乘除法原理

乘除法原理

乘除法原理以九九乘除法口决表为基础，初等数论为依据，深入分析实数的乘除运算法则，得到变量乘除运算的递推公式。

定义

乘法原理是以迭代算法对两个变量进行移位、加减得到积，除法原理是以迭代算法对两个变量进行移位、加减得到商和余数。

性质

任意进制数乘法原理公式和除法原理公式如下所示：

设k为k进制数基数，x和y分别是k进制数，其中x有s位整数，t位小数，y有n 位整数，m位小数

x*y乘积可以由以下递推公式推出：

y1=y/k n-1*k n-1

y2=[y-y1]/k n-2*k n-2

……

y n=[y-y1-y2-……-y n-1]/k0*k0

y n+1=[y-y1-y2-……-y n]/k-1*k-1

……

y n+m=[y-y1-y2-……-y n+m-1]/k-m*k-m

x*y=y1*x+y2*x+……+y n+1*x+……+y n+m*x

s={log k x}+1

n={log k y}+1

上两式大括号表示取整数部分

x÷y商和余数可以由以下递推公式推出：

x1=x/[y*k s-n]

x2=[x-x1*y*k s-n]/[y*k s-n-1]

x3=[x-x1*y*k s-n -x2*y*k s-n-1]/[y*k s-n-2]

……

x n+m=[x-x1*y*k s-n -x2*y*k s-n-1-……-x n+m-1*y*k s-2n-m+2]/[y*k s-2n-m+1]

x÷y=x1*k s-n+x2*k s-n-1+……+x n+m-1*k s-2n-m+2

x÷y余数为x-( x1*k s-n*y+ x2*k s-n-1*y+……+ x n+m-1*k s-2n-m+2*y+ x n+m*k s-2n-m+1*y)

x/y商可以由以下递推公式推出：

x/y=1+(x-y)/y

(x-y)/y=1+(x-2*y)/y

……

[x-(p-1)*y]=1+(x-p*y)/y

x/y=p+(x-p*y)/y

0

其中*为乘法运算，÷为除法运算，/为整除运算

x÷y的商的整数部分有s-n或s-n+1位

应用

十进制数

乘法运算

53*52.6=50*53+2*53+0.6*53=2787.8

x=53，y=52.6，k=10

n={log k y}+1={log1052.6}+1=1+1=2

m=1

y1=y/k n-1*k n-1=[52.6/10]*10=50

y2=[y-y1]/k n-2*k n-2 =[52.6-50]/1*1=2

y3=[y-y1-y2-……-y n+m-1]/k-m*k-m=[y-y1-y2] /10-1*10-1=[52.6-50-2]/0.1*0.1=0.6

y1=50，y2=2，y3=0.6，x=53

除法运算

596.8÷32=18.65

余数为0

x=596.8，y=32，k=10，

s={log k x}+1={log10596.8}+1=2+1=3

t=1

n={log k y}+1={log1032}+1=1+1=2

m=0

x1=x/[y*k s-n]=596.8/[320]=1

x2=[x-x1*y*k s-n]/[y*k s-n-1]=[596.8-1*320]/[32] =8

x3= [x-x1*y*k s-n -x2*y*k s-n-1]/[y*k s-n-2] =[596.8-1*320-6*32]/[32*0.1] =6

x4=[x-x1*y*k s-n -x2*y*k s-n-1 - x3*y* k s-n-2]/[y*k s-n-3] =[596.8-1*320-8*32-6*3.2]/[32*0.01] =5 x余= x-( x1*k s-n*y+ x2*k s-n-1*y+……+

x n+m*k s-2n-m+1*y)=596.8-(1*320+8*32+6*3.2+5*0.32)=0

x1=1，x2=8，x3=6，x4=5，x余=0

二进制数

乘法运算

1011*1101＝10001111

X=1011,y=1101,k=2

n={log k y}+1={log213}+1=3+1=4

m=0

y1=y/k n-1*k n-1=[1011/23]* 23=1*1000

y2=[y-y1]/k n-2*k n-2 =[1101-1000] /22]* 22=101/100*100=1*100

y3=[y-y1-y2]/ k n-3*k n-3=[y-y1-y2] /21*21=1/10*10=0*10

y4=[y-y1-y2-……-y n+m-1]/k-m*k-m=[y-y1-y2- y3] /20*20=1/1*1=1*1

y1=1000，y2=100，y3=0，y4=1

除法运算

1011÷1101=0.1101

s={log k x}={log211}+1=3+1=4

n={log k y}+1={log213}+1=3+1=4

x1=x/[y*k s-n]=1011/[1101*20]=1011/1101=0

x余=1011

x2=[x-x1*y *k s-n]/[y*k s-n-1]=[1011-0*1101*1]/[1101*2-1] =1011/110.1=1

x余=100.1

x3=[x-x1*y* k s-n -x2*y*k s-n-1]/[y*k s-n-2] =[1011-0*1101*1-1*1101*2-1]/[1101*2-2] =100.1/11.01=1 x余=1.01

x4=[x-x1*y* k s-n -x2*y*k s-n-1- x3*y*k s-n-2]/[y*k s-n-3]

=[1011-0*1101*1-1*1101*2-1-1*1101*2-2]/[1101*2-3] =1.01/1.101=0

x余=1.01

x5=[x-x1*y*k s-n -x2*y*k s-n-1-x3*y*k s-n-2-x4*y*k s-n-3]]/[y*k s-n-4]=

=[1011-0*1101*1-1*1101*2-1-1*1101*2-2-0*1101*2-3]/[1101*2-4] =1.01/0.1101=1

x余= =0.0011