高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法课件新人教B版选修2_2
→ 复数减法的 复数 z1－z2 是从向量OZ2的终点指向向 几何意义 → → 量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数
已知向量 O Z 1 对应的复数为 2－3i， 向量 O Z 2 对应的复数为 3－4i， 则向量 → Z1Z2对应的复数为__________．
→ → → 【解析】 Z1Z2＝O Z 2－O Z 1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
利用复数加减运算的几何意义解 题的技巧及常见结论 1．技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成 复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使 复数作为工具运用于几何之中．
1 2 3
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) ) )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理 2
复数加减法的几何意义
阅读教材 P92 练习 A 以上部分，完成下列问题． → → 若复数 z1，z2 对应的向量分别为OZ1，OZ2. → → 复数 z1＋z2 是以OZ1，OZ2为邻边的平行 → 的几何意义 四边形的对角线____ OZ 所对应的复数 复数加法
【答案】 1－i
→
→
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
解． (2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
【自主解答】 (1)设 D(x，y)，类比向量的运算知AB＝DC，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得 x＝3，y＝5，所以 D 对应的复数为 3＋5i. 【答案】 3＋5i
→
→
(2)设复数 z1，z2，z1＋z2 在复平面上对应的点分别为 Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2| ＝1 知，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理， 得 |z1|2＋|z2|2－|z1＋z2|2 cos∠OZ1Z＝ 2|z1||z2| 1 ＝－2， 所以∠OZ1Z＝120° ，所以∠Z1OZ2＝60° ， 因此△OZ1Z2 是正三角形， 所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
[ 小组合作型]
复数的加减法运算
1 1 4 3 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝________.
(2)已知复数 z 满足 z＋1－3i＝5－2i，求 z. (3)已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z. 1 1 4 3 1 4 1 3 【自主解答】 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝3＋2－3＋2－1＋2i
2 2 x ＋y ＋x＝1， ＋yi＝1＋3i，由复数相等得 y＝3，
x＝－4， 解得 y＝3，
所以 z＝－4＋3i.
1．复数加减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把 i 看作一个字母， 类比多项式加减运算中的合并同类项． 2．当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般要用待定系数法， 设 z＝a＋bi(a，b∈R)．
阅读教ห้องสมุดไป่ตู้ P91 例 1 以上部分． 1．运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 则 z1＋z2＝_________________ ，z1－z2＝_________________.
2．加法运算律
z2＋z1 ， 设 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝_______ z1＋(z2＋z3) (z ＋z )＋z ＝_______________ ．
阶 段 一
阶 段 三
3.2 3．2.1
阶 段 二
复数的运算 复数的加法与减法
学 业 分 层 测 评
1． 掌握复数的加减法运算法则， 能熟练地进行复数的加减运算． (重 点) 2．理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、 易混点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 复数代数形式的加减法
＝1＋i. 【答案】 1＋i
(2)法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 x＋yi＋(1－ 3i)＝5－2i，即 x＋1＝5 且 y－3＝－2，解得 x＝4，y＝1，所以 z＝4＋i. 法二：因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以 x2＋y2＋x
[ 再练一题] 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) 【导学号：05410068】 A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i 【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选 A. 【答案】 A
复数加减法的几何意义
(1)在复平面内， 平行四边形 ABCD(顶点顺序为 ABCD)的三个顶点 A， B，C 对应的复数分别是 1＋3i，－i,2＋i，则点 D 对应的复数为__________． (2)已知 z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|. → → 【精彩点拨】 (1)先写出点 A，B，C 的坐标，利用向量AB＝DC列方程求
人教高中数学选修1-2：3.1数系的扩充与复数的概念 课件（34张ppt）
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数 集
实数
? 虚数
整数 集
有理数 集
复
数 集
自然数
整数
有理数
负整数
分数 无理数
实数 集
正整数
零
复数的分类：
复数z=a+bi (a,bR)
条件
数的类型
b=0
实数
a=b=0
实数0
b≠0
虚数
a=0且b≠0
纯虚数
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
等或不相等两关系，而不能比较大小
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
例2:已知 (x y)(x2y) i (2x5)(3x y) i
求实数 x与 y
解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组
x y 2x5 x 2y 3x y
解得:
x
y
3 2
转化
求方程组的解的问题
1、若x，y为实数，且
【问题1】在自然数集中方程 x 4 0 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x 4 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题3】在整数集中方程 3x 2 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
有理数
整分 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
2．复数的概念
(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,
通常用字母 z 表示.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法预习导航 新人教B版选修1-2
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习导航 新人教B 版选修1—21．复数的加法与减法的定义（1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i,a ，b ，c ,d ∈R ,规定z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝（a ＋c )＋(b ＋d ）i 。
(2）已知复数a ＋b i,根据加法的定义，存在唯一的复数－a －b i,使（a ＋b i)＋(－a －b i ）＝0。
－a －b i 叫做a ＋b i 的相反数．根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下：(a ＋b i)－(c ＋d i ）＝(a ＋b i)＋（－c －d i ）＝(a －c )＋（b －d )i ，即(a ＋b i ）－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
(3）两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减)． 思考1复数的加法满足的运算律有哪些?提示：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2,z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1,（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3）．2．加减运算的几何意义已知复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1，y 1，x 2，y 2∈R ）及其对应的向量（如图）1OZ ＝（x 1，y 1）,2OZ ＝(x 2，y 2），且1OZ 和2OZ 不共线，以OZ 1和OZ 2为两条邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，根据向量的加法法则，对角线OZ 所表示的向量OZ ＝错误!＋2OZ ，而1OZ ＋2OZ 所对应的坐标是(x 1＋x 2，y 1＋y 2），这正是两个复数之和z 1＋z 2所对应的有序实数对．因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．思考2如何用向量的运算来理解复数的减法?提示：复数的减法也可用向量来进行运算，可应用平行四边形法则和三角形法则．已知复数z ＝a ＋b i ，z 1＝c ＋d i(a ，b ,c ，d ∈R ）．设OZ 与复数a ＋b i 对应，1OZ 与复数c ＋d i 对应，如图所示，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一边作平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数（a －c ）＋(b －d ）i 对应．这是因为1Z Z 与2OZ 平行且相等，所以向量1Z Z 也与复数（a －c )＋(b －d ）i 对应，实际上，两个复数的差z －z 1（即OZ －1OZ ）与连接这两个复数所对应的向量的终点,并指向被减数的向量对应，这就是复数减法的几何意义．。
