常州市西夏墅中学高三数学教学案三角函数的综合应用
江苏省常州市西夏墅中学苏教版必修四数学《122 同角三角函数关系》教案
教学目标：掌握同角三角函数的两个基本关系式，掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值。
教学重点：两个基本式的推导和应用教学难点：已知一个三角函数值求其他三角函数值教学过程：一、复习引入：问题：任意角的三个三角函数是怎样定义的？角α终边上的任意一点P （x ，y ），点P 到原点的距离为r=22y x +>0,则有:r y =αsin ,r x =αcos ,xy =αtan 二、讲授新课：1.探索同角三角函数的两个基本关系式：问题1：从三个三角函数的定义，你能发现它们之间有什么关系吗?计算下列各题,并观察其结果:①︒+︒90cos 90sin 22 ②︒+︒30cos 30sin 22 ③︒︒60cos 60sin ④︒︒45cos 45sin 学生自己探索,讨论得出: ①sin 2α＋cos 2α＝1②tan α=ααcos sin 下面我们来推导一下这两个关系式：22222220,sin ,cos ,tan ,,2sin cos 1sin tan ,,cos 2P x y y x y a k k Z r r x y x x y r r r yy r a k k Z x x rαπαααπαααπαπα>⎛⎫===≠+∈ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===≠+∈ ⎪⎝⎭设任意角的终边上任意一点（，）,到原点的距离为则有还可以用正弦线、余弦线、正切线来证明，即用勾股定理证明。
③讨论几个问题：A.上述两个关系式，在一些什么情况下成立？B.“sin 2α＋cos 2β＝1”对吗？C.同角关系式可以解决哪些问题？ ,.()α只要知道角的一个三角函数值就可以求出其他两个三角函数值知一求二④基本关系式的变形公式：2.教学：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值。
例1：已知sin α＝54，并且它是第二象限的角，求cos α,tan α的值。
问题1：由已知可以根据哪些关系式分别求其它三角函数值？注意什么问题？解答→订正→小结：关系式的运用；注意符号问题；问题2：假如没有已知所在象限，结果将怎样？假如是填空选择，有何捷径求解？练习：已知sin α＝513，求α的其它三角函数值。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第1章 三角函数教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学第1章三角函数教案新人教版必修4数学（必修4）共有三章内容，第1章《三角函数》，第2章《平面向量》，第3章《三角恒等变换》．各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，全书的整体结构如下：目标定位1．第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”．于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”．2．本章具体的教学目标是：（1）通过“问题链”中问题的不断提出和不断解决，经历和认识“数学发生与发展”的生长过程，感受和体验“人类研究和发现数学”的思维过程．在一系列化问题的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的数学思维．（2）以“数学地研究”的主线，展示数学研究的一般程序．侧重“模型化”数学思想的运用，使学生在逐步学会研究数学的同时逐步学会学习数学．（3）充分发挥第1章“函数”的作用，在学习过程中尽可能地与“函数”一章密切联系，突出“特殊与一般”的思想方法在学习过程中的重要作用．教材解读1．教材采用了以问题链展开的呈现方式．在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计．例如，教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”的问题之前，还安排了另一个问题：“用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”．那么，为什么要研究（x,y）与（r,α）间的关系呢？这是因为用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点．那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动．那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”．为什么要研究周期现象呢？这就追到了最根本之处：因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型．”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系．2．教材按照数学研究的一般程序展开．数学研究的一般程序即：“问题——建立模型——研究模型——解释、应用与拓展”．特别地，建立“三角函数”的数学模型是本章的难点与重点，而研究“三角函数”则是置于“函数”的大背景之下进行，更进一步的研究将在后续各章节中（特别在第十章）逐步展开．3．教材突出了三角函数的周期性．本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属．首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节．三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的．相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用．在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型．这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用．周期函数的定义是学习中的一个难点．同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义．4．加强几何直观，强调形数结合的思想．三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？”导出公式的程序如下：上述推导方式本意有三点：（1）问题是“从对三角函数的性质进行研究”这个主题中派生出来的，是对“模型”研究的一个有机的组成部分，而不是为了将任意角转化为锐角以便查表求值才来讨论诱导公式．（2）三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理．（3）突出了形数结合思想．特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质：“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．教学方法与教学建议1. 要突出数学模型思想．充分利用本章引言提供的情境，利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，在学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识．2．以问题为中心．以“问题串”为载体，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．