不等式的基本性质二
不等式的性质(第三课时)
解：移项，得 移项， 8x－ 7x ≤3+2 － ∴ x ≤5 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 这个不等式的解集在数轴上表示如下： -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
思考： 思考：求满足不等式 8x－2≤7 ＋3 的正整数解 －2≤7x＋
3 x ＋ 3 < 10 －3 x＜10 － 3 ＜
︱ 0 33
○
圣诞节到了，小明去买贺卡花了 元 圣诞节到了，小明去买贺卡花了x元，买邮票花了 他总共花了10 10元 请问小明买贺卡花了多少元？ 3元，他总共花了10元，请问小明买贺卡花了多少元？ 列方程求解） （列方程求解）
如果小明总共花的钱不足10元 如果小明总共花的钱不足10元 10 呢？根据题意你能列出一个式子 －3 移项，得 x ＝10－3 吗？ 合并同类项，得 x ＝7 x＋3＜10 解：由题意，得 x＋3＝10 由题意， ＋ ＋3 答：小明买贺卡花了7元.
3 2
1 2
从中你得到什么规律？
例2 三角形中任意两边之差 与第三边有怎样的大小关系？ 与第三边有怎样的大小关系？
解：如图，设a,b,c为任意一个三角 如图， 为任意一个三角 形的三条边的长， 形的三条边的长，则 c a＋b＞c, b＋c＞a, c＋a＞b. ＋ ＞ ＋ ＞ ＋ ＞ 由式子a＋b＞c 移项可得 a＞c－b, b＞c－a . ＞ － ＞ － 类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得 类似地，由式子 ＞ 及 ＞ 移项可得 c＞a-b, b＞a-c 及 c＞b-a, a＞b-c
不等式基本性质2： 不等式基本性质 ：
a b < 如果a>b，c<0 那么 那么ac<bc(或 c 如果 ， 或 就是说 c )就是说
二2.不等式的基本性质
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
作业：百分导学2.1、2.2。
即：
例2
把下列不等式化为x >a或x< a的形式： （1）x + 6 > 5 ； （2） 3x < 2x -2 .
根据不等式基本性质1
解 （ 1 ） x + 6 > 5，
不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得 x +6-6 > 5-6； 即： x > -1 （2） 3x < 2x -2， 根据不等式基本性质1 不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得 3x -2x < 2x-2-2x； 即： x < -2
-1×(- 4)____3 ＞ ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 ＞ ÷ ( - 4) 你能再总结一下规律吗？
完成P40：做一做
如果_________, a>b且c>0
ac>bc 那么_______ (或
a b c c
)
不等式基本性质2：不等式的两边都 正数，不等号 乘以（或除以）同一个____ 的方向不变 ____。
练习：根据不等式的基本性质,把下列不等式化
成“x>a”或“x<a”的形式:
1 (1)5x>4x+8.(2)5+x>-2.(3)-2x< 3 . 1 1 (4)7-x<3.(5)- 5 x<-2.(6)x< 2 x+3.
例3：不等式的基本性质的应用 1.由x>y得到ax>ay的条件是 ( A A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
不等式的基本性质有哪些
不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
3基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式的基本性质 2
例1 将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
(1) x 5 1
(2) 2 x 3
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x 1 5
即
x4
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
3 x 2
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
×
比较大小 4
2 2
• 2
2 x - 4 x 5, x - 2 x 4
2 2
• 3、
2a和a
你今天这节 课有什么收 获呢？
我今天学到了 ……
P
9
习题1.2
(1) 4 x 1 2
解：
4x 11 2 1 4x 3 3 x 4
解：
5 (2) x 6
1 (3) x 3 解： 2
5 x 1 (1) 6 5 x 6
1 2 x 3 2 2 x6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
(1) x 6 ＞ y 6;
2 3 , 2 5 ___ 3 5; 1 1 3 ; 2 3 , 2 ___ 2 2
完成下列填空：
2 3 , 2 (1) ___ 3 (1) ; 2 3 , 2 (5) ___ 3 (5) ; 1 1 3 ( ) ; 2 3 , 2 ( ) ___ 2 2
(2)3x ＞ 3y ;
不成立
(3) 2 x 2 y ;
不成立
(4) 2 x 1 2 y 1 .
