三角形的有关概念
三角形基础概念
三角形基础概念1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类锐角三角形等腰三角行按角分类直角三角形按边分类钝角三角形3、三角形边的性质（1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
（2）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边（3）三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心（4）三角形具有稳定性（5）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
4、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）（1）三角形全等的判定公理及推论①三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
④有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边)⑤在直角三角形中，如果斜边及一直角边对应相等，则两个直角三角形全等（HL 或“斜边，直角边”）（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应角相等、对应边相等。
②全等三角形的对应边上的高对应相等。
③全等三角形的对应角平分线相等。
④全等三角形的对应中线相等。
⑤全等三角形面积相等。
⑥全等三角形周长相等。
5、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一个轴对称图形（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重和（即“三线合一”）（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个交所对的边也相等（简写为“等角对等边”）6、等边三角形（1）等边三角形的定义：。
三角形讲义
知识点一 三角形的有关概念三角形的定义：由 ①不在同一条直线上的②三条线段③首尾顺次相接（必须是封闭图形）所组成的图形叫做三角形。
三角形的边、角、顶点（相邻两边的公共点）三角形的表示方法三角形的分类：（1）按角分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧）（））（形一个内角是钝角的三角钝角三角形度的三角形都小于锐角三角形（三个内角斜三角形角形有一个内角是直角的三直角三角形90（2）按边分 三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）（两边相等的三角形底边和腰不等的三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形 例 下列关于三角形按边分类正确的是（ ）三角形的三边关系（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）应用1.给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；(两短边之和大于最长边）③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形（两长边之差小于最短边）2.已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
3.已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的范围：2a ＜L ＜2(a+b)。
4.证明线段之间的不等关系。
例 1 具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）A 、5，9，3B 、5，7，3C 、5，2，3D 、5，8，3例 2.若三线段a,b ，c 满足a ＞b ＞c ，若能构成一个三角形，则只需满足条件( )A.a+b ＞cB.b+c ＞aC.c+a ＞bD.b+c ≠a例 3 三角形的两边为3cm 和5cm ，则第三边x 的范围是_______例 4 如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为________例 5 长度分别为12cm ，10cm ，5cm ，4cm 的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 ★例 6 已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a>，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+22 D 、b a L b a 23+>>- ★例7 在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，且a>b>c ，若b=8，c=3，则a 的取值范围是（ ）A.5＜a ＜11B.8＜a ＜11C.3＜a ＜8D.5＜a ＜8★例8 若△ABC 的三边之长都是整数，周长等于12，则这样的三角形共有_____个。
三角形的基本概念和定义
三角形的基本概念和定义三角形是几何学中最基本的形状之一，其作为平面图形，由三条线段所构成。
本文将探讨三角形的基本概念和定义，其中包括三角形的构成要素、分类以及相关定理。
一、三角形的构成要素三角形由3条线段所构成，我们称之为边。
这3条边可以连接成一个封闭的图形，其中任意两条边的交点称为顶点。
顶点之间的线段称为角。
在三角形中，我们可以将边分为不同的角度，从而定义其性质。
其中，最长的一条边叫做底边，其他两条边叫做腿（legs）。
两条腿的末端构成顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
以下是常见的分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边的长度都相等，每个角都是60度。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，两个对应的角也相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角也都不相等。
2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角是90度。
根据两腿的长度关系，我们还可以分为等腿直角三角形和斜腿直角三角形。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：所有角都小于90度。
三、三角形的相关定理在三角形中，存在一些定理和性质，这些定理可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 三角形内角和定理：三角形的所有内角的和等于180度。
2. 三边定理（三角形的海伦公式）：设三角形的三边长分别为a、b、c，其半周长为s，则三角形的面积可以用海伦公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两个腿的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，顶角相等。
5. 等边三角形的性质：所有角都是60度，每个角的外角也是60度。
6. 同位角定理：当两条平行线被一条截线切割，所形成的内角和外角相等。
7. 外角定理：三角形的外角等于不相邻的内角之和。
初中三角形知识点
