2.1双曲线的标准方程(教师用)
双曲线标准方程
双曲线标准方程双曲线是代数曲线中的一种，它具有许多特殊的性质和形式。
在数学中，双曲线可以用标准方程来表示，这种表示方法可以帮助我们更好地理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的标准方程及其相关知识。
双曲线的标准方程通常可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\]或者。
\[\frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1\]其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
当a 和b的取值不同时，双曲线的形状会有所不同。
接下来，我们将分别讨论这两种情况。
首先，当a^2 b^2 > 0时，双曲线的形状为左右开口。
这种双曲线在原点附近会有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
双曲线的中心位于原点，左右开口的方向分别沿着x轴的正方向和负方向。
在图像上，这种双曲线会呈现出两条分离的曲线。
其次，当a^2 b^2 < 0时，双曲线的形状为上下开口。
同样地，这种双曲线也会有两条渐近线，中心位于原点，上下开口的方向分别沿着y轴的正方向和负方向。
在图像上，这种双曲线会呈现出两条分离的曲线，与左右开口的双曲线有所不同。
双曲线在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
它的形状和性质使得它成为了描述许多自然现象和工程问题的重要数学工具。
通过研究双曲线的标准方程，我们可以更好地理解和应用双曲线的性质，从而解决实际问题。
总之，双曲线的标准方程是研究双曲线的重要工具，它可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和性质。
通过对双曲线标准方程的学习和掌握，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动数学在物理学和工程学中的应用和发展。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上) 双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
1、双曲线顶点A(-a,0)，A'(a,0)。
同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b)，B'(0,b)。
同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0，-c),F2(c,0)或(0，c)。
F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c22、双曲线离心率第一定义：e=c/a 且e∈(1，+∞)第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e3、双曲线的准线焦点在x轴上：x=±a2/c焦点在y轴上：y=±a2/c双曲线的定义(1)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
(2)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为x=±a²/c(焦点在x轴上)或y=±a²/c(焦点在y轴上)。
(3)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
(4)在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
课件12：2.2.1 双曲线及其标准方程
2
2
−
2
=1(a>0，b>0)，
2
又双曲线经过点(0，2)与( 5，2 2)，
22 02
a 2 - b 2 = 1，
所以
2
5
2 2
2
b2
a
2
a 2 = 4，
所以 2
b = 5，
= 1，
2
所以双曲线方程为
4
−
2
=1.
5
(2)因为焦点在x轴上，c= 6，
为Ax2+By2=1(AB<0)；
2
②与双曲线 2
−
2
=1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的
2
2
标准方程可设为 2
−λ
−
2
2 +λ
=1(-b2<λ<a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
2.定义法求双曲线方程的步骤
(1)列出动点满足的条件.
−1<0
【答案】C
2
3.已知双曲线
9
−
2
=1上一点P到双曲线的一个焦点的
16
距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________.
【解析】设双曲线的两个焦点为F1，F2，
|PF1|=3，所以P在靠近F1的一支上.
因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9.
所以P到另一个焦点的距离为9.
【答案】9
所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，即M的
2
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
课件8:2.2.1 双曲线及其标准方程
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝ 36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|1P0F01－|·1|P00F2|＝0，∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
典型例题
题型一 求双曲线的标准方程 【例 1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在 x 轴上．
[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)和ay22－bx22＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外 也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)或xm2＋yn2＝1(mn<0)， 直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为ax22－by22＝1(a>0，
b>0)或λx2 －6－y2 λ＝1(0<λ<6)．
解 (1)法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)， 由于点 P3，145和 Q－136，5在双曲线上， 所以a29925a－62 －12622bb5522＝＝11，，解得ab22＝ ＝－ －196，(舍去)． 若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
【变式 2】 已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2， 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． 解 由x92－1y62 ＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
