中心极限定理

30500
90000 1 k 2 90000k P{29500 X 30500 } k ( 3 ) ( 3 ) 29501
P{29500 X 30500 }
由定理六，得
P{
29500 np np(1 p )

X np np(1 p)

30500 np np(1 p )
}


30500 np
np (1 p ) 29500 np np (1 p )
1 2
) (
e
t 2
2
dt
)
(
30500 np np(1 p)
29500 np np(1 p)
其中n=90000, p=1/3. 即有 P{29500<X30500}
则 Xk 服从指数分布，E(Xk)=100， D(Xk)=10000 设 Z= X1+X2+……+X16 则所求概率为：
16
P{Z 1920 } P{ x k 1920 }
k 1
P{
x
k 1
16
k
n
1920 n n
n
}
由于：E(xk)=100,
P{Z 1920 } P{ k 1
0.2119
定理五(李雅普诺夫Liapunov定理) 设随机变量X1,X2 , …, Xn,…相互独立, 且它们具有数学期望和方差：
E(X k ) k , 记
2 n
D(X k )
2 k. k 1 n
2 k
k 1,2,...,
B
若存在正数d,使得当n时，
1
2 d Bn 2 d E {| X | } 0, k k k 1 n
90000次波浪的冲击, 问其中有 29500~30500 次纵摇角
大于3o的概率是多少？
解 设X为在90000次波浪中纵摇角大于3o的次数,
则 X~b(90000, 1/3)
其分布律为
P{ X k}
所求的概率为
90000 1 k 2 90000 k , k 0,1, ,90000 . k ( 3 ) ( 3 )
很大时，事件发生的频率与概率的偏差很小, 故可用频率
代替概率。
定理一中要求X1 ,X2 · · · · 的方差存在。 但服从相同分布 的场合，并不需要这一要求，故有以下定理。
定理三(辛钦定理) 设随机变量 X1,X2 ,…, Xn,…相互 独立, 服从同一分布,且具有相同的数学期望 (k=1,2,· · · ),则对于任意正数，有

e
t2 2
dt
证明略。 定理五表明，在定理的条件下，随机变量Zn ,当n很大时， 服从正态分布N(0,1)。由此，当n很大时
X
k 1
n
k
Bn Z n k
k 1 n k 1
n
近似服从正态分布 N ( k , Bn2 ).
即就是说,无论各个Xk具有怎样的分布, 只要满足定理 的条件, 那么其和Xk ,当n很大时, 近似地服从正态分布. 例
定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1, X2 ,…, Xn,…相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和
方差：E(Xk), D(Xk)20(k1, 2,…),则随机变量
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n

X
k 1
n
k
n
D ( X k )
及 中心极限定理
一 大数定律
频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有 稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景。 定理一 设随机变量X1 , X2 ,…, Xn , …相互独立,且 具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)
作前 n 个随机变量的算术平均
则对于任意正数ε有
k 1
n
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
lim Fn ( x) lim P{
n n
X
k 1
n
k
n x}
n
证略。 Fn ( x) P{Yn x} P{ k 1
X
n

x
1 2

e
t2 2
dt
k
n
(2.1)
n
x}
例1：据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布，现随机的取16只，设它们的寿命是 相互独立的，求这16 只元件的寿命的总和大于1920小时 的概率? 解：设 Xk 表示第k只元件的寿命 （k=1,2,3,…….16)
120 60 1 P{ } 59.64 59.64
X 60
1 (7.769 ) 0
（2）利润不少于 40000 元，即支出要少于 120000-40000=80000元 因此 死亡人数不能多于80000/1000 人 设利润不少于40000元的概率为p,则
p p{0 X 60} 0 60 X 60 80 60 p{ } 59.64 59.64 59.64
(5 2 / 2) (5 2 / 2) 0.995 .
例 一家保险公司里有10000人参加保险，
每年每人付12元保险费，在一年内一个人死
亡的概率为 0.006,死亡时其家属可向保险 公司领得1000元，问：
（1） 保险公司亏本的概率是多少？
（2） 保险公司一年的利润不少于40000元， 60000元，80000元的概率是多少？
16
x
16
D(xk)=1002
k
则
1920 n n }
n
n
k
P{ k 1
16
x
n
1920 16 100 16 100
n
k
}
P{ k 1
x
n 0.8}
n
16
1 P {k 1
xk n n
0.8}
1 (0.8) 1 0.7881
解：设 x 为一年内死亡的人数，则 x 服从
B(10000,0.006)
从而 E(X)=np=60 D(X)=np(1-p)=59.64 (1) 亏本即入不敷出，公司每年收入12000元 死一人支出1000元，死120人要支出120000元 故 {X>120} 发生时，就要亏本。 P{X>120}=1-P{X≤120}
Z
V
k 1
20
k
20 5 20
100 / 12

V 20 5 100 / 12 20
近似服从正态分布N(0, 1), 于是
P{V 105} P{
V 20 5 (10 / 12 ) 20 105 20 5 (10 / 12 ) 20 }.
P{
V 100 (10 / 12 ) 20
如城市耗电量是大量用户耗电的总和。物理实验误差是由 许多观察不到的、可加的小误差构成，故服从正态分布。 定理六(德莫佛 -拉普拉斯De moiver-Laplace定理) 设随机变量hn(n=1, 2, · · · )服从参数为n , p(0<p<1)的二 项分布，则对于任意x,恒有
lim P{
n
n
1 n Yn X k n k 1
lim P{| Yn | }
1 n lim P{| X n | } 1. n n k 1
(1.1)
定理的意义：当n很大时X1,X2 ,…, Xn的算术平均值
1 n X k 接近于E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X k ) . 这种接近 n k 1
n
n
(1.2)
证 引入随机变量
0, 若在第k次试验中A不发生， Xk k 1,2, . 若在第k次试验中A发生 ， 1，
显然
nA=X1+X2+· · · · +Xn .
由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验是独立的.于是
X1 , X2 ,· · · 是相互独立的;又由于Xk服从(0--1)分布，故有

b
a
e
dt.
(b) (a).
例2 一加速器同时收到20个噪音电压Vk(k=1, 2, · · · , 20)
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10)上服从 均匀分布。记V= Vk , 求P{V>105}的近似值。 解 易知 E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1, 2, · · · , 20), 由定 理四，随机变量
是在概率意义下的接近. 通俗地讲, 在定理的条件下, n个随
机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。 设Y1 , Y2 , … , Yn是一个随机变量序列，a是一个 常数，若对于任意0有
lim P{| Yn a | } 1,
n
则称序列Y1 , Y2 , … , Yn依概率收敛于a,记为
1 n lim P{| X k | } 1. n n k 1
E(Xk)=
(1.3)
证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况
二 中心极限定理
有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综 合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起 作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分
0.387}
1 P{
V 100 (10 / 12 ) 20
0.387}
1
即有
0.387