高考数学真题总结——等差数列全部题型
2020年全国各地高中数学真题分类汇编—数列(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
考点35等差数列(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)
考点35等差数列（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系【知识点】1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝.(2)前n项和公式：S n＝或S n＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m ，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)等差数列{a n}的前n项和为S n，{S n n}为等差数列．常用结论1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A【核心题型】题型一 等差数列基本量的运算(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d ．【例题1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列{}n a 满足2314a a +=，且428a a -=，则首项1a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项16a =-的等差数列{}n a 中，2936a a a =，若该数列的前n 项和0n S =，则n 等于（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，48S =，则5a =．【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知315S =，535S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .题型二 等差数列的判定与证明判断数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n 项和公式法．【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若1143,1n n a a n a ++=+=，则10S =（ ）A ．110B ．115C ．120D ．125【变式1】（2024·辽宁·一模）已知数列{}n a 满足112n n a a n ++=+，则“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是（ ）A ．21a =B ．252a =C ．22a =D ．23a =【变式2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列{}n a 中，111,a a +ÎN ，数列{}n a 的前n 和为n S ，n S n ìüíýîþ为等差数列，1477S =，则100S =．【变式3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*1111,212n n n a a a a n ++=-=ÎN .(1)证明：数列11n a ìüí-îþ为等差数列，并求n a ；(2)令11n nn n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .题型三 等差数列的性质命题点1 等差数列项的性质等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合【例题3】（2024·山西运城·三模）已知数列{}n a 是等差数列，35122a a -=，则5108a a a +-=（ ）A ．4B ．2-C ．4-D ．8-【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列{}n a 中，若25192228a a a a +++=，则12a =（ ）A ．45B ．6C ．7D ．8【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则567a a a ++=．【变式3】（2023·陕西·模拟预测）已知等差数列{}n a 中，3623a a +=，则5a = .命题点2 等差数列前n 项和的性质等差数列前n 项和的常用的性质是：在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；S 2n －1＝(2n －1)a n .【例题4】（2024·山东日照·三模）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若32b =，76b =，则9S =（ ）A ．36-B ．36C ．18-D ．18【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()824k S a a =+，则k =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．9【变式2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，76a =，则13S = .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列{}n a 满足79111264,2a a a a =+是9a 与13a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前15项之和为60，则313a a +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．102．（2022高三上·河南·专题练习）若数列{}n na 的前n 项和2(1)(21)n T n n n =++，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．211n n+B ．212322n n +C ．266n n +D ．2612n n-+3．（2024·北京·模拟预测）记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若51162a a +=，且13351S =，则该数列的公差d 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2024·湖北·模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2463a a a ++=-，812S =-，则数列{}n a 的首项1a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21N n n S S a a n ==+Î，则（ ）A ．21n a n =-B ．2n S n =C ．数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和为221n n +D ．数列{}2nn a +的前n 项和为1222++-n n 6．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，742S =，则下列说法正确的是（ ）A ．54a =B ．21522n S n n =+C ．n a n ìüíýîþ为递减数列D ．11{}n n a a +的前5项和为421三、填空题7．（2024·湖南邵阳·三模）已知数列{}n a 与2n a n ìüíýîþ均为等差数列()*n ÎN ，且21a =，则2024a = .8．（宁夏石嘴山·一模）已知数列{}n a 满足11a =，()22221nn n S a n S =³-，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则2016S = .9．（2024·湖南长沙·三模）已知数列{}n a 为正项等比数列，且233a a -=，则1a 的最小值为 .四、解答题10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列{}n a 的公差0d >，2a 与8a 的等差中项为5，且4624a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2,1,n n n n a n b n a a+ìï=íïî为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前20项和20T .11．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有()2n n ³个服务区.现有一辆车从第n 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第(1)k k n <£个服务区开出后，将等可能地停靠在第11k ~-个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量n X 为这辆车全程一共进入的服务区总数.(1)求3X 的分布列及期望；(2)证明：()()11n n E X E X +ìüïïíý-ïïîþ是等差数列.【综合提升练】一、单选题1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列{}n a 满足141n n a a n ++=+，则1a =（ ）A ．