方程与不等式课件
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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
函数、方程、不等式以及它们图像_课件 共90页
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/7/25
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/7/25
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/7/25
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
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26
解：（2）
由题意可知方程组
y
a
x
有解
ax x
y x
显然 x 0 不是方程 ax x 的解，所以存在非零常数T，使得 aT T
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27
解：
对于 f(x) ax ，有
f( x T ) a x T a T a x T a x T ( x )f f(x)axM
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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证明（2）：
f(x1)
f(1)1 2
f(xn1)f(12xxnn2) f(1x nx nx x nn)f(xn)f(xn)
2f(xn)
f (xn1) 2 f (xn )
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36
证明（2）：
y x的图像有公共点，证明： f(x) ax M；（3）若函数
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式精品课件
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 8．给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是___③_____．
解析 ①当 c>0 时，由 ac>bc 可得 a>b，当 c<0 时，由 ac>bc 可得 a<b，故 ①错；
4．已知 a，b，c 为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，
那么 P 与 Q 的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，且 a，b，c 不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
12．(10
分)已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小． a
)
－
(
a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a
)
＝
a－b b
＋
b－a a
＝
（a－b）（ a－ ab
b）＝（
a－
b）2（ ab
a＋
b） .
∵a，b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
A类
1 2
7.5
B类
1 3
6
今制定计划欲使总产值最高，则 A 类产品应开发___2_0____件，最高产值为
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
一元二次方程、不等式课件高三数学一轮复习
(2)− 2 + 2 − 3 < 0
2+5
(3)
−2
2+5
(4)
−2
≤0
(5)0< 2 − −2 ≤ 4
≥3
解题技巧
拓展
高次不等式的解法
(1)（x − 2）2 (x − 4) > 0
(3)
x2 −9
x−1
≤0
(2) (-x 2 + 2x + 3)(x + 1)>0
解题技巧
“穿针引线法”：
①最高次系数化为正
②从右上方开始画图，奇穿偶切
考点二 含参数不等式解法
(1)x2+ax+1<0(a∈R);
【解析】(1)Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程
2 −4
−+
x2+ax+1=0的两根分别为x1=
,
2
−− 2 −4
若 m＝0，显然－1<0；
m<0，
若 m≠0，则 Δ＝m 2＋4m<0 ⇒－4<m<0.
所以 m 的取值范围为(－4,0]．
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立，
2
只需 mx －mx＋m<6 恒成立(x∈[1,3])，
又因为
1
3
x2－x＋1＝x－22＋4>0，
6
所以 m<x2－x＋1.
2 f(x)g(x)>0(<0)
□
一元二次函数方程和不等式课件
y>0, 即 x2－2x －3 >0
x <－1 或 x > 3 y=0，即x2－2x －3 =0 x =－1 或 x = 3
-1
3
y<0，即x2－2x －3 <0 －1< x < 3
y = x2－2x －3
变一变
一元二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a > 0 ) ,
一元二次不等式：a x 2 + b x + c > 0 ( a > 0 ) ,
画一画
画出二次函数 y = x 2 - 2 x - 3 的图象.
y x
-1
3
看一看
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x 1 = -1, x 2 = 3 （2）不等式 x 2 - 2 x - 3 > 0 的解集是 { x | x﹤-1 或 x > 3 } （3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是 { x | -1 < x < 3} 思考： 二次方程、二次不等式、二次函数， 三者之间有什么关系？ y = x 2-2x3 y -1 3 x
x2 +bx+c<0
x
的解集是 { x | -1 < x < 3 }, 求实数 b , c 的值.
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
y = x 2+ bx + c y -1 3 x
的两根 , 所以 -1 + 3 = - b, -1×3 = c, 解得b = -2 , c = -3.
a x 2+ b x + c < 0 ( a > 0 ) , 一元二次函数： y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) ， 三者之间有什么关系？
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
一元二次函数方程和不等式课件ppt
y 3
= y
x
2-2x-
{ x | x﹤-1 或 x > 3 }
-1 3 x
（3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是
{ x | -1 < x < 3}
思考： 二次方程、二次不等式、二次函数， 三者之间有什么关系？
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
只需 f (1)< 0, 即 4－2 a < 0,
所以 a > 2. x
y
1x
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
例3. 若不等式 x 2 - 2 a x + 3 > 0 对任意 x ∈[ -1 , 3 ] 恒成立， 求实数 a 的取值范围.