成立
成立
例 下列各题是否正确?请说明理由 (1)如果a＞b,那么ac＞bc × (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 × (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b √ (4)如果a＞b,那么a-b＞0 √ (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a
不等式及其基本性质(二)
教学设计7．1 不等式及其基本性质（二）教材内容：九年义务教育课程标准沪科版第七章第一节第二课时教材分析不等式是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型，实际生活中的许多问题往往用不等式表示，用不等式的知识去解决，由于不等式的基本性质如等式的基本性质，在等式变形中的作用一样，是不等式变形的理论依据，所以对不等式的研究学习，离不开其基本性质，它是学好本章内容的基础，是本章的重点内容，在此之前由于掌握了有理数的大小比较，等式及其基本性质，以此为基础，展开不等式基本性质的探索，也就顺理成章了。
教学目标：一、知识与技能掌握不等式的基本性质，能正确灵活运用不等式的基本性质将不等式变形。
二、过程与方法通过类比不等式的基本性质，探索不等式的基本性质，经历运用不等式的基本性质，进行不等式的变形，进一步理解掌握不等式的基本性质，感受类比的思想方法在学习中的运用。
三、情感态度与价值观经历探索不等式的基本性质的过程，提高学生观察、分析、思考、归纳的能力，体验合作交流在数学学习中的重要性，培养学生乐于探索知识的兴趣和创新意识。
教学重点：不等式的基本性质及运用教学难点：不等式的基本性质在不等式变形中的正确运用教学关键：了解不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，将不等式的基本性质2与3进行比较，从而加深对不等式基本性质的理解。
教法与学法1、充分发挥老师的主导作用，着力调动学生学习的积极性、主动性。
组织、引导学生活动，使学生广泛参与学习的全过程。
2、结合内容特点，在老师的操作下，引导学生，通过观察，分析思考，采用类比法探索归纳不等式的基本性质，通过运用加深理解记忆完成教学。
教具准备天平、若干砝码、小黑板教学过程一、知识回顾，创设情境师：前面我们学习了等式的基本性质，同学们还记得等式的基本性质内容是什么吗？生：记得。
等式的基本性质：1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不等于0）所得结果仍是等式。
2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ
n 1
n 1
iff = b时 号 立 a 等 成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等 解 为 当 时 不 式 集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或 证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行 分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质 同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果 性质 如果 性质2.如果 性质 如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性 传递性) 传递性 (加法性质 加法性质) 加法性质 (乘法性质 乘法性质) 乘法性质 (同向相加 同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质 乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质 开方性质) 开方性质
不等式的基本性质(2)
即：如果a＜b,c>0那么ac＜bc，
如果 a＞b，c＜0 那么 ac<bc 。
（乘法法则）
选择适当的不等号填空： （1)∵0 ∴a
＜ 1,
＜ a+1(不等式的基本性质1）；
（2）∵(a-1)2 ≥ 0, ∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质1）
< (2) –2<3, (-2)×6____3 ×6 , > (-2)×(-6)____3 ×(-6) 不变 当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方向______; 改变 而乘同一个负数时,不等号的方向________.
结论3： 不等式的基本性质:3： 不等式 的两边都乘以同一个正数，不等号的方 向不变.
x ＞-1 (3)若x+1＞0,两边同加上-1,得____________ 不等式的基本性质2 (依据:_____________________).
x ＞-3 依据 (4)若2 x ＞-6,两边同除以2,得________, 不等式的基本性质3 _______________.
X≥-2 依据 (5)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________, ___________ 不等式的基本性质3
c。
（不等式的传递性）
你能举几个具体的例子说明吗？
新课引入：(2)观察:用“<”或“>”填空,并找 一找其中的规律.
(2) –1<3 , -1+2____3+2 , < (1) 5>3, ＞ 5+2____3+2 ,
< －3 ; -1－3____3
＞ －2 ; 5－2____3
会发现:当不等式两边加或减去同一个数时,不等 不变 号的方向______
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（1）若a＞b，则2a+1
（2）若－
5 4
－8，
y＜10，则y
2b+1，
（3）若a＜b，且c＞0，则
ac+c
bc+ c，
（4）若a＞0，b＜0，c＜0，则
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8、试一试：
比较2a与a的大小
(1)当a>0时，2a>a； (2)当a=0时，2a=a； (3)当a<0时，2a<a；
(1) 2a和a+1 (2)2a和a-1
不等式的基本性质
填空:
60 < 60+10 < 60-5 < 60+a <
80 80+10
80-5 80+a
如果ab，那么 ac< bc
性质1，不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等号的方向不变.
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不等式的基本性质
填空(1)：
填空(2)：
60 < 80 60 ×0.8 < 80 ×0.8
括号内填写理由.
