TSP问题的解决方案
《算法设计与分析》实验报告一
学号：姓名：
日期： 20161230 得分：
一、实验内容：
TSP问题
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：
1、蛮力法
1）基本思想
借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。
首先构造距离矩阵，任意节点
到自身节点的距离为无穷大。
在第一行找到最小项a[1][j]，从而跳转到
第j行，再找到最小值a[j][k]，再到第k行进行查找。
然后构造各行允
许数组row[n]={1,1…1}，各列允许数组colable[n]={0,1,1….1}，其中1
表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经
被访问。
如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。
程序再
发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次
访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会
返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。
2）复杂度分析
基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n 个点，则计算的次数为n^2-n。
T(n)=n*(n-1)=O(n^2)。
2、动态规划法
1）基本思想
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3->城
市0(0为起点城市)。
此时d(i, V’)=Cis(就是城市i 到城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。
你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。
d(i, V’)=min{Cik +d(k, V’-{k})}
注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。
综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：
2）复杂度分析
和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。
3、回溯法
1）基本思想
确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以
深度优先方式搜索整个解空间。
这个开始结点成为活结点，同时也成
为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点
即成为新的活结点，并为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不
能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
此时，应往回
移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩
展结点。
回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所
要求的解或解空间中已无活结点时为止。
回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然
后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对
应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子
树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点
的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。
采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递
参数，将数组mp设置为全局变量，设数组x[n]表示哈密顿回路经过
的顶点。
2）复杂度分析
在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj(1<=I,j<=n,i!=j),则
可能解应该是（1,2,…,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!
个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。
当找到可行的最优解时，
算法停止。
根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为O（n！）。
4、分支限界法
1）基本思想
分支界限法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优势的方式搜索问
题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常
见的有子集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分支界限法与回
溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方式不同。
在
分支界限法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一
旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，
导致不可行解或导致非最优解得儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加
入活结点表中。
算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队
列。
堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。
接着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。
如
果所给的有向图中某个顶点没有出边，则该图不可能有回路，算法即
告结束。
如果每个顶点都有出边，则根据计算出的minout作算法初
始化。
2）复杂度分析
目标函数（限界函数），lb分为三部分，第一部分是经过路径的长度
相加的2倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加（不在
已知路径上的），加上第三部分除了路径上节点，矩阵中两个最短的
距离相加，最后这三部分和相加，得到的结果除以2便是每个节点的
限界值。
由于限界函数的不同，下界为O（n），上界为O（2^n）,智
力特定指出。
三、源程序及注释：
1、蛮力法
int main()
{
int i,j,s=0;
int **a;
printf("输入节点个数：\n");
scanf("%d",&n);
printf("输入%d维对称矩阵：\n",n);
colable=(int*)malloc((sizeof(int))*n); colable[0]=0;
//对各列允许矩阵进行赋值
for(i=1;i<n;i++)
{
colable[i]=1;
}
row=(int *)malloc((sizeof(int))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
row[i]=1;
}
a=(int **)malloc((sizeof(int*))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
a[i]=(int *)malloc((sizeof(int*))*n); }
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j])'
}
}
i=0;
while(row[i]==1)
{
j=min(a[i]);
row[i]=0;
colable[j]=0;
printf("访问路径：\n");
printf("\t%d-->%d\n",i,j);
s=s+a[i][j];
i=j;
}
printf("最短总距离为：%d\n",s);
}
int min(int *a)
{
int j=0,m=a[0],k=0;
while(colable[j]==0||row[j]==0)
{
j++;
m=a[j];
}//求最短距离
for(;j<n;j++)
{
if(colable[j]==1&&row[j]==1)//节点没有被访问
{
if(m>=a[j])
{
m=a[j];//m始终保持最短距离
k=j;
}
}
}
return k;
}
2、动态规划法
q.push(next); }
}
}
return ret;
}
四、运行输出结果：
（1）蛮力法
（2）动态规划法
（3）回朔法
（4）分支限界
五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和发展的，也可以称之为TSP问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。
我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解决此类延伸问题时容易调试和修改。
学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。
有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决。
tsp的名词解释
tsp的名词解释TSP，全称为Traveling Salesman Problem，即旅行推销员问题，是一种经典的组合优化问题。
它的提出源于实际销售业务中的需要，也是计算机科学与运筹学中重要的研究对象。
TSP的目标是，在给定一系列城市和计算城市之间的距离的情况下，找到一条最短路径，使得推销员能够访问每个城市一次，最后回到起始城市。
TSP的解决方法解决TSP问题的方法有很多，其中一种经典的方法是穷举法，也称为暴力搜索算法。
穷举法的思想是通过遍历所有可能的路径来寻找最优解。
然而，随着城市数量的增加，路径的组合呈指数级增长，使得穷举法的计算复杂度非常高。
因此，通常需要借助其他启发式算法和优化技术来求解。
除了穷举法，另一种常见的求解TSP的方法是基于贪婪算法的近似解法。
贪婪算法的思想是每次选择距离当前位置最近的未访问城市作为下一个目的地，直到所有城市都被访问过。
然而，贪婪算法只能得到一个较优解，而非最优解。
为了提高解的质量，可以结合其他优化技术，如局部搜索和模拟退火算法。
TSP的应用领域TSP在实际应用中有着广泛的应用领域，尤其在物流领域。
例如，快递员在派送货物时需要找到最佳路线，以节省时间和资源。
通过对TSP的研究和应用，可以帮助快递公司提高派送效率，减少成本。
除了物流领域，TSP也在其他领域中发挥着重要的作用。
在电路设计中，TSP 可以用于确定最佳元件的布局顺序，以减少信号传输的距离和延迟。
在生物学研究中，TSP被用于解决DNA测序的问题，以确定最佳的读取顺序。
此外，TSP还有在机器人路径规划、旅游规划等领域中的应用。
TSP的挑战和发展尽管TSP已经成为组合优化问题中的经典问题之一，但它仍然存在着许多挑战和待解决的问题。
随着数据规模的增大和实际问题的复杂性的增加，如何求解更大规模、更复杂的TSP问题仍然是一个挑战。
目前，学者们正在不断探索和研究改进TSP求解算法的方法，以提高求解效率和解的质量。
除了算法的改进，近年来，一些新的技术也被应用到TSP的求解中。
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
TSP问题的解决与实现讲解
TSP问题的解决与实现讲解1. 问题描述所谓TSP问题是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并且要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
2. 基本要求(1) 上网查找TSP问题的应用实例；(2) 分析求TSP问题的全局最优解的时间复杂度；(3) 设计一个求近似解的算法；(4) 分析算法的时间复杂度。
