求解方程迭代法
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。
它的基本思想是通过不断逼近
方程的解，使得逼近值与真实解的差距越来越小，最终得到方程的解。
下面介绍三种新的迭代法：牛顿迭代法，弦截法和切线法。
一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。
它的迭代公式为：
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解，f(x_n)表示在x_n处的函数值，f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二阶收敛，但其缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算困难或者导数为零的情况下，该方法可能不适用。
二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似，但其缺点是需要计算函数的导数，且对于初始逼近
解的选择比较敏感。
牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。
它们各自有着优点
和缺点，适用的领域和条件也不尽相同。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。
求解一元多次方程（迭代法）
求解⼀元多次⽅程（迭代法）1 --*2解⼀元多次⽅程形如 x^5 + x^4 + x = 1034主要做法：51.⾼次⽅程典型的解法就是迭代。
给定初始值x0，6给定精度e，通过公式x[n]=x[n-1]+f(x[n-1])/f'(x[n-1])不停迭代，直到近似解符合精度要求，输出结果。
782.另外还有⼀种⼆分法，对这种⽅法不是太熟悉，就是⾸先给定⼀个区间[a,b]，在区间上如果有极值，则有解，把这个区间⼀分为2， [a,c]、[c,b]，如果f(a)和f(c)艺号，则解在[a,c]区间，反之在[c,b]区间。
在把[a,c]⼀分为2，这样⼀直分下去，直到 910 */11 #include <iostream>12 #include <math.h>1314using namespace std;1516const double e = 1e-6;17int n;18 pair<double, int> p[12];//⽅程的系数, ⽅程次数1920double f(double x)//⽅程21 {22double sum = 0.0;2324for (int i = 0; i < n; ++i){25if (p[i].second < 0)26continue;27 sum += p[i].first * pow(x, p[i].second);28 }2930return sum - p[n].first;//减去值31 }3233double ff(double x)//导数34 {35double sum = 0.0;3637for (int i = 0; i < n; ++i){38if (p[i].second <= 0)39continue;40 sum += p[i].first * p[i].second * pow(x, p[i].second-1);41 }4243return sum;44 }4546double solve()47 {48double x0 = 1.0;49double xn = 1.0;5051while (true){52 xn = x0 - f(x0)/ff(x0);53if (xn-x0 < e && x0-xn < e)54return x0;55 x0 = xn;56 }57 }5859int main()60 {61int num = 1;62bool flag = false;6364while (cin >> n, n != -1){65int i;66for (i = 0; i < n; ++i){67 cin >> p[i].second >> p[i].first;68 }69 cin >> p[n].second >> p[n].first;7071for (i = 0; i < n; ++i){72 p[i].second = p[n].second - p[i].second + 1;73 }7475if (flag){76 cout << endl;77 }else{78 flag = true;79 }8081 printf("Case %d: %.5lf\n", num++, solve()-1);82 }83return0;84 }85 #include <iostream>86 #include <math.h>8788using namespace std;8990const double e = 1e-6;91int n;92 pair<double, int> p[12];//⽅程的系数, ⽅程次数9394double f(double x)//⽅程95 {96double sum = 0.0;9798for (int i = 0; i < n; ++i){99if (p[i].second < 0)100continue;101 sum += p[i].first * pow(x, p[i].second);102 }103104return sum - p[n].first;//减去值105 }106107double ff(double x)//导数108 {109double sum = 0.0;110111for (int i = 0; i < n; ++i){112if (p[i].second <= 0)113continue;114 sum += p[i].first * p[i].second * pow(x, p[i].second-1);115 }116117return sum;118 }119120double solve()121 {122double x0 = 1.0;123double xn = 1.0;124125while (true){126 xn = x0 - f(x0)/ff(x0);127if (xn-x0 < e && x0-xn < e)128return x0;129 x0 = xn;130 }131 }132133int main()134 {135int num = 1;136bool flag = false;137138while (cin >> n, n != -1){139int i;140for (i = 0; i < n; ++i){141 cin >> p[i].second >> p[i].first;142 }143 cin >> p[n].second >> p[n].first;144145for (i = 0; i < n; ++i){146 p[i].second = p[n].second - p[i].second + 1; 147 }148149if (flag){150 cout << endl;151 }else{152 flag = true;153 }154155 printf("Case %d: %.5lf\n", num++, solve()-1); 156 }157return0;158 }。
