5.2不等式的基本性质
不等式的基本性质教学设计教案
不等式的基本性质教学设计-教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义举例说明不等式的表示方法1.2 不等式的基本性质性质1：如果a>b，a+c>b+c（加法性质）性质2：如果a>b且c>0，ac>bc（乘法性质，正数）性质3：如果a>b且c<0，ac<bc（乘法性质，负数）性质4：如果a>b且c≥0，a-c>b-c（减法性质）第二章：不等式的运算2.1 不等式的加减法运算展示不等式的加减法运算规则，举例说明练习题：求解下列不等式组的解集2.2 不等式的乘除法运算介绍不等式的乘除法运算规则，注意正负数的处理练习题：求解下列不等式组的解集第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍简单不等式的解法，如直接解、移项、合并同类项等练习题：求解下列简单不等式的解集3.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图像法、区间法等练习题：求解下列不等式组的解集第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的不等式举例说明不等式在实际问题中的应用，如距离问题、分配问题等练习题：解决下列实际问题中的不等式4.2 不等式的优化问题介绍不等式在优化问题中的应用，如最大值、最小值问题练习题：解决下列优化问题中的不等式第五章：不等式的综合练习5.1 不等式的综合应用综合运用不等式的基本性质、运算和解法解决实际问题练习题：解决下列综合应用问题中的不等式5.2 复习与总结复习不等式的概念、基本性质、运算和解法总结不等式的重要性和在数学中的应用第六章：不等式的标准形式6.1 不等式的标准形式介绍不等式的标准形式：x ≤a 或x ≥a说明标准形式在解不等式组中的重要性6.2 标准形式的不等式解法展示如何将不等式转换为标准形式练习题：将给定的不等式转换为标准形式并求解第七章：不等式的绝对值7.1 不等式中的绝对值解释绝对值在不等式中的含义和作用举例说明绝对值不等式的解法7.2 绝对值不等式的解法展示绝对值不等式的解法步骤练习题：求解含有绝对值的不等式第八章：不等式的函数关系8.1 不等式与函数的关系探讨不等式与函数之间的关系举例说明如何通过函数图像解决不等式问题8.2 函数图像下的不等式解法介绍如何利用函数图像求解不等式练习题：利用函数图像解决给定的不等式问题第九章：不等式的不等式系统9.1 不等式系统的概念介绍不等式系统的概念及其解法说明不等式系统在实际问题中的应用9.2 不等式系统的解法展示如何解不等式系统练习题：求解给定的不等式系统第十章：不等式的拓展与应用10.1 不等式的拓展探讨不等式在其他数学领域的应用介绍不等式的相关拓展知识10.2 不等式的实际应用分析不等式在现实生活中的应用练习题：解决实际生活中的不等式问题教案总结：本教案涵盖了不等式的基本概念、性质、运算、解法、应用以及拓展等内容。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质是数学中一种重要的概念，它是解决方程的基础，是一门数学的基本知识。
归纳一下，不等式的四条基本性质包括：转置法则、结合率、分配法则、乘法法则。
首先，不等式的转置法则表明当两个不等式之间没有任何改动时，它们保持其相等状态。
例如，对于x>y，则y<x恒成立。
其次，不等式的结合率表明将二元不等式（即只包含两个未知量的不等式）通过乘以一个正实数结合到一起，它不会改变不等式的解的乘法，即任何一个二元不等式的乘法都是它的解的结合率。
例如，若x>0，不论乘以多少正实数都会使x
的大小保持不变，最终仍然>0。
再次，不等式的分配法则表明，当将一个正实常数分别与不等式的两边相乘时，它将被均匀地分配到不等式的两边。
例如，我们如果将2x与3x分别乘以k，那么可以得到(2kx + 3kx)>0，原来的不等式不变，同时常数k也是均匀地分配到不等式的两边。
最后，不等式的乘法法则表明，当将一个变量和一个正实常数相乘时，不等式的大小状态将保持不变。
例如，当我们将一个变量x和c乘起来，x>0时，必然有cx>0，而x<0时，有cx<0，因此这条不等式的大小状态不变。
总的来说，不等式的四条基本性质是探究方程解的根基，由它们可以更进一步地求解数学方程，对学习数学解题技巧再次有所帮助。
5.2不等式的基本性质
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立 如果a=b,那么a±c=b±c 等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍旧成立 a b （c≠0）， 如果a=b,那么ac=bc或 c c
不等式的基本性质2 依据____________
___.
X≥-2
(3)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得_______
依据_________
不等式的基本性质3
__
例题解析，当堂练习
下列说法错误的是（ B ） A.由a(m2+1)＜b(m2+1)成立可推a＜b成立 B.由a(m2-1)＜b(m2-1)成立可推a＜b成立 C.由a(m+1)2＜b(m+1)2成立可推a＜b成立 D.由a(m+b)＜b(m+a)成立可推am＜bm成立
∣a∣ 2a a ∣a∣ 0
想一想：还有其他的 ∴ a+a ＜ a 比较方法吗？
∵ a＜0,
∴2a<a(不等式的基本性质2）
例题解析，当堂练习
1.若x＜y,且3x-2 与3y-2 的大小,并说明理由.
