05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式(供参考)
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的弯曲正应力公式
梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说梁是啥吧。
想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。
梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。
那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。
公式是：σ = My / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。
咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。
先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。
比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。
再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。
中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。
比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。
而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。
惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。
比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。
他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。
在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。
比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。
又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。
总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。
工程应力应变计算公式
工程应力应变计算公式在咱们的工程世界里，应力应变可是非常重要的概念呢！要是不搞清楚它们，那好多工程问题都会让咱摸不着头脑。
先来说说应力，应力简单理解就是单位面积上所受到的力。
比如说，一根杆子受到拉力，那在杆子横截面上每一小块面积所承受的力就是应力啦。
应力的计算公式是σ = F / A ，这里的σ 就是应力，F 是外力，A 是受力的面积。
应变呢，就是物体在受到外力作用时发生的相对变形。
应变的计算公式有好几种，比如线应变ε = ΔL / L ，这里的ΔL 是长度的变化量，L 是原来的长度。
给您讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建钢结构。
其中有一根钢梁，看着挺结实，但是工程师却一脸严肃地在计算着什么。
我好奇凑过去一问，原来他正在根据钢梁所承受的力，用应力应变计算公式来判断这根钢梁是否能够安全地承受整个建筑的重量。
我就站在旁边看着他，只见他拿着笔在纸上写写画画，嘴里还念念有词：“先算受力面积，再算外力大小，然后代入应力公式……”不一会儿，他得出了结果，紧皱的眉头终于舒展开来，说：“没问题，这钢梁能扛得住！”那一刻，我深深地感受到，这些看似枯燥的公式，在实际工程中那可是起着至关重要的作用啊。
再说说工程应力应变曲线，这玩意儿能反映材料在受力过程中的性能变化。
通过它，我们可以了解材料是硬还是软，是脆还是韧。
在实际工程应用中，比如制造汽车零件，就得考虑材料的应力应变特性。
要是材料太脆，稍微一受力就断了，那可不行；要是太软，零件容易变形，也会影响汽车的性能和安全。
还有在桥梁建设中，工程师们得精确计算桥梁各个部位的应力应变，确保桥梁在各种荷载下都能稳稳当当的。
要是计算不准确，那后果不堪设想。
总之，工程应力应变计算公式虽然看起来有点复杂，但却是工程领域中不可或缺的工具。
只有把这些公式掌握好，运用好，我们才能建造出更安全、更可靠的工程结构。
就像那次在建筑工地看到的一样，一个小小的计算，关乎着整个工程的成败和大家的安全。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
06 梁的应力和变形
19
3 弯曲强度条件——判断破坏
2.
切应力强度条件： 最大切应力
在中和轴位置； 正应力为零； 纯剪切应力状态；
max
max
VmaxS z max I zd
20
例 外伸梁 P＝20kN A q=10kN/m
第七章 梁的应力和变形
1
第4章是梁与外力的关系； 本章是关于梁强度（应力）； 外力使梁内产生内力（弯矩、剪力）； 内力在梁截面上产生应力（集度）；
拉（压）轴力产生拉（压）应力；
应力与梁自身强度比较，判断梁是否
会破坏；
2
弯矩产生弯曲正应力；
M
剪力产生剪切应力； 应力只有正应力和剪
Z
中性轴
中性层
y 中性层 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长， 必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维 层称为中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形 心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯 曲变形时，各横截面绕中性轴转动。
（3）计算危险点应力
拉应力
校核强度
a
e
压应力
M B y2 a Iz 30MPa（拉）
M B y1 b Iz
压应力 B截面
b
d
拉应力
D截面
最大压应力：
70 MPa （压） c max b 70 MPa [ c ] M d y1 最大拉应力： d Iz
1.2 弯曲正应力公式
1. 2. 3.