中考数学必备知识点——图形与几何知识点一：三角形1、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.2、组成三角形的元素：三条边和三个角3、三角形的分类⑴三角形按边的关系分类如下：⑵三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形.4、三角形的性质⑴三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.⑵三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于︒180.⑶三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于︒360.⑷三角形的内外角定理：①互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑸三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角,等边对等角,小边对小角；反之,大角对大边,等角对等边,小角对小边也成立.5、三角形的面积：三角形的面积1=⨯底⨯高2知识点二：等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质定理及推论：性质定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.3、三角形中的中位线⑴三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;⑶三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；⑷常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半;结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等; 知识点三：直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余；2、在直角三角形中,30︒角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4、直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、常用关系式：由三角形面积公式可得：AC BC CD AB ⋅=⋅ ★★★6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB︒⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩知识点四：全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等；3、全等三角形的判定定理：⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAS ”；⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”；★★★直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”4、全等变换：只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换； 全等变换包括一下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换； ②对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换；③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换；知识点五：相似三角形1、比例线段的概念：对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a c b d=或:=a b c d :那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．注意：⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式． ⑶比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：ad c b =． 2、比例的性质基本性质：1bc ad d c b a =⇔=::；2b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 反比性质把比的前项、后项交换：cd a b d c ba =⇒=．合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc ba b a cc d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d bm e c a ,那么am e c a =++++ ．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.三角形中位线定理的逆定理推论2：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.梯形中位线定理的逆定理平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例． 推论：1平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例．2平行于三角形一边且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边． 4、相似三角形⑴相似三角形的定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.⑵相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：数学符号语言：BC DE // ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等,两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例,两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. ⑶相似三角形的性质定理：1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 2相似三角形的周长比等于相似比；3相似三角形的面积比等于相似比的平方；4相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.⑷相似三角形的等价关系1反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．2对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆．3传递性：若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆． ★★★相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第三边.与三角形的中位线定理类似定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型ADE ∽△ABC如下左图,已知1=B ∠∠,则由公共角A ∠得,△ADC ∽△ACB ；如下右图,已知B D ∠=∠,则由对顶角12∠=∠得,△ADE ∽△ABC③旋转型：已知BAD CAE ∠=∠,B D ∠=∠,则△ADE ∽△ABC ,下图为常见的基本图形．④母子型：已知90ACB AB CD ︒∠=⊥，,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出构造出上述基本图形．知识点六：锐角三角函数的概念建立在直角三角形的基础之上 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①sin A a A c ∠==的对边斜边；②cos A bA c ∠==的邻边斜边 ③tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边；④cot A bA A a∠==∠的邻边的对边2、一些特殊角的三角函数值 三角函数30°45°60° 90°111 不存在不存在13、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=14弦切关系：tanA=AAcos sin。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有许多重要的概念和性质，本文将详细介绍这些内容。
一、概念1. 边：三角形有三条边，分别连接三个顶点。
2. 顶点：三角形有三个顶点，每个顶点是两条边的交点。
3. 角：三角形有三个角，分别由两条边组成，角的大小可以通过度数或弧度来表示。
4. 顶角：三角形的顶点所对应的角叫做顶角。
