平面向量数量积学案
6.2.4平面向量的数量积教学设计
一、导言在数学学科中，平面向量的数量积是一个基础且重要的概念。
它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
通过数量积，我们可以求解向量的夹角、计算向量的投影、判断向量的垂直性等，对于学生来说，深入理解平面向量的数量积至关重要。
本文将针对6.2.4平面向量的数量积教学设计进行全面评估和撰写。
二、教学设计评估1. 教学内容6.2.4平面向量的数量积是高中数学内容中的一个重要知识点，其教学内容应该包括向量的定义、数量积的定义、数量积的性质、数量积的计算公式等。
在教学中，可以引导学生从了解向量的定义开始，逐步引入数量积的概念，然后深入讲解数量积的性质和计算方法。
2. 教学方法针对6.2.4平面向量的数量积的教学方法，可以采用多种教学手段，如讲解、示范、实例分析、综合应用等。
通过讲解，可以向学生传授理论知识；通过示范，可以帮助学生更直观地理解数量积的计算过程；通过实例分析，可以让学生掌握数量积的应用技巧；通过综合应用，可以培养学生的数学建模能力。
3. 教学辅助手段在教学过程中，可以运用多种教学辅助手段，如PPT、多媒体课件、数学软件等。
这些辅助手段可以使教学内容更加生动形象，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
三、文章撰写1. 简洁明了地介绍平面向量的定义和数量积的概念以及其计算方法。
2. 从数量积的性质、几何意义等多个方面逐一展开，便于读者深入理解并丰富自己的知识储备。
3. 通过实例分析，引导读者掌握数量积的具体计算方法，并能够熟练应用于解决实际问题。
4. 总结归纳教学设计的重要内容，概括教学要点，便于读者在文章阅读结束时对所学知识进行回顾。
5. 结合教学设计，共享个人对平面向量的数量积的理解与观点，或结合实际问题和生活经验，使文章贴近读者生活，增强其实用性。
四、结语通过本次对6.2.4平面向量的数量积教学设计的全面评估和文章撰写，我相信学生们将能够更好地理解这一知识点，拓展数学思维，提高数学解决问题的能力。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
22平面向量的数量积
5.在边长都为1的 中，已知 ，则 =_________________
6、已知 为互相垂直的单位向量， 且
7、三个向量 的模均为1，相互之间的夹角均为 。（1） ；
（2）
8、已知： 是同一平面上的三个向量，其中 （1）
（2）
9、已知向量 ，且
满足
（1）
（2）
（3）将函数f（k）的最小值即取得最小值时向量 的夹角
（1）
巩固训练：
1、设 是任意非零平面向量且不共线，则
① ② ③ ④ 中真命题有（）
A①②B②③C③④D②④
2.在
中能够成立的不等式（）
A至多1个B至少2个C至多2个D有且仅有1个
3.
（）
A B C D
4.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P依次是 的
（A）重心外心垂心（B）重心外心内心
（1） (2)
(3)当 时， ，当 时， ，特例： =
（4） =
（5）
4、数量积的运算律：（1）交换律
（2）结合律： =
（3）分配律：
三、例题精讲
类型一数量积的运算
例1、已知 ，在下列条件下，分别求
（1） （2） （3） 的夹角为
变式训练：已知
求
类型二、夹角与模
例2、（1）已知向量 是两个非零向量，同时满足
复习学案二十二平面向量的数量积
一、考纲要求：
1、理解数量积的含义以及物理意义.
