总复习习题：第八章 平面解析几何 课时提升作业 五十五 8.6.2 Word版含答案
2025版高考数学一轮总复习课时作业第八章平面解析几何8
第八章平面解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式【巩固强化】1. 已知两直线方程分别为，，若，则（B）A. 2B.C.D.解：因为，所以，解得.故选.2. 点到直线的距离为（B）A. B. C. D.解：点到直线的距离为.故选.3. 已知点，，则线段的垂直平分线方程为（B）A. B. C. D.解：由题设，知，故线段的垂直平分线的斜率为2.因为线段的中点坐标为,，所以线段的垂直平分线方程为，整理得.故选.4. 已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，则直线的方程为（A）A. B. C.D.解：（方法一）由题意,设,则直线在轴上的截距为,在轴上的截距为.则,解得.所以直线的方程为,即.（方法二）若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为.解得.所以直线的方程为，即.故选.5. 点关于直线对称的点的坐标为（A）A. B. C. D.解：设对称点的坐标为，则,，所以,.故选.6. 若两平行直线与之间的距离是，则（C）A. 0B. 1C.D.解：因为，所以解得所以直线.又，之间的距离是，所以，解得或（舍去）.所以.故选.7. 已知点和到直线的距离相等，则或.解：（方法一）利用点到直线的距离公式,可得,解得或.（方法二）直线与直线平行,或过线段的中点,即或,解得或.故填或 .8. 已知直线经过直线与的交点.（1）点到的距离为3，求的方程；解：经过两已知直线交点的直线系方程为，即，所以.解得或.所以的方程为或.（2）求点到的距离的最大值.[答案]由解得交点.如图，过作任始终线，设为点到的距离，则（当时等号成立）.所以.【综合运用】9. 已知直线，，且，则的最小值为（A）A. B. C. D.解：因为，所以，即.所以.可知当，时，取得最小值故选.10. 已知角，点到直线的距离为，则（A）A. B. C. D.解：由题意,得，则或，可得（舍）或，即.又，所以.故选.11. 【多选题】若三条直线，,能围成一个三角形，则的值不行能是（ACD）A. B. 1 C. D.解：由得所以两条直线交于点.当也过点时，有.解得.此时三条直线交于同一点，不能构成三角形.当与平行时，有，则，不能构成三角形.当与平行时，有，则，不能构成三角形.综上,且且.故选.12. 已知光线经过直线和的交点，且射到轴上一点后被轴反射.（1）求点关于轴的对称点的坐标；解：由解得所以.所以点关于轴的对称点的坐标为.（2）求反射光线所在的直线的方程;[答案]（方法一）设直线的倾斜角为 ,则直线的倾斜角为 .易知,所以直线的斜率.故直线的方程为,即.（方法二）由题意,知反射光线所在直线的方程即直线的方程.易知直线的方程为,整理得.故直线的方程为.（3）求与直线距离为的直线方程.[答案]设与直线平行的直线方程为.由两平行线间的距离公式,得.解得或.故所求直线方程为或.【拓广探究】13. 已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则13.解：对于直线，令，得,所以.直线可化为.令,得,所以.因为，所以.因为与相交于点，所以是以为斜边的直角三角形.所以.故填13.。
2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第八章 平面解析几何 8-6 Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2021·广东惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22解析：选B.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，∴e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，∴其渐近线的斜率为±2，故选B.2．(2021·开封模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线y ＝12x ＋1平行，则它的离心率为( )A. 5 B ． 6 C.62D ．52解析：选D.设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，渐近线方程为y ＝±bax ，由于双曲线的一条渐近线与直线y ＝12x ＋1平行，则12＝b a .令a ＝2t ，b ＝t (t >0)，则c ＝a 2＋b 2＝5t ，则离心率e＝c a ＝52.故选D. 3．(2021·青岛一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x220－y25＝1 B ．x25－y220＝1C.3x 225－3y2100＝1 D ．3x 2100－3y225＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，－c ＝－5，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝25，b ＝5，∴双曲线方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B ．x 2＋y 2－10x －9＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：选A.由于右焦点(5，0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5，0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.5．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．6．已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝ ．解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.依据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b ＞0，所以b ＝ 3.答案： 37．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为 ． 解析：设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1；若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1，故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.答案：x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝18．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 ． 解析：双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.答案：2559．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[B 级 力量突破]1．(2022·高考全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝112x 2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．22x ±y ＝0B ．x ±22y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B.由抛物线方程x 2＝12y 知其焦点为(0，3)，∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，∴双曲线的焦点在y 轴上，∴n <0，m <0，∴渐近线方程为y ＝±n m x ，又e ＝3，∴1＋－m －n ＝9，∴n m ＝18，∴渐近线方程为y ＝±x 22，故选B. 3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.由已知可得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设点P 的坐标为(x ，y )(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，由于x 2－y 23＝1，即y 2＝3(x 2－1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，故当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2. 4．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为 ．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又由于|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于c ＞a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac . 所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2得，e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3.答案： 35．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．解：法一：设F 2(c ，0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入方程得y 0＝±b 2a.∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b2a.在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b2a.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|， ∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2， ∴2a 2＝b 2，∵a >0，b >0，∴b a＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x6．如图，在直角坐标系xOy 中，始终角三角形ABC ，∠C ＝90°，B ，C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.若一双曲线E 以B ，C 为焦点，且经过A ，D 两点．(1)求双曲线E 的方程；(2)若过一点P (m ，0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M ，N ，且MP →＝λPN →，问在x 轴上是否存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN →)？若存在，求出全部定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则B (－c ，0)，D (a ，0)，C (c ，0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，即c ＝2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a . 解得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3.∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t ，0)，使BC →⊥(GM →－λGN →)． 设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0，即λ＝－y 1y 2.①∵BC →＝(4，0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0.③ 把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0.其中3k 2－1≠0且Δ＞0，即k 2≠13且3k 2＋m 2＞1.y 1＋y 2＝－6km 3k 2－1，y 1y 2＝3（m 2－1）3k 2－1. 代入③，得6k （m 2－1）3k 2－1－6km （m －t ）3k 2－1＝0， 化简得kmt ＝k .当t ＝1m时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC →⊥(GM →－λGN →)．。
总复习习题：第八章平面解析几何课时提升作业五十五8.6.2Word版含答案
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课时提升作业五十五直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·莱芜模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= ( )A.4B.8C.4或8D.以上都不对【解析】选C.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为( )A. B.C.-1D.-1【解析】选D.依题意有P(c,2c),点P在椭圆上,所以有+=1,整理得b2c2+4a2c2=a2b2,又因为b2=a2-c2,代入得c4-6a2c2+a4=0,即e4-6e2+1=0,解得e2=3-2(3+2舍去),从而e=-1.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0<m<n),< p="">联立方程组:消去x得:(3m+n)y2+8my+16m-1=0,Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,整理得:3m+n=16mn,即+=16.又c=2,焦点在x轴上,故-=4,联立解得:,故长轴长为2.4.(2016·包头模拟)椭圆+=1上有两个动点P,Q,E(3,0),EP⊥EQ,则·的最小值为( )A.6B.3-C.9D.12-6【解析】选A.设P点坐标为(m,n),则+=1,所以|PE|===,因为-6≤m≤6,所以|PE|的最小值为,所以·=·(-)=-·=||2,所以·的最小值为6.5.P是椭圆+y2=1上的一点,F为一个焦点,且△POF为等腰三角形(O为原点),则点P的个数为( )A.2B.4C.6D.8【解题提示】可按腰分三种情况讨论,然后按每种情况分别求解,最后再得出结论.【解析】选 D.使△POF为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.分别为:作线段OF的中垂线与椭圆交于两点;以F为圆心,为半径画弧,与椭圆交于两点;以O为圆心,为半径画弧,与椭圆交于四点,共有8个点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·宜昌模拟)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O 为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点A(0,-2),B,所以S△OAB=·|OF|·|y A-y B|=×1×=.答案:7.已知椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为.【解析】如图,因为四边形PAOB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以△OAP是等腰直角三角形,故a= b.所以e==.答案:8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是.