一次函数动点问题含答案
专题2 一次函数动点问题(含解析)
专题2一次函数动点问题一、解答题1．已知一次函数3y kx =+的图象经过点（4，0）．（1）求k 的值；（2）画出该函数的图象；（3）点P 是该函数图象上一个动点，连接OP，则OP 的最小值是．2．已知一次函数与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，A 点的坐标为（-4，0），B 点的坐标为（0，2），D 是x 轴上的一动点，坐标为(),0x ，ABD △的面积为S ．（1）求一次函数的解析式；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当12S =时，求点D 的坐标．3．如图，正比例函数y=32x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，3），一次函数y=kx+b图象与x轴负半轴交于点B．（1）根据图象回答问题：不等式kx+b＞32x的解为______；（2）若AB=5，求一次函数的表达式；（3）在第（2）问的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为______．4．如图，已知一次函数132y x=+的图像分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）若点P是x轴上的动点，且14BOP ABCS S=△△，求符合条件的点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝k 1x+6与x 轴、y 轴分别交于点A、B 两点，与正比例函数y ＝k 2x 交于点D（2，2）（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P（m，m）为直线y＝k 2x 上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数y＝k 1x+6的图象上，PQ ∥y 轴，当PQ＝23OA 时，求m 的值．6．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．7．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x=交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标．9．已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点，（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求a 的值．（3）若此一次函数的图象与x 轴交点C，点()P m n ，是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S，试求S 关于m 的函数关系式．10．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.11．如图，一次函数y kx b =+的图像过点()0,3A 和点()2,0B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使90BAC ︒∠=（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标（3）点P 是y 轴上一动点，当PB PC +最小时，求点P 的坐标.12．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.13．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；＝2，求点P的坐标．（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP14．如图，一次函数x轴、y轴交于A、B两点．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为(长度单位/秒)；动点E从O单位/秒)的速度沿线段OB运动．设P、E两点同时出发，运动时间为t(秒)，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，动点E和P同时停止运动．过点E作EF∥OA，交AB于点F．（1）求线段AB的长；（2）求证：∠ABO=30°；（3）当t为何值时，点P与点E重合?（4）当t=时，PE=PF．15．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A（2，3），AB⊥x 轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标．16．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()30A -,与点()0,4B ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点M 为此一次函数图象上一点，且△MOB 的面积为12，求点M 的坐标；（3）点P 为x 轴上一动点，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．1专题2一次函数动点问题1．(1)k=34-;(2)详见解析;(3)125.【分析】(1)将点(4,0)代入一次函数解出k 值即可.(2)根据一次函数图像的性质画出即可.(3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果.【详解】(1)将(4,0)代入y=kx+3,解得k=34-.(2)如图所示:(3)过点O 作OC⊥AB,OC则为所求最短距离.根据勾股定理:AB 2=BO 2+AO 25;根据三角形面积公式:1122BO AO AB OC ⋅⋅=⋅⋅1134522OC ⨯⨯=⨯⨯OC=125【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义.2．（1）122y x =+；（2）4S x =+；（3）()8,0或()16,0-．【详解】（1）设一次函数解析式为y kx b =+，将()4,0A -、()0,2B 代入解析式得：122y x =+；（2）()1142422S AD OB x x =⋅=--⨯=+；（3）因为12S =，所以412x +=，即412x +=或412x +=-，解得8x =或16x =-，所以D 的坐标为()8,0或()16,0-．3．（1）x＜2；（2）33y x 42=+；（3）65.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入正比例函数解析式中，求出m，即可得出结论；（2）设出点B 坐标，利用AB=5，求出点B 坐标，最后将点A，B 坐标代入一次函数表达式中，即可求出k，b，即可得出结论；（3）点判断出OP⊥AB 时，OP 最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（m，3）在正比例函数y=32x 上，∴3=m，∴m=2，∴A（2，3），∴不等式kx+b＞32x 的解为x＜2，故答案为：x＜2；（2）由（1）知，A（2，3），∵点B 在x 轴负半轴上，∴设B（n，0）（n＜0），∵AB=5，∴（n-2）2+9=25，∴n=6（舍）或n=-2，∴B（-2，0），将点A（2，3），B（-2，0）代入y=kx+b 中得，2320,k b k b +=⎧⎨-+=⎩∴3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的表达式为3342y x =+.（3）如图由（2）知，直线AB 的解析式为3342y x =+.∴当OP⊥AB 时，OP 最小，由（1）知，A（2，3），由（2）知，B（-2，0），AB=5，∴S △AOC =12OB•|y C |=12AB•OP 最小，∴12×2×3=12×5OP 最小，∴OP 最小=65，故答案为：65．【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，两点间距离公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．4．（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0)【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：（1）当0x =时，132y x =+，∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-，∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，14BOP ABC S S ∆∆=，∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．5．（1）一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）m＝﹣1或m＝1【分析】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x，解方程即可得到结论；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，求得OA＝3，根据点P（m，m），得到Q（m，﹣2m+6），根据PQ＝23OA 列方程即可得到结论．【详解】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x 得，k 1＝﹣2，k 2＝1，∴一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，∴A（3，0），∴OA＝3，∵点P（m，m），∴Q（m，﹣2m+6），当PQ＝23OA 时，PQ＝m﹣（﹣2m+6）＝23×3，或PQ＝﹣2m+6﹣m＝23×3，解得：m＝﹣1或m＝1．