在感悟和理解通过问题串，揭示建构数学模型的思维过程，揭示数学知识间的联系的同时，学会提出问题，注重学会发现．3．加强相关知识的联系，注意章节之间的铺垫与呼应，形与数的结合．发挥单位圆、三角函数线、图象的直观作用．4．运用和深化函数思想方法．三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，应当注意运用《数学（必修l）》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数．例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，单调性、奇偶性等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=A sin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸缩）的关系．5．恰当地使用信息技术．有条件应尽量使用计算器（机）．把计算机变成学习的好伙伴．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：1.3.4 三角函数的应用(1)
教学目标：1. 会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ；3. 培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；4. 渗透数形结合的思想．教学重点：待定系数法求三角函数解析式； 教学难点：根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．学法与教学用具：1. 学法：讲练结合；2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.授课类型：新授课．教学过程：一、回顾复习1. 由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法．2. 如何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象？3. ,,A ωϕ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用．二、例题讲解例1 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．解 由图知，函数最大值为3，最小值为3-，又∵0A >，∴3A =，由图知52632T πππ=-=,∴2T ππω==，∴2ω=， 又∵157()23612πππ+=， ∴图象上最高点为7(,3)12π，∴733sin(2)12πϕ=⨯+，即 7sin()16πϕ+=，可取23πϕ=-，所以，函数 的一个解析式为23sin(2)3y x π=-．例2 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式．解 由题意：5A =，24T π=， ∴22T ππω==，∴4ω=，∴5cos(4)y x ϕ=+，又∵图象经过点5(0,)2-，∴55cos 2ϕ-=，即1cos 2ϕ=-，又∵0ϕπ<<，∴23πϕ=，所以，函数的解析式为25cos(4)3y x π=+．例3 函数)(x f 的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是x y sin 21=的图象，试求)(x f y =的解析式．解 将x y sin 21=的图象向右平移2π个单位得：)2sin(21π-=x y ,即x y cos 21-=的图象再将横坐标压缩到原来的21得：x y 2cos 21-=, ∴x x f y 2cos 21)(-==．三、课堂练习1.已知函数sin(A y =ωx )ϕ+，在同一周期内，当x ＝9π时函数取得最大值2，当x ＝49π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为_________．2．已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（0,0,02πA ωϕ>><<）的图象一个最高点为x3-3π 56π3yOA （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6，0），求此函数的解析式_________3．函数)(x f 向左平移2π个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍所得的曲线是x y sin 21=的图象，试求)(x f y =的解析式_________． 四、课堂小结本节课我们主要学习了三大类问题： 1．会根据函数图象写出解析式．2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．主要是找图象的特征，求ω就需要周期，最高点，最低点要注意．3．图象的平移变换，所有的平移都是针对x 而言．。
江苏省常州市西夏墅中学高三数学 函数y=Asin(ωx+φ)
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、学习目标1、了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
二、知识回顾1、简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解析式振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)（A>0, ω>0）2、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示 ωx+φ 0 2π π 32π 2π xy=Asin ωx+φ)A-A3、函数y=sinx 的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤四、课前热身1、函数x y 21sin=的图象的一条对称轴的方程是2、要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只须将x y 2sin 8=的图象3、把函数)62sin(π+=x y 的图象向左平移6π，所得图象的函数式为4函数.______________,21,23)(,0,sin )(==-<+=B A x f B x B A x f 则最小值是的最大值是时若 5．函数]2,0[tan sin π的图象在与x y x y ==上交点个数是__________.一、典例分析例1、已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。
（1）在给定的坐标系中，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象 （2）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值。
例2、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x ∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为M(23π,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x ∈［12π,2π］时，求f(x)的值域.例3、已知函数ωx +φ)-cos(ωx +φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2π。