作差法
例２：
x>y,请比较(a-3)x 与 解：（1）当a>3时， ∵a－3＞０，x>y, ∴ （a-3)x>(a-3)y （2）当a＝3时， ∵a－3=０， ∴ （a-3)x=(a-3)y=0 （3）当a＜3时， (a-3)y 的大小
，则 ac bc；( ) ab （3）若 a b ，则 ac bc；( )
（4）若
不等式的性质
1、不等式的基本性质:不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
即如果a>b，那么a±c>b±c。
不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。
不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。
2、不等式的互逆性：若a>b，则b<a。
3、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。
不等式的性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。
不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。
5.2不等式的基本性质
不等式的基本性质
，得 x ＞2.
性质3(乘法法则) 如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c． 如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c． 如果不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变． 如果不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改变． 证明：因为 a c－b c = (a－b)c，
b b a＞b 又由 a＞b，即 a－b＞0， a 所以 当 c＞0时，(a－b)c＞0，即 a c＞b c； 所以 当 c＜0时，(a－b)c＜0，即 a c＜b c． 2 a＞2 b ＜ b ． 如果 a＞b，那么 a ___
5.2 不等式的基本性质
a﹤ b 我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_____ b﹤c 爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为____ 你能说出我和爷爷年龄的大小关系吗？ a﹤ c
不等式的基本性质1 若a﹤b,b﹤c.则a﹤c . 这个性质也叫做不等式的传递性。
已知a<b，b<c,在数轴上表示如图
判断下列不等式是否成立，并说明理由： 1. 若 a＜b，则 a c＜b c． （×）
2. 若 a c＞b c，则 a＞b．
3. 若 a＞b，则 a c2＞b c2．
（×）
（× ）
4. 若 a c2＞b c2，则 a＞b．
（√）
5. 若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1)．（ √ ）
看谁答的又快又准： 练习 ： 已知m﹥n，用“﹤”或“﹥”填空 （1）m+5___n+5 （2）m-4___n-4
不等式的基本性质2 不等式的基本性质2 不等式的基本性质3
（3）6m___6n
1 1 m____ n （ 4） 3 3
不等式的基本性质3
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5.2不等式的基本性质
教学目的:
1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质；
2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法．
教学重点：
不等式的三条基本性质．
教学难点：
不等式的基本性质3．
教学过程:
引言：运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证
首先，让学生用“＞”或“＜”号填空：
(1)7+3______4+3； (2)7+(-3)______ 4+(-3)；
(3)7×3 ______ 4×3； (4)7×(-3)______ 4×(-3)．
然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2，3．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质)
不等式基本性质：
1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a ＜b ，c ＜0，则ac ＞bc(或c a ＞c b
) 然后，让学生用不等式-2＜4两边都分别加上5，-6，两边都分别乘以3， -3来验证上述不等式的三条基本性质．
问题：(1)在不等式 -2＜6两边都乘以m 后，结论将会怎样？(当字母m 的取值不明确时，需对m 分情况讨论)
(2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同．
(问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解)
五、应用举例，变式练习
例1 根据不等式基本性质，把下列等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：
(1)x-2＜3； (2)6x ＜5x-1；
解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以
x-2+2＜3+2，
x ＜5．
(2)、(3)、(4)题略．
(解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x ＞a 或x ＜a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范)
例2 设a ＞b ，用“＜”或“＞”号填空：
(3)-4a ______ -4b ； (4)ma ______mb ．(m ≠0)
解：(1)因为a ＞b ，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得
a-3＞b-3．
(2)，(3)题略．
(4)因为a＞b，两边都乘以m．
当m＞0时，由不等式基本性质2，得
ma＞mb，
当m＜0时，由不等式基本性质3，得
ma＜mb．
(解题时，要让学生明白推理要有根据，并要求以后做类似的习题时，都要写出根据，逐步培养学生逻辑思维的能力)
练习(投影)
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
(1)x+1＞2； (2)4x＜3x-5；
(5)3x＜x+4； (6)x＜3x+4．
2．设a＜b，用“＞”或“＜”号填空：
(1)a+5______ b+5； (2)2a ______ 2b；
3. 7页 1.2.3
六、小结
七、作业
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
(5)4x＜2x+6．
2．设 a＞b，用“＞”或“＜”号填空：
(1)a+3 ______ b+3； (2)5a ______ 5b；
(5)ma______ mb(m≠0)．
3．8页3题，4题
4．9页B组，C组做书上。