分式培优讲义
分式培优讲义
的确定： n=比整数部分的数位的个数少 1。如 120 000 000= 1.2 108
知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
.
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如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为
）
A． d+n
B ． d- n
C
． md
mn
D
．d
mn
12、若 x+ 1 =3, 求
x2
的值是（
x
x4 x2 1
）． A ． 1 B ． 1 C ． 1
8
10
2
D． 1 4
a
a2 ab b2
13、如果 =2，则
＝( ) A
b
a2 b2
4
．
5
3
B ．1 C ．
5
D ．2
14、如果 满足
，那么 a 2
1
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
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C. am 、 an mn mn
D. am 、 an nm nm
11、下列各式中，是分式的是 (
)
x
A.
2
B. 1 x2 3
2x 1
x
C.
分式(培优材料)
第3课时 分式考点综述：中考中对于分式的要求是了解分式的概念，会利用分式基本性质约分和通分，会进行简单的分式运算。
中考的考查多以填空、选择、计算等形式出现，在解决相关问题时，还要求能结合类比转化等数学思想方法。
中考知识梳理1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.2.分式基本性质的灵活应用利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式.3.会进行分式的四则运算分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式. 考点精析考点1 分式（1）分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式B A 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
（2）分式有意义、无意义、等于0、大于0、小于0的条件①分式有意义的条件：分母不等于0；②分式无意义的条件：分母等于0；③分式的值等于0的条件：分子等于0且分母不等于0；④分式的值为正的条件：分子、分母同号；⑤分式的值为负的条件：分子、分母异号。
（3）有理式的定义 整式和分式统称为有理式，即⎩⎨⎧分式整式有理式。
考点2 分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的数或整式，分式的值不变。
用式子表示为：M B M A B A ∙∙=,MB M A B A ÷÷=(其中M 是不等于0的数或整式)。
注意：①基本性质中的A 、B 、M 表示的是数或整式，其中B ≠0是已知条件中的隐含条件，一般在解题过程中不需要强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件。
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误。
八年级上册数学-培优：分式
培优一：分式的概念、分式的基本性质【知识精读】 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。
在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式ab 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（）A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？例3. 已知113a b -=，求2322a ab ba ab b ----的值（ ）A. 12 B. 23 C. 95 D. 4例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值。
例5. 已知：x x 210--=，求x x 441+的值。
中考点拨：1.若代数式()()||x x x -+-211的值为零，则x 的取值范围应为（ ） A. x =2或x =-1B. x =-1C. x =±2D. x =22. 已知：x y z 3460++≠，求x y z x y z+--+的值。
题型展示：1. x 为何值时，||x x x x -+-=+123132成立？ 2. 把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？【实战模拟】1. 在下列有理式221121a x x m n x y x y y a b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4 2. 如果分式a a a 22426---的值为零，则a 的值为（ ） A. 2B. -2C. a =2且a =-2D. 0 3. 填空题：（1）x y x y x y x y x y -+=-+=-+=--+()()()()（2）当a =_______时，分式a a a -+132的值等于零； 当a =_______时，分式a a a -+132无意义。
分式培优讲义(1)
讲 义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A 、B 、C 是整式，C 0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
(word版)分式方程培优讲义
实用标准文档分式方程拔高讲练一、含有参数方程1．假设关于x的分式方程的解为非负数，那么a的取值范围是2．分式方程 =1﹣的根为3．假设数a使关于x的分式方程+ =4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的和为二、方程无解1．假设关于x的方程﹣=﹣1无解，那么m的值是2．假设 =0无解，那么m的值是3．假设关于x的分式方程﹣= 无解，求a= ．文案大全实用标准文档三、有增根1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为2、关于x的分式方程有增根，那么增根为．3、假设关于x的方程有增根，那么m的值是．4、解关于x的方程+ = 产生增根，那么常数a=四、整体代入解方程1．在方程x2+2x+ =3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．3．如果实数x满足〔x+〕2﹣〔x+〕﹣2=0，那么x+的值是．四、实际问题1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=文案大全实用标准文档2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，那么可列方程为〔〕A．=B．=C．=D．=3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是〔〕A．B．C．D．4．2021年，在创立文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，方案种植树木30万棵，由于志愿者的参加，实际每天植树比原方案多20%，结果提前5天完成任务，设原方案每天植树x万棵，可列方程是〔〕A．﹣=5B．﹣=5C．+5=D．﹣=55．西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔〕A．+=1 B．+=C．+=D．+=1【同步训练】1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，那么符合条件的m的所有值的和是〔〕A．﹣2B．﹣4C．﹣7D．﹣82．