高中数学第三章数系的扩充与复数本章整合课件新人教B版选修2_2
专题一
专题二
专题三
应用 1 设复数 z=x+yi(x,y∈R)满足 z· ������ + (1 − 2i)������ + (1 + 2i)������≤3,求|z|的最大值和最小值.
提示：先求复数z对应的点的轨迹,|z|表示复数z对应的点到坐标 原点的距离,结合图形易求|z|的最值.
1 3 ± i 2 2
3
1
3
1
= −1;
专题一
专题二
专题三Biblioteka (5)复数除法运算有如下技巧:
������ + ������i (������ + ������i)i = ������-������i (������-������i)i (������ + ������i)i = i, 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化. ������ + ������i
(3)设 ω=− 2 ± 2 i, 则������3 = 1, ������2 = ������, 1 + ������ + ������2 = 0, ������ = ������2, ������3������ = 1, ������3������ + 1 = ������(������∈N+)等; (4)
第三章 数系的扩充与复数 本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 复数运算及技巧 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加减 法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式 的分子、分母有理化,要注意i2=-1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有: (1)i的乘方,i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈Z); (2)(1±i)2=±2i;
2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法讲义新人教B版选修2_2
3.2.1 复数的加法与减法一、复数代数形式的加减法 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 二、复数加减法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为__________．[解析] Z 1Z 2→＝OZ →2－OZ →1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. [答案] 1－i3．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝4－3i ，则(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝__________. [解析] z 1＋z 2＝3＋4i ＋4－3i ＝7＋i ，z 1＋z 2＝3－4i ＋4＋3i ＝7－i ，∴(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝7＋i －(7－i)＝2i. [答案] 2i【例1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2i ＝________. (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .(1)[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i＝1＋i. [答案] 1＋i(2)解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．iD ．－i[解析] (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. [答案] A的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为__________．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.[思路探究] (1)先写出点A ，B ，C 的坐标，利用向量AB →＝D C →列方程求解． (2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)[解析] 设D (x ，y )，类比向量的运算知A B →＝D C →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i.[答案] 3＋5i(2)解：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得cos∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12，所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°， 因此△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1．利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．1．在实数范围内a －b ＞0⇔a ＞b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2恒成立呢？提示：若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2成立．否则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2.如果z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1＞0，但不能说1＋i 大于i. 2．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．【例3】 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作ABCD ，求|BD →|.[思路探究] 首先由A ，C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．[解] 如图，设D (x ，y )，F 为ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13.1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值． [解] 由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z 与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z |最大值＝6，|z |最小值＝4.1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[答案] C2．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．b >0，a ∈RD ．a >0，b ∈R[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． [答案] D3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3.∴z ＝3i. [答案] 3i4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________ .[解析] 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z －1|表示z 对应的点到点(1,0)的距离，∴|z －1|最小值＝1．[答案] 15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面内所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．[解] (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此，集合P 在复平面内所表示的图形是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2. 因为点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向l 作垂线，垂足在线段B E 上，22<2－2， 所以集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。
2018年高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.2 复数的概念课件1 新人教B版选修2-2
R
实பைடு நூலகம்解的
个数
1
1 2 无
一、定向导学
引入虚数i之后，能否使方程解的个 数与方程次数有确定的关系？
• 问题一：一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况
• 问题二：一元三次方程 解的情况
(1) x3 x 0 (2) x3 1 0
复数的概念：
设 a, b都是实数，形如 a bi 的数叫复
是： （1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚
数？ • 3、复数集的表示 • 4、复数的分类
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
三、精讲例题
例1：实数 x 取何值时，复数
z x2 x 2 (x2 1)i
是： (l) 实数?(2) 虚数?(3) 纯虚数?