【解析】因为·=0,所以⊥.所以||2=||2-||2=||2-1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,所以||min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0. 所以若Q恰在以MN为直径的圆上,则·=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值. 【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,Δ=96-8m2>0,所以-2<m<2,< p="">因为x0==-,所以y0=x0+m=,因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以+=1,所以m=±.10.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0,又c≠0,故有x0+y0+c=0①.又因为点P在椭圆上,故+=1②.由①和②可得3+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx,由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以,直线l的斜率为4+或4-.(20分钟40分)1.(5分)(2016·济宁模拟)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使·取得最小值时,t的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选 B.易知椭圆的左焦点F(-4,0).根据对称性可设P(t,y0),Q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以·=(t+4,y0)·(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以·=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,·取得最小值.【加固训练】(2016·合肥模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为.【解析】设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以·=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,·取得最大值4.答案:42.(5分)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为.【解析】设与l平行的直线方程为x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|AB|==,所以S△ABC=|AB|·d=××=.答案:3.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.设直线AB的斜率为k,若0<k≤,则e 的取值范围为.< p="">【解析】记线段MN与x轴交点为C.因为AF1的中点为M,BF1的中点为N,所以MN∥AB,|F1C|=|CO|=,因为A,B为椭圆上关于原点对称的两点,所以|CM|=|CN|.因为原点O在以线段MN为直径的圆上,所以|CO|=|CM|=|CN|=.所以|OA|=|OB|=c=1.因为|OA|>b,所以a2=b2+c2<2c2,所以e=>.设A(x,y),由得因为0<k≤,所以0<≤3,< p="">又a>1,所以1<a2≤1+,即1<a≤,< p="">所以e==∈[-1,1).所以离心率e的取值范围为[-1,1).答案:[-1,1)4.(12分)(2016·烟台模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O,求点O到直线l的距离. 【解析】(1)因为e=,所以=,右焦点(c,0)到直线+=1的距离d=,则=,且b2+c2=a2,得c=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程是+=1.(2)若直线l的斜率不存在,设方程为x=n,由得y2=3-,又原点O到l的距离为|n|,所以n2=3-n2,解得n2=,|n|=.若直线l的斜率存在.设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),那么则(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,又因为直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O, 所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,所以(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,++m2=0,化简得=,即=,所以点O到直线l的距离为.【加固训练】如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程.(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.【解题提示】(1)由△AB1B2是面积为4的直角三角形,即可得出b 与c的两个方程,进而得出椭圆的离心率和标准方程.(2)可先设出直线l的方程,再将直线方程与椭圆方程联立,利用PB2⊥QB2的条件,结合斜率的知识,即可得出直线l的方程.【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.5.(13分)(2016·石家庄模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).(1)请求出椭圆C的标准方程.(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.【解析】(1)记椭圆C的半焦距为c,由题意,得b=1,=,c2=a2-b2, 解得a=2,b=1,故椭圆C的标准方程为:+y2=1.(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,故方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.从而Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0.化简,得m2=1+4k2.①因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,所以圆心到直线l的距离d==. 即=.②由①②,解得k2=2,m2=9.因为m>0,所以m=3.关闭Word文档返回原板块</a2≤1+,即1<a≤,<></k≤,所以0<≤3,<></k≤,则e的取值范围为.<></m<2,<> </m<n),<>。
高考数学(理)一轮复习教师用书： 第八章 平面解析几何 Word版含解析
第1课时直线及其方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，π)．2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)(3)倾斜角越大，斜率越大．(×)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k·(x－x0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(×)(7)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn ＝1.(×)(8)直线Ax ＋By ＋C ＝0表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB 的直线．(×) (9)直线y ＝kx ＋3表示过定点(0,3)的所有直线．(×) (10)直线y ＝3x ＋b 表示斜率为3的所有直线．(√)考点一 直线的倾斜角与斜率例1] (1)若直线l PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B ．－13 C ．－32D.23解析：设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：B(2)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 第八章 平面解析几何大一轮复习 数学(理)解析：由直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0， 得直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈－1,0)，设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ＜0. 因此3π4≤θ＜π.答案：B(3)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图，k P A＝1＋31－2＝－4，k PB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：k≤－4或k≥3 4方法引航] 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.1．若将本例(1)改为：直线y＝1，x＝7与坐标轴的交点分别为P、Q，求直线PQ 的斜率．解：由题意可知P(0,1)，Q(7,0)，∴k PQ＝1－00－7＝－17.2．若将本例(2)的直线改为(a2＋1)x＋y＋1＝0，其倾斜角的范围如何？解：因直线的斜率k＝－a2－1≤－1设直线的倾斜角为α，∴tan α≤－1，α∈(0，π)， ∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，34π.3．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3. 答案：A考点二 求直线方程例2] 求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A (3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________． 解析：设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)， ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0. 答案：4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0(2)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________． 解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝0(3)过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________． 解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 答案：4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0(4)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k . 由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 解得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 方法引航] 求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.1．将本例(1)改为：求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－1 2，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－2 5，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.2．将本例(2)改为：经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．求该直线方程．解：由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，∴直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.3．将本例(4)改为：直线l 的斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.求l 的方程．解：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.考点三 直线方程的应用例3] (1)已知曲线y ＝x 4－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， ∵y ′＝12x －3x ，∴k ＝12x 0－3x 0＝－12，∴x 0＝2.答案：B(2)若ab ＞0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16(3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系， 则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR | ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．方法引航]在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.1．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析：由f′(x)＝1－4x，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.答案：3x＋y－4＝02．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24易错警示]直线的委屈——被遗忘的特殊情况典例](2017·浙江杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为________．正解]①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1.由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－1 3.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.答案] x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0易误] 本题容易忽视直线过原点时的情况．警示] 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否为0；注意区分截距与距离．高考真题体验]1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．(2016·高考北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8解析：选C.依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，∴线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈2,4]，即y＝－2x ＋9，x ∈2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈2,4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D.