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，假设数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是〔〕A．1B．2C．3D．43．假设关于x的分式方程+3=无解，那么实数m=．文案大全4．假设关于x的分式方程+=3的解为正实数，那么实数m的取值范围是．5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．6．某市为绿化环境方案植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原方案多20%，结果提前8天完成任务．假设设原方案每天植树x棵，那么根据题意可列方程为．7．关于x的方程：x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，那么x+=c+的解是x1=c，x2=．8．假设数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是〔〕A．3B．1C．0D．﹣39．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．1〕点Q的速度为cm/s〔用含x的代数式表示〕．2〕求点P原来的速度．12．定义新运算：对于任意实数a，b〔其中a≠0〕，都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣= +=1．〔1〕求〔﹣2〕?3的值；〔2〕假设x?2=1，求x的值．文案大全2021年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共14小题〕1．假设关于x的分式方程的解为非负数，那么a的取值范围是〔〕A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2〔2x﹣a〕=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，应选：C．2．假设数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的和为〔〕A．10 B．12 C．14D．16【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，〔﹣2〕+〔﹣1〕+0+1+3+4+5=10．应选A．文案大全3．假设数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是〔〕A．3B．1C．0D．﹣3【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=〔a+2〕，又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即〔a+2〕≥0，〔a+2〕≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．应选：B．4．分式方程=1﹣的根为〔〕A．﹣1或3B．﹣1C．3D．1或﹣3【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，应选C5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为〔〕A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，应选D．文案大全6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【解答】解：设第一批购进x件衬衫，那么所列方程为：+10=．应选：B．7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，那么可列方程为〔〕A．=B．=C．=D．=【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，应选：D．8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的选项是〔〕A．B．C．D．【解答】解：设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做〔x﹣6〕个零件，由题意得，=．应选A．9．2021年，在创立文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，方案种植树木30万棵，由于志愿者的参加，实际每天植树比原方案多20%，结果提前5天完成任务，设原方案每天植树x万棵，可列方程是〔〕A．﹣=5B．﹣=5C．+5=D．﹣=5【解答】解：设原方案每天植树x万棵，需要天完成，文案大全∴实际每天植树〔〕万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，应选〔A〕10．西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔〕A．+=1B．+= C．+= D．+=1【解答】解：由题意可得，，应选B．11．假设关于x的方程﹣=﹣1无解，那么m的值是〔〕A．m=B．m=3C．m=或1D．m=或3【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：〔m﹣1〕x=2，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，应选C12．假设=0无解，那么m的值是〔〕A．﹣2B．2C．3D．﹣3【解答】解：方程两边都乘〔x﹣4〕得：m+1﹣x=0，∵方程无解，x﹣4=0，即x=4，m+1﹣4=0，即m=3，应选C．13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程文案大全=3有非负整数解，那么符合条件的m 的所有值的和是〔〕 A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣7D ．﹣8【解答】解：，解①得x ＞m ， 解②得x ＞1．不等式组的解集是 x ＞1，那么m ≤1． 解方程 + =3，去分母，得1﹣x ﹣m=3〔2﹣x 〕， 去括号，得1﹣x ﹣m=6﹣3x ， 移项，得﹣x+3x=6﹣1+m ， 合并同类项，得 2x=5+m ， 系数化成1得x= ．∵分式方程 + =3有非负整数解，5+m ≥0，m ≥﹣5，∴﹣5≤m ≤1，m=﹣5，﹣3，1，∴符合条件的m 的所有值的和是﹣7， 应选C ．14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为 m ，假设数m 使关于 x 的不等式组 无解，且使关于 x 的分式方程 + =﹣1有非负 整数解，那么这一个数中所有满足条件的 m 的个数是〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解答】解：不等式组整理得： ， 由不等式组无解，得到 m+2≥﹣2m ﹣1， 解得：m ≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，分式方程去分母得：x ﹣m+2=﹣x+2，即x= m ，把m=﹣1代入得：x=﹣ ，不符合题意；把m=0代入得：把m=2代入得：把m=5代入得：那么所有满足条件应选Bx=0，符合题意；x=1，符合题意；，不符合题意，m 的个数是2，文案大全实用标准文档二．填空题〔共15小题〕15．假设关于x的分式方程+3=无解，那么实数m=3或7．【解答】解：方程去分母得：7+3〔x﹣1〕=mx，整理，得〔m﹣3〕x=4，当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，m﹣3=4，m=7，m的值为3或7．故答案为3或7．16．假设关于x的分式方程+=3的解为正实数，那么实数m的取值范围是 m6且m≠2．【解答】解：+=3，方程两边同乘〔x﹣2〕得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，那么乙工程队每天铺设〔x+5〕米，由题意得：=．故答案是：=．