3. 提交报告课程设计报告提交内容包括：(1) 问题描述；(2) 需求分析；(3) 概要设计；(4) 详细设计；(5) 调试分析；(6) 使用说明；(7) 测试结果；(8) 附录（带注释的源程序）。
参见“数据结构课程设计概述.pdf”和“数据结构课程设计示例.pdf”。
指导教师（签字）：系主任（签字）：批准日期：2014年月日1．问题描述（1）题目要求旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，最终要回到出发的城市，求出最短路径。
用图论的术语来说，假如有一个图G=(V,E),其中V是顶点集，E是边集，设D=(d)是由ij顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵。
TSP问题就是求出一条通过每个顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
（2）基本要求a. 上网查找TSP 问题的应用实例；b. 分析求TSP 问题的全局最优解的时间复杂度；c. 设计一个求近似解的算法；d. 分析算法的时间复杂度。
（3）测试数据5个城市的TSP 问题：注：由于矩阵所表示的是两个城市之间的距离，所以该矩阵为对称矩阵路程矩阵如图所示：最短路径为v 0v 1v 4v 2v 32.需求分析（1）本程序用于求解n 个结点的最短哈密尔顿回路问题。
（2）程序运行后显示提示信息—“Please insert the number of cities:”，例如用户输入5，则表示结点n 的值为5；接下来程序输出提示信息—“Please insert the distance between one city and another:”，例如用户输入测试数据中给出的路程矩阵，表示任意两个城市之间的距离，比如第一个城市到第0个城市之间的距离为25。
TSP问题的几种解法对比
城市旅行问题之路程短摘要城市旅行问题即旅行商(TSP)问题，要从图G的所有周游路线中求取最小成本的周游路线，而从初始点出发的周游路线一共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的n-1个结点的排列数，因此旅行商问题是一个排列问题。
排列问题比子集合的选择问题通常要难于求解得多，这是因为n个物体有n!种排列，只有子集合(n!>O( n2))。
通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出一条具有最小成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。
这种枚举法运算量相当庞大，随着城市数量呈指数增长。
为此，我们对比应用随机探索的模拟退火算法，线性规划和蚁群算法三种方法：模拟退火算法，利用物理退火达到平衡态时的统计思想，建立数学模型，编写该算法的MATLAB程序，进行求解，得出最短旅行的最短距离为422.13；对TSP的约束条件和目标函数编写LINGO程序，经过多次迭代，得出最短旅行的最短距离也为422.13；蚁群算法：基于自然界蚂蚁觅食的最短路径原理，建立模型，通过MATLAB程序，得出最短旅行距离为427.8971。
关键词模拟退火算法线性规划蚁群算法一．问题重述一个人要到30个不同的城市游玩，每两个城市i和j之间的距离为d ij，如何选择一条路径使得此人走遍所有城市后又回到起点，要求所走路径最短。
二.符号说明三．问题分析与处理便于我们说明和解决问题，先将题中给出的城市编号：表一30座城市的坐标3.1模拟退火方法这是一个典型的TSP组合优化问题[1]，并且是一个N-P难问题。
传统的解决此类问题的方法包括：分枝定界法、线性规划法和动态规划法等等。
随着人工智能的发展，一些智能优化的算法逐渐产生，这其中模拟退火算法因具有高效、稳定、通用、灵活的优点备受专家和学者的青睐。
将模拟退火算法引入STP问题求解，可以有效的避免在求解过程中陷入局部最优。
下面就是我们用模拟退火算法具体解决这个问题。
算法设计步骤：（1）问题的解空间和初始值城市旅行问题的解空间S 是遍访36个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。
TSP问题的求解
（1）优点：算法稳定，易得标准值 （2）缺点：针对 TSP 问题，需要先计算出第 i 个城市到其余城市的距离， 当城市数目较多时计算复杂。
关键词：TSP 问题 模拟退火算法 线性规划 遗传算法
一、问题重述
1.1 引言 TSP 是典型的组合优化问题, 并且是一个 NP-hard 问题，TSP 简单描述为:
一名商人欲到 n 个不同的城市去推销商品, 每 2 个城市 i 和 j 之间的距离为 d ij , 如何选择一条路径使得商人每个城市走一遍后回到起点, 所走的路径最短。用数 学符号表示为:设 n 维向量 s =(c1 , c2 , …, cn )表示一条路经, 目标函数为:min
小可以不断变化。在该题中，取温度的衰减系数α=0.9，其中固定温度下最大迭 代次数为：100 次，固定温度下目标函数值允许的最大连续未改进次数为 5 次， 即当算法搜索到的最优值连续若干步保持不变时停止迭代。
④最短路径的确定
借助 Matlab 通过模拟退火算法得出最短路径为：27—26—25—24—15— 14—8—7—11—10—21—20—19—18—9—3—2—1—6—5—4—13—12—30—23 —22—17—16—29—28—27，最短路径图如下图 1
图1 最短距离为：423.7406
（2）法二：遗传算法 优化过程如下图 2 所示：
图2 初始种群中的一个随机值（初始路径）:
22—6—3—16—11—30—7—28—17—14—8—5—29—21—25—27—26—19 —15—1—23—2—4—18—24—13—9—20—10—12—22
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
一些解决TSP问题的算法及源代码
模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态,内能减为最小.根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/（kT），其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。