法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合(图略)可知： θmin ＝0，θmax ＝2×π6＝π3.法二：因为直线l 与x 2＋y 2＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，得k 2－3k ≤0，即0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.课时规范训练 A 组 基础演练1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析：选C.∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D.直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D.由题意得a ＋2＝a ＋2a ，∴a ＝－2或a ＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3.答案：－37．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.10．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)． 又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.B 组 能力突破1．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－A B ＝－13，即直线l 的斜率为－13，故选A.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0. 综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)5．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标； (2)若方程组无解，则l 1与l 2无交点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 3．三种距离4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．(√)(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．(×) (6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (8)直线l 关于点P 对称的直线l ′，则l ∥l ′.(×) (9)A 、B 两点到直线l 的距离相等，则AB ∥l .(×) (10)直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0恒过定点(－2,0)．(√)考点一 两条直线的平行与垂直例1] (1)设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直． 答案：C(2)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由1＋m＝0得m＝－1，所以直线方程为x －2y－1＝0.答案：A(3)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a ＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.答案：A(4)已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：①l1∥l2；②l1⊥l2.解：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin α≠0时，k1＝－1sin α，k2＝－2sin α.要使l1∥l2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±2 2.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±2 2.又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 所以α＝k π±π4，k ∈Z . 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.②因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.方法引航] 两直线垂直时，一般先将直线方程化成一般式，l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，然后利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解，这样避免出现漏解.如果利用斜截式方程，则需要根据其斜率是否存在分情况讨论，往往容易忽视斜率不存在的情况，导致漏解.对l 1∥l 2，用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2时，有可能漏解.1．将本例(1)的两直线改为：l 1：bx ＋ay ＋c ＝0，l 2：x sin B ＋y sin A －sin C ＝0，其位置关系如何？ 解：由b sin B ＝asin A ≠c－sin C ，∴l 1∥l 2.2．将本例(2)改为过点(1,0)与x －2y －2＝0垂直，其直线方程怎样． 解：∵x －2y －2＝0的斜率为12， ∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.3．将本例(3)变为“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件解析：选A.由直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，得a ＝－1或1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的充分不必要条件． 4．将本例(4)变为l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值．解：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－b ×1＝0－3a ＋b ＋4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －b ＝0－b ＝－3a ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.法二：由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.考点二 两条直线的交点和距离例2] (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线的点斜式方程l ：y －2＝－53(x ＋1)， 即5x ＋3y －1＝0.法二：设直线l 的方程为：3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)求过点P (2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程． 解：若l 的斜率不存在，则直线x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0. ∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，∴解得c ＝2或c ＝－6.∴c ＋2a ＝1或c ＋2a ＝－1. 答案：±1方法引航] (1)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有： ①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系：Bx －Ay ＋m ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. (2)y ＝kx ＋b .①当b 为定值，k 变为参数时，表示过定点(0，b )的直线系(除x ＝0外)； ②当k 为定值，b 为参数时，表示斜率为k 的平行直线系．1．已知经过点P (2,2)的直线l 与直线ax －y ＋1＝0垂直，若点M (1,0)到直线l 的距离等于5，则a 的值是( ) A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.依题意，设直线l 的方程为x ＋ay ＋c ＝0， ∵点P (2,2)在l 上，且点M (1,0)到l 的距离等于 5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋c ＝0，|1＋c |1＋a2＝ 5.消去c ，得a ＝2.2．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到所求直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝03．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大， 由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题例3] (1)(2017·江西南昌二中月考)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________． 解析：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ， 即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与l 1交于A (x 1，y 1)与l 2交于B (x 2，y 2) 且x 1＋x 2＝0，∴x 2＝－x 1. y 1＋y 2＝2，y 2＝2－y 1∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0－2x 1＋2－y 1－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4y 1＝2.即A (－4,2) 故过M 和A 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0(2)A (－1，－2)关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413(3)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0方法引航](1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直., 3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.方法探究]有关点与直线的最值问题典例] (2017·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3关系探究] 一、从m 2＋n 2表示的几何意义分析，得出原点到直线的距离．二、从函数角度分析：题意隐含了m 与n 的约束关系，从而m 2＋n 2可转化为关于m (n )的函数求最值．解析] 法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点， 直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，在直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根， ∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ， ∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4. 法二：函数法因点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， ∴4m ＋3n －10＝0，∴m ＝10－3n4，∴m 2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3n42＋n 2＝100－60n ＋25n 216＝2516⎝ ⎛⎭⎪⎫n －652＋4. 当n ＝65时，m 2＋n 2的最小值为4. 答案] C回顾反思] 有关点与直线的最值问题，一般有两种方法：一是利用几何意义，采用数形结合法．如(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2表示点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；再者利用函数求最值．高考真题体验]1．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C.2．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选D.依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.3．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5. 答案：5课时规范训练 A 组 基础演练1．直线l 过点(－1,2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意可得直线l 的斜率k ＝－32， ∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．3或－1解析：选C.由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.故选C.3．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.∵直线l 的斜率为－1，∴直线l 1的斜率为1，∴k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.∵l 1∥l 2，∴－2b ＝1，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－2.4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D.设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A 正确． 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程是________． 解析：由题意知，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．过点(3,1)，且过直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3交点的直线方程为________． 解析：法一：由⎩⎨⎧ y ＝2x x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0.法二：设所求直线方程为x ＋y －3＋λ(2x －y )＝0. 把点(3,1)代入得λ＝－15，故所求直线方程为 x ＋y －3－15(2x －y )＝0，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．解析：设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.答案：y ＝2x ＋29．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程． 