18．某市为绿化环境方案植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原方案多20%，结果提前8天完成任务．假设设原方案每天植树x棵，那么根据题意可列方程为﹣=8．【解答】解：设原方案每天植树x棵，那么实际每天植树〔1+20%〕，文案大全根据题意可得：﹣=8，故答案为：﹣=8．19．假设关于x的分式方程=2的解为非负数，那么m的取值范围是m≥﹣1且m 1．【解答】解：去分母得，m﹣1=2〔x﹣1〕，∴x=，∵方程的解是非负数，m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，x≠1，≠1，m≠1，那么m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．应选：m≥﹣1且m≠1．20．假设关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，﹣2，．【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，整理得：〔m﹣2〕x=﹣4，解得：x=﹣，由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，解得：m=1，3，4，﹣2，6，故答案为：1，3，4，﹣2，621．在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是y2﹣3y+2=0．【解答】解：设y=x2+2x，那么原方程可化为y+=3，2去分母，得y﹣3y+2=0．2故答案是：y﹣3y+2=0．22．用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．【解答】解：设y=，那么原方程变为y﹣+1=0，文案大全故答案为：．23．如果实数x满足〔x+〕2﹣〔x+〕﹣2=0，那么x+的值是2．【解答】解：设x+ =u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+ =2或x+ =﹣1〔不符合题意，舍〕，故答案为：2．24．关于x的分式方程有增根，那么增根为x=1．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1．故答案为x=1．25．假设关于x的方程有增根，那么m的值是4．【解答】解：方程两边都乘〔x﹣2〕，得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母〔x﹣2〕=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．26．假设分式方程的解为正数，那么a的取值范围是a＜8，且a≠4．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．27．关于x的方程：x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，那么x+=c+的解是x1=c，x2=3+．【解答】解：∵x+ =c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，文案大全∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，x+=c+的解是x1=c，x2=3+，故答案为3+．28．假设关于x的分式方程﹣=无解，求a=﹣1或2．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a〔x﹣2〕=﹣2，即〔a+1〕x=2a+5，当a=﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x=，当x=2时，a不存在；当x=3时，a=2，综上，a的值为﹣1或2．故答案为﹣1或2．29．解关于x的方程+=产生增根，那么常数a=﹣4或6．【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，由分式方程有增根，得到〔x+2〕〔x﹣2〕=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，综上，常数a=﹣4或6，故答案为：﹣4或6三．解答题〔共6小题〕30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．〔1〕点Q的速度为xcm/s〔用含x的代数式表示〕．〔2〕求点P原来的速度．【解答】解：〔1〕设点Q的速度为ycm/s，文案大全由题意得3÷x=4÷y，y=x，故答案为：x；〔2〕AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为〔x+2〕cm/s，由题意得=，解得：x=〔cm/s〕，经检验x=是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．31．假设关于x的方程﹣=1的根是2，求〔m﹣4〕2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，∴把x=2代入方程得：2﹣=1，解得：m=4，那么〔m﹣4〕2﹣2m+8=〔4﹣4〕2﹣2×4+8=0．32．设A=，B=1〕求A与B的差；2〕假设A与B的值相等，求x的值．【解答】解：〔1〕A﹣B====2〕∵A=B∴去分母，得2〔x+1〕=x文案大全去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=﹣2经检验x=﹣2是原方程的解．33．定义新运算：对于任意实数a，b〔其中a≠0〕，都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣= +=1．〔1〕求〔﹣2〕?3的值；〔2〕假设x?2=1，求x的值．【解答】解：〔1〕原式=﹣=﹣3〔2〕由题意可知：﹣=11﹣〔x﹣2〕=x1﹣x+2=xx=经检验，x=是原方程的解，34．〔1〕计算：〔π﹣2〕0++〔﹣1〕2021﹣〔2〕解分式方程：﹣=1．【解答】解：〔1〕原式=1+2﹣1﹣4=﹣2；2〕去分母得x〔x﹣1〕﹣〔x+1〕=〔x+1〕〔x﹣1〕，解得x=0，经检验，x=0为原方程的根．35．解方程：+=．【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．文案大全。
分式运算培优竞赛讲义
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分式的概念、性质及运算
分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．
从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：
1．化整为零，分组通分；
2，步步为营，分步通分；
3．减轻负担，先约分再通分；
4．裂项相消后通分等
例题求解
【例1】要使分式1有意义，则x的取值范围是． 1?x
x
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．学习分式时，应注意：
(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；
(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；
（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．
【例2】已知3x?4
x2?x?2?AB，其中A、B为常数，则4A－B的值为（） ?x?2x?1
A．7 B．9 C．13 D．5
(江苏省竞赛题)
思路点拨对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值．
【例3】计算下列各式： 112a4a3
??? (1)； a?ba?ba2?b2a4?b4
培养创新思维开发个性潜能 1。
初中八年级数学分式专题辅导讲义.doc
