高一数学下册《数列》知识点复习人教版
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结知识分享
3 、判断等差 （比）数列的 方法
4、等差（比） 数列的通项 公式
5、性质 1
① ????- ????-1 = ?? ② 2????= ????-1 + ????+1(??≥ 2) ③ ????= ???+? ??
① ????= ??1 + (??- 1)?? ② ????= ???? + ( ??- ??) ?? ③ ????= ???+? ??，其中 ??、 ??是常数 在等差数列 {????} 中，若已知 ????与 ????， 其中 ??，??∈??? ，则该数列的公差 ??= ????-????。
在等比数列 {????}中，若 ??+ ??= ??+ ?? （ ??，??，?，? ??∈???），则 ???? ?????= ????? ???。?
特别地，等比数列 {????} 中，若 2?? = ??+ ?（???，??，??∈???），则 ???2? = ????????。?
只供学习与交流
若 {????} 和 {????} 分别是公比为 ??和 ??的等
比数列，
则数列
{????
?????}
，{
????}
????
仍是等
比数列，它们的公比分别为 ???，? ??。
??
9、等差（比） 数列的单调 性
①若 ??> 0，则 {????}为递增数列； ②若 ??< 0，则 {????}为递减数列； ③若 ??= 0，则 {????}为常数列。
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第二章 《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法
1、数列的概念 2、数列的通项 公式
优品课件之高一数学下册《数列》知识点复习人教版
高一数学下册《数列》知识点复习人教版高一数学下册《数列》知识点复习人教版1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1练习题：1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C2．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A3．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
高中数学数列知识点总结(精华版)知识分享
高中数学数列知识点总结（精华版）一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项 .⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调 有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同 的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a n f(n).3. 递推公式：如果已知数列 a n 的第一项(或前几项)，且任何一项 a n 与 它的前一项 a n 1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f(a n 1) 或a n f(a n1,a n 2) ，那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式. 如数列 a n 中， a 1 1,a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1是数列 a n 的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S 1(n 1) ① S n a 1 a 2 a n ； ② a n 1.n 1 2 n nS n S n1(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列， 常数数列；有界数列，无界数列 .① 递增数列 :对于任何 n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列 : 例如: 1,1, 1,1, 1, . ④ 常数数列 : 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤ 有界数列 :存在正数 M 使 a n M,n N .⑥ 无界数列:对于任何正数 M ,总有项a n 使得 a n M.n11、已知a n 2 n (n N * ) ，则在数列 { a n }的最大项为__(答： 1)；n 2 156 252、数列{a n }的通项为a n an，其中a,b 均为正数，则 a n 与a n1的大小关系bn 1为 ___(答： a n a n 1)；a 1 （0,1） ，由关系式 a n 1 f （a n ）得到的数列 {a n }满足 a n1 a n （n N*） ，则该函 数的图象是 （）（答： A ）1、等差数列的定义 ：如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学数列知识点总结
高中数学数列知识点总结导语：数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
下面是我整理的高中数学数列知识点总结，供参考。
数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
高一数列重点知识点总结
高一数列重点知识点总结高一数学中，数列是一个非常重要的概念和知识点。
数列不仅在数学中有着广泛的应用，还经常出现在其他学科中，如物理、经济等。
掌握数列的重要性不言而喻，下面将对高一数列的一些重点知识点进行总结与梳理。
首先，我们需要了解数列的基本概念。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每一个数被称为数列的项，代表数列中的第几个数。
数列可以有无限多个项，也可以有有限个项。
数列中的项数可以用字母n表示。
接下来，我们来了解数列中的常见类型。
首先是等差数列，它指的是一个数列中的每一项与它的前一项之差都相同。
这个公差通常用字母d表示。
例如，2，5，8，11，14就是一个等差数列，公差为3。
等差数列可以通过确定首项和公差的关系式来求解任意一项的值。
除了等差数列，还有等比数列。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相同。
这个公比通常用字母q表示。
例如，2，6，18，54，162就是一个等比数列，公比为3。
等比数列可以通过确定首项和公比的关系式来求解任意一项的值。
另外，还有斐波那契数列。
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两项都是1，之后的每一项都是前两项的和。
例如，1，1，2，3，5，8，13就是一个斐波那契数列。
斐波那契数列在自然界中有着重要的应用，比如植物的生长规律、蜂群的繁衍等。
在数列的应用中，我们需要了解数列的前n项和。
数列的前n项和表示数列前n个数的和。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过公式求解前n项和。
等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1+ an) * n / 2，其中a1表示首项，an表示第n项。
等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1表示首项，q表示公比。
此外，在数列的应用中，有时我们需要求解数列的通项公式。
通项公式表示数列中的第n项与n之间的关系。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过观察和推导求解通项公式。
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)
人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)Lesson6 数列知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .3．等差中项a ＋b如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式n (a 1＋a n )n (n －1)设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系d d 2⎛S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．⎝⎭7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值．[难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .n(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．31例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－(n ≥2，a n －11n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．a n －1(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．11(1)证明∵a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.a n －1a n －111∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－111＝1a n －1－1⎛2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－15∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．712(2)解由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋2n －7n2设函数f (x ) ＝1＋2x －77⎛7⎛⎫易知f (x ) 在区间－∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．⎝⎭⎝⎭∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．－15解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.5⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨⎩a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，2即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2. 方法二∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解方法一∵a 1＝20，S 10＝S 15，10×915×145∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n12×11⎛5⎫∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪⎝⎭＝130.5方法二同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n －∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．⎧a n ＝4n －2511由①得nn (n －1)⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩22⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.2S n例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，n 的通项公式为2⎧(n =1)⎪a n =⎨3(n ≥2)⎪⎩1-4n 2S n -S n -122S n =2S n -1⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒11-=2(n ≥2) S n S n -1⇒S n =. 