2.2.1 双曲线及其标准方程(2)(教师版)
高二数学选修1-1学案2.2.1 双曲线及其标准方程（2）学习目标：（1）进一步熟练双曲线的定义；（2） 熟练掌握双曲线的标准方程；（3）会根据已知条件求出双曲线的方程，会判断给定方程是椭圆还是双曲线. 学习重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程的应用． 学习难点：含参数的曲线方程的讨论.学习方法：直观发现，在与椭圆的类比中获得双曲线的知识. 学习过程：一、课前准备：1.填写下表，椭圆与双曲线的区别与联系（焦点在x 轴、y 轴的情况都有考虑）：2. 过双曲线221x y -=的焦点且垂直x 轴的弦的长度为 （ C ）A .1BC .2 D3. 2221y x -=的焦点为(0)2±，焦距是 .*4.说明下列方程各表示什么曲线：（14=；（25=；（36=.答：（1）因为26c =，24a =，所以22c a >，又是动点到两个定点的距离之差的绝对值，所以方程表示双曲线.（2）26c =，25a =，所以22c a >，又动点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为5，即动点到左焦点的距离大于到右焦点的距离，所以方程表示双曲线的右支. （3）26c =，26a =，所以22c a =，方程表示两条射线（都在x 轴上，分别是以(3,0)-为端点向左的射线和以(3,0)为端点向右的射线）.二、典型例题：【例1】已知(5,0),(5,0)B C -是ABC ∆的两个顶点，且3sin sin sin 5B C A -=，求顶点A的轨迹.【分析】用正弦定理将三角函数值的等式转化为边的等式. 【解析】在ABC ∆中，设外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin 2b B R=，sin 2c C R=，sin 2a A R=，所以，已知等式变为35b c a -=，因为||10a B C ==，所以上式变为6b c -=，即||||6A C A B -=.根据双曲线的定义知，点A 的轨迹是双曲线的左支，26a =，210c =，所以22216b c a =-=，所以双曲线的方程为221(3)916xyx -=<-.动动手：已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线1l 过点A ，直线2l 过点B ，若1l 、2l 的斜 率之积为34，求1l 、2l 的交点P 的轨迹方程. 【解析】设P 点坐标为(,)x y ，依题意，得1l 、2l 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-，（2x ≠±），于是3224yyx x ⋅=+-， 化简得22143y x-=（2x ≠±）.【例2】已知方程224()kx y k R +=∈，讨论k 取不同实数时方程所表示的曲线.【分析】这里讲的曲线包括前面所学的直线、圆、椭圆等；对k 的所有值进行讨论，做到不重不漏.【解析】当0k =时，方程表示直线20y -=或20y +=.当1k =时，方程表示圆224x y +=. 当0k >时，方程表示椭圆，2211xy k+=，当(0,1)k ∈，椭圆焦点在x 轴上，当(1,)k ∈+∞时，椭圆焦点在y 轴上.当0k <时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线.动动手：若1k >，则关于y x ,的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线为（ B ）A . 焦点在x 轴上的椭圆B . 焦点在y 轴上的双曲线C . 焦点在y 轴上的椭圆D . 焦点在x 轴上的双曲线【例3】如图，圆E ：22(2)4x y ++=，点(2,0)F ，动圆P 过点F ，且与圆E 内切，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程.【分析】设法证明||||P F P E -为常数.【解析】由已知，圆E 半径为2r =，设两圆内切于点M ，圆P 的半径为R ，则||||P F P M R ==，||2M E r ==，||||||2P E P M M E R =-=-，所以||||2P F P E -=，由双曲线的定义知，P 的轨迹为双曲线的左支， 因为1a =，2c =，所以b =所以，所求轨迹方程为221(1)3yx x -=≤.三、总结提升：1.含参数的双曲线方程的讨论，要以双曲线的标准方程为依据，在形如221y xm n+=的双曲线方程中，有0mn <.2. 在求例3这种类型的轨迹方程时，要注意双曲线的定义的使用；并把此类问题与椭圆中的同类型问题结合起来.四、反馈练习：1.下列方程可以表示双曲线的是 （ B ）A. 22218y x m+= B. 2214y x m += C. 22212||2y x m m += D. 221||2||y x m m += 2. 若方程22(2)kx k y k ++=表示双曲线，则k 的取值范围是 （ C ）A.2k >-B.2k <-C. 20k -<<D. 0k > 3.方程1cos sin 22=+ααyx表示焦点在y 轴上的双曲线，则α所在的象限是 （ D ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4. 分别过点(1,0)A -和(1,0)B 的两直线的斜率之积为1，则这两直线的交点P 的轨迹方程为 （ B ）A .221x y += B . 221x y -= C . 2212yx += D . 221y x -=5.相距1400m 的两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，建立适当坐标系，求出炮弹爆炸点所在的曲线方程.【解析】以两个哨所（设为A 、B ）的连线为x 轴，两个哨所连线的中点为原点，建立直角坐标系，设爆炸点为P ，由已知，可得||||||33401020P A P B -=⨯=，所以点P 的轨迹是双曲线，根据已知，700c =，510a =，所以222229900b c a =-=， 所以，所求轨迹方程为221260100229900xy-=.五、学后反思：。
中职数学教案：双曲线的标准方程(全2课时)
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 3.2.1双曲线的标准方程教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养。
重点求双曲线的标准方程难点双曲线标准方程的推导与化简教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？探究新知可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成。
(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；创设情景设置问题，帮助学生形成双曲线形状的直观感受。
通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件。
教学内容(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线。
(图中左边的曲线)拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2的距离之差的绝对值始终保特不变。
一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距。