2、掌握数量积的坐标表达式，会用坐标运算计算两个向量的夹角，判断两个向量平行与垂直。
二、知识回放：
1、两个平面向量的夹角
2、正射影的概念---两向量的数量积：
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
潍坊一中学案高三上学期 数学 导学案 平面向量的数量积
CM CB
5．平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ， B(1,3) ，若点 C 满足 （ ） OC OA OB ，其中 , R ，且 1 ，则点 C 的轨迹方程为： 2 2 ( A) 3x 2 y 11 0 ( B ) ( x 1) ( y 2) 5 (C ) 2 x y 0 ( D) x 2 y 5 0
Βιβλιοθήκη
2
高三一轮复习文科数学学案
编号 25
助力莘莘学子
梦圆成功彼岸
例 3. 已知向量 a (cos （1）当 x [0,
] ，求 a b,| a b | ； 2 3 （2）若 f ( x) a b 2m | a b | ≥ 对一切实数 x 都成立，求实数 m 的取值范围。 2
编号 25
助力莘莘学子
2.[2012· 上海卷] 在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 BC、 → → |BM| |CN| → → CD 上的点，且满足 ＝ ，则AM· AN的取值范围是________ → → |BC| |CD|
3
高三一轮复习文科数学学案
编号 25
助力莘莘学子
3 3 x x x,sin x) ， b (cos , sin ) ， 2 2 2 2
例 4． 如图， 在 Rt△ABC 中， 已知 BC=a， 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点， 问 PQ 与BC 的夹角 取何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值。
变式：1.已知单位圆 O,PA 和 PB 是单位圆的两条切线，求 PA PB 的最值。
平面向量的数量积与应用教案
平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。
其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。
本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。
二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。
对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。
三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。
四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。
当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。
五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。
2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。
3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。
功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。
4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。
当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。
六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。
(完整版)5.3平面向量的数量积导学案
§5.3平面向量的数量积2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律学#科#网Z#X#X#K](1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2． a ·b >0是两个向量a ·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a ，b 〉＝0，则a·b >0，而a ，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC 中，AB →、BC →的夹角与角B 的关系． 3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________. 答案 －3 2解析 a·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－22＝－3 2. 2． 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． 学_科_网Z_X_X_K]答案 32解析 由a ⊥b 知a·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直， ∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a·b|a||b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5． (2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.题型一 平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于 ( ) A ．6B ．5C ．4D ．3思维启迪：(1)由于∠C ＝90°，因此选向量CA →，CB →为基底． (2)先算出8a －b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x . 答案 (1)D (2)C解析 (1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →) ＝－CB →·CA →＋CA 2→＝16. (2)∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30. ∴x ＝4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1 1解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角 坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 题型二 向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a·a . 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 学科 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 |a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a ＋2b |＝2.题型三 向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos (β－α)＋1， |a －k b |＝1－2k cos (β－α)＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB |＝1，|AC |＝1↓(一副三角板的两斜边等长) |DE |＝|BC |＝ 2↓(非等腰三角板的特点) |BD |＝|DE |sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD ＝45°＋90°＝135°) AD →在AB →上的投影即为x ↓x ＝|AB |＋|BD |cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD →在AC →上的投影即为y ↓y ＝|BD |·sin 45°＝62×22＝32. 解析 方法一 结合图形特点，设向量AB →，AC →为单位向量，由AD →＝xAB →＋yAC →知，x ，y 分别为AD →在AB →，AC →上的投影．又|BC |＝|DE |＝2，∴|BD →|＝|DE →|·sin 60°＝62.∴AD →在AB →上的投影 x ＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32， AD →在AC →上的投影y ＝62sin 45°＝32.方法二 ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)AB →2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°.∴由BD →·AB →＝(x －1)AB →2， 得62×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝32＋1. 同理，在BD →＝(x －1)AB →＋yAC →两边取数量积可得y ＝32. Zxxk答案 1＋32 32温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3．a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ZXXK] 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. Zxxk 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.答案 －16解析 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)．故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)． ZXXK] B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( )A. 3B.7C ．2 2D.23 ZXXK]答案 A解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2 ＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析 a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ， Zxxk ∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________． 答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ZXXK] ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [1,4] 解析 如图所示， 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD →，∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4； 当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。
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平面向量的数量积（1）学案
一、导学目标：
1.掌握平面向量的数量积定义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.熟练应用平面向量的数量积处理有关模长、角度和垂直问题, 掌握向量垂直的条件；
二、学习过程：
（一）复习引入
1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：____________________________________________
(2)向量数量积的性质：
①如果e 是单位向量，则a e ⋅＝e a ⋅＝________；
②a a ⋅＝___________或a ＝__________；
③cos ,a b <>＝________；
④非零向量,a b ，a b ⊥⇔________________； ⑤a b ⋅____a b .
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：a b ⋅＝________；
(2)分配律：()a b c +⋅＝______________________；
(3)数乘向量结合律：(a λ)·b ＝________________.
（二）探索研究
小试牛刀
1.(口答)判断题. (1)00=⋅a ； (2)a b b a ⋅=⋅； (3)22a a =； (4)()()a b c a b c ⋅=⋅； (5)a b a b ⋅≤⋅；
(6)
． 2. 已知向量a 和b 的夹角为135°，2a =，3b =，则a b ⋅= ________
c b c a b a =⇒⋅=⋅
3．已知2a =，3b =，则a b ⋅=－3，则a 和b 的夹角为__________
4．(2010·重庆)已知向量a 、b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则2a b -＝________ 学生归纳：
例题探究
例1（2010·湖南） 在Rt ABC ∆中，90C ∠=,4AC =,则AB AC ⋅等于( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16
变式：
1.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ⋅等于 ( )
A.－32
B.－23
C.23
D.32 2.在ABC ∆中，3AB =， 2AC =，5AB AC ⋅=，则BC =_____________
例2已知向量a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为________.
变式：
(2011·课标全国) 已知a 和b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k ＝________
（三）练习
1.已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +.
2.(2011·广东) 若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ⋅+＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
3.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+＝_______
4.设非零向量,,a b c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角为 ( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
5.(2011·辽宁) 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c
+-的最大值为 ( )
A.2－1
B.1
C. 2
D.2
五、课堂小结：
三、学习反思：
1.学到了什么？
2.还有什么问题？
3.能否提出新的问题？。