2n +1a a a aa n =n ⋅n -1⋅⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.n -1n -2212+ln n例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n－m，(n，m ∈N *) ．(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·al ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列．⎩a n ⎭⎩n ⎭5．等比数列的前n 项和公式等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；a 1(1－q n )a 1－a n q当q ≠1时，S n ＝＝.1－q 1－q6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .n7. 等比数列的单调性【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．na (1－q )a 1－a n q 1n －1(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝(q ≠1)1－q 1－q共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：32⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24，①⎨a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·由②得a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)181－q 255；当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)1＝－181－q 85.(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾．⎧①∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40，⎪⎩a 1(1－q 2n )1－q ＝3 280，②②①1＋q n ＝82，∴q n＝81，③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列．∴a n ＝a 1q n －1＝27，⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明∵a n ＋S n ＝n ，∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{an －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，∴{c是以－11n }2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭.① ②1例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．a 1解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，21⎛1－－∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝－2n 4.⎝⎭2(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.5∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.a n ＋a n ＋1例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．规范解答(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]a n －1＋a n当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n11＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]1∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]⎛1⎫(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝－2⎪n －1， [8分]⎝⎭当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋…＋(a n －a n －1) [10分]⎛1n －1 －21－⎝⎭⎛1⎛1n －2＝1＋1＋－2＋…＋－2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫1－－2⎪⎝⎭2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－－2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]⎝⎭例4 （07 重庆11）设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）2233例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（）, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.【综合应用】例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；c 1c 2c n(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.12n解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.c c c 2) 由b b …＋b a n ＋1得12nc n －1c c 当n ≥2时，b b …＋＝a .b n －1n 12c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.nn －1∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．c 1又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.1⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.3 (n ≥2)⎩2·∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 0136－2×32 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.1－3知识点3：数列的基本知识*1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列②对形如a n +1=⎧1⎫求出⎨⎬即可⎩a n ⎭q, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1 a n 1q的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，a n +1a n pa n +q例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则 a n的最小值为 10.5 n。
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高一数学下册《数列》知识点复习人教版
．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.
从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.
在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….
数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f中的n.
次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.
．数列的分类
根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.
按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.
．数列的通项公式
数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，
由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.
再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：
数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有
限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.
如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.
如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.
有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：
有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.
．数列的图象
对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：
序号：1234567
项：45678910
这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*的函数，当自变量从小到大依次取
值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.
由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.
数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.
数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.
把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.
．递推数列
一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①
数列①还可以用如下方法给出：自上而下层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1
练习题：
．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是
A.12B．1c．2D．3
解析：由Sn＝na1＋n2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选c.
答案：c
．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an，则aXX 等于
A．1B．－4c．4D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴aXX＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是
A．d＜0B．a7＝0
c．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴c错误.
答案：c。