC u u u r ＝|EF u u u r ||BC u u u r |cos 〈EF u u u r ，BC u u u r 〉 ＝12|CA u u r |·|BC u u u r |cos 〈AC u u u r ，BC u u u r 〉 ＝12×1×1×cos 〈CA u u r ，CB u u r 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r －OC u u u r ＋OB u u u r －OC u u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r ＋OB u u u r －2OC u u u r ) ＝OA u u r 2＋OA u u r ·OB u u u r －2OA u u r ·OC u u u r ＋OB u u u r ·OA u u r ＋OB u u u r 2－2OB u u u r ·OC u u u r ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． 训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA u u r ·AC u u u rB ．2AD u u u r ·BD u u u rC ．2FG u u u r ·CA u u rD ．2EF u u u r ·CB u u r解析：2BA u u r ·AC u u u r ＝－2 AB u u u r ·AC u u u r ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD u u u r ·BD u u u r ＝2DA u u u r ·DB u u u r＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG u u u r ·CA u u r ＝AC u u u r ·CA u u r ＝－a 2，2EF u u u r ·CB u u r ＝BD u u u r ·CB u u r ＝－BD u u u r ·BC u u u r ＝－12a 2. 答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC u u u r ·1ED u u u r ； (2) BF u u u r ·1AB u u ur .解：如图所示，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC u u u r ·1ED u u u r ＝BC u u u r ·(1EA u u u r ＋11A D u u u u r )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF u u u r ·1AB u u u r ＝(1BA u u u r ＋1A F u u u r )·(AB u u u r ＋1AA u u u r )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA u u u r ·AC u u u r ，再由夹角公式求cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA u u u r ＝BA u u r ＋1AA u u u r ＝BA u u r ＋1BB u u u r ，AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u r ，且BA u u r ·BC uuu r ＝1BB u u u r ·BA u u r ＝1BB u u ur ·BC u u u r ＝0， ∴1BA u u u r ·AC u u u r ＝－2BA u u u r ＝－1.又|AC u u u r |＝2，|1BA u u u r |＝1＋2＝3，∴cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉＝1BA u u u r ·AC u u ur |1BA u u u r ||AC u u u r |＝－16＝－66， 则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30° B ．45°C ．60° D ．90°解析：设〈AB u u u r ，CD u u u r 〉＝θ，∵AB u u u r ·CD u u u r ＝(AC u u u r ＋CD u u u r ＋DB u u u r )·CD u u ur ＝|CD u u u r |2＝1，∴cos θ＝AB u u u r ·CD u u u r |AB u u u r ||CD u u u r |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE uuu r与BF uuu r所成角的余弦值．解：如图，设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE u u u r ＝12(a ＋b )，BF u u u r ＝12c －b ，|OE u u u r |＝|BF u u u r |＝32，∴OE u u u r ·BF u u u r ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE u u u r ，BF u u u r 〉＝OE u u u r ·BF u u u r|OE u u u r |·|BF u u u r |＝－23. ∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1u u u u r 和BD 1u u u r 用已知向量AB u u u r ，AD u u u r ，AA 1u u ur 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u u r ，∴|AC 1u u u u r |2＝AC 1u u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u ur )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋2(AB u u u r ·AD u u u r ＋AB u u u r ·AA 1u u u r ＋AD u u u r ·AA 1u u ur )＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1u u u u r|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1u u u r |2＝BD 1u u u r 2＝(AD u u u r ＋AA 1u u u r －AB u u u r)2＝AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋AB u u u r 2＋2(AD u u u r ·AA 1u u u r －AB u u u r ·AA 1u u u r －AD u u u r ·AB u u u r )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos60°－cos 60°)＝2.∴|1BD u u u r|＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离． 训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC u u u r ＝PA u u r ＋AB u u u r ＋BC u u u r ， ∴PC u u u r 2＝PA u u r 2＋AB u u u r 2＋BC u u u r 2＋2AB u u u r ·BC u u u r ＋2PA u u r ·AB u u u r ＋2PA u u r ·BC u u ur ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴|PC u u u r|＝12.答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC u u u r ·CD u u u r ＝0，同理，AC u u u r ·BA u u r＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°或120°.又BD u u u r ＝BA u u r ＋AC u u u r ＋CD u u u r ，∴BD u u u r ·BD u u u r ＝|BA u u r |2＋|AC u u u r |2＋|CD u u u r |2＋2BA u u r ·AC u u u r ＋2BA u u r ·CD u u ur ＋2AC u u u r ·CD u u u r ＝3＋2×1×1×cos 〈BA u u r ，CD u u u r 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°，2 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝120°，∴|BD u u u r |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r ＝0，再证明AD u u u r ·BC u u u r ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r＝0. ∴AD u u u r ·BC u u u r ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r ) ＝AB u u u r ·AC u u u r ＋BD u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·(AC u u u r －AB u u u r －BD u u u r )＝AB u u u r ·DC u u ur ＝0. ∴AD u u u r ⊥BC u u ur ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明． 