解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.B 组1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．2．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.3．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.4．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，则点C 的坐标为________．解析：把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x ，可知A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线所在的直线，设点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 由⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 的平分线所在的直线， ∴点A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)． 答案：(2,4)5．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.第3课时 圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点在圆内．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.(√)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√)(5)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) (6)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．(×) (7)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．(×)(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√)(9)方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝0表示圆心为(－1,1)的圆．(×) (10)圆x 2－4x ＋y 2＋2y ＋1＝0上的点到(2,1)的最长距离为4.(√)考点一 求圆的方程例1] 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解：(1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )，则 AB 的垂直平分线为y ＝－12(x －4)由⎩⎨⎧ y ＝－12(x －4)2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1即C (2,1)为圆心． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4， F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.。
高考理科数学一轮复习课时提升作业：第8章《平面解析几何》单元评估检测(含答案)
第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )A.x+y-4=0B.3x-y=0C.x+y-4=0或3x+y=0D.x+y-4=0或3x-y=0【解析】选D.若直线过原点,设直线方程为y=kx,把点P(1,3)代入得k=3,此时直线为y=3x,即3x-y=0,若直线不经过原点,设直线方程为+=1,即x+y=a,把点P(1,3)代入得a=4,所以直线方程为x+y=4,即x+y-4=0,所以选D.2.(2016·临沂模拟)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为( )A.+=1或+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1【解析】选C.由条件知a=6,e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=32.3.(2016·枣庄模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e==.4.方程x2+xy=x表示的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线【解析】选C.由x2+xy=x得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,为两条直线.5.(2016·莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB 的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是( )A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2015·天津高考)已知双曲线-=1的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 D.双曲线-=1的渐近线为ay±bx=0,该渐近线过点,所以b∶a=∶2.又因为抛物线y2=4x的准线为x=-,所以双曲线的焦点为(,0),(-,0).所以a2+b2=7,所以a2=4,b2=3,所以双曲线方程为-=1.【加固训练】(2016·长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是( )A. B. C.或 D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e==.7.(2016·聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得,内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|y M|,即(10+6)×=6×|y M|,得|y M|=4, 所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2016·赣州模拟)设集合A=,B={(x,y)|y=3x},则A∩B 的子集的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以A∩B中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p= ( )A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2===4,即b2=3a2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+=p+=7,所以p=6.9.(2016·烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB面积的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB的面积S=AB·r,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以△OAB面积的最小值为:×2×2=2.△OAB面积的最大值为:×2×2=2.所以△OAB面积的取值范围是.10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是( )A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016·孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e==.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·莱芜模拟)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是.【解析】设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,|MN|=2≥2,故0≤d≤1,即≤1,化简得k≤0,所以-≤k≤0.答案:12.(2015·湖南高考)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【解析】根据对称性,不妨设F(c,0),虚轴一个端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,所以-=1⇒e==.答案:13.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a, b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|= .【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.【解析】设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:815.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)【解析】若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值.(2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若△FMN的面积为6,求直线l的方程. 【解题提示】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,利用单调性即可得出.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立可得根与系数的关系,再利用△FMN 的面积为6即可求出.【解析】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,当x=2时,|PQ|min=2.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),焦点F(1,0).联立消去x得y2-4my-16=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-16,所以S△FMN=|PF|·|y1-y2|=×3×=×=6=6,所以m=±1,所以直线l的方程为:x+y-4=0或x-y-4=0.17.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程.(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.【解题提示】(1)求出过两点(0,0)和(-1,1)的直线的垂直平分线方程,得到其与x轴的交点坐标,即圆C的圆心坐标,进一步求得半径,代入圆的标准方程即可.(2)设出P点坐标,然后求出切线方程,得到切线在y轴上的截距,利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围.【解析】(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为:y-=1×,整理得:y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为:(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为=,整理得:(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2·,令t=x0+2∈,则|AB|=2·,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.18.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)Rt△ABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1⇒b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(1+9k2)x2+18kx=0⇒x B=,把k用-代换,可得x C=,从而有|AB|=,|AC|=,于是S△ABC=|AB||AC|=162=162.令t=k+≥2,有S△ABC==≤,当且仅当t=>2时,(S△ABC)max=.19.(12分)(2016·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A 在圆F:(x-1)2+y2=r2(r>0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k≠0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OP⊥AB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以<4,所以|OB|2=+=+3=3+<4,这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线l.20.(13分)(2015·浙江高考)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).【解题提示】(1)可设直线AB的方程为y=-x+b,从而可知有两个不同的解,再由AB中点也在直线上,即可得到关于m的不等式,从而求解.(2)令t=,可将△AOB表示为t的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而求解.【解析】(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b,由消去y 整理得,x2-x+b2-1=0,因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0 ①,设A,B,则x1+x2==,x1x2==, y1+y2=-(x1+x2)+2b=,所以线段AB的中点M,将点M的坐标代入直线方程y=mx+,解得b=-②,由①②解得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则=·,且O到直线AB的距离为d=,设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=·d=≤,当且仅当t2=时,等号成立,故△AOB面积的最大值为.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|=. ②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。
人教版高考文科数学复习资料第八章平面解析几何平面解析几何
