向量的坐标表示和空间向量基本定理 课件北师大版选修.ppt
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高中数学北师大版选修2-1 2.3.2空间向量基本定理 课件(26张)
3.2 空间向量基本定理
-1-
1.了解空间向量基本定理及其意义,会在简单问题中选用空间三 个不共面的向量作为基底表示其他向量. 2.体会从平面到空间的过程,进一步培养对空间图形的想象能力.
-2-
1.空间向量基本定理 (1)如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. (2)空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基 底,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1,e2,e3的分解,e1,e2,e3都叫 作基向量. 当向量e1,e2,e3两两垂直时,就得到这个向量的一个正交分解,当 e1=i,e2=j,e3=k时,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3叫作a的标准正交分解.
1 1 1 ①������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ②������������ = ������������ + ������������; 3 3 3
③������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ④������������ = 2������������ − ������������. 解析 :对于 ①,由 ������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ (������ + ������ + ������ = 1), 知M,A,B,C 四点共面 ,则 ������������, ������������ , ������������共面;对于 ②④,易知 ������������, ������������ , ������������ 共面;只有 ③中 ������������, ������������ , ������������不共面. 答案 :③
-1-
1.了解空间向量基本定理及其意义,会在简单问题中选用空间三 个不共面的向量作为基底表示其他向量. 2.体会从平面到空间的过程,进一步培养对空间图形的想象能力.
-2-
1.空间向量基本定理 (1)如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. (2)空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基 底,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1,e2,e3的分解,e1,e2,e3都叫 作基向量. 当向量e1,e2,e3两两垂直时,就得到这个向量的一个正交分解,当 e1=i,e2=j,e3=k时,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3叫作a的标准正交分解.
1 1 1 ①������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ②������������ = ������������ + ������������; 3 3 3
③������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ④������������ = 2������������ − ������������. 解析 :对于 ①,由 ������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ (������ + ������ + ������ = 1), 知M,A,B,C 四点共面 ,则 ������������, ������������ , ������������共面;对于 ②④,易知 ������������, ������������ , ������������ 共面;只有 ③中 ������������, ������������ , ������������不共面. 答案 :③
北师大高中数学选择性必修第一册3.3.1空间向量基本定理【课件】
则ቐ
解得k＝1或k＝－1.
＝，
＝，
(2)证明：∵a＝ ，，
＋ ×1＝0，∴a⊥b.
2 ，－ ，
∵c＝
，b＝
，－ ，
－，，－
＝－2d，∴c∥d.
，d＝
，∴a·b＝1× ＋2× －
，－ ，
，∴c＝－
通法提炼
1. 判断空间向量垂直或平行的步骤如下：
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标.
(3)对于 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据 x1x2＋y1y2＋z1z2 是否为 0 判
1
2
2
断两向量是否垂直；根据 x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2，λ∈R，或 1 ＝
1
(2)已知向量 a＝ 1，2， 2 ，b＝
3
1
2
4
1，－ ，
. 求证：a⊥b，c∥d.
1
2
1
1
，－2 ，1 ，c＝ －2，3，－2 ，d＝
[解]
(1)向量ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k)，故由向
量ka＋b与a＋kb平行，得ka＋b＝λ(a＋kb)，
－＝(－)，
向量共线或垂直.
[素养目标]水平一：理解向量的基本定理(逻辑推理).
水平二：判断两个向量共线或垂直(数学运算).
基础训练
自主预习
1. 定理
条件：三个向量 a，b，c 不共面 .
解得k＝1或k＝－1.
＝，
＝，
(2)证明：∵a＝ ，，
＋ ×1＝0，∴a⊥b.
2 ，－ ，
∵c＝
，b＝
，－ ，
－，，－
＝－2d，∴c∥d.
，d＝
，∴a·b＝1× ＋2× －
，－ ，
，∴c＝－
通法提炼
1. 判断空间向量垂直或平行的步骤如下：
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标.