九年级数学分式辅导讲义对分式进行通分的关键是： ___________________________ .最简公分母： _____________________________________________________ . 分母如果是多项式，应该先 __________________ ，再 _________________ ・ 【例】1、如果把分式2xy中的兀和y 都扩大3倍，那么分式的值()x+ yA 、扩大3倍2、填空B 、缩小3倍C 、缩小6倍D 、不变2y _ 2/ 2-m 1 -aa 21 + y ~( 14-m 2()'1-^-()3、约分1+2兀X^r xy 2 2 兀-yX 2-94X 2+4X + 1 ? b-1'3x 2 +6A >, + 3}?29 — 6x + x~4、 一!—,，―^ 的最简公分母是 ______________________________（无+ l ）y 4兀~ 6xy^z 5、 通分【知识点3】分式的加减：1、 同分母的分式相加减：分母 _____________ ,分子 _______________2、 异分母的分式相加减：先 _______________ ,后 _________________1 1 I?2 2h 2【例】计算：（1） —+ —-— （2） -4= ------- —（3） a + b-^-y — x 2y — 2x nV —9 m-3a + b【知识点4］分式的乘除1、 分式乘分式， __________________ 做积的分子， ____________ 做积的分母。
2、 分式除以分式，先 ___________________________ ,再 _____________________ o 【例】计算：（1）（丄-1）子〒：2兀+ 1（2）（ —一三亠x + 2J T-4（J T-4X + 4 x + 2 丿 x-2【知识点5]分式方程1、 分式方程： __________ 中含有未知数的 ___________ 叫做分式方程2、 解分式方程的步骤： ______________________________________________________________ ;3、 在方程的两边同时乘 _________________ ，可以将分式方程转化为一元一次方程求解。
八年级下数学培优班寒假讲义
第十六章 分式一、本单元 知识结构图：1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n aa 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法n m n m a a a -=÷( ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)(()；(b ≠0)bcadc d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;CB C A B A ÷÷=7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
分式培优讲义(一)
分式培优讲义【知识要点】(一)分式的基本性质：1、bm am b a =(m ≠0)2、mb m a b a ÷÷=(m ≠0)(二)分式的运算法则：1、同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 2、异分母分式加减法：bcbd ac c d b a ±=± 3、分式乘法：bd ac d c b a =⋅ 4、分式除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷【例题讲解】1、计算： (1)mn m n m n m n n m ---+-+22 (2)2144111072322++÷+++⋅+-++a a a a a a a a a(3)2244222x y xy y x y y x x -+-++ (4)))(())(())((b c a c c a b c b b c a b a a --+--+--2、已知311=-y x , 求y xy x y xy x ---+2232的值.3、化简)111()111(3cb ac c b b a a ca bc ab abc ++÷-+-+-⋅++4、已知：a ＋x 2＝2001, b ＋x 2＝2002, c ＋x 2＝2003, 且abc ＝24, 求-++ab c ca b bc a a 1b 1- c1-的值.5、有理数a, b 满足124422=-b a b a , 求代数式22229619ba b a +-的值.6、已知1=+y x xy , 2=+z y yz , 3=+x z zx , 求zy x 111++的值.7、已知4112=++x x x , 求1242++x x x 的值.8、已知a 2－3a ＋1＝0, 求下列各式的值. (1)1242++a a a (2)163+a a (3)3a 3－8a 2＋a ＋132+a9、已知cb ac b a ++=++1111, 求证：(a ＋b)(b ＋c)(c ＋a)＝0.10、已知abc ＝1, 求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值.11、已知x, y, z 互不相等, 且x z zy y x 111+=+=+, 求xyz 的值.12、若a ＋b ＋c ＝0, 求下列各式的值. (1)abc c b a 333++ (2))11()11()11(b a c a c b c b a +++++(3)222222222111c b a b a c a c b -++-++-+ (4)ab c c ac b b bc a a +++++222222222【练习】一、选择填空1、将分式22b a ab +中的字母a, b 的值都扩大2倍, 则分式的值( ) A 、扩大2倍 B 、缩小21 C 、缩小41 D 、不变 2、计算aa a a +⋅+÷-11)11()1(的结果是( ) A 、a a +-11 B 、11+-a a C 、1－a 2 D 、a 2－1 3、已知ab ＝1, 设M ＝b a +++1111, N ＝b b a a +++11, 则M, N 的关系为( ) A 、M ＞N B 、M ＝N C 、M ＜N D 、不确定4、已知a ＋b ＋c ＝0, abc ＝1, 那么c b a 111++的值( ) A 、大于0B 、小于0C 、等于0D 、不能确定 二、填空题1、若分式xx x --21||有意义, 则x 的取值范围是_________； 若分式xx x --21||的值为零, 则x 的取值范围是_________. 2、若411=-b a , 则bab a b ab a 2722-+--＝_________. 3、已知21111R R R +=(R 、R 1、R 2都为正数), 则R ＝_________. 4、若612=+-x x x , 则1242++x x x ＝_________. 三、计算1、43222)()()(a b a b b a -÷-⋅- 2、a ÷[)11()(2222b a b b a a b ab a b a -÷+-⋅+--]3、132333442222-+-++-⋅+--a a a a a a a a4、)()2(222222ab a b a a b ab a a b a a -+-÷+---。
分式全章同步培优教学讲义