【点拨】本题考查了两条直线相交于平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．6．(2，2)或(-【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得△AOB 与△BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案．【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，∴90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又∵一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =，∴4AO BO ==，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴COP CBP ∠=∠，∴OP BP =，∴C 是BO 的中点，∴122CO CP BO ===，∴()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，∵45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，∴135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠，∴PCB OPA ∠=∠．又∵PC OP =，∴()PCB OPA AAS △△≌，∴4BP AO ==，∴在Rt BDP △中，22BD PD ==，∴422OD OB BD =-=-∴(22,422P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则∠POC=90°，此时P、A 两点重合，不合题意；综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(22,422-．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．7．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y=kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b ⎧⎨+⎩＝＝，解得：434k b ＝＝⎧-⎪⎨⎪⎩，（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C 的坐标是（4，7）．（3）如图2中，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交x 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +⎧⎨-+⎩＝＝，解得：13m n ⎧⎨⎩＝＝，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）点D（2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标.【详解】（1）把点D（2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+，解得：12k =-，∴一次函数解析式为26y x =-+，把点D（2，2）代入2y k x =中得：222k =，解得：21k =，∴正比例函数的解析式为：y x =；（2）把y=0代入26y x =-+得：3x =，∴A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，∵23PQ OA =，∴23633m -=⨯，解得：83m =或43m =，∴点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点拨】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键.9．（1）21y x =-；（2）32a =；（3）1124S m =-（12x >）或1142S m =-（12x <）【分析】（1）利用A、B 两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式；（2）将点（a，2）代入解析式计算即可；（3）根据一次函数解析式求得C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用三角形的面积公式得到11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，再分两种情况求解即可.【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将点()35A ，和点()49B --，的坐标代入，得3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为：21y x =-；（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，∴2a-1=2，解得32a =；（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x=12，∴C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵P 点在直线上，∴21n m =-，∴11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，当12x >时，1124S m =-，当12x <时，1142S m =-.【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.10．（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，∴204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=-2x+4（2）∵14,2POA P SOA y =⋅=∴2,P y =∴2,P y =±当2,P y =时，1,P x =即P（1，2），当2,P y =-时，3,P x =即P（3，-2），∴P（1，2）或P（3，-2）.11．（1）y kx b =+；（2）C 的坐标是()3,5；（3）()0,2P .【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：()1设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把()()0,3,2,0代入可得：320b k b =⎧⎨+=⎩，解得：3,32b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以一次函数的解析式为：332y x =-+；()2如图，作CD y ⊥轴于点D90BAC ︒∠=，90,OAB CAD ︒∴∠+∠=在ABO 与CAD 中90o BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ABO CAD AAS ∴≅，2,3,5OB AD OA CD OD OA AD ∴=====+=，则C 的坐标是()3,5；()3如图2中，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'CB 交x 轴于P ，此时PB PC +的值最小，()()2,0,3,5B C ，()'2,0B ∴-，把()()2,0,3,5-代入y mx n =+中，可得：3520m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴直线'CB 的解析式为2y x =+，令0x =，得到2y =，()0,2P ∴.【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点()A 2,0，()B 0,4，∴02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=，∴一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2）∵ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=，p y 2,∴=p y 2.∴=±当p y 2=时，()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时，()p x 3,P 3,2.=∴-∴()()P 1,2,P 3,2.-或13．（1）y＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P（t，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标．【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S△OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．14．（1）6；（2）详见解析；（3）92；（4）94557或【分析】（1）令y=0，求出x，得出A的坐标及OA的长，令x=0，得出B的坐标及OB的长，利用勾股定理即可求出AB 的长；（2）取AB的中点C，连接OC．证明△OAC是等边三角形，得到∠OAB=60°．根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）由于P在OB上与E重合，则E的路程为OE，E所用的时间为t秒，P的路程为OA+OE，P在OA上所用的时间为3秒，在OE上所用的时间为（t-3）秒，根据P在OB上的路程与E的路程相同列方程，求解即可；（4）先求出点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为9秒．