(3)对于 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据 x1x2＋y1y2＋z1z2 是否为 0 判
1
2
2
断两向量是否垂直；根据 x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2，λ∈R，或 1 ＝
1
(2)已知向量 a＝ 1，2， 2 ，b＝
3
1
2
4
1，－ ，
. 求证：a⊥b，c∥d.
1
2
1
1
，－2 ，1 ，c＝ －2，3，－2 ，d＝
[解]
(1)向量ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k)，故由向
量ka＋b与a＋kb平行，得ka＋b＝λ(a＋kb)，
－＝(－)，
向量共线或垂直.
[素养目标]水平一：理解向量的基本定理(逻辑推理).
水平二：判断两个向量共线或垂直(数学运算).
基础训练
自主预习
1. 定理
条件：三个向量 a，b，c 不共面 .
高中数学第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理3.13.2空间向量基本定理课件北师大版选修2_1
[练一练] 2．已知 ABCD-A′B′C′D′是棱长为 2 的正方体，E、F 分别是 BB′、B′D′的 中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 E 的坐标为__________，点 F 的坐标为 ________．
解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面 ABCD，如图，取 BD 中点 G，连接 FG，则 FG⊥平面 ABCD，则 E、F 的横纵坐标分 别为点 B、G 的横纵坐标，E、F 的竖坐标分别为 BE、GF.又正 方体的棱长为 2，故 BE＝1，GF＝2.因此点 E 的坐标为(2,2,1)， 点 F 的坐标为(1,1,2)．
[想一想] 1．与坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标有何特点？ 提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面 上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)， z 轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还要注意向量O→P的坐标与点 P 的坐标相同．
③A，B，M，N 是空间四点，若B→A，B→M，B→N不能构成空间的一个基底，则 A，B，
M，N 四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若 m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显 然②正确．③中由B→A，B→M，B→N不能构成空间的一个基底，知B→A，B→M，B→N共面．又 B→A，B→M，B→N过相同点 B，知 A，B，M，N 四点共面．下面证明①④正确：①假设 d 与 a，b 共面，则存在实数 λ，μ，使得 d＝λa＋μb，∵d 与 c 共线，c≠0，∴存在实数 k，使得 d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而 c＝kλa＋μkb，∴c 与 a，b 共面，与条件矛盾，∴ d 与 a，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选 D. 答案：D
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)课件北师大版选修2_1
π 0, 2
,则 a· b0> 0;
一
二
思考辨析
【做一做2】 已知a=(1,0,-1),b=(1, 3,0),则向量a在向量b上的投 影为 .
解析:向量a在向量b上的投影为
������· ������ 12 +3+0 1 答案: 2
=
1 (1,0,- 1)· (1, 2
1 3,0)= . 2
一
二
一
二
思考辨析
【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 ������������与������������ 的坐标分别为 , .
解析:由已知得,点 E 0,0, 因此������������ =
1 1 1 , ,- , ������������ 2 2 2 1 1 1 1 , ,1,0, 2 2 2 2
1 2
,F
=
1 1 , ,0 2 2 1 1,0, . 2
,C(0,1,0),G 1,1,
1 2Leabharlann .答案:一
二
思考辨析
二、投影
一
二
思考辨析
名师点拨a· b0=|a|cos<a,b>是一个可正可负的实数,它的符号代 表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.