分式的有关概念及分式的基本性质一、知识梳理知识点1 分式的概念 形如BA（B A 、是整式，且B 中含有字母，0≠B ）的式子叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.[例1]：下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式？()()21,1,41,1,,3,1,2-+++--a b a y y x x y x x a x a ab π❤温馨提示：判断一个有理式是否是分式，只看形式，不能以化简后的结果作为标准. ▶变式赏析：下列各式不是分式的是（ ）A 、y x x +2B 、π1C 、、yx --1 D 、x x 2知识点2 分式有意义和值为零的条件a 、要使分式有意义，分式的分母必须不等于零. [例2]：下列各式x 取何值时，分式有意义？ （1）142-x x（2）222+x x▶变式赏析：使分式2+x x有意义的x 的取值范围是（ ） A 、2≠x B 、2-≠x C 、2-＞x D 、2＜xb 、要使分式的值为零，应同时满足两个条件：分母不等于零，分子等于零（二者缺一不可）. [例3]：下列各式中，x 为何值时，分式的值为零？ （1）x x 334+ （2）21xx +[例4]：若()0234322=+-++b a b a ，求ba 1+的值.▶变式赏析：1、（2011四川南充市，8，3分） 当分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、1- D 、2-2、若分式xx x x ---22的值为零，则=x _________.★知识点3 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为()0,··≠÷÷==C CB CA B A C B C A B A ，其中C B A 、、均为整式. [例5]：不改变分式的值，把下列分式中的各系数都化成整数.（1）01.002.025.0-+x x （2）y x yx 81416131+-▶变式赏析：填空：（1）()()ba abb a 2=+ （2）()yx xxy x +=+22知识点4 分式的符号法则一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.[例6]：不改变分式的值，使分式2244x x x x +---的分子与分母的最高次项的系数是正数.知识点5 约分a 、分数可以约分，分式与分数类似，也可以约分，根据分式的基本性质把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.b 、分式的分子、分母时单项式时，先找出它们的公因式，再把分式的分子、分母同除以公因式进行约分.分式的分子、分母是多项式时，通常将分子、分母进行因式分解，然后约去它们的公因式.c 、一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式. [例7]：将下列各式进行约分.（1）()()36123a b a b a ab -- （2）96922+--x x x （3）()()()()35223232222+-+---a a a a a a a a ▶变式赏析： 1、将分式12662+--x x x 先化简，再讨论x 取什么值时，能使分式的值是正整数.2、已知311=-y x ，求分式()()xyx y xy x y 232---+--的值.【数学冲浪】1、当x 取何值时，分式01≥+x x.2、甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则h a 相遇；若同向而行，则h b 甲追上乙.那么甲的速度是乙的（ ）. A 、b b a +倍 B 、b a b +倍 C 、a b b a -+倍 D 、ba ab +-倍 ①、a 千克硫酸（42SO H ）溶液中有水b 千克，则纯硫酸为()b a -千克，浓度（含纯硫酸的百分比）为%100⨯-aba ，问m 千克这样的硫酸溶液中含纯硫酸多少千克？ 【同步达标】 A 组1、（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A 、2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 2、（2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 3、（2011浙江杭州，15，4）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个．4、（2011四川内江，15，5分）如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ．5、（2011江苏盐城，13，3分）化简：x 2 - 9x - 3= ．6、已知分式2822--x x .（1）当x 取什么值时，分式有意义？ （2）当x 取什么值时，分式值为零？ （3）当x 取什么值时，分式值为正数？B 组1、（广州市中考题）若分式4412322++-x x x 的值为0，则x 的值为___________.2、（杭州市中考题）（1）要使分式aa 2142+-没有意义，则a 的值为__________.（2）当=m __________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零.3、（天津市中考题）已知411=-b a ，则abb a b ab a 7222+---的值等于（ ） A 、6 B 、6- C 、152 D 、72-4、化简分式96322+++m m mm ，并说明m 为何值时，分式的值为零.5、若04133212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--y y x x ，求代数式132122--+y x 的值.优生堂家庭作业姓名 第9次课 等级第一部分：③ 有理式①x 2，②5y x +，③a -21，④1-πx 中，是分式的有（ ） A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、①②③④ 2、当2-=x 时，分式①23--x x ，②22+-x x ，③()()()()3232--++x x x x ，④()()()()3231-++-x x x x 中，有意义的是（ ） A 、① B 、④ C 、①③ D 、②④第二部分：3、在5,53,81,7,32,,322yx y x y x y x y x x -+---六个有理式中，属于整式集合的有___________，属于分式集合的有_____________.4、不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数：（1）.____________213=---b a x （2）().____________2=-+--b a b a第三部分：5、已知xx y 322-=，x 取哪些值.（1）y 的值是正数？ （2）y 的值是负数？ （3）y 的值等于零？ （4）分式无意义？分式的乘除法一、知识梳理：知识点1 分式乘法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. [例1]：计算：（2）222222553ba y x xyb a （2）a a a a 21·222+-+知识点2 分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示为：BCAD C D B A D C B A ==÷·（D C B 、、均不为零）. [例2]：计算：（1）232423452cdb a cd b a ÷ （2）()()12131322-+--+÷-+x x x x x x知识点3 分式乘除法的步骤及运算顺序a 、对一个分式进行乘除法运算时，先观察分式，看一个分式的分子、分母能否进行分解因式，若能分解因式的应先分解，当分解完成以后，要进行约分，直到分子、分母没有公因式时再进行乘除.b 、分式乘除法的运算顺序：分式乘除法与分数乘除法运算顺序相同，一般是从左向右，有除法的先把除法转为为乘法. [例3]：计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-bc y x c y a cx b a 22222223·202157❤温馨提示：分式的分子、分母分解后恰有公因式，应先约分，使运算简化. ▶变式赏析：课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当37,225,3+-=x 时，求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值.小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程.