以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。
设M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册2.2.1双曲线及其标准方程(带答案)
§2 双曲线2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练知识点一 双曲线的定义1.动点P 到点M (1，0)及点N (5，0)的距离之差为2a ，则当a ＝1和a ＝2时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线 2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 知识点二 双曲线的标准方程3.“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m －y 2m －1＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)； (2)焦点在y 轴上，且经过点(2，－5)，a ＝25 ；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，10 )；(4)经过点A (2，233)，B (3，－22 )；(5)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且经过点(32 ，2).知识点三 双曲线的定义及方程的应用5.若双曲线E ：x 29 －y 2160＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝15，则|PF 2|＝( )A ．9B ．21C ．9或21D ．186．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．207．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.关键能力综合练一、选择题1．已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．双曲线x 225 －y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5 ，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x22－y23＝1 D ．x23－y 22＝1 4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5 ，0)和(－5 ，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1C ．x24 －y 2＝1 D ．x 2－y24＝15．[易错题]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12二、填空题6．[双空题]若方程y 24 －x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是____________；若表示椭圆，则m 的取值范围是____________．7．已知双曲线与椭圆x 227 ＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.8．[探究题]已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点Q (0，23 )，P 是双曲线C右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为________.三、解答题9．在①m >0，且C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ；②C 的焦距为43 ；③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知双曲线C ：x 23m －y 2m＝1，________，求C 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．学科素养升级练1.[多选题]已知点P 在双曲线C ：x 216 －y 29＝1上，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 到x 轴的距离为203B ．|PF 1|＋|PF 2|＝503C ．△PF 1F 2为钝角三角形D ．∠F 1PF 2＝π32.[情境命题——生活情境]某地发生地震，为了援救灾民，救援员在如图所示的P 处收到一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程．2．1 双曲线及其标准方程必备知识基础练1．解析：由题意，知|MN |＝4，当a ＝1时，|PM |－|PN |＝2a ＝2<4，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝2时，|PM |－|PN |＝2a ＝4＝|MN |，点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C2．解析：由题意两定圆的圆心坐标分别为O 1(0，0)，O 2(4，0)，半径分别为1，2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则|CO 1|＝r ＋1，|CO 2|＝r ＋2，∴|CO 2|－|CO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案：C3．解析：若方程x 22－m －y 2m －1 ＝1表示双曲线，则(2－m )·(m －1)>0，解得1<m <2.当1<m <2时，可推出“方程x 22－m－y 2m －1 ＝1表示双曲线”，故“m >1且m ≠2”是“方程x 22－m－y 2m －1＝1表示双曲线”的必要不充分条件．答案：B4．解析：(1)∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0).由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4 ①.又∵点(2，3)在双曲线上， ∴22a 2 －32b2 ＝1 ②. 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0).由a ＝25 ，点(2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1， 解得b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝22 .设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)，由点(3，10 )在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(4)可设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0).因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233 ，B (3，－22 )在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 24＝1.(5)易知双曲线x 216 －y 24＝1的焦点在x 轴上，且c 21 ＝16＋4＝20，则待求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 22＝c 21＝20.