平面向量数量积学案
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
平面向量数量积的坐标表示学案
必修4 2．4．3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式；2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法；3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质.【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合运用以及灵活解决相关问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个；2.平面向量数量积定义 ，向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 .3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ；热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ⋅=，cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！二、学习探究通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下：探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ⋅？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究：归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ⋅b= .快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ⋅b= ，cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角）解：2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ⋅+⋅-⋅++ 解：3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ⋅=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a|= (长度公式)3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么||||AB a ==(平面内两点间的距离公式)4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ=5.垂直关系分析：设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔ ⇔三、典例赏析例1.已知a =(3,4)，求：（1）a 的单位向量；（2）与a 垂直的单位向量； （3）与a 平行的单位向量. 解:解后反思 求解该题运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？ 变式练习 已知向量 (34)a OA ==-,O 为坐标原点，求： （1）与向量a 平行的单位向量；（2）与向量a 垂直的单位向量； （3）将向量a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标． 解：例2.在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值解:解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.4.3-1，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积、向量的夹角、长度、垂直的坐标表示都掌握了吗？这些公式给向量的运算与运用带来什么？（链接2）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数图2.4.3-1学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？【学习评价】1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（A ．23 ；B ．57 ；C ．63 ；D ．83.2.已知a =(4,3),向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A ．)54,53(或)53,54(B ．)54,53(或)54,53(--C ．)54,53(-或)53,54(-D ．)54,53(-或)54,53(-3.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b的夹角为 ．4.已知||3,||2,a b a b ==与的夹角为060,35,3c a b d ma b =+=-（1）求m ,使c d ⊥； （2）求m ,使//c d 解：5.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23)． x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a＋t b ，且x y ⊥，求,k t 之间的函数关系式． 解：6.已知)2,32(-=+=b n a m c ，b c a ,⊥与c 的夹角为0120，且4-=⋅c b ；|a |=22，求实数m 、n 的值及a 与b的夹角θ.解：【学习链接】链接1. 回归向量坐标本质，令11(,)a x y ==11x i y j + ，22(,)b x y ==22x i y j +，请在再算一算或阅读教材；链接2. 向量、共线向量、向量数量积、向量的夹角、长度、垂直等的坐标表示给向量的运算与运用带来了一场革命，使几何问题转化为代数问题，使问题简单化，也拓宽了向量应用的途径.。
22平面向量的数量积
5.在边长都为1的 中，已知 ，则 =_________________
6、已知 为互相垂直的单位向量， 且
7、三个向量 的模均为1，相互之间的夹角均为 。（1） ；
（2）
8、已知： 是同一平面上的三个向量，其中 （1）
（2）
9、已知向量 ，且
满足
（1）
（2）
（3）将函数f（k）的最小值即取得最小值时向量 的夹角
（1）
巩固训练：
1、设 是任意非零平面向量且不共线，则
① ② ③ ④ 中真命题有（）
A①②B②③C③④D②④
2.在
中能够成立的不等式（）
A至多1个B至少2个C至多2个D有且仅有1个
3.
（）
A B C D
4.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P依次是 的
（A）重心外心垂心（B）重心外心内心
（1） (2)
(3)当 时， ，当 时， ，特例： =
（4） =
（5）
4、数量积的运算律：（1）交换律
（2）结合律： =
（3）分配律：
三、例题精讲
类型一数量积的运算
例1、已知 ，在下列条件下，分别求
（1） （2） （3） 的夹角为
变式训练：已知
求
类型二、夹角与模
例2、（1）已知向量 是两个非零向量，同时满足
复习学案二十二平面向量的数量积
一、考纲要求：
1、理解数量积的含义以及物理意义.
2、掌握数量积的坐标表达式，会用坐标运算计算两个向量的夹角，判断两个向量平行与垂直。
二、知识回放：
1、两个平面向量的夹角
2、正射影的概念---两向量的数量积：
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
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平面向量的数量积
一．【课标要求】
1．平面向量的数量积
①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二．【命题走向】
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。
重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主
三．【要点精讲】
１.向量的数量积的定义：已知两个非零向量a b 与，它们的夹角为θ，
则把数量||||c o s a b θ叫做a b 与的数量积（或内积），记作a b ∙，即 ＝ 规定：零向量与任一向量的数量积为格 ；注意公式的变形cos θ＝． ２.向量的数量积的几何意义
10. 投影的概念: 设,OA a OB b ==，
过Ｂ作1BB 垂直于直线ＯＡ,垂足为1B , 则1OB ＝ 叫b 在a 方向上的投影．
20.向量数量积的几何意义：数量积a b ∙等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积
３.向量的数量积的性质： 设a b 与都是非零向量，θ为a b 与的夹角．
①特殊情况: a b ⊥⇔ ． 2a a a =∙＝ 或2||a a a a =∙= ②当a b 与同向时，a b ∙＝ ；当a b 与反向时，a b ∙＝ ． ③||a b ∙ ||||
a b ④运算律: a b b a ⋅=⋅ ; ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ; ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ; 注意:()
()a b c a b c ⋅⋅⋅⋅.
4.向量的数量积的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==, 则 10. a b ⋅= ; 20. a b ⊥⇔ ．
30. ||a = ; 40. cos ,a b <>=
1．(2009·广东高考)123)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 ( )
A ．27
B ．2 5
C ．2
D ．6
2.(2009·全国卷Ⅰ)a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
3．在△ABC 中，AB ·BC ＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32
]，则AB 与BC 夹角的取值范围是 ( )
A ．[π4，π3]
B ．[π6，π4]
C ．[π6，π3]
D ．[π3，π2
] 4．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2te 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
5.已知向量a ＝6．(2009·广东高考)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)， 则a ＝________.
7．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.
(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.
8．(文)已知向量m ＝(cos x 2，cos x 2)，n ＝(cos x 2，sin x 2
)，且x ∈[0，π]，
令函数f (x )＝2a m ·n ＋b .
(1)当a ＝1时，求f (x )的递增区间；
(2)当a <0时，f (x )的值域是[3,4]，求a 、b .。