几何特征：应变问题 物理特征：胡克定律 力学特征：截面内力平衡
梁变形与梁应力部分小结
梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
z x y M
z M dφ x
dx
dx (b) 弯曲后平面图
y ε=ydφ
(a) 弯曲前平面图 z x y M
z M dφ dx (d) 弯曲后立体图
ε
dx
y ε=ydφ
(c) 弯曲前立体图
ε x (y) ≡
ydϕ (x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) dx
图 1-1 在平截面假设下， （ 1）同一横截面上各点（ z， y）应变ε沿 y 线性分布； （ 2） 应变ε与梁高方向的 y 值成正比， 比例常数 cx 仅与横截面位置有关； （ 3）中性轴 z 上各点（ y=0）的应变ε为零。 从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴 Z）转 过一个角度（如图 1-1、1-2 中的 dφ） ，横截面仍然保持为平面，
z
y dy
∫
A
y 2 dA (5)
h/2 y
I z ≡ ∫ y 2 dA = ∫
A
h/2
−h / 2
y 2 bdy =
bh 3 33 (8) 12
图 1-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导
1.3.3 推导变形公式 根据 σ =
M y (7 ) 、 σ = Eε (2 ) Iz
和εx
(
)
3/ 2
=
[±
y ′′
(
1 + y′2
)]
3
≈ ± y ′′ ，考虑到坐标轴 y 向下为正
和对弯矩正负号的规定，故应取
dϕ = - y ′′ (10 ) ，把（10）代入（9）得 dx
A
为了求得应力公式，推导如下;
M = ∫ yσdA = ∫ yEεdA = E ∫ yεdA = E ∫ yc x ydA = Ec x ∫ y 2 dA = Ec x I z 33 (4 )
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
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05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。
如，梁弯曲强度条件：[]σσ≤=WM max max；剪切强度条件：[]τρτρ≤⋅=b I S F z Q *max,max 刚度条件：挠度⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l y l y max ；转角[]ϕϕ≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。
由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。
显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。
如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。
杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。
它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。
其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
2下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。
力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。
变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。
由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。
物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。
在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。
故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。
1 梁的弯曲 31.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。
考察一端固定，一端受弯矩M 作用的梁（纯弯曲）。
根据“平截面假设”，其变形图示如下：图1-1 在平截面假设下，（1）同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布； （2）应变ε与梁高方向的y 值成正比，比例常数c x 仅与横截面位置有关； （3）中性轴z 上各点（y=0）的应变ε为零。
(a) 弯曲前平面图(b) 弯曲后平面图(c) 弯曲前立体图(d) 弯曲后立体图从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z ）转过一个角度（如图1-1、1-2中的d φ），横截面仍然保持为平面，公式（1）表明：各纵向纤维（x 方向）的单位长度伸长量εx （线应变、正应变）可表示为()dxyd y ϕε=x ，同一截面各点（y 坐标不同）对应的纵向纤维原长dx 是一样的，但伸长量yd υ不同，随y 线性变化。
对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx (y)是不一样大的。
主题字母ε表示物理量为应变，下标x 表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y 表示εx 的自变量是y ，即εx (y)表示x 方向的纵向纤维线应变，它随y 值变化。
应变εx 沿y方向线性分布，沿z 方向不变。
在y=0，即中性轴z 轴上各点的应变为零。
正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz 坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。
1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。
()2 εσE =图1-2 在平截面假设下同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布，y=0各点为零1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。
在梁的横截面上的“广义合力”为作用在xy 面内的力偶M （弯矩），故横截面上各点“正应力”向z 轴取力矩的代数和，应该等于弯矩M 。
把该横截面划分为若干个微小的矩形截面dA=bdy ，设作用在dA 截面的平均正应力为σ，则一个矩形微截面上的轴向力为dA dF N σ=。
它对z 轴的力矩为N ydF dM =，y 为微截面dA 形心到中性轴z 的距离。
根据“合力偶等于分力偶之和”，则()3 ⎰⎰==AAdA y ydF M σ1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。
为了方便推导和阅读，把上面的几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：()()1 y c y x x =ε，()2 εσE =，()3 ⎰=AdA y M σ为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ式中，()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，显然，其单位为长度的4次方。
将（1）（2）式回代到（4）：()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（6（7）式表明梁的正应力沿梁高方向y 成线性分布。
应力σ不一定线性。
沿y 线性分布，由于ε(0)=0故应力σ（y=0）=f(ε)=f(0)=0，假设σ分布如左下图则只有()3 ⎰⎰==AAdA y ydF M σ成立。
ε,max压zdA=bdσ1-3 弯矩与正应力的一般表达式注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ⎰=AdA y M σ，恒等变形为不显含积分的表达式()4 z EkI M =，积分⎰AdA y 2，则隐含在惯性矩的定义式中，⎰≡Az dA y I 2，该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与内力（弯矩M ）无关，即可以对不同形式截面的惯性矩事先予以计算。
注2：在梁的横截面上有线性分布的正应力，但是，它们的合力为零，即梁的横截面上没有轴向力。
现证明如下：()022/2/22/2/bh 7======--⎰⎰⎰⎰h h z h h zAz A zAN y I Mb ybdy I MydAI M ydA I M dA F 宽设梁高为σ注3：实验和进一步的理论研究都指出，纯弯曲的应力公式可以应用于横力弯曲，只要梁长不小于梁高的5倍，即长梁，其计算精度满足土木工程要求。
注4：由()52 ⎰≡Az dA y I 和图1-4所示矩形截面，可导出矩形截面的惯性矩。
41.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲）性关系式()2 εσE =便可得到梁的变形公式。
()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()8 zEI Mdx d =ϕ（8）式中的dx d ϕ是曲率，由数学知：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取 ()9- y dxd ''=ϕ，把（9）代入（8）得zdA=bd图1-4 矩形截面梁惯性矩的推导此即是梁的弯曲微分方程。
对它积分一次得梁的转角方程（11）式，积分两次得梁的挠曲方程（12）式。
两式中的积分常数c 1和c 2由梁的转角和挠度边界条件确定。
51.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 建立三个关系物理关系：()2 εσE = 静力关系：()3 ⎰=AdA y M σ1.3.2 推导应力公式为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ定义()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，其单位为长度的4次方。
()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（61-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导惯性矩定义式：()52 ⎰≡Az dA y I1.3.3 推导变形公式 根据 、()2 εσE =()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()9 zEI Mdx d =ϕ由数学知曲率：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取()10- y dxd ''=ϕ，把（10）代入（9）得12）式，积分两次得梁的挠曲方程（13）式。