迭代法求方程根
迭代法是求解方程根的一种重要方法，它是以某种特定的搜索路径，通过不断迭代更新搜索解的值，最终求得方程的根的一种方法。
迭代法的核心思想是迭代的方法，通俗理解就是不断重复，不断迭代，不断改变，最终找到满足条件的解。
迭代法求解方程根的步骤大致如下：
首先，选定迭代法求解方程的初始值和迭代步长，然后设定迭代次数，并进行初始化。
其次，开始对迭代解进行更新。
在这一步中，根据方程的性质，以及初始值和迭代步长，通过计算求出新的迭代解，然后将新的迭代解更新到原来的迭代解中。
接着，计算迭代解的误差，并根据误差的大小，来判断迭代解是否收敛。
如果迭代解收敛，则将其作为方程的根；如果迭代解不收敛，则重复前面的步骤，继续迭代，直到解收敛为止。
最后，根据迭代解的误差，判断迭代解是否准确，即判断迭代解是否符合方程的性质。
如果误差满足要求，则将迭代解作为方程的根；如果误差过大，则需要重新调整迭代步长，并重复迭代，直到误差满足要求为止。
总之，迭代法求解方程根是一种重要的方法，它可以解决复杂的方程，在求解方程根方面有很大的帮助。
它的基本思想是：以某一特定搜索路径，通过迭代不断改变搜索解，最终得到解。
牛顿迭代法求解方程组
牛顿迭代法求解方程组一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。
具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x 的值，直到满足一定的停止准则为止。
牛顿迭代法的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。
假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即F(x) = 0其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))为方程组的向量函数。
我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：f(x) = 0其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))。
牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_n) \end{pmatrix}三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度牛顿迭代法在求解方程组时具有较好的收敛性和收敛速度。
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
迭代法求解方程（组）的根
迭代法求解⽅程（组）的根⾸先，迭代法解⽅程的实质是按照下列步骤构造⼀个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近⽅程f(x)=0的解:1）选取适当的初值x0；2）确定迭代格式，即建⽴迭代关系，需要将⽅程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；3) 构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到⼀个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数φ(x)连续，则很容易得到这个极限值,x*就是⽅程f(x)=0的根。
举个例⼦：求解⽅程： f(x) =x^3-x-1=0 在区间（1，1.5）内的根。
⾸先我们将⽅程写成这种形式：⽤初始根x0=1.5带⼊右端，可以得到这时，x0和x1的值相差⽐较⼤，所以我们要继续迭代求解，将x1再带⼊公式得直到我们我们得到的解的序列收敛，即存在极值的时候，迭代结束。
下⾯是这个⽅程迭代的次数以及每次xi的解（i=0,1,2....）我们发现当k=7和8的时候，⽅程的解已经不再发⽣变化了，这时候我们就得到了此⽅程的近似解。
1#define eps 1e-82int main()3 {4 x0=初始近似根；5do{6 x1=x0;7 x0=g(x1); //按特定的⽅程计算新的近似根8 }while(fabs(x0-x1)>eps);9 printf("⽅程的近似根是%f\n",x0);10 }注意：如果⽅程⽆解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。
因此，在使⽤迭代算法前应先考察⽅程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。
下⾯再写⼀个求解⽅程组的例⼦加深⼀下理解：算法说明：⽅程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关系⽅程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,maxn为迭代次数。