5. 底边：底边是三角形的一个边，另外两边的起点和终点都在底边上。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和等于180度。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的度数之和等于360度。
3. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边的长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
5. 直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形中一边的长度可以通过勾股定理计算。
6. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形。
7. 钝角三角形：如果一个三角形的一个内角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
8. 等腰直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，并且另外两条边的长度相等，则这个三角形是等腰直角三角形。
9. 角平分线：三角形的内角平分线将一个角分为两个相等的角。
每个内角都有一个对应的内角平分线。
10. 中线：三角形的三条中线将三角形分为三个相等的小三角形。
每条中线都通过三角形的一个顶点和对边的中点。
11. 高线：三角形的三条高线分别从一个顶点垂直向对边，与对边相交于一个点。
三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
12. 外心：外接圆是一个三角形的三条边的延长线所确定的唯一圆。
这个圆的圆心叫做三角形的外心。
13. 内心：内切圆是一个三角形的三条边的内部所确定的唯一圆。
三角形的概念及边角关系
三角形的概念及边角关系一、知识梳理（一）三角形的基本概念及性质：1．三角形的定义① 边② 顶点③ 角④ 外角2．三角形中的几条主要线段：① 三角形的角平分线；② 三角形的中线；③ 三角形的高线3．三角形的主要性质：① 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．180② 三角形的三个内角之和等于③ 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角和．④ 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．⑤ 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．（二）三角形的分类：二、典例剖析例1. △ABC中，AB＝5，BC＝7，则AC的取值范围是____________________．变式1.有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组____个三角形．变式2.若等腰三角形，一边长为4 cm，另一边为9 cm，则三角形的周长是 _______ cm．变式3.AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是 __ 。
变式4. 等腰三角形的一边长是8 cm，周长是18 cm，则等腰三角形的腰长是 cm.例2. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是______三角形．变式1. 如图，AD、BC相交于O点，AB∥CD，∠B＝30º，∠AOB＝100°，则∠ADE＝__________．变式2. 如图，已知∠1＝20º，∠2＝25º，∠A＝36°，则∠BDC＝______．变式3.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C，满足∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角45°B．一定有一个内角80°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形ABDCE例3. 下列结论正确的是（ ）A. 三角形的外角一定大于内角 B ． 三角形的三条高线都在三角形的内部 C. 三角形任何两边之和不小于第三边Ｄ. 三角形的内角平分线与相邻外角的平分线互相垂直变式1.三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．不确定变式2. 若a ，b ，c 为△ABC 的三边，则代数式 (a －b ＋c)(a －b －c) 的值为（ ）A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．无法确定变式3. 在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24例4. 在△ABC 中,∠A=50°,高BE 与,角平分线AD 所在的直线交于点O,求∠BO D 的度数.变式1. （山西中考题） 如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠BAC 的平分线， 且∠B=35˚，∠C=65˚，求∠DAE 的度数。
三角形地三边关系
一、三角形的有关概念 1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
2、有关概念及其表示方法如图所示 线段AB ，BC ，CA 是三角形的边。
点A,B,C 是三角形的顶点。
C B A ∠∠∠,,是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
顶点是A,B,C 的三角形，记作△ABC 。
读作“三角形ABC ”。
△ABC 的三边，有时也用a,b,c 来表示。
如图所示。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.。
① 三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
直角三角形两个锐角互余。
斜三角形2、按边分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
即底边和腰相等的等腰三角形。
按边分类: 不等边三角形等腰三角形三、三角形的三边关系对任意一个△ABC ，如果把其中任意两个顶点（例如B ，C ）看成定点，由“两点的所有连线中，线段最短“可得AB+AC ＞BC ① 同理有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③由式子①②③我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边. 注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
三角形概念大全
三角形概念大全三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个顶点组成。
在这篇文章中，我们将详细介绍三角形的概念、性质、分类以及一些与三角形相关的重要定理和公式。
1. 三角形的基本概念三角形是由三条线段（边）和三个点（顶点）组成的多边形。
其中，边是连接两个顶点的线段，而顶点是多边形的拐角处。
三角形中的三个顶点用大写字母A、B、C表示，对应的边用小写字母a、b、c表示。
2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A +∠B + ∠C = 180°。
（2）外角和定理：三角形的一个内角和其相邻的两个外角之和等于360度。
即∠A + ∠D + ∠E = 360°。
（3）角平分线定理：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三角形的各边的距离相等。
（4）中线定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心，重心到三角形的各顶点的距离相等。
3. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种类型：（1）按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。
b. 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
（2）按角度分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