3B ．32C ．1D ．122．（2022高三上·河南·专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13n n n S S a +=++，若39a =，则20=S （ ）A ．520B ．530C ．620D ．6303．（2024·四川雅安·三模）在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则8a =（ ）A ．21B ．24C ．27D ．294．（2024·广东茂名·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5425a a =+，则11S 的值是（ ）A ．11B ．50C ．55D ．605．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（ ）A ．25B ．27C ．30D ．356．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()*2210n n a a n =+ÎN ，136S S =则d 的值为（ ）A ．1B ．2019C ．2021D ．-17．（2024·江西赣州·二模）在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m -+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ）A ．48B ．24C ．12D ．88．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+³Î=N ，则n a =（ ）A ．22n -B ．22n n-C ．21n -D ．2(21)n -二、多选题9．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为25,4,35n S a S ==，则（ ）A ．n na 的最小值为1B ．n nS 的最小值为1C ．n S n ìüíýîþ为递增数列D ．2n a n ìüíýîþ为递减数列10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列{}n a 满足11312,1n n n a a a a +-==+，则下列说法正确的是（ ）A ．353=a B ．数列{}n a 为递减数列C ．数列11n a ìüíý-îþ为等差数列D ．31n n a n +=+11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*1,n n a a f n n ++=ÎN ，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()2f n n =，则存在1a ，使得{}n a 是等差数列B ．若()2f n n =，则存在1a ，使得{}n a 是等比数列C ．若()0f n =，则存在1a ，使得{}n a 是等差数列D ．若()0f n =，则存在1a ，使得{}n a 是等比数列三、填空题12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2856S =，则121314151617a a a a a a +++++=.13．（2024·河南开封·三模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若18a =，460a a +=，则5S = ．14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增，若55a =，则公差d 的取值范围为 ．四、解答题15．（2024·四川·模拟预测）已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a ++=．(1)证明数列11n a ìüíý-îþ是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足，()()111n n n b a a +=--，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（2023·江西·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36933a a a ++=，749=S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2n n n b a =×，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（2024·四川成都·模拟预测）已知等差数列{}n a 的首项10a ¹，公差为(0)n d d S ¹，为{}n a 的前n 项和，n n S a ìüíýîþ为等差数列．(1)求1a 与d 的关系；(2)若11n a T =，为数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和，求使得89n T <成立的n 的最大值．18．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S12n a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2nn n a b S n=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2n n n n S b n S n p ìïï=í-ï×ïî为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河北保定·三模）已知在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d >.若数列24n a n ìü-íýîþ也是等差数列，则d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·广东广州·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若88S =，则63a a +=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2024·重庆·三模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()723570,80S a a a =+=，则公差d =（ ）A ．12B ．2C ．3D ．44．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且1523a a a a =，则10S =（ ）A ．70B ．65C ．55D ．50二、多选题5．（2024·辽宁·一模）等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a >C ．若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=D ．若810a S =，则90S >，100S <6．（2024·全国·一模）已知数列{}n a ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，L ，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）A ．2021a =B ．2(1)222n n a n n +=-+C ．存在正整数m ，使得m a ，1m a +，2m a +成等比数列D ．有且仅有3个不同的正整数m ，使得12156m m m a a a ++++=三、填空题7．（2024·四川凉山·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=，4950a a =，则6S = ．8．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列{}n a 的前n 项和为352,7,7n S a S a ==，则6a = ．9．（2023·福建·模拟预测）已知数列{}n a 的首项不为零，满足321n n n n a a a a +++-=-，313a a =，则12023a a = .四、解答题10．（2022·福建厦门·模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S £.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .11．（2024·广东·模拟预测）已知数列{}n a 与{}n b 为等差数列，23a b =，112a b =，{}n a 前n 项和为2192n n +．(1)求出{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列{}n c ，使得对于任意N n +Î，n c 都能满足22n n n nn n n n n a b a b a b a b c +--++-££．若存在，求出所有上述的{}n c ；若不存在，请说明理由．。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
理科数学高考真题分类汇编专题6 等差数列答案
因为an 是一个递增数列，且 a5 = 0 ，
所以 S n 的最小值为 S 4
或S5
，
S4
=
S5
=
( −4)
4+
431= 2
−10 .