算法如下：算法核⼼：1int main()2 {3for (i=0; i<n; i++)4 x[i]=初始近似根;5do6 {7 k=k+1;8for(i=0; i<n; i++）9 y[i]=x[i];10for(i=0; i<n; i++)11 x[i]=gi(X); //按特定的⽅程计算新的近似根12 c=0;13for(i=0; i<n; i++)14 c=c+fabs(y[i]-x[i]);//c要每次重新设初值为015 }while(c>eps and k<maxn );16for(i=0; i<n; i++)17 print("变量的近似根是"，x[i]);18 }选取初始向量精确度为1e-8，迭代次数为100求解代码如下：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<cmath>5#define eps 1e-86using namespace std;7const int maxn=100;8double x[10],y[10];9int main()10 {11for(int i=1;i<=4;i++)12 x[i]=0;13int cnt=0;14double c=0;15do{16for(int i=1;i<=4;i++)17 y[i]=x[i];18for(int i=1;i<=4;i++)19 {20 x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10;21 x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11;22 x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10;23 x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8;24 }25 c=0;26for(int i=1;i<=4;i++)27 c+=(fabs(y[i]-x[i]));28 }while(c>eps&&cnt<maxn);29for(int i=1;i<=4;i++)30 printf("x%d = %.4lf\n",i,x[i]);31 }运⾏结果如下：迭代法求解⽅程的过程是多样化的，⽐如⼆分逼近法求解，⽜顿迭代法等。
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法是一种在数值分析中用于求解方程的方法。
它通过不断逼近方程的根，从初始近似解开始迭代直到收敛为止。
牛顿迭代法求解方程的基本步骤如下：
1. 选择一个适当的初始近似解$x_0$。
2. 计算函数在$x_0$处的值$f(x_0)$和其导数$f'(x_0)$。
3. 使用切线近似替代原函数得到迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
4. 根据迭代公式计算下一个近似解$x_{n+1}$。
5. 判断是否达到迭代的要求，如果满足则停止迭代，否则返回第2步继续迭代。
6. 输出最终的近似解$x_{n+1}$。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性取决于初始近似解的选择和方程本身的性质。
对于某些方程可能存在多个根，或者初始近似解选择不当，可能会导致迭代失败或收敛速度较慢。
此外，牛顿迭代法也可以用于求解方程组的数值解。
对于方程组的求解，迭代公式会有所不同，但基本思想和步骤相似。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
迭代法求方程近似解
迭代法求方程近似解迭代法是一种求解方程近似解的方法，其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近方程的解。
在实际应用中，迭代法常常被用于求解非线性方程、微积分方程等问题。
迭代法的具体步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.根据某种迭代公式，计算出x1，x2，x3，...，xn；3.当满足一定的停止准则时，停止迭代，输出近似解xn。
其中，迭代公式是迭代法的核心，不同的迭代公式会对迭代的速度和精度产生不同的影响。
常见的迭代公式有牛顿迭代法、割线法、弦截法等。
以牛顿迭代法为例，其迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)其中，f(x)是方程的函数形式，f'(x)是f(x)的导数。
牛顿迭代法的基本思想是，通过不断用切线逼近曲线，找到曲线与x轴的交点，从而求得方程的解。
下面以求解方程x^2 - 2 = 0为例，演示牛顿迭代法的具体步骤：1.选取初始值x0 = 1；2.根据牛顿迭代公式，计算出x1，x2，x3，...，xn：x1 = x0 - (x0^2 - 2) / (2 * x0) = (x0 + 2 / x0) / 2 = 1.5x2 = x1 - (x1^2 - 2) / (2 * x1) = (x1 + 2 / x1) / 2 = 1.4167x3 = x2 - (x2^2 - 2) / (2 * x2) = (x2 + 2 / x2) / 2 = 1.4142...xn = 1.414213563.当满足一定的停止准则时，停止迭代，输出近似解xn。
在实际应用中，迭代法的停止准则通常有两种：一是设定迭代次数的上限，当迭代次数达到上限时，停止迭代；二是设定一个误差范围，当迭代过程中的误差小于该范围时，停止迭代。
总之，迭代法是一种简单而有效的求解方程近似解的方法，其优点是可以适用于各种类型的方程，并且可以通过调整迭代公式和停止准则来提高求解的精度和效率。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的迭代公式和停止准则，以达到最优的求解效果。
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4
附近的根，要求
目 （1）牛顿法，取 x ； 0
4
（2）弦截法，取 x0
4
；
（3）快速弦截法，取 x0
4
, x1
2
.
程 （将程序粘贴在此） 序 结 （将结果粘贴在此） 果 完成日期：2014/3/5
实验报告 1 非线性方程的迭代解法
班级专业 一、实验目的
掌握方程迭代法思想，会用二分法、牛顿法、弦截法求解方程。
姓名
学号
成绩
二、实验内容、计算过程与结果
（P34 第 1 题） 用二分法求方程 x3 2x2 4x 7 0在[3, 4] 内的根， 精确到103 , 题 1、
3 目 即误差不超过 10 .
1 2
程 （将程序粘贴在此） 序 结 （将结果粘贴在此） 果
（P34 第 4 题） 将一元非线性方程 2cos x e x 0 写成收敛的迭代公式，并求 题 2、
目 其在 x0 0.5 附近的根，精确到 102 . 程 （将程序粘贴在此） 序 结 （将结果粘贴在此） 果
题
3、 （P35 第 11 题）分别用下列方法求方程 4cos x e x 在 x0 有三位有效数字。