江苏省高中数学 3.2 二倍角的三角函数(第2课时)教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第2课时）教案 新人教版必修4教学目标：1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；2．能运用公式解决一些简单的实际问题；3．培养学生观察、推理的思维能力．教学过程：一、复习引入二倍角公式：sin22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-； 22tan tan 21tan ααα=-； 2cos 22cos 1αα=-；2cos 212sin αα=-．（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的（3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）．（4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 这两个形式今后常用． 二、 数学运用1. 例题.例1 化简222sin ()sin ()sin 66ππααα-++-。
法一：由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-=, 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角． 这里用到了21cos 2sin 2αα-=,它和21cos 2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα-=+统称为降幂公式．法二: 两角和差的正弦展开．例2 求证: sin 50(13tan10)1+=例3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函数在[]0,π上的单调递增区间．注: 解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解．例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27αββαβπαβ-==-∈-求的值 这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围．例5 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大？2. 练习．（1）证明：①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+）②θθθ2cos )tan 1(cos 22=-（2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+-（3）11tan ,tan ,273αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值．三、小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(第1课时)教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（第1课时）教案新人教版必修4教学目标：1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．.教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号．教学方法：问题链导学．教学过程：一、问题情境问题：用（r, ）与用坐标（x, y）均可表示圆周上点P，这两种表示有什么内在联系？确切地说,●用怎样的数学模型刻画（x, y）与（r,）之间的关系？引导学生画出单位圆，作出对应的图形，在为锐角时，学生可以发现：（x, y）与（r,）之间具有的关系正是初中学习了的锐角三角函数．提问题：●在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？二、学生活动1.用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数．2．引导学生思考：如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?3．引导学生思考：能否利用已学知识通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化？三、建构数学1．三角函数定义（1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r .（2）比值 x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r .（3）比值 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x.2．我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.如图1所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x , y )，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x ；（3） y x 叫做α的正切，记作tan α,即tan α= y x(x ≠0)．3．探究三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．4．探究三角函数的定义域：四、数学应用1. 例题．例1 已知角α的终边经过点P (2，-3)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式：已知角α的终边经过点P (﹣2a ,3a )(a >0)，求角α的正弦、余弦、正切值．例2 确定下列三角函数值的符号：（1）cos 7π12 （2）sin(-465°) （3）tan 11π3变式：若cos α＜0且tan α＜0，试确定α为第几象限角．2．练习．（1）已知α的终边经过P (-3，4)，求2sin α＋cos α的值．（2）试判断下列三角函数值的符号．sin256°； cos(-406°)； tan 23π3（3）角α的终边上有一点P (m ,5)，且cos α＝m 13(m ＞0)，求sin α＋cos α的值．五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域；3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：1.2.1 任意角的三角函数(2)