(1)若<a,b>∈
π (2)若<a,b>= ,则 a· b0=0; 2 π (3)若<a,b>∈ ,π ,则 a· b0< 0. 2
探究一
探究二
思维辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6. (1)写出点C'的坐标,给出 ������������'关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x 轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
北师大版选修2-1高中数学2.3《向量的坐标表示和空间向量基本定理》(第1课时)ppt课件
v的值；如果不存在，请给出证明．
[解析] 假设存在实数 λ，μ，v，使 a4＝λa1＋μa2＋va3， 则 3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)，
∴2－λ＋λ＋μ－ 3μ2＋v＝ v＝32， ，解得λμ＝＝－1 2 ，
λ－2μ－3v＝5
O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
∴p＝xa＋yb＋zC．
• 3．空间直角坐标系与单位正交基底的关系
• 在 以 立空 点 三间 条O为选 数原一轴点点：，Ox分和轴别一、以个y轴单e1、、位ze正轴2、交，e基它3的底们方{都e向叫1，为坐e正2标，方轴e向3，}建，这 样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫 原 标点 轴， 的向 平量面叫e1、做e坐2、标e平3都面叫，坐它标们向分量别，是经xO过y每平两面，个坐 xOz平面，yOz平面．
[解析] P→G＝23P→N＝23[12(P→C＋P→D)] ＝13(P→A＋A→B＋A→D＋A→D－A→P)＝13A→B＋23A→D－23A→P ＝13i＋23j－23k.B→G＝B→C＋C→N＋N→G＝B→C＋C→N＋13N→P ＝A→D－12D→C－13P→N＝A→D－12A→B－(16A→B＋13A→D－13A→P) ＝23A→D－23A→B＋13A→P＝－23i＋23j＋13k.
v＝－3
故有 a4＝－2a1＋a2－3a3. [总结反思] 本题的意思是 a4 能否用 a1、a2、a3 线性表示．其 实，只要 a1、a2、a3 不共面，就可以表示空间任一向量．线性运 算在向量运算中具有十分重要的作用．
易混易错辨析
对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB，CD 的中点，则E→F、A→D、B→C的关系为共面(填“共面”，“不共面”)．
[解析] 假设存在实数 λ，μ，v，使 a4＝λa1＋μa2＋va3， 则 3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)，
∴2－λ＋λ＋μ－ 3μ2＋v＝ v＝32， ，解得λμ＝＝－1 2 ，
λ－2μ－3v＝5
O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
∴p＝xa＋yb＋zC．
• 3．空间直角坐标系与单位正交基底的关系
• 在 以 立空 点 三间 条O为选 数原一轴点点：，Ox分和轴别一、以个y轴单e1、、位ze正轴2、交，e基它3的底们方{都e向叫1，为坐e正2标，方轴e向3，}建，这 样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫 原 标点 轴， 的向 平量面叫e1、做e坐2、标e平3都面叫，坐它标们向分量别，是经xO过y每平两面，个坐 xOz平面，yOz平面．
[解析] P→G＝23P→N＝23[12(P→C＋P→D)] ＝13(P→A＋A→B＋A→D＋A→D－A→P)＝13A→B＋23A→D－23A→P ＝13i＋23j－23k.B→G＝B→C＋C→N＋N→G＝B→C＋C→N＋13N→P ＝A→D－12D→C－13P→N＝A→D－12A→B－(16A→B＋13A→D－13A→P) ＝23A→D－23A→B＋13A→P＝－23i＋23j＋13k.
v＝－3
故有 a4＝－2a1＋a2－3a3. [总结反思] 本题的意思是 a4 能否用 a1、a2、a3 线性表示．其 实，只要 a1、a2、a3 不共面，就可以表示空间任一向量．线性运 算在向量运算中具有十分重要的作用．
易混易错辨析
对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB，CD 的中点，则E→F、A→D、B→C的关系为共面(填“共面”，“不共面”)．
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
·|bb|＝
2－2 5×
6＝0，〈a，b〉∈[0°，180°].
∴〈a, b〉＝90°.
解析答案
12345
2.设A(3, 3, 1), B(1, 0, 5), C(0, 1, 0), 则AB的中点M到C的距离CM的值为 ( )C
A.
53 4
B.523
C.
53 2
D.
∴线段 BN 的长为 3.
解析答案
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
解 依题意得A1(1,0,2), C(0,0,0), B1(0,1,2),
∴B→A1＝(1,－1,2)，C→B1＝(0,1,2)， ∴B→A1·C→B1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
又DF∩BF＝F, 且DF ∴AM⊥平面BDF.