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础知识深耕]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°y 2－y 1y 1－y 2x 2－x 1x 1－x 21．求斜率可用 k ＝tanα α≠2⎪，其中 α为倾斜角，斜率k直线都存在斜率．倾斜角为2的直线不存在斜率．如图(1)，α∈⎢0，2⎪时，随 α增大 k 单调递增且k ≥0；当α∈ ，π⎪时，随的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为 k ＝＝.【拓展延伸】斜率与倾斜角的关系⎛π⎫⎝⎭是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条π⎡π⎫⎣⎭⎛π⎫⎝2⎭α 增大 k 单调递增且 k ＜0.对应的倾斜角为 α1，α2，α3，α4)，π＞α4＞α3＞2＞α2＞α1＞0.(1)(2)8-1-1如图(2)，k 2＞k 1＞0＞k 4＞k 3(斜率为 k 1，k 2，k 3，k 4 的直线π2．在平面直角坐标系中，直线越陡，|k|越大．二、直线方程名称点斜式斜截式几何条件过点(x 0，y 0)，斜率为 k斜率为 k ，纵截距为 b方程y －y 0＝k(x －x 0)y ＝kx ＋b适用范围不含垂直于 x轴的直线不含垂直于 y轴的直线y＝y 2－y 1c ＋dxx 2－x 1a ＋bx过两点(x 1，y 1)，两点式(x 2，y 2)，(x 1≠x 2， 1≠y 2)在 x 轴、y 轴上y －y 1 x －x 1不包括平行于y 2－y 1 x 2－x 1 坐标轴的直线不包括垂直于截距式的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)一般式xya ＋b＝1Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)坐标轴和过原点的直线平面内所有直线都适用【易错提醒】使用直线方程应注意的问题使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率．截距式的使用条件是截距存在且不为零等．【方法技巧】巧用斜率公式求最值对于求形如 k ＝的分式、y ＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，数形结合进行求解．[基础能力提升]1．给出下列命题①根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置；②坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；③直线的倾斜角越大，其斜率就越大；④直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α；⑤斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．其中正确的是()A．①③④B．②③C．①D．①④⑤【解析】由确定直线的几何要素和直线的斜率与倾斜角的关系可知①正确，②③④⑤均错误．【答案】C2．直线x－3y＋a＝0(a为常数)的倾斜角α为()A.6πm ＋2 π25B ．3C.3πD.6π3π【解析】由题意可知 tan α＝ 3 ，∴α＝6.【答案】A3．过点 M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为()A ．1C ．1 或 3B ．4D ．1 或 4【解析】由题意可知4－m＝1，∴m ＝1.【答案】A4．过点(－1,2)且倾斜角为 150°的直线方程为()A. 3x －3y ＋6＋ 3＝0 B ． 3x －3y －6＋ 3＝0C. 3x ＋3y ＋6＋ 3＝0D. 3x ＋3y －6＋ 3＝0【解析】由点斜式得， y －2＝tan 150°(x ＋1)，即 3x＋3y－6＋3＝0.【答案】D1．一条规律——斜率与倾斜角的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．2．两种方法——求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据l已知条件构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．3．三个注意点(1)求直线的倾斜角时要注意其范围．(2)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(3)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点．第二节两条直线的位置关系[基础知识深耕]一、两条直线的位置关系1．两直线的平行与垂直(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线 l 1， 2，若其斜率分别为 k 1，k 2，则有 l 1∥l 2k 1＝k 2.②当直线 l 1，l 2 不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.l 2 的交点坐标就是方程组⎨与⎧⎪A x ＋B y ＋C ＝0，⎪⎩A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 的解．(2)两条直线垂直：①如果两条直线 l 1，l 2 的斜率存在，设为 k 1，k 2，则有 l 1⊥l 2k 1· k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点直线 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 l 1111【拓展延伸】常见的直线系方程1．设定点 P(x 0，y 0)的直线系：A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0(A 2＋B 2≠0)，还可以表示为 y －y 0＝k(x －x 0)(斜率不存在时可设为 x ＝x 0)．2．平行于直线 Ax ＋By ＋C ＝0 的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C)．|Ax 0＋By 0＋C||C 1－C 2|3．垂直于直线 Ax ＋By ＋C ＝0 的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.4．过两条已知直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线 A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．二、三种距离1 ． 两 点 P 1(x 1 ， y 1) ， P 2(x2 ， y 2) 之 间 的 距 离 |P 1P 2| ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．点 P 0(x 0，y 0)到直线 l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离d ＝.A 2＋B 23．两条平行线 Ax ＋By ＋C 1＝0 与 Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离 d ＝A 2＋B 2.[基础能力提升]1．下列说法正确的是()①若直线 l 1 与 l 2 的斜率相等，则 l 1∥l 2；②若直线 l 1∥l 2，则两直线的斜率相等；③若直线 l 1，l 2 的斜率均不存在，则 l 1∥l 2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．④【解析】①③中直线 l 1，l 2 有可能重合，②中直线 l 1，l 2 有可能斜率均不存在，只有④正确．【答案】D2．直线 l 1 的斜率为 2，l 1∥l 2，直线 l 2 过点(－1,1)且与 y轴交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．(3,0)C ．(0，－3)B ．(－3,0)D ．(0,3)【解析】由题意，设 P(0，y)，则y －10＋1＝2，∴y ＝3，选 D.【答案】D3．若直线 ax ＋y ＋5＝0 与 x －2y ＋7＝0 垂直，则 a 的值为()A ．2C ．－21 B ．21 D ．－2【解析】由 a ×1＋1×(－2)＝0 得 a ＝2.【答案】A4．已知直线 l 1：3x －4y ＋4＝0 与 l 2：6x －8y －12＝0，则直线 l 1 与 l 2 之间的距离是()8 A.54 2C.5D.5B ．2【解析】l 2 可化为：3x －4y －6＝0，故 l 1，l 2 之间的距|4＋6|离 d ＝5＝2.【答案】B三个注意点：(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同．第三节圆的方程[基础知识深耕]一、圆的定义及方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心，r为半径长．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)．3．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，时，表示圆心为 － 2 ，－ 2 ⎪，半径时，表示一个点 － 2 ，－ 2 ⎪；表示以 －2A ，－2A ⎪为圆2|A|(1)当 D 2＋E 2－4F ＞0⎛DE ⎫⎝ ⎭1长为2D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当 D 2＋E 2－4F ＝0⎛DE ⎫⎝ ⎭(3)当 D 2＋E 2－4F ＜0 时，它不表示任何图形．【拓展延伸】二元二次方程 Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0 表示圆的充要条件当 A ＝C ≠0，B ＝0 且 D 2＋E 2－4AF ＞0 时，二元二次方程 Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0⎛DE ⎫⎝ ⎭D 2＋E 2－4AF心，为半径的圆．【方法技巧】求圆的方程的一般步骤：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 a ，b ，r 或 D ，E ，F 的方程组；(3)解出 a ，b ，r 或 D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．二、点 A(x 0，y 0)与圆 C ：(x －a)2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系1．几何法(1)|AC|＜r ⇔点 A 在圆内；(2)|AC|＝r ⇔点 A 在圆上；(3)|AC|＞r ⇔点 A 在圆外．2．代数法(1)(x 0－a)2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点 A 在圆内；(2)(x 0－a)2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点 A 在圆上；(3)(x 0－a)2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点 A 在圆外．[基础能力提升]1．给出下列命题：①方程 (x －a)2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为 (a ，b )，半径为 t 的一个圆；②方程 x 2 ＋ y 2 ＋ a x ＋ 2ay ＋ 2a 2 ＋ a － 1 ＝ 0 表示圆心为－ ，－a ⎪，半径为y⎛a⎫1 ⎝2⎭2－3a 2－4a ＋4的圆；③若点 M (x 0， 0)在圆 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 外，则x 2＋y 2＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．①D ．③【解析】①错误，如当 t ＝0 时，该方程表示一个点，②错误，如 a ＝1 时，该方程不表示任何图形；③正确．故选D.【答案】D2．将圆 x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0 平分的直线是()A ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0【解析】圆的圆心坐标为 (1,2)，代入四个选项可知 C符合，选 C.【答案】C3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±1【解析】因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.【答案】A4．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．【解析】设圆心坐标为(a,0)，易知(a－5)2＋(－1)2＝(a－1)2＋(－3)2，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝101．一个条件——二元二次方程与圆的关系二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为D2＋E2－4F＞0.2．两种方法——圆及圆心的确定(1)确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．(2)求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[基础知识深耕]一、直线与圆的位置关系与判断方法方程过程依据 结论代数法几何法联立方程组消去 x(或 y)得一元二次方程，计算 Δ＝b 2－4ac计算圆心到直线的距离 d ，比较 d 与半径 r 的关系．相交时弦长为 2 r 2－d 2Δ＞0 相交Δ＝0 相切Δ＜0 相离d ＜r 相交d ＝r 相切d ＞r 相离【拓展延伸】圆的切线方程常用结论(1)过圆 x 2＋y 2＝r 2 上一点 P(x 0，y 0)的圆的切线方程为 x 0x＋y 0y ＝r 2.1(2)过圆(x －a)2＋(y －b )2＝r 2 上一点 P(x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆 x 2＋y 2＝r 2 外一点 M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x 0x ＋y 0y ＝r 2.二、圆与圆的位置关系设圆 O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 2(r 1＞0)，圆 O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2(r 2＞0).方法 几何法：圆心距 d 与位置关系r 1，r 2 的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离外切相交内切内含d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)0≤d ＜|r 1－21无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解11r 2|(r 1≠r 2)【拓展延伸】圆系方程设两圆 C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 2＋E 2－4F 1＞0)和 C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 2＋E 2－4F 2＞0)，则圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，①若令 λ＝－1，则(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0，②其中：(1)若 C 1 和 C 2 相交，则①式表示过两圆交点的圆，但不包括 C 2；②表示两圆的公共弦所在的直线方程．(2)若两圆相切，则②式表示内公切线方程． (3)若两圆相离，则②式表示两圆连心线 C 1C 2 的垂线的方程．[基础能力提升]1．给出下列命题：22①如果直线与圆组成的方程组只有一个实数解，则直线与圆相切；②直线 y ＝kx ＋1 可能与圆 x 2＋y 2＝1 相离；③从圆外一点 P(x 0，y 0)引圆的切线，则切线必有两条．其中正确的有()A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③【解析】∵直线 y ＝kx ＋1 恒过定点(0,1)，故直线与圆必有公共点，所以②错误，①③均正确．【答案】B2．过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x 2＋y 2－4y ＝0 截得的弦长为()A. 3B ．