高考一轮文数课件：第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值

考点一
考点二
[高考类题] (2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
解析
考点一
考点二
(1)f(x)
的
定
义
域
为
(0
，
＋
∞)
，
f′(x)
＝
1 x
＋
2ax
＋
2a
＋
1
＝
x＋1x2ax＋1.若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
(2)函数的极大值与极大值点： 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其 他点的函数值 都大 ，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近的左 侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫作函数的极大值 点，f(b)叫作函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的 曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ． ②将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f(a)，f(b) 比 较，其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值．
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(2)由(1)可知 x＝0 和 x＝ln 2 是 f(x)的极值点，且 0∈[0,2]，ln 2∈[0,2]，f(0)＝－1，f(ln 2)＝(ln 2－1)·eln 2－(ln 2)2 ＝2(ln 2－1)－(ln 2)2，由(1)可知 f(0)＝f(1)＝－1， 在(ln 2，＋∞)上 f(x)为增函数，∴f(2)＞f(1)＞f(ln 2)， ∴f(x)的最大值为 f(2)＝e2－4. f(x)的最小值为 f(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2.
[答案] (1)A (2)C
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[易错提醒] 1．导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出 导函数的零点后一定要注意分析这个零点两侧 f′(x)的函数 是否变号． 2．已知极值点或极值求参数时，要验证所求参数是否满足 存在极值的条件．
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3．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么 y＝f(x)在(a， b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 4．“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)．
[三基自测] 1．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小 值点( A )
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
2．函数 f(x)＝x33＋x2－3x－4 在[0,2]上的最小值是( A )
A．－137
故 f(x)在(0，＋∞)单调递增．若 a<0，则当 x∈0，－21a时，
f′(x)>0；当 x∈－21a，＋∞时，f′(x)<0. 故 f(x)在0，－21a单调递增，在－21a，＋∞单调递减．
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(2)证明：由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－21a取得最大值，最大
而当
a＝－3， b＝3
时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，x∈(－∞，
1)，f′(x)＞0，x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，故舍去． ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.选 C.
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(3)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋x 1x＋a＝x－1xx－a. ①当 0＜a＜1 时，若 x∈(0，a)，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递 增；若 x∈(a,1)，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；若 x∈(1，＋ ∞)，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．此时 x＝a 是 f(x)的极大 值点，x＝1 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(a)＝－12 a2＋aln a，极小值是 f(1)＝－12.
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考点二
②当 a＝1 时，f′(x)＝x－x12＞0，所以函数 f(x)在定义域(0，＋∞)内单
调递增，此时 f(x)没有极值点，故无极值．③当 a＞1 时，若 x∈(0,1)，f′(x)
＞0，函数 f(x)单调递增；若 x∈(1，a)，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；
若 x∈(a，＋∞)，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．此时 x＝1 是 f(x)的极
大值点，x＝a 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(1)＝－12，极小
值是 f(a)＝－12a2＋aln a.综上，当 0＜a＜1 时，f(x)的极大值是－12a2＋aln
a，极小值是－12；当 a＝1 时，f(x)没有极值；当 a＞1 时，f(x)的极大值
是－12，极小值是－12a2＋aln a.
－ 4x ＋ 1 ， 显 然 满 足 条 件 ； ② 当 a≠0 时 ， 可 得
a≠0， －42－4·3a·1>0，
解得 a<0 或 0<a<43.综上所述，a 的取值
范围是－∞，43.故选 D.
答案：D
解析
答案
考点一
考点二
2．函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值， 则 a 的取值范围是_a_＞__2__或__a_＜__－__1____．
第二章 函数、导数及其应用
考纲解读 1.以基本初等函数为背景，求函数的极值 或极值点；2.求基本初等函数在闭区间上的最值； 3.利用极值、最值、研究不等关系或求参数范围．
[基础梳理] 1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点： 若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其 他点的函数值 都小 ，f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左 侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点 a 叫作函数的极小值 点，f(a)叫作函数的极小值．
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考点一
考点二
[模型解法] 求函数在闭区间上的最值、关键是利用函数的单调性，其关 键点为： (1)求导，求出函数 f(x)的导函数 f′(x)； (2)解方程，求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
考点一
考点二
(3)作判断，在根 x0 的两侧，如果导数 f′(x)的符号左负右正， 则 f(x0)是极小值，x0 是极小值点；如果 f′(x)的符号左正右 负，则 f(x0)是极大值，x0 是极大值点；如果左右两侧导数符 号没有变化，则 f(x0)不是极值； (4)求最值，通过计算函数极值与端点的函数值，其中最大的 为最大值，最小的为最小值．
解析
பைடு நூலகம்答案
考点一
考点二
3．设 f(x)＝1＋exax2，其中 a 为正实数． (1)当 a＝43时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围．
解析
考点一
考点二
对 f(x)求导得 f′(x)＝ex·1＋1a＋x2a－x222ax.*(1)当 a＝43时，若 f′(x)
B．－130
C．－4
D．－634
3．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
4．f(x)＝x＋cos x，x∈0，π2的值域为___1_，__π2__．
等于( )
A．11 或 18
B．11
C．18
D．17 或 18
解析 答案
考点一
考点二
(3)设 a＞0，函数 f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)，求 f(x) 的极值．
解析 答案
考点一
考点二
(1)∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点， 则方程 y′＝ex＋a＝0 有大于零的解， ∵x＞0 时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.选 A.
5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数 x＝ 1
y＝x2＋1x的极小值点为
3
______2____．
考点一
考点二
利用导数求函数极值问题|易错突破
[例 1] (1)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，
则( )
A．a＜－1
B．a＞－1
C．a＞－1e
D．a＜－1e
(2)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 f(2)
＝0，则 4x2－8x＋3＝0，解得 x1＝32，x2＝12.结合*，可知
x
－∞，12
1 2
12，32
3 2
32，＋∞
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
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考点一
考点二
所以 x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点． (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合 *与条件 a＞0，知 ax2－2ax＋1≥0 在 R 上恒成立，即 Δ＝4a2 －4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合 a＞0，知 0＜a≤1. 所以 a 的取值范围为{a|0＜a≤1}．
考点一
考点二
[纠错训练]
1．已知函数 f(x)＝ax3－2x2＋x＋c 在 R 上有极值点，则 a