概率A2015考题A卷参考答案

石家庄铁道大学2014-2015学年第Ⅱ学期
2013级本科班概率论与数理统计（A ，B ）期末考试试卷（A ）评分标准
一、解答下列各题（共30分） 1. 设A 为事件“树还活着”，B 为事件“邻居记得给树浇水”，
则()0.9,()0.9,()0.1,(|)0.2P B P A B P B P A B ====, …………………………2分 (1) ()()()()(|)0.90.90.20.10.83P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=；………………4分 (2) ()(|)0.90.981
()()0.8383
P B P A B P B A P A ⨯===. ………………………………… 4分
2. (1) 由密度函数性质：1
30
() 1 44
C
f x dx C x dx C +∞-∞
==
=⇒=⎰
⎰； 所以34 01
()0 x x f x ⎧<<=⎨⎩其它 …………………………3分
(2) 当0x ≤时，()0F x =；当01x <<时，340
()()4x x
F x f x dx x dx x -∞
===⎰
⎰；当1x ≥时，
1301
()()401x
x F x f x dx x dx dx -∞
==+=⎰
⎰⎰；分布函数为40,
0(),011,1x F x x x x ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
；……4分
(3) 1
30
4
()()45
E X xf x dx x x dx +∞-∞
===
⎰⎰ ； …………………………3分
3. 2Y X =即2()y g x x == …………………………2分
当0x >时，()g x
严格单调增加，且有反函数()x h y ==又有1
2
1()2
h y y -'=
…………………………4分
2Y X ∴=的概率密度
0()0,Y y f y >=⎩
其他 …………………………4分
二、解答下列各题（共20分）
1. (1) (),X Y 的所有可能取值为（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）.
()()()()111
1,1248
P X Y P AB P A P B A =====⨯=,
()()()()1111,0488
P X Y P AB P A P AB ====-=
-=, ()()()()1110,1488
P X Y P AB P B P AB ====-=-=, ()1115
0,018888
P X Y ===---=,
所以(),X Y 的分布律为
…………………………4分 (2) ,X Y 不独立，因为{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠==.………………………2分
(3) ()31101444E X =⨯+⨯=，()311
01444
E Y =⨯+⨯=，
()()()22
2
1134416
D X
E X E X ⎛⎫=-=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()()2
22
1134416D Y E Y E Y ⎛⎫=-=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()1
8
E XY =
，
Cov ,XY X Y E XY E X E Y ρ-=
=1
1
163316
== …………………………4分
2. (1) (,)X Y 的概率密度为
2,(,)(,)0,.x
y D f x y ∈⎧=⎨
⎩其它 …………………………2分
22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞
-≤
≤⎧==⎨
⎩⎰
其它
(2)
分
(2) 1120
1
{}22
x x
P X Y dx dy -<==
⎰⎰. …………………………2分 (3) 利用公式
()(,)Z f z f x z x dx
+∞-∞
=-⎰
2,01,01(,)0,x z x x
f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨
⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其它.
当0z <或1z >时()0z f z =
01z ≤≤时0()22z
z f z dx z ==⎰
故Z 的概率密度为
2,0
1,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨
⎪⎩其它. …………………………4分 三、解答下列各题（共20分）
1. 设12,,,n x x x 是相应于样本12,,,n X X X 的样本值, 则样本的似然函数为
i=1
(1)(),01,1,2,,0,n
n i i x x i n
L θ
θ⎧+<<=⎪=⎨⎪⎩
∏ 其他. …………………………3分 当01,1,2,i x i n <<=（…，）时，0L >且 1
ln =ln ++ln ,n
i
i L n x θθ
=∑（1） …………………2分
1dln =+ln ,d +n i i L n x θθ=∑1 令1
d ln =+ln d +n
i i L n x θθ=∑1=0，解得θ的最大似然估计值是1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ==--∑，
…………………………4分
因而θ的最大似然估计量为： 1
ˆ1ln n
i
i n
X
θ
==--∑ …………………………1分
2.220.025,16,,s 0.036,0.05,
0.0252
n α
σα=====
检验假设0H :2200.025σσ== …………………………3分
()22
2
1150.036
21.60.025
n s χσ-⨯==
= …………………………3分
220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==，[]6.262,27.488接受域， …………………2分
2χ=21.6∈[]6.262,27.488，接受假设，无显著差异，符合标准 …………………2分
四、选择填空题（每空3分，共30分）
1. 0.5
2.0.25
3.0.5
4.-1
5. 0.5
6.(0);()()F a F b F a --
7.5
8.A
9.D。