设其标准方程为x 2a 22 －y 220－a 22＝1(a 22 <20) ①，因为点(32 ，2)在双曲线上，所以将(32 ，2)代入①中，得18a 22 －420－a 22＝1，得a 2＝12或a 2＝30(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x 212 －y 28＝1.5．解析：由于|PF 1|＝15<c ＋a ＝13＋3＝16，所以点P 在双曲线E 的左支上，所以由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，即|PF 2|－15＝6，故|PF 2|＝21.答案：B6．解析：由已知，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.因为|AB |＝4，所以|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线的定义，知2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.答案：B 7．解析：由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝22 ，a ＝b ＝2 .∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22 ，|PF 1|＝42 ，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝32＋8－162×42×22＝34 .答案：34关键能力综合练1．解析：因为|PM |－|PN |＝4＝|MN |，所以动点P 的轨迹是一条射线．故选C. 答案：C2．解析：因为a 2＝25，所以a ＝5.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点为P . 由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设|PF 1|＝12，所以|PF 1|－|PF 2|＝±10， 所以|PF 2|＝22或2.故选A. 答案：A3．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，因为c ＝5 ，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2 －y 25－a2 ＝1，因为线段PF 1的中点坐标为(0，2)，所以点P 的坐标为(5 ，4)，将P (5 ，4)代入双曲线方程，得5a 2 －165－a2 ＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B4．解析：由题可得⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，得(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又因为c ＝5 ，所以b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选C.答案：C5．解析：不妨在双曲线右支上取点P ，延长PF 2，F 1H ，交于点Q ，由角平分线性质可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |＝1.故选A.答案：A6．解析：若表示双曲线，则应有m ＋1>0，即m >－1；若表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ＋1≠－4，解得m <－1且m ≠－5.答案：(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)7．解析：椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝9，因为双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，所以该点的坐标为(15 ，4)或(－15 ，4)，故16a 2 －15b2 ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.答案：y 24－x 25＝18．解析：设双曲线的右焦点为F 2，如图，连接PF 2，QF 2.根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以|PF 1|＝|PF 2|＋2，所以|PF 1|＋|PQ |＝|PF 2|＋|PQ |＋2≥|QF 2|＋2，而Q (0，23 )，F 2(2，0)，所以|QF 2|＝22＋（23）2 ＝4，所以|PF 1|＋|PQ |的最小值为6.9．解析：选①：因为m >0，所以a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ， 则a ＝3m ，c ＝2m ，因为C 的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋23 ，所以3m ＋2m ＝(3 ＋2)m ＝3＋23 ，解得m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1.选②：若m >0，则a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝a 2＋b 2＝4m ，c ＝2m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4m ＝43 ，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，b 2＝－3m ，c 2＝a 2＋b 2＝－4m ，c ＝2－m ，因为C 的焦距为43 ，所以2c ＝4－m ＝43 ，m ＝－3，C 的方程为y 23－x 29＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 23－x 29＝1.选③：若m >0，则a 2＝3m ，a ＝3m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝23m ＝6，m ＝3，C 的方程为x 29－y 23＝1；若m <0，则a 2＝－m ，a ＝－m ，因为C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a ＝2－m ＝6，m ＝－9，C 的方程为y 29－x 227＝1，综上所述，C 的方程为x 29－y 23＝1或y 29－x 227＝1.学科素养升级练1．解析：因为在双曲线x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝16＋9 ＝5，因为S △PF 1F 2＝12·2c ·|y P |＝5|y P |＝20，所以|y P |＝4，所以P 到x 轴的距离为4，故A 错误；不妨取P (203 ，4)，又因为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则|PF 1|＝（203＋5）2＋16 ＝373，|PF 2|＝ （203－5）2＋16 ＝133 ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝503 ，故B 正确；因为kPF 2＝4－0203－5 ＝125>0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故C 正确；因为S △SS 1S 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2，即12 ×133 ×373 sin ∠F 1PF 2＝20，则sin ∠F 1PF 2＝360481 ，所以∠F 1PF 2≠π3，故D 错误．