BDF, BF
BDF,
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是
△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝
1∶2.
求证: (1)平面GEF⊥PBC；
证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别
13 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
A.(－1,3, －3) B.(9,1,1)
第二章 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
2－2 5×
6＝0，〈a，b〉∈[0°，180°].
∴〈a, b〉＝90°.
解析答案
12345
2.设A(3, 3, 1), B(1, 0, 5), C(0, 1, 0), 则AB的中点M到C的距离CM的值为 ( )C
A.
53 4
B.523
C.
53 2
D.
∴线段 BN 的长为 3.
解析答案
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
解 依题意得A1(1,0,2), C(0,0,0), B1(0,1,2),
∴B→A1＝(1,－1,2)，C→B1＝(0,1,2)， ∴B→A1·C→B1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
又DF∩BF＝F, 且DF ∴AM⊥平面BDF.
BDF, BF
BDF,
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是
△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝
1∶2.
求证: (1)平面GEF⊥PBC；
证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在的直线分别
13 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
A.(－1,3, －3) B.(9,1,1)
第二章 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)课件北师大版选修2_1
2.3.2 空间向量基本定理
学 习 目 标 思 维 1.理解 空间向量基本定理及 其意义. 2.掌握 在简单问题中选用空 间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量. 3.能体会 从平面到空间的过 程,进一步培养对空间图形 的想象能力.
脉 络
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, ∵e1,e2,e3为空间的一个基底, ������ = 17, ������-3������ + ������ = 2, ∴ 2������ + ������ + ������ = -1, 解得 ������ = -5, ������ = -30, -������ + 2������-������ = 3,
答案
思维辨析
用基底表示向量 【例 2】如图,在四面体 O-ABC 中,G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 心,设������������=a,������������ =b,������������=c,试用向量 a,b,c 表示向量������������和������������.
学 习 目 标 思 维 1.理解 空间向量基本定理及 其意义. 2.掌握 在简单问题中选用空 间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量. 3.能体会 从平面到空间的过 程,进一步培养对空间图形 的想象能力.
脉 络
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, ∵e1,e2,e3为空间的一个基底, ������ = 17, ������-3������ + ������ = 2, ∴ 2������ + ������ + ������ = -1, 解得 ������ = -5, ������ = -30, -������ + 2������-������ = 3,
答案
思维辨析
用基底表示向量 【例 2】如图,在四面体 O-ABC 中,G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 心,设������������=a,������������ =b,������������=c,试用向量 a,b,c 表示向量������������和������������.
2019北师大版高中数学选修2-1课件：2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
底,则a,b,c共面;
成基底的向量必须不
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构 共面;②为真命题;③为
成空间的一个基底,则a,b共线; ③若a,b是两个不共线的向量,而
假命题,a,b不共线,当 c=λa+
c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的 μb时,a,b,c共面.故只有
一个基底.
①②为真命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
备课素材
[小结]
知识
方法
易错
1.标准正交基与空间
1.对向量在标准正交基下的坐
1.类比平面向量的坐标与分解
向量的坐标．
标找不准确．
来理解．
2．空间向量的基本
2．不能选择适当的基底，而造
2．类比平面向量的基本定理
定理
成计算繁琐
下节课预习问题：
1．空间向量坐标的线性运算法则是什么？
备课素材
1．对空间向量基本定理的理解 (1)空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量， 从而分解结果中也多了一项，其解决问题的思路和步骤基本相同． (2)空间任意三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，同时一个基底是一个向 量组，而不是单指一个向量． (3)空间向量基本定理说明，用空间不共面的三个向量e1，e2，e3可以线性表示空间 的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．空间向量基本定理是将空间几何研究 进行数量化的基础，它使空间的结果变得简单明了，整个空间被三个不共面的基本 向量所确定，空间的点或向量与三维实数组{x，y，z}之间具有一一对应的关系．
2．怎样用坐标表示空间向量数量积及其性质？
)，D→C＝A→B＝(0，1，0)．
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)课件 北师大版选
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和
高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点,分别按照下列要求建立空间
直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.