[例4]：先化简，再求值：11124·21222-÷+--+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .▶变式赏析：1、化简()b a a b b a b a --÷+-1·的结果是（ ） A 、221b a - B 、b a a b +- C 、221a b - D 、ba b a +-2、已知013=+a a ，求()12·121222---÷-+-a a a a a a a 的值.知识点4 分式乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方，用式子表示为n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛（n 为正整数），其中B A B 、，0≠可以表示数，也可以代表代数式.进行分式乘方，必须是分子、分母整体各自乘方. [例5]：化简：（1）52⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （2）2393⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ab ac▶变式赏析：化简：（1）()()8361·1--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x （2）22322322313·3m nx y m nx nx m y ÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 知识点5 分式运算应注意的问题 a 、结果的符号，如A B -作为结果不可以，只能写作AB-. b 、结果必须是最简分式或整式.c 、在进行乘方、乘除运算时，通常是先算乘方，再乘除，并将除法转化为乘法进行计算.【数学冲浪】4、 求下列各式的值.3、已知0,6,2≠==x x x b a ，求b a x 23-的值.4、若2-=y x，求yxy x y xy x 7632222----的值.5、 西关中学想用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本笔记本为1份奖品，则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为1份奖品，则可买50份奖品.那么，这笔钱全部用来买钢笔或笔记本可各买多少？【同步达标】 A 组1、（2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A 、221m m ---B ．221m m -+-C ．221m m --D ．21m -2、（2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A 、32B 、3C 、6D 、33、（2011山东聊城，15，3分）化简：2222222a b a ba ab b a b--÷+++＝__________________．4、（2011湖南永州，5，3分）化简aa a -+-111=________．5、化简求值：()2222·2xyx xy y xy x x xy -+-÷-，其中2008,2008==y x ,B 组②、已知yx M y x x -=÷-1222，则M 等于（ ）A 、y x x +2 B 、x y x 2+ C 、yx x -2 D 、x y x 2-2、（2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 3、已知094=-+-b a ，求22222·ba aba b ab a --+的值.4、光明机械厂生产一批新产品，由一班、二班合作，原6天完成，但是，他们共做了4天后，二班被调走了，一班又做了6天才全部做完，那么一班、二班单独做各需要几天完成？优生堂家庭作业姓名 第 10次课 等级第一部分：B 、若6261aa a a m=÷，则m 的值为（ ）2、14 B 、12 C 、10 D 、8④ 计算()16816·422+---x x x x 的结果是（ ）A 、4+xB 、4--xC 、4-xD 、x -4第二部分：3、如果32=b a ，且2≠a ，那么51-++-b a b a 的值是_____________.4、已知xy y x =-22，那么yx 11-的值为______________.第三部分：5、已知y x ,满足0136422=+--+y x y x .求22433·1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x xy x y 的值.6、已知612=+-x x x，求1242++x x x 的值.分式的加减法一、知识梳理：知识点1 同分母分式加减法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.用式子表示为：CB AC B C A ±=±. 分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免产生符号错误，分子相加减的实质是整式的加减. [例1]：计算：6、 2422---x x x （2）()()2222ab b a ab b a ++- （3） 2222222323m n n m n m n m n m m n ----+---▶变式赏析： （2）x x x --+-1112 （2）22233343365cbab ac ba c b bc a b a +--++知识点2 通分根据分式的基本性质，把分子、分母同时乘以适当的整式，把几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.a 、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及所有不同字母的积.b 、如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个因数（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求 [例2]：通分： 6、22221,65,43ac c b b a - （2）xx x x x x 483,2,2222---++▶变式赏析： B 、ab x ab c b a 2,,2 （2）222,33,y xy x c x y b y x a +--- 知识点3 异分母分式加减法则异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，然后再加减，用式子表示为：ACAD BC C D A B ±=±. 异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算.转化的关键是通分，异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等，其一般步骤为： ①通分：将异分母分式化为同分母分式. ②写成“分母不变，分子相加减”的形式. ③分子去括号，合并同类项.④分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式. [例3]：计算： （2）1211112+-+--x x x （2）()()()()()63331211+++++++x x x x x x （3）2233131b ab a a b ab b a ++--+-▶变式赏析： （4）223121cd d c + （2）224-++a a （3）2244223nmn m nm n m +----知识点4 分式的混合运算分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的. 运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式. [例4]：化简：B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111212a a a a （2）121111222+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a▶变式赏析：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+m n m n 11 （2）1221444222+-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x x x[例5]：（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛---2112x x x x ，其中2=x .