1．B【解析】通解 设等差数列{ an} 的公差为 d ，∵ 3S3 = S2 + S4 ．
∴ 3(3a1
+
3 2 2
d
)=
2a1
+d
+
4a1
+
4 3 d 2
，解得
21．
2n n +1
【解析】设等差数列的首项为
a1 ，公差为
d
，则
a1
+2d
=3
4a1
+
4
2
3
d
=
，
10
解得a1 = 1 ，d = 1 ，
∴ Sn
=
na1
+ n(n −1) d 2
=
n(n +1) 2
1
，所以
Sn
=
2 k(k + 1)
=
2(1 k
−
1 )， k +1
n
所以
1 = 2[(1 − 1) +( 1 − 1) + +( 1 −
d
=
−3 2
a1 ，
∵ a1 = 2 ，∴ d = −3，
∴ a5 = a1 + 4d = 2 + 4 (−3) = −10 ．故选 B．
优解 设等差数列{ an} 的公差为 d ，∵ 3S3 = S2 + S4 ，∴ 3S3 = S3 − a3 + S3 + a4 ，
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编10-等差数列(含解析)
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编10-等差数列（含解析）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2022·北京·统考高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·北京·统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．1605．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块6．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =7．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-8．（2018·全国·高考真题）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．12二、填空题9．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．10．（2020·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．11．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．12．（2019·全国·统考高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 13．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.三、解答题14．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 15．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．16．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．17．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．18．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．19．（2021·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．20．（2021·全国·统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．21．（2021·全国·统考高考真题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 22．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．23．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.24．（2021·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.25．（2021·天津·统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列； （ii）证明)*nk n N =∈ 26．（2020·天津·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．27．（2020·山东·统考高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.28．（2018·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．29．（2019·全国·高考真题）已知数列{an }和{bn }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{an +bn }是等比数列，{an –bn }是等差数列； （2）求{an }和{bn }的通项公式.30．（2019·全国·高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．31．（2019·全国·高考真题）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.参考答案：1．D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 2．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C. 3．C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值．【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ． 4．C【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ， 因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--， 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=， 又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C. 5．C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．D【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确． 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 7．A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 8．B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果. 9．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 10．25【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11．232n n -【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 12．4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 13．100【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 14．(1)()12n n n a +=(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23nn n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【详解】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15．(1)证明见解析； (2)78-．【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．16．(1)证明见解析； (2)9．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． （2）由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．17．(1)235(N )2n n nS n *-=∈(2)12d <≤【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围. 【详解】（1）因为42312601S a a a -+==-，， 所以()()46211260d d d -+--+-++=， 所以230d d -=，又1d >， 所以3d =， 所以34n a n =-， 所以()213522n na a n n n S +-==，（2）因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列， 所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d > 所以12d <≤18．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)n k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk kk k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑124nk k k ==⋅∑，设124nk n k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=， 所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 19．