看一看
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x1 （2）不等式 x
= -1, 2- 2
x x
2
-
= 3
3 >
0
的解集是
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
的两根 , 所以
-1 + 3 = - b, -1×3 = c,
解得 b = -2 , c = -3.
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研究学生“爱学习”品质培养的内 容和途径
学生实际与各自教育、课堂教学工 作进行实践，并在教研组汇报学年 学清分析、细则研究专题汇报（实 践说明细则研究成果），进而整理
成文如下。
教育的起点，基于此，我们首先在 教研组内各任课教师分析了目前所 教学年学生的学习基础、学习态度
等具体学清。
六年级生物（朱桂花）：由小学刚 进入初中，知识程度加深、加宽， 学习方式趋向自主，学生目前尚不
九年级物理（史文龙）：学生整体 状态较好。
八年级化学( 李风云）：一班聪明 尾巴生多，二班课堂沉闷；该记得 内容不记，课堂学习任务难以完成；
审题能力差。
九年级化学( 李风云）： 优生不优， 差生极差。
基础差，学习化学工具欠缺；意识 差，没有主动学习愿望；纪律差，
管理难度大。
针对学生现状，组内教师积极进行 “爱学习”品质培养实践研究，
适应。学生总数73人。
¡¢计划性不强，欠缺学习的主动性， 学习效率低。
¡¢听课精力不集中（不会听讲），跟 不上老师，自学无记忆参与，缺乏
思考(学习方法不当）。
¡¢书写习惯不良，书写不够规范，错 别字较多。
¡¢眼高手低，一做就错（机械记忆， 一知半解）。
今后上课过程中，调整并纠正学生 的不良学习习惯和学习方法，督促
形成
良好的学习习惯。
七年级生物(苏晓凤)：
¡¢部分学生工具（书、；练习册）不 全。
¡¢本学期所学内容难度大，课时不足。
八年级生物(苏晓凤)：个别学生纪 律极差，不服从管理与约束。
八年级物理（于学敏）：
¡¢学生课前准备置于上课后；
¡¢部分学生作业律时间较多。
细则，指导学法、纠正不良习惯， 进行调整与督促，对积极的学清予 以肯定，对消极的学清加以巧妙化 解。各位任课教师齐抓共管，促成 良好书写习惯。教学生重点审题， 关注题干；及时查缺补漏，具体归 因分析，帮助学生树立信心，提高 做题的准确率、学习的成功率。
学生实际与各自教育、课堂教学工 作进行实践，并在教研组汇报学年 学清分析、细则研究专题汇报（实 践说明细则研究成果），进而整理
成文如下。
教育的起点，基于此，我们首先在 教研组内各任课教师分析了目前所 教学年学生的学习基础、学习态度
等具体学清。
六年级生物（朱桂花）：由小学刚 进入初中，知识程度加深、加宽， 学习方式趋向自主，学生目前尚不
九年级物理（史文龙）：学生整体 状态较好。
八年级化学( 李风云）：一班聪明 尾巴生多，二班课堂沉闷；该记得 内容不记，课堂学习任务难以完成；
审题能力差。
九年级化学( 李风云）： 优生不优， 差生极差。
基础差，学习化学工具欠缺；意识 差，没有主动学习愿望；纪律差，
管理难度大。
针对学生现状，组内教师积极进行 “爱学习”品质培养实践研究，
适应。学生总数73人。
¡¢计划性不强，欠缺学习的主动性， 学习效率低。
¡¢听课精力不集中（不会听讲），跟 不上老师，自学无记忆参与，缺乏
思考(学习方法不当）。
¡¢书写习惯不良，书写不够规范，错 别字较多。
¡¢眼高手低，一做就错（机械记忆， 一知半解）。
今后上课过程中，调整并纠正学生 的不良学习习惯和学习方法，督促
形成
良好的学习习惯。
七年级生物(苏晓凤)：
¡¢部分学生工具（书、；练习册）不 全。
¡¢本学期所学内容难度大，课时不足。
八年级生物(苏晓凤)：个别学生纪 律极差，不服从管理与约束。
八年级物理（于学敏）：
¡¢学生课前准备置于上课后；
¡¢部分学生作业律时间较多。
细则，指导学法、纠正不良习惯， 进行调整与督促，对积极的学清予 以肯定，对消极的学清加以巧妙化 解。各位任课教师齐抓共管，促成 良好书写习惯。教学生重点审题， 关注题干；及时查缺补漏，具体归 因分析，帮助学生树立信心，提高 做题的准确率、学习的成功率。