训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0； 反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点． 求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG u u u r ＝12(OM u u u r ＋ON u u u r )＝12[12OA u u r ＋12(OB u u u r ＋OC u u u r )]＝14(a ＋b ＋c )，BC u u u r ＝c －b ，∴OG u u u r ·BC u u u r ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG u u u r ⊥BC u u u r，即OG ⊥BC .五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算． 六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC u u u r ·BD u u u r ＝(AC u u u r －AB u u u r )·(AD u u u r －AB u u u r )＝AC u u u r ·AD u u u r －AC u u u r ·AB u u u r －AB uu u r ·AD uuu r ＋AB u u u r 2＝AB u u u r 2>0.同理，可证CB u u r ·CD u u u r >0，DB u u u r ·DC u u ur >0. ∴三角形的三个内角均为锐角． 答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋1AA u u u r 2＋2AB u u u r ·AD u u u r ＋2AB u u u r ·1AA u u u r ＋2AD u u u r ·1AA u u ur＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85，∴|1AC u u u r|＝85.答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB u u u r ＝AB u u u r ＋1BB u u ur ，1BC u u u r ＝1BB u u u r ＋BC u u u r .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB u u u r ·AB u u u r＝0，1BB u u u r ·BC u u u r ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB u u u r ·BC u u u r 〉＝π－〈BA u u r ·BC u u u r 〉＝π－π3＝2π3. ∵1AB u u u r ·1BC u u u r ＝(AB u u u r ＋1BB u u ur )·(1BB u u u r ＋BC u u u r )＝AB u u u r ·1BB u u u r ＋AB u u u r ·BC u u ur ＋1BB u u u r 2＋1BB u u u r ·BC u u u r＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB u u u r ·1BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝1BB u u u r 2－1. 又|1AB u u u r |＝AB u u u r2＋1BB u u u r 2＝2＋1BB u u u r 2＝|1BC u u u r |，∴cos 〈1AB u u u r ，1BC u u u r 〉＝1BB u u u r2－12＋1BB u u u r 2＝12， ∴|1BB u u u r|＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AA 'u u u r＝c ，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF u u u r ＝ED u u u r ＋DF u u u r －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G u u u r ＝'C C u u u r ＋CG u u u r ＝－c －14a ，∴EF u u u r ·'C G u u u r ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF u u u r |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G u u u r |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF u u u r |＝32，|'C G u u u r |＝174，cos 〈EF u u u r ，'C G u u u r 〉＝EF u u u r ·'C G u u u r |EF u u u r ||'C G u u u r |＝5117，所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH u u u r ＝FB u u r ＋BC u u ur ＋'CC u u u r ＋'C H u u u u r＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G u u ur人教版高中数学选修2-1教学设计11 ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。
高中数学选修2-1教案：3.1.3空间向量的数量积(集智备课)教案
集智备课教案年级高二学科数学时间2019.11.28 地点高二11班集备课题 3.1.3空间向量的数量积教材分析空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，空间向量的数量积运算是继空间向量的加、减、数乘运算后的又一种运算，是从平面到空间推广的实例，学生在学习过程中将充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标下的向量法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。
教学目标1.会识别空间向量的夹角；2.能够由平面推广到空间；3.掌握空间两向量数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的简单问题；4.强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.教学重点难点重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题教学思路设计内容与方法选择教学工具的使用和说明类比归纳法PPT演示辅助教学步骤相关说明一、回顾引入根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾平面向量数量积相关知识点：由平面向量的数量积发现过程引入二、新课讲授任意两个向量都共面，平间向量数量积可推广到空面向量数量积。
1. 两个向量的夹角的定义：如图,已知两个非零向量、a b ,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则角AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作:,a b .问1： 和 是同一个角么？ （1）是。
两个向量的夹角是唯一确定的！ 问2：空间向量夹角的范围是什么？ （2）（3）,0a b <>=时a 与b 同向 ,a b π<>=时a 与b 反向 ,2a b π<>=时a b ⊥2. 两个向量的数量积已知空间两个非零向量、a b ,则cos ,a b a b 〈〉叫做、a b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;将表格中平面向量数量积逐条推广到空间向量数量积②规定:0与任意向量的数量积等于0； ③问题：类比平面向量，你能说出a b ⋅的几何意义么？数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b <>的乘积3. 空间两个向量的数量积性质显然,对于非零向量、a b ,e 是单位向量有下列性质: ①cos ,a e a a e ⋅=； ②0;a b a b ⊥⇔⋅= ③2a a a =⋅也就是说2a a =.4. 空间向量的数量积满足的运算律⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵ a b b a ⋅=⋅(交换律)⑶ ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、 完全平方公式、十字相乘等均成立。
高中数学人教B版选修2-1第三章3 .1.3 两个向量的数量积 课件
例 2：已知平面 平面 ， l , 点 A ， B 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A '， B '；
点 C ， D 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 C '， D '，
求证：AB CD A ' B ' C ' D '
B
A
l
C’
D’
A’ B’
C
D
例3：已知长方A体BCDA'B'C'D', AB AA'2, AD 4, E为侧面AB'的中心, F为A' D'的中点， 计算下列数量积BC： ED ', BF AB ', EF FC '.