教学目标：1．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．2．正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数 值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何 形式表示．教学方法：启发式教学．教学过程：一、 问题情境1. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念．（两个定义）2. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域．3. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号．二、学生活动议一议：是否可以在角α的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式 更为简单？三、建构数学1．问题引导学习单位圆，有向线段．2．三角函数线的定义：（1）（2）（3）（4）设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P(x，y)．过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1，0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T．由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x，MP=y，于是sinα=yr=y1=y=MP，cosα=xr=x1=x=OM，tanα=yx=MPOM=ATOA=AT．我们就分别称有向线段MP，OM，AT为正弦线、余弦线、正切线．3．几点说明．①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x 轴或y轴反向的为负值．④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．四、数学应用1．例题．例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．（1）π3；（2）5π6；（3）－2π3；（4）－13π6．例2 若0＜α＜π2，证明sinα＋cosα﹥1．例3 比较大小．ππππππ54tan 32tan )(354cos 32cos )(254sin 32sin )(1与与与例4 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．;21sin )1(-<x .21cos )2(>x 2．练习（1）利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①54sin 32sin ππ与 ②54tan 32tan ππ与 （2）若α∈（0，2π），sin α＜cos α，求α的范围五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1. 三角函数线的定义；2. 会画任意角的三角函数线；3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.。
常州市西夏墅中学高三数学教学案三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质一、 学习目标1、能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性；2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性。
二、 知识回顾 1、周期函数 （1）周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ,那么函数f (x)就叫做周期函数。
非零常数T 叫做这个函数的周期。
（2）最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
注：如果函数y=f(x)的周期是T ，则函数y=f(ωx)周期是||T ω，而不是Tω。
2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质注：y=sinx 与y=cosx 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x ，对称中心的横坐标都是它们的零点。
三、 课前热身 1、若cosx>-12（0≤x ≤2π），则x 的范围是___________ 2、如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，则其解析式为_____________3、将函数y=f(x)的图象沿x 轴向右平移3π个单位，再保持图象上纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y=sinx 的图象相同，则f(x)=___________4、函数f(x)=2tan(kx+3π)的最小正周期T 满足1<T<2，则自然数k 的值为___________5、函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，则a 的值为__________四、 典例分析例1：（1）若方程在[0，π]内有相异的实数根，求实数a 的取值范围。
（2）函数f(x) =sinx+2|sinx|，x ∈[0，2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围。
人教A版高中数学必修四常州西夏墅教学案任意角的三角函数新,
（1） （2）
（3） （4）
4、 =
5、已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y=2x（x 0）上，则cosα=
6、已知α为第三象限角，且
7、化简
8、
9、若A为三角形的一个内角，则在sinA,cosA,tanA,tan 中，恒为正值的有哪些
sin256°；cos(-406°)；tan
5、若cosα<0且tanα<0，试确定α为第几象限角
五、课堂小结：通过这堂课的学习，你有获取了哪些知识：
六、课后作业
基础达标：
1、已知角α的终边经过下列各点，求角α的正弦、余弦、正切值．
2、（1）. (-8，-6)（2）
2、确定下列各式的符号：
（1）. (2).
1、练习1.已知角α的终边经过点P(4a,-3a) ，求角α的正弦、余弦、正切值．（若a≠0呢？)
例2确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3） （4）
四、课堂反馈：
1、已知角α的终边经过点P(-12，5)，求角α的正弦、余弦、正切值．
2、已知角α的终边经过点P角 的终边经过点P 且 ，试判断 所在象限并求 的值
11、判断下列各式的符号
（1） （2）
能力提升
12、已知角 终边上的点P与点A 关于x轴对称，角 的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称，求
市“减负增效”专项课题
“基于学案的自主学习能力培养的策略研究”
课题研究之学案设计
一、学习目标：
1．理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数,
2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
常州市西夏墅中学高三数学教学案三角函数的求值问题
三角函数的求值问题一、学习目标：1．正确运用公式求解三角函数求值问题。
2．熟练掌握形如asinx ＋bcosx 的式子的变化过程。
二、知识回顾：1．cos75°＋cos15°的值= 。
2．已知cos(α＋3π)＝a ，那么3sin α－cos α的值为 。
3．Cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值是________________。
4．若tan θ＝21，tan φ＝31，则θ，φ都是锐角，那么θ＋φ＝_________。
5．求︒20sin 1－︒40sin 1的值。
二、知识回顾：求值问题的几种类型：给值求值；给角求值；给值求角。
三、课前热身：1、若=-=+αααtan ,5sin 2cos 则 。
2、已知)67sin(,354sin )6cos(πααπα+=+-则的值是 。
3、= 330sin 。
4、=--10cos 270sin 32 。