▶变式赏析：（2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中【数学冲浪】1、（广西竞赛题）已知012=--x x ，则=++5412x x x ___________. 2、（天津市竞赛题）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米/时的速度行走，另一半时间以b 千米/时的速度行走；而乙用a 千米/时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米/时的速度行走（b a ,均大于0，且b a ≠），则（ ） （3）甲先到达B 地 B 、乙先到达B 地C 、甲乙同时到达B 地D 、甲乙谁先到达B 地不确定 3、化简4214121111x x x x ++++++-4、化简()()()()()()()10099132121111+++⋯++++++++x x x x x x x x【同步达标】A 组1、（2011浙江丽水，7，3分）计算111---a a a 的结果为（ ） A .1+aa －1B . －aa -1C . －1D .1－a2、（2011山东临沂，5，3分）化简⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x 1112的结果是（ ） A.x1B ．1-xC ．x x 1- D ．1-x x3、（2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ）A.21B.－21C.2D.－2 4、（2011山东泰安，22 ，3分）化简：42222-÷⎪⎭⎫⎝⎛--+x x x x x x的结果为 . 5、（淮安市中考题）已知实数01442=+-x x ，则代数式xx 212+的值为___________.6、化简：（1）221423----÷--x x x x x （2）()()313252-----x x x x7、（2011四川广安，22，8分）先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组⎩⎨⎧≤--12232＜x x 的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．B 组1、设有理数c b a 、、都不为零，且0=++c b a ， 则222222222111c b a b a c a c b -++-++-+的值是（ ）5、正数 B 、负数 C 、零 D 、不能确定2、化简：（1）（绵阳市中考题）44321112+++÷⎪⎭⎫⎝⎛++-+-x x x x x x x（2）（苏州市中考题）()()22442122-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-++a a a a a a a a a3、（2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：12212122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---x x x x x x xx ， 其中x 满足012=--x x ．4、在一块a 公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m 天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？5、已知()()212132++-+=+-+x Cx B x A x x x x （C B A 、、为常数），求C B A 、、的值.优生堂家庭作业姓名 第 11次课 等级第一部分：1、若的值则满足式cb a abc c b a c b a 111,8,0,,++==++（ ） A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、正数或负数2、（七中）已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则B A -4的值为（ ）A 、7B 、9C 、13D 、5第二部分：3、（七中）已知:._________,214422是的取值范围则x xx x x -=+-- 4、（10成外）已知：311=-b a ，则分式bab a b ab a ---+232的值为 .第三部分：1、.103225),0(072,0634222222的值求代数式若zy x z y x xyz z y x z y x ---+≠=-+=--B 、（09乐山）若实数x y 、满足2690x x ++=．求代数式2211yx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值．（要求对代数式先化简，再求值．）寒假班学业总结测试数学试卷（时间90分钟，满分100分） 姓名______________ 评分_______一、选择题：（每小题2分，共20分） 1、若a >b ,则下列不等式中正确的是：（ ）A 、a －b <0B 、b a 55-<-C 、a +8< b －8D 、44b a < 2、在数轴上表示不等式组⎩⎨⎧≤≤21x x 的解集，正确的是（ ）3下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A.3x －2与 6x 2－4xB.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —m 与ny —nx D.ab —ac 与ab —bc4、下列代数式中，不是分式的是 （ ） A 、mnB 、yx -2 C 、πh2 D 、yx +155、如果不等式组⎩⎨⎧>-<+n x x x 737的解集是4>x ，则n 的取值范围是（ ）A 、4≥nB 、4≤nC 、4=nD 、4<n6、 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体。
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分式培优练习题
补充知识点：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（B ≠0）
②分式无意义：分母为0（B=0）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
1、若M =1
)2)(1(2--+x x x ,则当x ________时，M 有意义；当x =________时，M =0；当x =________时，M =4. 2、当x ________时，分式x
x -52
的值为正数. 3、在正数范围内定义一种运算*，其规则为a *b =b
a 11+，则x *(x +1)=________. 4、不论x 取何值时，下列分式总有意义的是（ ） A.21x
x - B.22)2(+x x C.2+x x D.22+x x 5、若x 2－9=0,则分式3
652-+-x x x 的值为（ ） A.1 B.－5 C.1或－5
D.5 6、若分式m
m m --21||的值为零，则m 取值为( ) A.m =±1
B.m =－1
C.m =1
D.m 的值不存在
7、当m ______时，关于x 的方程3
23-+=-x m x x 有增根； 8、若a ∶b ∶c=1∶3∶5，则a c b a +-= ，2
2
22a c b a +-= 。
9、已知：b b
a 2-=35，则
b a = ．
10、（1）已知(0)234x y z x ==≠，求分式2
33233x y z
x y z +--+的值。
（2）已知311=-y x ，求y xy x y
xy x ---+55的值.