叫做两个空间向量 a , b的数量积（或内积）
练习2： 对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
(1)aeacosa,e (2)ab ab0
2
(3)a aa
或|a|
aa
4 a b a b a ,b 共 线 时 取 等 号
五、空间两个向量的数量积运算律
（1） aba b
（2） abba （交换律）
（3） a b c ac bc （分配律）
六：空间向量的投影：
ababcos a,b
O Aa,O Bb.则 AO B叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ,
记 作a,b.
范 围 ： 0 a ,b
【B版】人教课标版高中数学选修2-1《两个向量的数量积》教案1-新版
3.1.3两个向量的数量积一、教学目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．二、教学重点两个向量的数量积的计算方法及其应用．三、教学难点两个向量数量积的几何意义．四、教学过程（一）复习引入：1.空间向量的概念：2.空间向量的运算：（1）加法；（2）减法；（3）数乘3.共线向量定理：空间任意两个向量a //b （b ≠0 ）<=>存在实数λ，使a ＝λb .4.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面<=>存在实数,x y 使p xa =+5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（二）讲解新课这节课我们来学习向量的第四种运算，两个向量的数量积。
首先请同学们回忆，在平面向量中，如何定义两个平面向量的数量积的？已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．由于两个空间向量,a b 总可以平移到同一个平面内，因此平面向量的数量积a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>就是两个空间向量的数量积.但如何定义空间中两个向量的夹角呢？想想我们是如何定义平面向量的夹角的？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．1.空间向量的夹角：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>； (1)范围：规定0,a b π≤<>≤；(2)显然有,,a b b a <>=<>；(3)若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2.空间向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．说明：两个向量的数量积是一个实数.3.空间向量数量积的性质：(1)||cos ,a e a a e ⋅=<>．(2)0a b a b ⊥⇔⋅=．(3)2||a a a =⋅．≤4.空间向量数量积运算律：(1)()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．(2)a b b a ⋅=⋅（交换律）．(3)()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（三）讲解范例：例1.在正方体AC /中，求下列各对向量的夹角：（1）><//,C A ；（2）><//,A C ；（3）><//,D A ；（4）><//,A B ；例2.已知平面βα⊥，l =βα ，点A 、B 在α内，它们在l 上的正射影分别为//B A ，；点C 、D 在β内，它们在l 上的正射影分别为//D C ，，求证：////D C B A CD AB ⋅=⋅例 3.如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅ ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=- ∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！例4．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-2A B A C B D A C A B A B B D =⋅+⋅--⋅ ()0A B A C A B B D A B D C =⋅--=⋅=．（法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===，∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅，同理：a b b c ⋅=⋅， ∴a c b c ⋅=⋅，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅=，即AD BC ⊥． 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明五、教学总结由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．A。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-3两个向量的数量积
3.1.3两个向量的数量积一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则“a·b ＝|a ||b |”是“a 与b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 共线包括同向和反向，只有a 、b 同向时，才有a·b ＝|a ||b |成立．2．下列结论中正确的是( )A ．(a·b )·c ＝(b·c )·aB ．a·b ＝－|a ||b |，则a ∥bC ．a ，b ，c 为非零向量，a·c ＝b·c ，则a ∥bD ．a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] a·b ＝－|a ||b |，说明a 与b 夹角为π，所以共线．3．已知非零向量a ，b 不共线，且其模相等，则a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能 [答案] A[解析] ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，∴a ＋b 与a －b 垂直．4．下列结论正确的是( )A ．a·e ＝a cos<a ，e >B ．a ⊥b ⇔a·b ＝0C ．|a |2＝|a |·aD ．(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3[答案] B5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小[答案] C6．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13D ．4 [答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2，∵|a |＝|b |＝1，<a ，b >＝60°，∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13.7．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则<A ′B →，B ′C →>＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° [答案] B[解析] A ′B →·B ′C →＝(a －c )·(b －c )＝a·b －a·c －b·c ＋c 2＝0－0－0＋c 2＝c 2＝1.