(1)∵a＞b
(2)∵ a＞b
∴a-4 ＞ b-4(不等式基 ) ∴ 4a＞ 4b(不等式基)
(3)∵3m＞5n 本性质1 (4)∵4x＞5x 本性质2
∴ -m＜ 5 n (不等式基 ) ∴ x＜ 0(不等式基 )
(5)∵
a
＜
3
b 本性质3
(6)∵a-1＜8本性质1
∴
a
4
2
＞2b( 不等式基
二、探究新知：
1. 商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格 为80元 （1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？ 涨价15元呢？ （2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降 价15元呢？ （3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？
2.已知 4 > 3，填空：
4×（-1）——3 ×（-1） 4×（-5）——实3用文档 ×（-5）
实用文档
比较不等式与等式的基本性质
变形
关系式 等式
两边都加上（或减去）
同一个整式
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个正数
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个负数
仍成立
不等式
仍成立 仍成立
？
不等号的方向改变才成立
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四、典型例题：
例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化 成x＜a或x＞a的形式：
(1) x-2＜ 3
B.3x2>2x2
C.3+x>2
D.3+x2>2
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4、单项选择：
(1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（ B ）
A.a ≥0 B.a ＞ 0 C.a＜ 0 D.a≤0
(2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ D）
A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0
(3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ C ）
)
∴ a ＜9(不等式基 )
本性质3 实用文档
本性质1
(2)
6x＜ 5x-1
解：((13))根据1/不2 等x式＞基5 本性质1，两边都加(4上) 2，
-4x＞3 得：
x-2+2＜3+2
x＜5
(2)根据不等式基本性质1，两边都减去
5x，
得：
6x-5x＜5x-1-5x
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例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a-3
b-3
a 2
(2)b2
解：(1) ∵a＞b
第二节 不等式的基本性质
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一、学前练习
1. ＞1+4
-7 ≤ -5,
5+3≠12-5, a+2＞a+1，
3+4
x ≥8 x+3 ＜6
(1)上述式子有哪些表示数量关系（的表符示不号等？关系）
这些符号表示什么关系？
(2)这些符号两侧（的不代可随数意式互可换位随置意）交换
位置吗？
(3)（什用么不叫等不号表等示式不？等关实用系文档的式子叫不等式）
同一个负数，不等号的方向改变。
ab
如果a>b，c<0
，那么ac<b 实用文档
c， c
c
三、小结： 不等式的三条基本性
质
1. 不等式两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变；
2. 不等式两边都乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；
3.*不等式两边都乘（或除以）同一个 ---如何负用数数，学不语等言号表的示方？向改变 ； ---与等式的基本性质有什么联系与区别？
) ∴a＞×0
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6、下列各题是否正确?请说明理由 (1)如果a＞b,那么ac＞bc (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b (4)如果a＞b,那么a-b＞0 (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a
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7、利用不等式的基本性质填空，
（填“＜”或“＞”）
∴两边都减去3，由不等式基本性质
得
a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0
∴两边都除以2，由不等式基本性质
(3) ∵a＞ba2，并＞得且-b2 4＜0
∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3
得 -4a实＜用文档-4b
五、变式训练：
1、已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。
（1）x+2
y+2
质 1） 1
3
4>3 4×5> 3×5 4÷2> 3÷2
性质2，不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。
ab
如果a>b，c>0 ，那么ac>b c，
实用文档
cc
不等式的基本性质
填空：
4 >3
4×(-1)< 3×(-1)
4×(-5)< 3×(-5)
4÷(-2)< 3÷(-2)
性质3，不等式的两边都乘以（或除以）
(2)
x3
本性质
）
（不等式的基本性 y （不等式的
（3）－x
质
）
－y
（不等式的基本性
(4)x－m
质
）
y－m （不等式的基本性
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2、若a-b<0，则下列各式中一定成立
的是（ D ）
A.a>b
B.ab>0
C. a 0
D.-a>-b
b
3、若x是任意实数，则下列不等式中，
恒成立的是（ D ）
A.3x>2x
A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数
(4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（ D ）
A.4a＞4 B.a+5＞6 C. a ＜ 1 D.a-1＜0
实用文档
2
2
5、判断正误：
(1)∵a+8＞4
(2)∵3＞2
∴a＞-√4 ( )
× ∴3
(3)∵-1＞-2
(4)∵ab＞
∴a-1＞a-√2 (
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六、归纳小结：
1.本节重点
(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质 (2)能正确应用性质对不等式进行变形；
2.注意事项
（1）要反复对比不等式性质与等式性质 的异同点；
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还
负数；对于未给定范围填空，并在题