（3）若a 、b 满足b a +a b
=2，则 的值是 。
11、（1）若方程122-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
（2）已知关于x 的分式方程1)2)(1(23
++-=+-x x k
x x 的解是非负数，求k 的取值范围.
12、已知a 2+3a +1=0,求
（1）a +a 1; （2）a 2+21a ; （3）a 4+41
a
13、化简：
1111(1)(1)(2)(2013)(2014)
x x x x x x x ---+++++…－
14、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
(1) 计算 ．
（2）探究 ．（用含有的式子表示）
（3）若 的值为，求的值．
15、（1）请你任意写出3个正的真分数：___ _，__ _，__ _，给每个分数的分子、分母同加一个相同正数得到三个新分数：_ ___，_ ___，___ _，
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是b a （，均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得m
b m a ++，则两个分数的大小关系是m b m a ++________b
a ．并证明你的结论
计算专练
1、化简211()1122
x x x x -÷-+-，然后从2,1,1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．
2
1321-=---x x x 12536-=x x
1
412112-=-++x x x 512552x x x +=-- 311(1)(2)x x x x -=--+
分式方程应用题
1、抗震救灾抢修损坏的桥梁工程必须在规定日期内完成，保证救灾物质顺利通过。
如果甲工程队单独做正好 如期完成；若乙工程队单独做需要超过4天才能完成。
现由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做正 好按期完成，问规定日期是多少天？
2、岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须
在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
3、“玉树地震”的灾情牵动着千万人的心，汇川中学的同学们踊跃为灾区捐款，小易同学对1班和2班捐款情况进行了统计，1班的捐款人数比2班多3人，其中1班共捐款2400元，2班共捐款1800元，2班平均每
人的捐款钱数是1班平均每人捐款钱数的4
5
倍。
（1）求1班、2班各有多少人捐款？
（2）慈善总会欲将此善款全部用于购买帐篷和矿泉水对口支援结古县官贝村，该村至少需要40顶帐篷和160件矿泉水，一顶帐篷的价格为48元，一件矿泉水的价格为12元。
因道路毁坏，只能用一架直升飞机将所购物资运往目的地。
该直升飞机的货运空间为20.8立方米，而一顶包装好的帐篷体积为0.16立方米，一件矿泉水的体积为0.08立方米。
应当如何安排购买方案，才能将所需物资一次性运往目的地？用必要的计算说明理由。
（3）因直升飞机飞行一次所需燃料费用甚多，故应最大程度利用飞机货运空间。
在上述方案中，选用那种方案使得它的利用程度最高，说明理由。
4、某工厂计划将一批货物从甲地运到乙地,有A,B,C三种方式可供选择,选择方式A的平均速度比选择方式B 每小时少30千米,但两者所用的运输时间相同.选择方式B的平均速度是方式C的两倍,但运输时间是方式C 的40％,这三种运输方式所需各项成本见下表.经测算,总费用(含运输费和装卸费，其它费用忽略不计)最少的方式是A,最多的方式是C.
运输方式 A B C
经过的路程(千米) 500 800 a
运输费(元／千米．吨) 2.5 2 1
装卸费用合计(元) 39000 25000 61000
(1)求选择方式B的平均速度；
(2)求这批货物的重量范围；
(3)若选择方式C比选择方式A平均每吨的总费用多150元，求货物的重量．
5、电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？。