2C. 6 D ．2 3【解析】由题意可知，该直线方程为 3x －y ＝0.又圆 x 2＋y 2－4y ＝0 的圆心为(0,2)，半径 r ＝2.2所以圆心到直线的距离 d ＝2＝1.23弦长为24－1＝2 3.【答案】D3．过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x＋y＝0或x－y＝0D．x＋3y＝0或x－3y＝0【解析】设所求直线为y＝kx，由题意可知|2k|＝2，∴k＝±1.1＋k2故所求直线方程为x＋y＝0或x－y＝0.【答案】C4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【解析】圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为(0,3)，半径r＝1.24⎪⎩b ＝6，⎧⎪a ＝±4，⎪⎩b ＝6，设所求圆的方程为 (x － a)2 ＋ (y － b )2 ＝ 36 ，由题意得⎧⎪ a 2＋(b －3)2＝6－1，⎨解得⎨故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.【答案】D1．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距 (即圆心到直线的距离 )、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB|＝ 1＋k 2|x A －x B |25＝ (1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].2．三个性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．第五节椭圆[基础知识深耕]一、椭圆的定义及标准方程1．定义把平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的和等于常数 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合 P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中 a ＞0，c ＞0，且 a ，c 为常数：26a θ(1)若 2a ＞|F 1F 2|，则集合 P 为椭圆；(2)若 2a ＝|F 1F 2|，则集合 P 为线段；(3)若 2a ＜|F 1F 2|，则集合 P 为空集．2．标准方程x 2中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为： 2y 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)；中心在坐标原点，焦点在 y轴上的椭圆的y 2x 2标准方程为：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)．【拓展延伸】焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．x 2y 2以椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点 P(x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2 中，若∠F 1PF 2＝，注意27a 性质对称轴：坐标轴以下公式的灵活运用：(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ；1θ(3)△SPF 1F 2＝2|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan 2.二、椭圆的几何性质标准方程图形x 22y 2 y 2 x 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0) a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)范围－a ≤x ≤a－b ≤x ≤b－b ≤y ≤b－a ≤y ≤a对称性对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )28A 1(0，－a)，A 2(0，a) B 1(－b,0)，B 2(b,0)(1)点 P(x 0，y 0)在椭圆内⇔a 2＋b 2＜1；(2)点 P(x 0，y 0)在椭圆上⇔a 2＋b 2＝1；(3)点 P(x 0，y 0)在椭圆外⇔a 2＋b 2＞1.20 20 20 轴焦距离心率a ，b ，c的关系长轴 A 1A 2 的长为 2a ；短轴 B 1B 2 的长为 2b|F 1F 2|＝2cce ＝a ∈(0,1)c 2＝a 2－b 2【拓展延伸】1.点 P(x 0，y 0)和椭圆的关系x 0y 2x 0y 2x 0y 22．一些特殊结论(1)|PF 1|的范围为[a －c ，a ＋c ]；(2) 通径 ( 过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被圆锥曲292b 2线截得的弦叫通径)长度为 a.[基础能力提升]1．给出下列命题：①动点 P 到两定点 A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆；②椭圆上一点 P 与两焦点 F 1，F 2 构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)；③方程 Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0)表示椭圆方程；④ P 是椭圆上的任意一点， F 1 ， F 2 为其两个焦点，则|PF 1|·|PF 2|≤a 2.其中正确的是()A ．①②③④B ．②③C ．①②D ．②④【解析】①错误，因为 |AB|＝4；②正确，因为 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ；③错误，如 A ＝B ＝1，其表示圆；④30⎝ 2 ⎭⎛2a ⎫正确，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1||PF 2|≤⎪2＝a 2.【答案】D2．一椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是 26，则该椭圆的方程为()x 2y 2x 2y 2A.169＋144＝1B ．144＋169＝1x 2y 2C.169＋25＝1x 2 y 2D .144＋25＝1【解析】由题意可知 c ＝5,2a ＝26，即 a ＝13.∴b 2＝a 2－c 2＝144.x 2y 2又椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆方程为169＋144＝1.故选 A.【答案】Ax 2y 23．已知椭圆的焦点在 y 轴上，若椭圆 2 ＋m ＝1 的离心311率为2，则m的值是()2 A.3 5 C.34B．38D.3c【解析】由题意可知a2＝m，b2＝2，e＝a＝b2 1－a2＝1 2，即2181－m＝2，∴m＝3.【答案】D4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4 A.5 2 C.53 B．51 D.5【解析】由题意可知，2a,2b,2c成等差数列．即2b＝a＋c，又c2＝a2－b2，所以3a2－2ac－5c2＝0，32c3解得 3a ＝5c ，即 e ＝a ＝5.【答案】B1．两种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a 2，b 2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a ，b ，c 的方程组，解出 a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．三种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧33F(1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a＋c ，最小距离为 a －c.(2)求椭圆离心率 e 时，只要求出 a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合 b 2＝a 2－c 2 就可求得 e (0＜e ＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法．但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．第六节双曲线[基础知识深耕]一、双曲线的定义及标准方程1．双曲线定义平面内动点 P 与两个定点 F 1， 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a ＜2c) ，则点 P 的轨迹叫做双曲线．集合 P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中 a ，c34＝b 2为常数且 a ＞0，c ＞0.(1)当 2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当 2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当 2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程x 2y 2为a 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程y 2x 2为a 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)．【拓展延伸】1.焦点三角形的面积利用定义、余弦定理可推出焦点三角形的面积 △SPF 1F 2θtan 2＝θ)．(其中点 P 为双曲线上异于顶点的任意一点，∠F 1PF 235aa 2．方程 Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)表示的曲线特征方程 Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)包含双曲线的焦点在 x 轴上或 yx 2y 21轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1 ＝1，当A ＜0 时，表示焦AB1点在 y 轴上的双曲线；当B ＜0 时，表示焦点在 x轴上的双曲线．二、双曲线的几何性质标准方程x 22 y 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 22x 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)图形范围对称性|x|≥a ，y ∈R|y|≥a ，x ∈R对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F 1(－c,0)，F 1(0，－c)，F 2(0，c)36(1)P 在双曲线内a 2－b 2＞1(含焦点)； 2几顶点F 2(c,0)A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a)，A 2(0，a)何性轴质 焦距离心率线段 A 1A 2，B 1B 2 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a ，虚轴长为 2b|F 1F 2|＝2c焦距与实轴长的比：e ∈(1，＋∞)渐近线a ，b ，c的关系by ＝±a xay ＝±b xc 2＝a 2＋b 2x 2y 2【拓展延伸】1.点 P(x 0，y 0)和双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的关系x 0 y 237(2)P 在双曲线上⇔ 2－ 2＝1；ab(3)Pab在双曲线外⇔ 2－2＜1.20 20 x 0y 2x 0y 22．一些特殊的结论(1)|PF 1|的取值范围为[c －a ，＋∞)；2b 2(2)通径长为 a ；(3)焦点到渐近线的距离为 b .[基础能力提升]1．给出下列命题：①平面内到点 F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线；②平面内到点 F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲线；x 2y 2③方程m － n ＝1(mn ＞0)表示焦点在 x轴上的双曲线．38其中正确的个数有()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【解析】①错误，由题意可知|PF 1|－|PF 2|＝6，故点 P的轨迹是双曲线的下支．②错误，∵|F 1F 2|＝8，∴点 P 的轨迹是两条射线．③错误，如 m ＜0，n ＜0，则其表示焦点在 y 轴上的双曲线．【答案】Ax 2y 22．设 P 是双曲线16－20＝1 上一点，F 1，F 2 分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A ．1C ．1 或 17B ．17D ．以上答案均不对【解析】由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1 或 17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距39离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】Bx2y23．若双曲线a2－b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±2x1 C．y＝±2x2 D．y＝±2xc a2＋b2【解析】∵e＝3，∴a＝3，即a2＝3，x2y2∴b2＝2a2，∴双曲线方程为a2－2a2＝1，∴渐近线方程为y＝±2x.【答案】Bx2y24．若点P(2,0)到双曲线a2－b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为()40A.2B．3C．22D．23【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为|2b|＝2，所以a2＝b2，所以双曲线的a2＋b2离心率为2，故选A.【答案】A1．一个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．41法的步骤2．二种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，若满足定义，求出相应的 a ，b 的值即可求得方程．(2)待定系数法待定系数①定位：确定焦点位置定值：根据条件确定相关参数 设方程：由焦点位置设方程②待定系数法求双曲线方程的常用方法x 2y 2x 2y 2a ．与双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1 共渐近线的可设为 a 2 － b 2 ＝λ(λ≠0)；bx 2y 2b ．若渐近线方程为 y ＝±a x ，则可设为a 2－b 2＝λ(λ≠0)；x 2y 2c ．若过两个已知点则设为m ＋ n ＝1(mn ＜0)．42，0⎪ －，0⎪ 0，⎪ 0，－⎪x＝－2p x＝2y＝－2py＝2第七节抛物线[基础知识深耕]一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R焦点坐标⎛p⎫⎝2⎭⎛p⎫⎝2⎭⎛p⎫⎝2⎭⎛p⎫⎝2⎭准线方程p43py离心率e ＝1【拓展延伸】1.抛物线的焦半径抛物线上任意一点 P(x 0，0)到焦点 F 的距离称为焦半径．有以下结论(p ＞0)：p(1)对于抛物线 y 2＝2px ，|PF|＝2＋x 0；p(2)对于抛物线 y 2＝－2px ，|PF|＝2－x 0；p(3)对于抛物线 x 2＝2py ，|PF|＝2＋y 0；p(4)对于抛物线 x 2＝－2py ，|PF|＝2－y 0.2．焦点弦：线段 AB 为抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．p 2(1)x 1x 2＝ 4 ；(2)y 1y 2＝－p 2；442p(3)弦长 l ＝x 1＋x 2＋p ＝sin 2θ(θ 为 AB 的倾斜角)，x 1＋x 2≥2 x 1x 2＝p ，当且仅当 x 1＝x 2 时，弦长最短为 2p ，此时的弦又叫通径；图 8-7-1p 2(4)△S AOB ＝2sin θ；112(5)|AF|＋|BF|＝p ；(6)A ，O ，B ′三点共线，A ′，O ，B 三点共线；(7)∠A ′FB ′＝90°；(8)以 AB 为直径的圆与准线相切．3．过抛物线 y 2＝2px 的顶点 O 任意作两条互相垂直的弦OA ，OB ，则直线 AB 恒过定点(2p,0)．45。