2．解析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近．依题意，知界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，因为|AB|＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，易知a＝25，c＝257，所以b2＝c2－a2＝3 750.故双曲线的标准方程为x2625－y23 750＝1.注意到点C的坐标为(257，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，0≤y≤60).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．1双曲线的标准方程
知能点全解：
知能点1：双曲线的定义
平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
特别提醒：
1、在此定义中“常数要大于0且小于12F F ”这一限制条件非常重要，不可去掉。
2、如果定义中的常数改为等于12F F ，此时动点的轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线（含端点）。
3、如果定义中的常数为零，此时动点的轨迹为线段12F F 的垂直平分线。
4、如果定义中的常数改为大于12F F ，此时动点的轨迹不存在。
5、若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支。
6、设(),M x y 为双曲线上的任意一点，若M 点在双曲线右支上，则()1
220MF MF a a -=>；
若M 点在双曲线左支上，则()1220MF MF a a -=->。
知能点2：双曲线的标准方程 （1）()22
2210,0x y a b a b
-=>>，焦点在x 轴上，焦点为(),0F c ±，焦距122F F c =； （2）()22
2210,0y x a b a b
-=>>，焦点在y 轴上，焦点为()0,F c ±，焦距122F F c = 特别提醒：
1、上述方程中，222c a b =+
2、标准方程中，若2x 项的系数为正⇔双曲线的焦点在x 轴上；若2y 项的系数为正⇔双曲线的焦点在y 轴上。
例1：已知点()1F 、)2F ，动点P 满足122PF PF -=。
当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是（ ）
A 、32
C D 、2 及时演练：
1、已知两点()()122,0,2,0F F -，与它们的距离的差是3的点M 的轨迹是（ ）
A 、线段12F F 的垂直平分线
B 、双曲线
C 、双曲线的一支
D 、两条射线
2、方程、22
152
x y m m -=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是 。
3、1k >，则关于x 、y 的方程()222
11k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A 、焦点在x 轴上的椭圆 B 、焦点在y 轴上的椭圆
C 、焦点在y 轴上的双曲线
D 、焦点在x 轴上的双曲线
4、已知两定点()()125,0,5,0F F -,则与两定点1
2,F F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程为 。
知能点3：双曲线的一般方程
我们把()2210Ax By A B +=<称为双曲线的一般方程。
例2：已知双曲线的图像经过()1,1M 、()2,5N -两点，求双曲线的标准方程。
知能点演练：
一、选择题
1、已知12,F F 为定点，)0(,2||||||21>=-a a PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）
A 、焦点为12,F F 的双曲线
B 、不存在
C 、以12,F F 为端点且方向相反的两条射线
D 、以上都有可能 2、在双曲线的标准方程中，已知6,8a b ==。
则其方程是（ ）
A 、1643622=-y x
B 、1366422=-y x
C 、1643622=-x y
D 、1643622=-y x 或164
362
2=-x y 3、已知方程1112
2=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A 、11k -<< B 、0k > C 、0k ≥ D 、1k >或1k <-
4、双曲线14122
2
22=--+m y m x 的焦距是 （ ）
A 、4
B 、
C 、8
D 、与m 有关
5、方程6)4()4(2222=++-+-y x y x ，化简结果是 （ ）
A 、17922=-y x
B 、()221397x y x -=≥
C 、()221397x y x -=≤-
D 、19
252
2=-y x 6、焦点分别是()()0,2,0,2-,且经过点()3,2P -的双曲线的标准方程是（ ）
A 、13
22=-y x B 、1322=-x y C 、1322=-x y D 、12
22
2=-y x 7、若P 是以12,F F 为焦点的双曲线19
252
2=-y x 上的一点，且112PF =，则2PF =（ ） A 、2或22 B 、3 C 、4 D 、5
8、在方程22mx my n -=中，若0mn <，则方程的曲线是（ ）
A 、焦点在x 轴上的椭圆
B 、焦点在x 轴上的双曲线
C 、焦点在y 轴上的椭圆
D 、焦点在y 轴上的双曲线
二、填空题 9、双曲线14
2
2=-y k x 的焦点坐标为 。
10、若方程1492
2=---k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 。
11、以双曲线15
32
2=-y x 的左焦点为圆心，且与直线x y =相切的圆的方程为 。
12、若椭圆14222=+m y x 与双曲线12
2
2=-y m x 有相同的焦点，则实数m 的值为 。
13、平面内到两个定点())0,2(,0,221F F -距离之差为4的动点轨迹方程是 。
14、设双曲线116
252
2=-y x 的焦点是12,F F ，直线l 过1F 且与双曲线的同一支交于,A B 两点，已知8AB =，则2ABF ∆的周长为 。
15、已知双曲线1449162
2=-y x 上一点到一个焦点距离是3，则到另一个焦点距离是 。
16、21,F F 是双曲线14491622=-y x 两个焦点，P 在双曲线上，
且32||||21=PF PF ，则=∠21PF F 。
三、解答题
17、求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①a =经过点()5,2A -，且焦点在x 轴上； ②过两定点15163,
,,543⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
18、双曲线2221kx ky -=的一个焦点是()0,4F ，求k 的值。
19、双曲线40025162
2=-y x 的焦点为21,F F ，弦AB 经过1F ，且两端点都在双曲线的左支上，若||2||||22AB BF AF =+，求||AB 的长。