三、精讲例题
• 例2：已知 x y 2i 1 (x y)i(其中x,y R)
3.1.2复数的概念
课前探究
下列方程在相应的数集内有解吗？无解的矛盾体现在 什么方面？如何解决呢？
N
Z
x20 3x 2 0 x2 2 0 x2 1 0
Q
R
规定：
i2 1
思考:方程解的个数与方 程的次数是否有确定的 关系呢？
N
Z
x20
3x 2 0 x2 2 0 x2 1 0
Q
求x, y. 能否从这个问题的解决过程中归纳概
• 括变出式一：般已的知结(论x ？y 1) x y 2i 0，
（其中x,y R）,求x,y.
小结升华
• 本节课你有什么收获？还有什么疑问？
课后作业
（选做）
若方程 x2 m 2i x 2 mi 0
至少一个实数根,求实数m的值 • 小组探究：复数为什么不能比较大小？
人教B版选修2-2高中数学3.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚
数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换 率、结合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高中数学选修2《数系的扩充和复数的概念》课件
复数 z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z(a, b)
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向
量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数? 如图, 向量 OZ = a = (3, - 2).
y
复平面上的点 Z(a, b) 唯一
对应向量 OZ = (a, b); 复平面上的点 Z(a, b) 唯一
复数的两种几何意义: (3) 向量 OZ 的模 r 叫复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi|. |z| = |a + bi| = a2 + b2 . 如: z=3-2i.
y
3
O
x
-2
Z
|z| = 32 +(-2)2 = 13.
练习: (课本105页) 第 1、2、3 题.
练习: (课本105页)
当 b=0 时, a+bi=a 是一个实数; 当 b≠0 时, a+bi 就有一新引进的数 i, 这个数就 是我们要学习的虚数.
我们把集合 C={ a+bi | a, bR } 中的数, 即形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数, 当 b≠0 时, a+bi 叫虚数.当 a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
(1) 3+2i;
(4)
-
1 2
i;
(2) - 3; (5) 0;
(3) 1-i; (6) (1- 3)i.
(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是复数.
(2)(5)是实数.
《数系的扩充和复数的概念》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第3.1.1课时)
实数
课前导入
x - 2 = 0 由于自然数扩充到实数系我们解决了类似, 2
在有理数集中无解的问题.
进入我们今天学习的内容
课前导入
x2 = -1
联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
实数系究
用什么方法解决方程 x2 + 1 = 0 在实数集中无解的问题？
人教版高中数学选修2-2
第3章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1数系的扩充和复数的概念
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
自然数系如何扩充到实数系？
自然数
整数
有理数
无理数
(1)m= ±1 (2)m ±1
(3)m=-2
课堂练习
若x，y为实数，且 x2 + y2 + x + yi = 2 + 4i 求x，y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x2 + y2 + x = 2 得 x=-3,y=4 y = 4
课堂练习
若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0，求x的值.
新知探究
知识要点 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
新知探究
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z = a + bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位.
b称为虚部而不称为虚数系数
新知探究
复数集中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),两个 复数相等的充要条件是？
高中数学第三章数系的扩充与复数3.1.2复数的概念课件新人教B版选修2_2(1)
的问题.
x 3 94 24
他认为这样的解是不可能的事.
走近大师
1545年卡丹将10分成两部分， 使两者的乘积等于40．
解方程x2-10x+40=0
（5 15）(5 15）=40
他用自己的卡丹公式求解
x3=15x+4也绕不过负数开平方
的困惑. 方程16+x2 +x3=24x等
价为(x-4)(x2 +5x-4)=0，其方
*
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复
数,其中i叫虚数单位. 2、把数集{a+bi|a,b∈R}称为复数集，
用字母”C“表示
*
高斯（Gauss;
1777 1855）:
复数，复平面
1799年德国数学家高斯证明了代数 基本定理（n次复系数多项式方程在 复数域内有且只有n个根），复数在 人们心目中才得到巩固。1806年，
欧拉（ Leonard Euler, 1707 - 1783 ）：规定i
为虚数单位，即 i2 = -1
1732年，瑞士大师 欧拉给出了三次方程
x3+px+q=0(p>0,q>0) 的三个根的一般公式， 解决了卡丹公式不能 解决的问题. 1777年，欧拉首次用 imaginary（虚的）的
第一个字母i表示 “-1”
加入实数集,得到一个新的 数集: C={a+bi|a,b∈R}
x2=2 规定：( 2)2 2
x2=-1
规定：i2 =-1
2 可以与其它数进 行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法 与乘法的运算律(包括
交换律、结合律和分 配律)仍然成立.
i可以与实数进行四则 运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法 的运算律(包括交换律、 结合律和分配律)仍然 成立.
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件