（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b -=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b+=，得22=-nn nS b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n nS b+=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；20．(1)26n a n =-；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 21．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 22．证明过程见解析【分析】选①②作条件证明③,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②选②③作条件证明①an b +，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a为等差数列； 当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数1d的通项公式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.23．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===， 所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ． 所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 24．证明见解析.【分析】的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -=()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∴{}n a 是等差数列.【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.25．（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==， 设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =错位相减法即可得证. 26．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 27．140里.【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.28．（1）29n a n =-；（2）2=8n S n n -，最小值为–16．【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得n S ，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列{}n a 的公差为d ，由315S =-得，()3237152d ⨯⨯-+=-，解得：=2d ，所以29n a n =-．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列{}n a 通项公式为=+n a kn b ，易得+=7k b -，由315S =-，即2315a =-，即25k b +=-，解得：=2,=9k b -，所以29n a n =-．（2）[方法1]：邻项变号法 由1(1)=+2n n n d S na -可得2=8n S n n -．当0n a <，即29<0n -，解得14n ≤≤，所以n S 的最小值为41=4+6=16S a d -， 所以n S 的最小值为16-． [方法2]：函数法 由题意知2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2=8n S n n -()2416n =--， 所以n S 的最小值为24=44?8=16S --，所以n S 的最小值为16-．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再根据二次函数性质求最值． 29．（1）见解析；（2）1122nna n，1122nnb n．【分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；。
数列精华题型归纳(含详解)
,.数列精华题型归纳一、等差数列的定义与性质定义：为常数，a a d d a a n dnn n 111()等差中项：，，成等差数列x A y Axy2前项和n S a a n na n n dnn 11212性质：是等差数列a n （）若，则；1mnpq a a a a m n p q （）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b nn n S S S S S n nn n n ，，……仍为等差数列；232（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m mm m（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S anbn a b n n n 0的二次函数）S S anbn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a da a S n n nn 110000当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n nn 110000如：等差数列，，，，则a S a a a S nn n n nn1831123,.（由，∴a a a a a n nnnn12113331又·，∴S a a a a 31322233113∴·S a a n a a nn nn n 12122131218n 27）二、等比数列的定义与性质定义：（为常数，），a a q q q a a qn nnn 1110等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy2前项和：（要注意）n S na qa q qqnn111111()()!性质：是等比数列a n （）若，则··1m n p q a a a a m n p q（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n 121113、求差（商）法如：满足……a a a a nn nn 121212251122解：na a 1122151411时，，∴na a a nn n2121212215212211时，……12122得：nna ，∴a nn 21，∴a n nnn 141221()(),.练习、数列满足，，求a S S a a a n nnn n 111534（注意到代入得：a S S S S nnn n n1114又，∴是等比数列，S S S n nn 144na S S nnnn23411时，……·4、叠乘法例如：数列中，，，求a a a a n n a n n n n1131解：a a a a a a n na a nn n n 213211122311·……·……，∴又，∴a a nn1335、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a nnn 110()na a f a a f a a f n nn22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n 123()()()……∴……a a f f f n n23()()()练习、数列，，，求a a a a n a n nn nn111132（）a nn12316、等比型递推公式a ca d c d cc d nn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设a xc a xnn1a ca c xnn11,.令，∴()c xd xd c11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n111∴·a d c a d ccnn 1111∴a a d ccd cnn 1111练习、数列满足，，求a a a a a n nnn11934（）a nn 843117、倒数法例如：，，求a a a a a nnn n 11122，由已知得：1221211a a a a nn nn∴11121a a n n ，111121a a n 为等差数列，，公差为11112121a nn n·，∴a n n21三、求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
历年高考数学真题汇编专题13 等差、等比数列的应用(解析版)
历年高考数学真题汇编专题13 等差、等比数列的应用1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则（ ） A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得12a ±=，10≤时，即90b -…时，总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3、【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=.解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算． 4、【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 5、【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 6、【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．n 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7、【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.8、【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．n 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．一、等差数列1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形： （1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *∀≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+⇔+=+ 4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=⋅+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