（3）综合分类：a. 等腰直角三角形：一条等边与一个直角。
b. 等边锐角三角形：三个等边均为锐角。
c. 正三角形：既是等边三角形又是等腰三角形同时也是锐角三角形。
4. 三角形的重要定理和公式（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
a² + b² = c²（c为斜边）（2）正弦定理：三角形中，边与其对应的正弦值成比例。
a/sinA = b/sinB = c/sinC（3）余弦定理：三角形中，边与其余弦值成反比。
a² = b² + c² - 2bc*cosA （a为边A对应的边长，A为角A对应的内角，b和c同理）（4）海伦公式：已知三角形的三边长度，可以求出三角形的面积。
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三角形的有关概念
◆ 课前热身
1．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是 ( ) A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
2.．（上海市闸北区模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长是___________．
3.（北京东城·模拟）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30︒，∠2=50︒，则∠3= ．
4.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ） A ．32.5° B ．57.5°
C ．65°或57.5°
D ．32.5°或57.5°
【参考答案】 1. B 2. 125
3.0
20 4. D
◆考点聚焦 知识点:
三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 大纲要求
1． 了解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等
概念。
2． 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外
角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；三角形中位线的性质. 考查重点与常见题型
三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题； ◆备考兵法
第3题
3
2
1 C
B
A
M
N
第2题
1．在运用三角形内、外角和定理时，要注意运用方程思想、化归思想等． 2．熟练运用不等式（组）的知识和三角形三边的关系，•解决已知三角形的两边的长度，确定第三边上中线的取值范围或求周长；在求第三边上中线的取值范围时，要注意通过旋转把AB ，AC 与AM 转化到一个三角形中来解决．如：△ABC 中，•AB=6，AC=4，则BC 边上的中线AM 的取值范围为1<AM<5．
3．运用三角形三边的不等关系解决问题时，要分类讨论． ◆考点链接
一、三角形的分类：
1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质：
1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段：
1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) ◆典例精析
例1（陕西太原）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．5.5
【解析】本题考查三角形三边关系、中位线定理，三角形的两边分别为3和5，所以第三边一定大于2小于8，连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长等于原三角形周长的一半，所以一定大于5小于8，故选D ． 【答案】D
例2（湖南怀化）如图，在Rt ABC △中，
90=∠B ，
ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ． ED
已知
10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）
A
D
B
A ． 30
B ．
40
C ． 50
D ．
60
【解析】设C ∠的度数为x 度，因为ED 是AC 的垂直平分线，
所以EA=EC ，故有∠C=∠CAE=x .在在Rt ABC △中，
90=∠B ，所以∠C+∠BAC=90°，即x +x +10°=90°，解之得x =40，
故选B. 【答案】B
例3（山东济宁）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．
【解析】仔细观察图形，不难得出以下规律：
第1个 故应填121. 【答案】121 ◆迎考精炼 一、选择题
1. (浙江义乌)如图，在△ABC 中，90C ∠=。
，EF//AB,150∠=。
,则B ∠的度数为 （ ） A ．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
第1个第2个
第3个
2.（年山东济宁）如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠
ACD 等于 （ ）
A. 100°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
3.（黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ ） A ．5米
B ．10米
C ． 15米
D ．20米
4.（广东肇庆）如图，Rt ABC △中， 90ACB ∠=°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若
55ACD ∠=°，则∠B 的度数是（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55° D．65°
5.（广西柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3 个
D ．4个
6.（湖南长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．13cm 7.（内蒙古呼和浩特）已知ABC △的一个外角为50°则ABC △一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形或锐角三角形
8.（台湾）若 ABC 中，∠B 为钝角，且AB =8，BC =6，则下列何者可能为AC 之长度？
A B
D
A
B
E
C
D
B
A
（ ）
A ．5
B ． 8
C ．11
D ．14
9.（重庆）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）
A ．22n +
B ．44n +
C ．44n -
D ．4n
10.（浙江温州）下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A ．1cm ，2cm ，3．5cm B ．4cm ，5cm ，9cm C ．5cm ，8cm ，15cm D ．6cm ，8cm ，9cm 二、填空题
1. (四川内江)如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80O
，则∠B=_____________。
2.（湖南郴州）如图，桌面上平放着一块三
角板和一
把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1Ð与2Ð的和总是保持不变，那么1Ð与2Ð的和是_______度．
3.（广西梧州）如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝40°，延长CB 到D ，则∠ABD ＝ 度．
……
第1个 第2个
第3个
A B
G F
C
D
E
1
2
2
1
4.（福建龙岩）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若△ABC 的周长
为12cm ，则△DEF 的周长是 cm ．
【参考答案】 一、选择题
1.D
2.C
3.A
4.A
5.C
6.C
7.B
8. C
9.D 10.D 二、填空题
1.140°
2.90
3.100
4.6
A
B
C D。