5、已知=+∈=-=)tan(),,0(,,55cos ,31tan βαπβαβα则 。
四、例题分析：例1、已知函数x xx x f sin 2sin 2cos )(22+-= （1）求函数的最小正周期；（2）当)6(534)()4,0(ππ+=∈ x f x f x 时，求且的值。
例2、在平面直角坐标系xoy 中。
以ox 轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为552,102。
（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。
例3、已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，且函数y=f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为2π （1）求)8(πf 的值；(2)将函数y=f(x)的图像向右平移6π个单位后，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间。
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高三年级数学学案 三角函数的综合应用
一、学习目标：
综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，还将综合运用三角函数的知识和其他数学知识解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力。
二、课前热身：
1、函数22
()cos 2cos 2
x
f x x =-的一个单调增区间是__________ 2、函数f(x )＝sinx ＋cosx 的图象的一条对称轴方程是 3、若函数f(x)=2+sin 2ωx （ω>0）的周期与函数g(x)=tan 2
x
的周期相等，则ω=_________
4、（四川7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若
,2a A B =
=，则cos B =___________ 5、（浙江14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
(
)
C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 。
三、例题：
例1：已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，1()1sin 22g x x =+．
（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
例2： 在一个特定的时间内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E 正北55海里处有一个雷达观测站A 。
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只
位于点A 北偏东45°且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该
船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sin θ=26
，0°<θ<90°）且与点A 相
距C 。
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。
例3：已知函数f(x)=4x 3-3x 2cos θ+
3
16
cos θ，其中x ∈R ，θ为参数，且02θπ≤≤。
（1）当cos θ=0时，判断函数f(x)是否有极值；
（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间（2a-1，a ）内都是增函数，求实数a 的取值范围。
四、课堂巩固：
1、已知,5
1
cos sin =+αα则=αtan 。
2、已知sin α＝
53+-a a ，cos α＝5
24+-a a
，则α是第二象限角，则tan α的值是 。
3、ω是正实数，函数f(x)＝2sin ωx 在区间[－3π，4
π
]上递增，则 。
4、（安徽5）将函数π
sin(2)3
y x =+的图象按向量a 平移后所得的图象关于点
)0,12
(π
-
中心对称，则向量a 的坐标可能为_________
五、小结：
六、课后巩固：
1、其中正确的命题序号是__________。
（1）函数.0)2
sin(〕上是减函数，在〔ππ
-=x y ；
（2）若α、β是第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；
（3）在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点；.
（4）函数y=|cos(2x+
3π)|的最小正周期是2
π。
2、函数y=sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[-1，1
2
]，则b-a 的最大值与最小值
之和为_________
3、已知f(x)=2cos 2，x ∈[0,2
π
]，若|f(x)|<2，则a 的取值范围是_______________ 4、已知α，β∈（43π，π），sin(α＋β)＝－53，sin(β－4π)＝13
12
，则cos (α
＋
4
π
)＝______。
5、已知sin α＝cos2α，α∈（
2
π
，π），则tan α＝________________。
6、已知tan 2α＝2，则tan α＝___________，tan(α＋4
π
)＝____________。
7、给出下列命题：①存在实数x ，使sinx ＋cosx ＝23；②函数y ＝cos(32x ＋2
7π
)
是奇函数；③函数y ＝sin2x 的图象向左平移4π个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋4
π
)
的图象；④在△ABC 中，若A>B ，则sinA>sinB 。
其中正确命题的序号是__________（注：把你认为正确的命题序号都填上）。
8、要使sin α－3cos α＝
m
m --46
4 有意义，则m 的取值范围是____________。
9、函数f(x)＝sin2x ＋22cos(4
π
＋x)＋3的最小值为______________。
10、函数f(x)＝tan ωx （ω>0）的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为4
π
，
则f(
12
π
)＝______。
11、当0<x<2
π
时，函数f(x)＝x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为 。
12、已知函数f(x)＝cos 4x ―2sinxcosx ―sin 4x 。
（1）求函数y ＝f(x)的最小正周期； （2）若x ∈[0，2
π
]，求函数y ＝f(x)的最大值、最小值。
13、设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)（－π<φ<0），y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝
8
π。
（1）求φ的值；
（2）求函数y ＝f(x)的单调递增区间。
14、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，cosB ＝4
3。
（1）求
A tan 1＋C
tan 1
的值。
（2）设·BC ＝2
3
，求a ＋c 的值。
七、学后反思：。