然后分三种情况讨论：①当P在线段AO上时；②当P在线段OB上时；③当P在线段BA上时．【详解】（1）令，∴OA=3．令，∴OB=（2）取AB的中点C，连接OC．∵∠AOB=90°，C为AB的中点，∴OC=BC=CA=3．∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAB=60°．∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；33(3)t =-，解得：92t =，所以当92t =时，点P 与点E 重合．（4）P 从A 到O 的时间为t=3÷1=3（秒），P 从O 到B 的时间为333=3（秒），P 从B 到A 的时间为：6÷2=3（秒），故点P 沿折线AO－OB－BA 运动一周时所花的时间为3+3+3=9（秒）．分三种情况讨论：①当P 在线段AO 上时，即0＜t＜3时，由题意知：P（3-t，0），E（0，33）．设F（a，b）．∵EF∥OA，∴b=33t ．∵F 在直线AB 上，∴33333a t +=，解得：a=133t -．∴F（133t -，33）．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（3-t）=133t -，解得：t=95；②当P 在线段OB 上时，即3≤t＜63(3)t -）33），F（133t -33）．3(3)t -－332213(3)[3(3)]33t t t -+--，∴133t -=0，解得：t=9（舍去）；③当P 在线段BA 上时，即6≤t＜933），F（133t -33），BP=2(6)212t t -=-．设P（m，n），则m=12BP=12(6)62t t ⨯-=-．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（t-6）=133t -，解得：t=457．综上所述：t=95或457．【点拨】本题是一次函数综合题．考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想．分类讨论是解答本题第（4）问的关键．15．（1）421+-=x y C（8，0）;（2）421+-=x y （80<<x ）;（3）M（-8，0）M（24，0）M（0，12）M（0，-4）【解析】试题分析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x，y），则边OB 上的高为y，利用三角形的面积公式即可计算△OBP 的面积S，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A（2，3），AB⊥x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x，y），所以△OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）;（3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C（8，0），所以点M 的坐标为M（-8，0）或M（24，0）；当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MAC MNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M（0，12）或M（0，-4）；综上所求的点M 的坐标为M（-8，0）、M（24，0）、M（0，12）、M（0，-4）．考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．16．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：（1）设AB 直线的解析式为：y＝kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为：y＝﹣43x+4；（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．∴C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y＝mx+n，把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．17．（1）443y x =+；（2）()6,12或()6,4--；（3）点Р()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，把点A 和点B 的坐标代入求出k，b 的值即可；（2）点M 的坐标为（a，443a +），根据△MOB 的面积为12，列出关于a 的等式，解之即可；（3）分三种情形讨论即可①当AB=AP 时，②当BA=BP 时，③当PA=PB 时．【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为y kx b =+，依题意得304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：4,34k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =+．（2）如图：设点M 的坐标为4,43a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()0,4B ，∴4OB =∵MOB △的面积为12，14122a ⨯⨯=，∴6a =，∴6a =±，当6a =时，44123a +=；当6a =-时，4443a +=-；∴点M 的坐标为：()6,12或()6,4--．（3）∵点A（-3，0），点B（0，4）．∴OA=3，OB=4，5==，当PA=AB 时，P 的坐标为（-8，0）或（2，0）；当PB=AB 时，P 的坐标为（3，0）；当PA=PB 时，设P 为（m，0），则（m+3）2=m 2+42，解得：7m 6=，∴P 的坐标为（76，0）；综上，点Р的坐标是：()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（1）()1,1-；（2）2y x =-；（3）2；（4）43；（5）1615，2615【分析】（1）根据点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，﹣y）解答即可；（2）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；（3）根据对称性，求出直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，求出直线BA ''的函数解析式，然后求出直线BA ''与x 轴交点D 坐标即可解答；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB 的周长最小，求出直线B A ''''的函数解析式，然后求出它与x 轴、y 轴的交点，进而可求出m、n 值和面积．【详解】（1）由于点()1,1A 关于x 轴的对称点为A '（1，﹣1），故答案为：()1,1-；（2）解：设这个一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象经过点()1,1A '-与()4,2B ，1,4 2.k b k b +=-⎧∴⎨+=⎩解得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为2y x =-．（3）∵点A 关于x 轴的对称点为A '，∴直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小，当y=0时，由0=x﹣2得：x=2，则P（2，0），故答案为：2；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，则四边形A A DC '''是平行四边形，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，由作图可知，A ''（3，﹣1），设直线BA ''的函数解析式为y=ax+c，将B、A ''坐标代入，得：2413a c a c =+⎧⎨-=+⎩，解得：310a c =⎧⎨=-⎩，∴直线BA ''的函数解析式为y=3x﹣10，当y=0时，由0=3x﹣10得：x=103，由t+2=103得：t=43，故答案为：43；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB的周长最小，，由作图可知，A '''（﹣1，1），B '（4，﹣2），设直线B A ''''的函数解析式为y=px+q，将A '''、B '坐标代入，得：124p q p q =-+⎧⎨-=+⎩，解得：3525p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B A ''''的函数解析式为3255y x =-+，当x=0时，y=25，∴N（0，25），当y=0时，由32055x =-+得：x=23，∴M（23，0），∴m+n=23+25=1615，此时四边形ANMB 的面积为1121221242(14)11(1)(4)222523523⨯-⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯=532108210153----=2615，故答案为：1615，2615．【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题、两点之间线段最短、坐标与图形变换、有理数的混合运算等知识，属于基础综合题型，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻知识间的关联点，利用数形结合思想解决问题．。
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
一次函数之动点问题 (习题及答案).