(1)如图①,以O为坐标原点,分别以射线DA,DC,OP的指向为x轴,y
轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系;
【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6.
(1)写出点C'的坐标,给出 '关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x
轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
(2)求'的坐标.
思维点拨:点C'的坐标的确定方法:过点C'作平面xOy的垂线,垂足
为C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,B,则
【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体
ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 与
的坐标分别为
,
.
解析:由已知得,点 E 0,0,
1 1 1
, ,- ,
2 2 2
1 1 1
1
, ,1,0,
2 2 2
2
因此 =
答案:
1
2
=
1 1
又 C1D1⊥平面 ADD1A1,∴C1D 1⊥AD 1.
∴向量1 在1 上的投影为
|1 |·cos∠C1AD 1=AD1=2 2.
答案:2 2
1
2
3
4
5
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为正方体
2019高中数学第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理2.3.2空间向量基本定理课件北师大版
=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3,
∵e1,e2,e3为空间的一个基底,
������-3������ + ������ = 2,
������ = 17,
∴ 2������ + ������ + ������ = -1,解得 ������ = -5,
-������ + 2������-������ = 3,
思维点拨:要用向量 a,b,c 表示向量������������,就要找到一组有序实数 x,y,z,使������������=xa+yb+zc,这主要用向量的加法和减法的性质,由向量 ������������入手,看一看向量������������可以由哪些向量的和或差得到.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)连接
AC',������������
=
1 2
(������������'
+
������������' )
=12[(������������ + ������������ + ������������')+(������������ + ������������')]
=12 (������������+2������������+2������������')=12a+b+c.
故������������, ������������, ������������能作为空间的一个基底. 设������������=p������������+q������������+z������������,则有
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即 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3. 2．由 1 知 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，请问 λ1，λ2，λ3 唯一吗？ 【提示】 唯一．
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教
学 教
1．如果向量 e1、e2、e3 是空间三个不共面的向量，a 是
易 错
法
易
分 析
空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1、λ2、λ3，使得 a＝
设 计
在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AB＝1，
基 达
标
课 前
试建立适当的空间直角坐标系，求向量M→N的坐标．
自
课
主
导
【思路探究】 从以下两点考虑：
时 作
学
业
课
(1)哪三条直线两两垂直？
堂
互 动
(2)如何用A→B、A→D、A→P表示向量M→N？
探 究
图 2－3－2
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课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
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教
学
易
教
错
法
易
分 析
∵M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝－12A→B＋A→P＋12P→C
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教
学
易
教
错
法
易
分 析
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
误 辨
析
教 学
3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
当
方
案 设
3．2 空间向量基本定理
堂 双 基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
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教
学 教
空间向量的标准正交分解与坐标表示
易 误
析 为向量 a 在向量 b 上的 投影 ．
辨 析
教
学 方
如图 2－3－1 所示，向量 a 在向量 b 上的投影为
当 堂
案
双
设 计
OM＝|a|cos〈a，b〉．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
图 2－3－1
堂 互
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的 投影.
动
探
究
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作 业
课 堂 互 动 探 究
解，当 e1＝i，e2＝j，e3＝k 时，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 叫作 a 的 标准正交分解.
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
空间向量的坐标表示
辨 析
教
学 方
如图 2－3－2 所示，PA 垂直于正方形 ABCD 所
当 堂
案
双
的坐标也是 (x，y，z) .
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教
学
易
教
投影
法
错 易
分
误ห้องสมุดไป่ตู้
析
辨
【问题导思】
析
教
学 方
1．在平面向量中，向量 a 在向量 b 方向上的投影如何求？
当 堂
案
双
设 计
【提示】 |a|cos〈a，b〉或a|b·b| .