近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时作业(2021年整理)
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第五节 椭圆课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m >0)的左焦点为F 1（－4,0），则m ＝（ ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 解析：由4＝25－m 2（m >0)⇒m ＝3,故选B 。
答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ） A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k 〈4D ．0〈k 〈4解析:方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x 轴上的椭圆,可得0<k 〈4，故选D 。
答案:D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝错误!，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ） A.错误!＋错误!＝1 B ．错误!＋错误!＝1 C.错误!＋y 2＝1D ．错误!＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a2＋错误!＝1(a 〉b 〉0），由已知可得抛物线的焦点为(－1,0），所以c ＝1，又离心率e ＝错误!＝错误!,解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1,故选A.答案：A4．椭圆错误!＋错误!＝1（a 〉b 〉0）的左、右顶点分别为A ，B ,左、右焦点分别为F 1，F 2，若｜AF 1|，｜F 1F 2｜，｜F 1B |成等差数列,则此椭圆的离心率为( ） A.错误! B ．错误! C 。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业第八章平面解析几何第八节
课时作业一、选择题1．设动点 P 在直线 x －1＝0 上， O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角极点作等腰直角三角形 OPQ ，则动点 Q 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．两条平行直线D ．双曲线B [设 Q(x ，y)， P(1， a)，a ∈R ，则有 OP ―→,·OQ ―→,＝0，且 |OP ―→,|＝|OQ ―→,|，x 2＋y 2＝1＋a 2， ∴x ＋ ay ＝0，22 222x x ＋ y消去 a ，得 x ＋ y ＝1＋ 2＝y 2 .y∵ x 2＋y 2≠ 0，∴ y ＝±1.即动点 Q 的轨迹为两条平行直线y ＝ ±1.]2．已知点 M(－ 3， 0)，N(3，0)， B(1，0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、N与圆 C 相切的两直线订交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为()22A ．x 2－y＝ 1(x ＞ 1)B ．x 2－y＝1(x ＜－ 1)8822C ．x 2＋y＝ 1(x ＞ 0)D ．x 2－y＝1(x ＞1) 810A [设另两个切点为 E 、F ，如下图，则|PE|＝|PF|，|ME|＝ |MB|，|NF|＝|NB|，进而 |PM|－|PN|＝ |ME|－|NF|＝|MB|－ |NB|＝4－2＝2＜ |MN|，所以 P 的轨迹是以 M 、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支． a ＝ 1，c ＝3，则 b 2＝ 8.2故方程为 x2－ y8 ＝1(x ＞1)．]3．已知定点 F 1(－2，0)， F 2(2，0)， N 是圆 O ：x 2＋y 2＝ 1 上随意一点，点 F 1 对于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1M 的中垂线与直线 F 2M 订交于点 P ，则点 P 的轨迹是( )A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．圆B[设 N(a ，b)，M(x ，y)，则 a ＝ x －2 2，b ＝ y2，代入圆 O 的方程得点 M 的轨迹方程是 (x －2)2＋y 2＝22，此时 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 1 |－(|PF 1|±2)＝±2，即 ||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线． ]4．若点 P(x ， y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋ 4＝ 0 的距离小 2，则点 P(x ，y)的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ． y 2＝－ 8xC ．x 2＝8yD ． x 2＝－ 8yC [点 P(x ，y)到点 F(0，2)的距离比它到直线 y ＋4＝0 的距离小 2，说明点 P(x ，y)到点 F(0，2)和到直线 y ＋2＝0 的距离相等， 所以 P 点的轨迹为抛物线， 设抛物线方程为 x 2＝2py ，此中 p ＝4，故所求的轨迹方程为 x 2＝8y.]5．已知 A(0，7)，B(0，－ 7)，C(12，2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ()2x 22－ x 2A ．y － ＝1(y ≤－ 1)B ． y ＝1(y ≥1)48 482－ y 22－y 2C ．x＝1(x ≤－ 1) D ． x ＝ 1(x ≥ 1)4848A [ 由题意知 |AC|＝13，|BC|＝15， |AB|＝ 14，又∵ |AF|＋ |AC|＝ |BF|＋ |BC|，∴ |AF|－ |BF|＝|BC|－ |AC|＝ 2，故点 F 的轨迹是以 A ，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线2的下支．又 c ＝ 7，a ＝1，b 2＝48，∴点 F 的轨迹方程为 y 2－48x＝ 1(y ≤ －1)．]6．设过点 P(x ，y)的直线分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于 A ，B 两点，点 Q 与点 P 对于 y 轴对称， O 为坐标原点，若，则点 P 的轨迹方程是()3 2 2A. 2x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)3 2 2B.2x －3y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2C ．3x －2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)23 2D ．3x ＋2y ＝1(x ＞0，y ＞ 0)A [设 A(a ，0)，B(0，b)(a ，b ＞0)．可得 BP ―→,＝ (x ，y －b)，PA ―→,＝ (a －x ，－ y)， OQ ―→, ＝ ( － x ， y)， AB ―→ ,＝ (－ a ， b)．由 BP ―→ ,＝ 2PA ―→ , 得x ＝2a －2x ，33 22a ＝ x ， y －b ＝－ 2y ， 即 2由 OQ ―→,·AB ―→,＝ 1 得 ax ＋by ＝ 1.所以 2x ＋3y ＝b ＝3y.1(x ＞ 0， y ＞ 0)．]二、填空题7．点 P 是圆 C ： (x ＋2)2＋y 2＝4 上的动点，定点 F(2，0)，线段 PF 的垂直均分线与直线 CP 的交点为 Q ，则点 Q 的轨迹方程是 ________．分析依题意有 |QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝ 4＞2，故点 Q 的轨迹是以 C 、F 为焦点的双曲线， a ＝ 1， c ＝2，得 b 22＝3，所求轨迹方程为 x 2－y3 ＝1.2答案 x 2－y3 ＝1．直线 x＋ y＝1 与 x ， y 轴交点的中点的轨迹方程 __________．8a 2－a分析设直线 x＋ y ＝1 与 x ，y 轴交点为 A(a ，0)，B(0，2－ a)，A ，B 中点为a－a2 M(x ，y)，则 x ＝a ，y ＝1－ a，消去 a ，得 x ＋ y ＝1，2 2∵a ≠0，a ≠2，∴ x ≠0，x ≠1.答案x ＋ y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．由抛物线 y 2＝ 2x 上随意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q ，连结极点 O 与 P的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于点 R ，则点 R 的轨迹方程为______________．分析设 P(x 1 ，y 1)， R(x ， y)，11则 Q －2，y 1 ，F 2，0 ，y 1则直线 OP 的方程为 y ＝ x 1x ，①1直线 FQ 的方程为 y ＝－ y 1 x －2 ，②由①②得 x 1＝2x，y 1＝ 2y，1－ 2x 1－2x将其代入 y 2＝ 2x ，可得 y 2＝－ 2x 2＋x.即点 R 的轨迹方程为 y 2＝－ 2x 2＋ x.答案y 2＝－ 2x 2＋x三、解答题10．已知定点 F(0，1)和直线 l 1： y ＝－ 1，过定点 F 与直线 l 1 相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l 2 交动点 C 的轨迹于 P ，Q 两点，交直线 l 1 于点 R ，求,的最小值．分析 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1 的距离，∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线，∴动点 C 的轨迹方程为 x 2＝ 4y.(2)由题意知，直线 l 2 方程可设为 y ＝ kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去 y ，得 x 2－4kx －4＝0.设 P(x 1 ，y 1)， Q(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－ 4.2又易得点 R 的坐标为 － k ，－ 1 ，＝ 1 ＋2，y 1＋1 · x2＋2， y 2＋1, xkk22 ＝ x 1＋k x 2＋k ＋(kx 1＋ 2)(kx 2 ＋2)＝(1＋k 22 (x 1＋x 2 ＋ 4＋＋2k＋4)x xk) k224＝－ 4(1＋k )＋4k k ＋2k ＋k 2＋4＝4 2 1k ＋ 2 ＋8.k21 2 ∵k ＋2≥ ，当且仅当k ＝ 1 时取等号，k2≥4×2＋8＝16，即 RP ―→,·RQ ―→,的最小值为 16.11．已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点 F 1，F 2 在 y 轴上，它的一个极点为 A( 2，0)，且中心 O 到直线 AF 1 的距离为焦距的 1，过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆交于4不一样的两点 P ， Q ，点 N 在线段 PQ 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)设 |PM| |NQ|·＝|PN| ·|MQ|，求动点 N 的轨迹方程．y 2 x 2分析 (1)设椭圆的标准方程是 a 2＋b 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)． 因为椭圆的一个极点是 A(2，0)，故 b 2＝ 2.依据题意得∠ AF 1 O ＝π，sin ∠AF 1 ＝b，6 Oa即 a ＝2b ，a 2＝8，y 2 x 2所以椭圆的标准方程是 8 ＋ 2 ＝1.(2)设 P(x 1， y 1 )，Q(x 2 ，y 2)， N(x ，y)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l的方程为 y ＝k(x －2)．直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由 ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0，得－ 2＜k ＜2.22依据根与系数的关系得 x 1＋ x 2＝4k2，x 1x 2＝4k－8 2 .4＋ k 4＋ k又|PM| ·|NQ|＝ |PN| ·|MQ|，即(2－x 1)(x 2－ x)＝(x －x 1)(2－x 2)．解得 x ＝ 1，代入直线 l 的方程得 y ＝－ k ，y ∈(－2，2)．所以动点 N 的轨迹方程为 x ＝ 1， y ∈(－2，2)．12．(2012 ·辽宁高考 )如图，动圆 C 1：x 2＋y 2＝ t 2，1<t<3，与椭圆2x 2C 2 ： 9 ＋ y ＝1 相交于 A ， B ， C ，D 四点，点 A 1，A 2 分别为 C 2 的左，右极点．(1)当 t 为什么值时，矩形ABCD 的面积获得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线 AA 1 与直线 A 2B 的交点 M 的轨迹方程．分析(1)设 A(x 0， y 0)，则矩形 ABCD 的面积 S ＝4|x 0||y 0|.22x 022x 0由 9 ＋y 0＝ 1 得 y 0＝ 1－ 9 ，2x 02－92＋9.进而 x 02y 02＝x 021－x 0＝－ 19 92429 21当 x 0＝ 2，y 0＝2时， S max ＝ 6.进而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.(2)由 A(x 0，y 0 )， B(x 0，－ y 0)，A 1(－3，0)，A 2(3，0)知直线 AA 1 的方程为 y ＝ y 0＋ ．①x 0＋ 3(x 3)直线 A 2B 的方程为 y ＝－y 0②0－3(x －3)．x －y 02由①②得 y 2＝ x 02－9(x 2－9)．③又点 A(x 0 ，y 0)在椭圆 C 上，故 y 02＝ 1－ x 029 .④x 2 2 将④代入③得 9 －y ＝1(x<－3，y<0)．2所以点 M 的轨迹方程为 x9 － y 2＝1(x<－ 3， y<0)．。
高考数学总复习核心突破第8章平面解析几何8.8平面解析几何经
题型 5.求圆锥曲线的方程
12.以椭圆������������+������������=1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是( )
������ ������
A.x2=4y
B.x2=-4y
C.y2=-4x
D.y2=2x
【答案】C
13.已知双曲线经过点(2,- ������),且焦点在 x 轴上,渐近线方程是
5.圆x2+y2+2x+6y+9=0的圆心到直线3x-4y=4的距离
为1
.