用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程.退火过程由冷却进度表（CoolingSchedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
3.5.1 模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想：(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L（2）对k=1，……，L做第（3）至第6步:(3) 产生新解S′(4）计算增量Δt′=C(S′)—C（S），其中C(S)为评价函数（5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解.(6）如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
TSP问题的解决方案
《算法设计与分析》实验报告一学号: 姓名:日期： 20161230 得分:一、实验内容：TSP问题二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1、蛮力法1）基本思想借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解.首先构造距离矩阵,任意节点到自身节点的距离为无穷大.在第一行找到最小项a[1］[j]，从而跳转到第j行，再找到最小值a[j］［k]，再到第k行进行查找。
.然后构造各行允许数组row[n］={1,1…1},各列允许数组colable［n]=｛0，1,1….1｝,其中1表示允许访问,即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经被访问。
如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。
程序再发问最后一个节点前,所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次访问这些节点找到最小的即可;在访问最后一个节点后，再次访问，会返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。
2）复杂度分析基本语句是访问下一个行列中最小的点,主要操作是求平方，假设有n个点，则计算的次数为n^2—n。
T（n)=n*（n-1）=O（n^2）.2、动态规划法1）基本思想假设从顶点s出发，令d（i，V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合）中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
推导：(分情况来讨论)①当V’为空集,那么d（i, V’),表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3—>城市0(0为起点城市）。
此时d(i，V')=Cis（就是城市i 到城市s 的距离）、②如果V’不为空,那么就是对子问题的最优求解.你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个,并求出最优解。
d(i, V')=min｛Cik + d(k，V'-｛k}）｝注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’—{k｝)是一个子问题。
综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：2）复杂度分析和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题,把原来时间复杂性O(n！）的排列转化为组合问题,从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。
TSP的几种求解方法及其优缺点
v1.0 可编辑可修改TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
用模拟退火算法解决TSP问题
用模拟退火算法解决TSP问题旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是指一个旅行商要在不重复地经过全部的指定城市之后回到起点，所需要走的最短路径长度是多少。
由于TSP问题具有NP难度，因此传统的精确算法要花费大量的计算资源，得到的结果往往也只能是近似最优解。
而模拟退火算法是一种集合随机性和概率思想的启发式方法，可以快速地在解空间中搜索到一个较优的解。
一、模拟退火算法的原理及过程模拟退火算法是一种以概率为基础的全局优化算法，它的基本思想是利用随机性来逃离局部最优解，让搜索过程在解空间中跳跃，最终逐渐接近全局最优解。
模拟退火算法的过程可以分为三个阶段：初始化阶段、搜索阶段和收敛阶段。
初始化阶段：首先需要对问题进行建模，将问题转化为算法可处理的形式。
在TSP问题中，需要建立一个城市间距离矩阵。
然后随机生成一个初始解，通常是一个随机序列，表示旅行商经过城市的顺序。
搜索阶段：对生成的初始解进行扰动，得到一个新的解，并计算新解的目标函数值。
如果新解比原解更优，则直接接受该解。
如果新解比原解更劣，则有一定的概率接受该解，概率随着时间的推移逐渐降低。
收敛阶段：在搜索过程中，随着温度的不断下降，概率接受劣解的概率越来越小，这时算法逐渐收敛到一个局部最优解，也可能是全局最优解。
二、TSP问题的建模及求解TSP问题可以建立一张城市距离矩阵，然后用随机序列来表示旅行商经过城市的顺序。
目标函数可以定义为旅行商经过所有城市的总路径长度。
假设有n个城市，城市之间的距离矩阵为D，表示第i个城市和第j个城市之间的距离。
而旅行商经过城市的顺序可以用一个长度为n的序列{1,2,...,n}来表示，表示旅行商先经过第1个城市，然后是第2个城市，一直到第n个城市，然后再回到原点。
设目前的解序列为s={s1,s2,...,sn}，则其总路径长度为：L(s) = ∑i=1n D(si,si+1) + D(sn,1)其中D(si,si+1)表示城市si和si+1之间的距离，D(sn,1)表示最后回到起点的距离。