基 达 标
课
前
2．在平面向量中，非零向量 a 在向量 b 方向上的投影与
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教
学
易
教 法 分
错
【自主解答】
∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面 ABCD，
易 误
析 AB⊥AD，
辨 析
教
学 方
∴A→B、A→D、A→P是两两垂直的单位向量．
当 堂
案
双
设 计
设A→B＝i，A→D＝j，A→P＝k，以 i，j，k 为基底建立空间直
基 达 标
课
前 自
角坐标系 A－xyz，如图
自
课
主 导
向量 b 在向量 a 方向上的投影相等吗？
时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
【提示】 当|a|＝|b|或 a⊥b 时，相等；当|a|≠|b|且 a 不 垂直于 b 时，不相等．
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教
学
易
教
错
法 分
(1)一般地，若 b0 为 b 的单位向量，称 a·b0＝|a|cos〈a，b〉
动
探
究
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教
学 教
空间向量的标准正交分解与坐标表示
易 错
法
易
分 析
在给定的空间直角坐标系中，i，j，k 分别为 x 轴，y 轴，
误 辨
析
教 z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量 a，存在唯一一
学 方 案
组三元有序实数(x，y，z)，使得 a＝ xi＋yj＋zk .我们把 a＝
当 堂 双
设
基
计
课 前 自
e2，e3 共线，O→P＝O→A＋A→E＋E→P＝O→A＋O→C＋O→B. 由O→A∥e1，O→B∥e2，O→C∥e3，根据向量共线的性质，存
达 标
课
主 导 学
在一组实数 λ1，λ2，λ3，使得O→A＝λ1e1，O→B＝λ2e2，O→C＝λ3e3，
时 作 业
课 堂 互 动 探 究
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教 学
如图，过点 P 作三个平面，分别平行于 e1
教
易 错
法 分
和 e2，e1 和 e3，e2 和 e3 所在的平面，得到一个
易 误
析 教
平行六面体 OADB－CEPF，O→P是该六面体的一
辨 析
学
方 案
条对角线，向量O→A，O→B，O→C分别与向量 e1，
教
学
易
教
错
法
易
分
空间向量基本定理
析
误 辨
析
教
【问题导思】
学
当
方 案 设
1．已知 e1、e2、e3 是空间中不共面的三个向量，如何用
堂 双
基
计 向量 e1、e2、e3 表示向量 a?
达 标
课
前
自 主
【提示】 把向量 e1、e2、e3 与向量 a 的起点移到同一点
课 时
导
作
学 O，记O→P＝a.
业
课 堂 互 动 探 究
当 堂 双
设 计
xi＋yj＋zk 叫作 a 的标准正交分解，把 i，j，k 叫作标准正交
基 达
标
课 基．
前
自 主
(x，y，z) 叫作空间向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y，z)，a＝
课 时
导
学 (x，y，z) 叫作向量 a 的坐标表示．
作 业
课 堂 互 动 探 究
在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为(x，y，z)，向量O→P
易 错
法
易
分
误
析
【问题导思】
辨 析
教
学 方
如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝x，AD＝y，
当 堂
案 设 计
AA1＝z，e1、e2、e3 分别是A→B、A→D、A→A1的单位向量，试用向
双 基 达
标
课 前 自
量 e1、e2、e3 表示向量A→C1.
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互
【提示】 A→C1＝A→B＋B→C＋C→C1＝xe1＋ye2＋ze3.
误 辨
教 λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
.
析
学
当
方 案
2．空间中不共面的三个向量 e1、e2、e3 叫作这个空间的
堂 双
设 计
一个 基底 ，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 表示向量 a 关于基底 e1、e2、
基 达 标
课 前 自
e3 的 分解 ，e1、e2、e3 都叫作基向量．
课
主
时
导 学
当向量 e1、e2、e3 两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分