∴cos 〈AB →，B ′C →〉＝A ′B →·B ′C →|A ′B →||B ′C →|＝12·2＝12， ∴〈A ′B →，B ′C →〉＝π3. 8．若|a|＝|b|＝4，<a ，b>＝60°，则|a －b|等于( )A ．4B ．8C ．37D ．13 [答案] A[解析] |a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝|a |2＋|b |2－2·|a|·|b|cos<a ，b >＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，∴|a －b |＝4.9．已知四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( )A ．|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|B ．|AB →＋AC →＋AD →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋|AD →|2C ．(AB →＋AC →＋AD →)·BC →＝0D.AB →·CD →＝AC →·BD →＝AD →·BC →[答案] C[解析] 因为AB 、AC 、AD 两两垂直，则可得AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，AD ⊥BC ，且AB →·AC→＝0，AB →·AD →＝0，AC →·AD →＝0，AC →·BD →＝0，AD →·BC →＝0，所以得到A 、B 、D 均正确．10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )A ．2BA →B ．2AD →·BD →C ．2FG →·CA →D ．2EF →·CB → [答案] B[解析] 2BA →·AC →＝－a 2,2AD →·BD →＝a 2,2FG →·CA →＝－a 2,2EF →·CA →＝－a 2,2EF →·CB →＝－12a 2. 二、填空题11．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是______________．[答案] 2 6[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .|AC 1→|2＝A 1C 1→·A 1C 1→＝(a ＋b ＋c )(a ＋b ＋c )＝a 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＋b 2＋c 2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24所以|AC 1→|＝2 6.12．已知|a |＝22，|b |＝22，a·b ＝－2，则<a ，b >＝________. [答案] 34π 13．|a |＝1，|b |＝2，|c|＝3，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则|a ＋b ＋c |＝________.[答案] 14 14．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°，则点C 与D 之间的距离为________．[答案] 2[解析] ∵AC ⊥α，BD 与α成30°角，∴AC 与BD 所成角为60°.又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，|CA →|＝|AB →|＝|BD →|＝1，〈CA →，AB →〉＝〈AB →，BD →〉＝90°，〈CA →，BD →〉＝120°，∴CD 2→＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝3－1＝2.∴C ，D 两点间距离为 2.三、解答题15．已知三棱锥O —ABC 的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝60°，CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，(1)OA →·OB →＝|a ||b |·cos60°＝12. (2)由(1)知，a·b ＝a·c ＝b·c ＝12， 则(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(a ＋b )·(a ＋b －2c )＝a 2＋b 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＝ 6.16．如图所示，在正方体ABCD —A1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是DC ，B 1C 1的中点，求MM 1→·AB →.[解析] 选AB →，AD →，AA 1→为基向量，且AB →，AD →，AA 1→两两互相垂直，|AB →|＝|AD →|＝|AA 1→|＝1，则MM 1→＝MC →＋CC 1→＋C 1M 1→＝12AB →＋AA 1→－12AD →.∴MM 1→·AB →＝12AB 2→＋AA 1→·AB →－12AD →·AB →＝122→＝12.17．如图，在正四面体OABC 中，G 是△ABC 的中心，D 是OG 中心，M 是OC 中点． 求证：DA →⊥CB →；[解析] 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由于是正四面体，∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝|a|·|b|cos<a ，b >＝12(设|a|＝|b|＝|c|＝1)如图AD →＝12(AO →＋AG →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →2＝－12a ＋16[(b －a )＋(c －a )]＝－56a ＋16b ＋16c ，CB →＝b －c ，∴AD →·CB →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ＋16c (b －c )＝－16(－5a·b ＋5a·c ＋b 2－b·c ＋c·b －c 2)＝0，∴AD →⊥CB →.18．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长都为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，E 是DC 的中点，F 是B 1C 的中点．(1)证明：向量BD →，BB 1→，EF →共面；(2)求|D 1F →|.[解析] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BB 1→＝c ，BD →＝b －a ，EF →＝AF →－AE →＝AB →＋12BC 1→－(AD →＋12DC →)＝a ＋12(b ＋c )－(b ＋12)＝12[(a －b )＋c ]＝121→－12BD →，由共面向量定理知，向量BD →，BB 1→，EF →共面．(2)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，<a ，b>＝<b ，c>＝<a ，c>＝60°.又D 1F →＝AF →－AD 1→＝a ＋12(b ＋c )－(b ＋c ) ＝a －12b －12， |D 1F →|2＝(a －12b －12c )·(a －12b －12c ) ＝a 2＋14b 2＋14c 2－a·b －a·c ＋12b·c ＝4＋1＋1－2－2＋1＝3.∴|D 1F →|＝ 3.。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。