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高考数学真题总结——等差数列全部题型一、基本公式1. （2018北京9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．2. （2016新课标一3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．973. （2017新课标一4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．84. （2018上海6）记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．5. （2019新课标一9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5,S a ==则（ ）A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n n - 6. （2019新课标三14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若375,13a a ==，则10S =_________．7. （2009全国二14）设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若535,a a =则95S S = ．8. （2004福建5）设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．129. （2009辽宁14）等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且53655,S S -=则4a =_________． 10. （2019江苏8）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27,a a a S +==则8S 的值是_________．11. （2006江西3）在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若()21102n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 12. （2009海南8）等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知2110,m m m a a a -++-=2138m S -=，则m =（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．913. （2013新课标一7）设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614. （2004全国三19）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且232429,4,S S S S ==则数列{}n a 的通项公式为_________．15. （2006山东14）设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 414,S =10730,S S -=则9S =_________．16. （2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. （2004全国三3）设数列{}n a 是等差数列，286,6,a a =-=n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S = 18. （2019新课标一18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知95.S a =-（1）若34,a =求{}n a 的通项公式；（2）若10,a >求使得n n S a ≥的n 的取值范围.19. （2018北京15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2.a a a =+=（1）求{}n a 的通项公式； （2）求12.n aaae e e ++⋅⋅⋅+ 20.二、等差数列的中项性质1．（2008海南13）已知{}n a 为等差数列，38622,7,a a a +==则5a =________． 2．（2011重庆11）在等差数列{}n a 中，3737,a a +=则2468a a a a +++=________. 3．（2013广东12）在等差数列{}n a 中，已知3810,a a +=则573a a +=________. 4．（2015新课标二5）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115．（2010全国二6）如果等差数列{}n a 中，34512,a a a ++=那么127a a a ++⋅⋅⋅+=A ．14B ．21C ．28D ．35 6．（2009全国一14）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若972,S =则249a a a ++=_________.7．（2007辽宁5）设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 369,36,S S ==则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．278．（2004全国四6）等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列前20项和等于（ ）A ．160B ．180C ．200D ．2209． （2006全国一10）已知{a n }是公差为正数的等差数列，12312315,80,a a a a a a ++==则111213a a a ++=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）7510．（2013新课标一7）设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6三、等差数列的函数性质1． （2019北京10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若253,10,a S =-=-则5a =_________，n S 的最小值为_________．2． （2018新课标二17）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知137,15,a S =-=-（1）求{}n a 的通项公式； （2）求,n S 并求n S 的最小值。
3．（2010新课标17）设等差数列{}n a 满足3105,9.a a ==-（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
4．（2014北京12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．5．（2014江西13）等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．6．（2013辽宁4）下面是关于公差的等差数列{}n a 的四个命题：其中的真命题为A ．B ．C ．D ． 7．（2014辽宁9）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d < 8．（2012浙江7）设n S 是公差为()0d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）（A ）若0,d <则数列{}n S 有最大项0d >{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；12,p p 34,p p 23,p p 14,p p（B ）若数列{}n S 有最大项，则0d <（C ）若数列{}n S 是递增数列，则对任意,n N +∈均有0.n S > （D ）若对任意,n N +∈均有0,n S >则数列n S 是递增数列。
四、等差数列综合问题9．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 和n S ，公差0d ≠，11a d≤.记12b S =， 1222n n n b S S ++=-，,n N *∈ 下列等式不可能成立的是（ ）（A ）4262a a a =+ （B ）4262b b b =+ （C ）2428a a a = （D ）2428b b b =10．（2004重庆）若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,0,a a a a a >+>⋅<则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）（A ）4005 （B ）4006 （C ）4007 （D ）400811．（早期全国28）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3121312,0,0.a S S =><（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1212,,S S S ⋅⋅⋅中哪一个值最大，并说明理由.12．（2008四川）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,5,S S ≥≤则4a 的最大值为_________．13．（2007湖北8）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745,3n n A n B n +=+则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614．（2013新课标二16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____. 15．{}n a n n S 100S =1525S =n nS。