����� +������������ =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是( )
������+������ ������−������
A.k>-1
B.k<3
C.k>3
D.-1<k<3
【答案】C
7.已知椭圆 ������������ +������������=1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 8,则 P
������������������ ������������
到另一个焦点的距离为
()
A.6
B.10
C.12
D.14
【答案】C
8.已知双曲线 x2-4y2=4 上一点 P 到该双曲线一个焦点的距离
y=±2x,则该双曲线的方程是 ( )
A.x2-4y2=-24
B.4x2-y2=9
C.4y2-x2=4
D.y2-4x2=9
【答案】B
题型 6.圆锥曲线综合题
14.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线������������-y2=1 的右焦点重合,则
������
高考数学总复习第八章 平面解析几何
＝m2＋1≥1，所以 ≤α＜ .故倾斜角
2－1
4
2
[ )π π
α 的取值范围是 ， . 42
2．经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则
直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________，________.
解析：如图所示，结合图形，若 l 与线段 AB 总有公共点，则
∴Error!得 k＜0.
( ) 1
11
∴S△AOB＝2·|OA|·|OB|＝2·
2－ k
·(1－2k)
( ) [ ( ) ] 1 1
1
1
＝ 4－ －4k ≥ 4＋2
2k
2
－ ·－4k k
1 ＝4，当且仅当－ ＝－4k，
k
1
1
即 k＝－ 时，△AOB 的面积有最小值 4，此时直线 l 的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x
2；令 x＝0，得 y＝－2，即 l1 与 y 轴的交点为(0，－2)，直线 l1 的倾斜角为 135°，∴直线 l2 的倾斜角为 135°－90°＝45°，∴l2 的斜率为 1，故 l2 的方程为 y＝x－2，即 x－y－2＝0.
答案：－2 x－y－2＝0
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，
[ ] [ ] π π π 5π
A. ， ∪ ， 62 2 6
[ ] [ ) π 5π
B. 0， ∪ ，π 66
[ ]5π
C. 0， 6
[ ] π 5π
D. ， 66
3 解析：选 B 设直线的倾斜角为 θ，则 tan θ＝－ cos α，
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课时提升作业五十五直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·莱芜模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= ( )A.4B.8C.4或8D.以上都不对【解析】选C.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为( )A. B.C.-1D.-1【解析】选D.依题意有P(c,2c),点P在椭圆上,所以有+=1,整理得b2c2+4a2c2=a2b2,又因为b2=a2-c2,代入得c4-6a2c2+a4=0,即e4-6e2+1=0,解得e2=3-2(3+2舍去),从而e=-1.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0<m<n),联立方程组:消去x得:(3m+n)y2+8my+16m-1=0,Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,整理得:3m+n=16mn,即+=16.又c=2,焦点在x轴上,故-=4,联立解得:,故长轴长为2.4.(2016·包头模拟)椭圆+=1上有两个动点P,Q,E(3,0),EP⊥EQ,则·的最小值为( )A.6B.3-C.9D.12-6【解析】选A.设P点坐标为(m,n),则+=1,所以|PE|===,因为-6≤m≤6,所以|PE|的最小值为,所以·=·(-)=-·=||2,所以·的最小值为6.5.P是椭圆+y2=1上的一点,F为一个焦点,且△POF为等腰三角形(O为原点),则点P的个数为( )A.2B.4C.6D.8【解题提示】可按腰分三种情况讨论,然后按每种情况分别求解,最后再得出结论.【解析】选D.使△POF为等腰三角形,包括|PF|=|PO|,|FP|=|FO|,|OF|=|OP|三种情形.分别为:作线段OF的中垂线与椭圆交于两点;以F为圆心,为半径画弧,与椭圆交于两点;以O为圆心,为半径画弧,与椭圆交于四点,共有8个点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·宜昌模拟)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O 为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点A(0,-2),B,所以S△OAB=·|OF|·|y A-y B|=×1×=.答案:7.已知椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为.【解析】如图,因为四边形PAOB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以△OAP是等腰直角三角形,故a= b.所以e==.答案:8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是.【解析】因为·=0,所以⊥.所以||2=||2-||2=||2-1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,所以||min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0. 所以若Q恰在以MN为直径的圆上,则·=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值. 【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,Δ=96-8m2>0,所以-2<m<2,因为x0==-,所以y0=x0+m=,因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以+=1,所以m=±.10.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0,又c≠0,故有x0+y0+c=0①.又因为点P在椭圆上,故+=1②.由①和②可得3+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx,由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以,直线l的斜率为4+或4-.(20分钟40分)1.(5分)(2016·济宁模拟)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使·取得最小值时,t的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选 B.易知椭圆的左焦点F(-4,0).根据对称性可设P(t,y0),Q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以·=(t+4,y0)·(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以·=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,·取得最小值.【加固训练】(2016·合肥模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为.【解析】设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以·=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,·取得最大值4.答案:42.(5分)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为.【解析】设与l平行的直线方程为x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|AB|==,所以S△ABC=|AB|·d=××=.答案:3.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.设直线AB的斜率为k,若0<k≤,则e的取值范围为.【解析】记线段MN与x轴交点为 C.因为AF1的中点为M,BF1的中点为N,所以MN∥AB,|F1C|=|CO|=,因为A,B为椭圆上关于原点对称的两点,所以|CM|=|CN|.因为原点O在以线段MN为直径的圆上,所以|CO|=|CM|=|CN|=.所以|OA|=|OB|=c=1.因为|OA|>b,所以a2=b2+c2<2c2,所以e=>.设A(x,y),由得因为0<k≤,所以0<≤3,又a>1,所以1<a2≤1+,即1<a≤,所以e==∈[-1,1).所以离心率e的取值范围为[-1,1).答案:[-1,1)4.(12分)(2016·烟台模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O,求点O到直线l的距离. 【解析】(1)因为e=,所以=,右焦点(c,0)到直线+=1的距离d=,则=,且b2+c2=a2,得c=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程是+=1.(2)若直线l的斜率不存在,设方程为x=n,由得y2=3-,又原点O到l的距离为|n|,所以n2=3-n2,解得n2=,|n|=.若直线l的斜率存在.设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),那么则(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,又因为直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,所以(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,++m2=0,化简得=,即=,所以点O到直线l的距离为.【加固训练】如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程.(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.【解题提示】(1)由△AB1B2是面积为4的直角三角形,即可得出b与c的两个方程,进而得出椭圆的离心率和标准方程.(2)可先设出直线l的方程,再将直线方程与椭圆方程联立,利用PB2⊥QB2的条件,结合斜率的知识,即可得出直线l的方程.【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.5.(13分)(2016·石家庄模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).(1)请求出椭圆C的标准方程.(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.【解析】(1)记椭圆C的半焦距为c,由题意,得b=1,=,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,故椭圆C的标准方程为:+y2=1.(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,故方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.从而Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0.化简,得m2=1+4k2.①因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,所以圆心到直线l的距离d==. 即=.②由①②,解得k2=2,m2=9.因为m>0,所以m=3.关闭Word文档返回原板块。