一次函数之动点问题（习题）1.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是正方形，已知点A 的坐标为(0，2)，点D 在x 轴正半轴上，B 是线段OD 的中点，连接CD．动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿O→A→C→B 的路线向终点B 运动，动点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿O→B→D→B 的路线向终点B 运动．设△OPQ 的面积为S，点P 运动的时间为t 秒（0＜t＜6）．求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2 2. 如图，直线 y =x +4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 y =-x +b过点 B ，且与 x 轴交于点 C ．动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从点 A 同 时出发，沿折线 AB -BC 以每秒 个单位长度的速度向终点 C 运动．设点 P 运动的时间为 t 秒．（1） 设△CPQ 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（2） 当 t = 时，PQ ∥AB ；（3） 当 0＜t ≤4 时，若△APQ 是等腰三角形，求 t 的值．⎨ 【参考答案】⎧ 1 t 2（0 < t ≤2） 2 1. S = ⎪ 2 < t ≤ 4） ． ⎨t （ ⎪ 1 2⎪ t - 7t + 24（4 < t < 6） ⎩ 2⎧ 1 t 2（0 < t ≤ 4） 2. （1） S = ⎪ 2 ⎪- 1 ⎩ 2（2） 16 ；3； t 2 + 4t （4 < t < 8） （3）t 的值为8 - 8 ， 8 或 4． 32 ⎪。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
初二数学期末复习一次函数的应用—动点问题附练习及答案
课 题一次函数的应用——动点问题教学目标1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。
2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。
重点、难点理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。
小结：1用函数知识求解动点问题，需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解，解要符合题意，要注意数与形结合。
2.以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决，注意自变量的取值围例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．〔1〕求点D 的坐标；〔2〕求直线2l 的解析表达式；〔3〕求ADC △的面积；〔4〕在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标． 例题2：如图，在平面直角坐标系，点A 〔0，6〕、点B 〔8，0〕，动点P 从点A 开场在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开场在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位.当堂稳固：如图，直线6y kx =+与*轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为〔-8，0〕，点A 的坐标为〔-6，0〕。
〔1〕求k 的值；〔2〕假设点P 〔x ，y 〕是第二象限的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与*的函数关系式，并写出自变量*的取值围；〔3〕探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
课后检测：1、如果一次函数y=-*+1的图象与*轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在*轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M 有〔〕。
九年级中考数学考点提升训练——专题：《一次函数：动点综合》(四)(Word版,带答案)
九年级中考数学考点提升训练——专题：《一次函数：动点综合》（四）1．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过点P作PC⊥AB于点C．（1）当点P是OA中点时，求△APC的面积；（2）连接BP，若BP平分∠ABO，求此时点P的坐标；（3）设点D是x轴上方的坐标平面内一点，若以点O，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求点D的坐标及此时OP的长．2．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．3．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，OB＝10，F是y轴正半轴上一点．（1）若OF＝2，求直线BF的解析式；（2）设OF＝t，△OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BA⊥x轴，点C在x轴上，OF＝OC，连接AC，CD⊥直线BF于点D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于点E，求此时t的值．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．（1）求直线l2：y＝kx+b的解析式；（2）求△ABC的面积．6．（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论．7．如图，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求b的值．＝4，求点C坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△AOC8．如图，已知直线y＝x+2交x轴于A，交y轴于B，过B作BC⊥AB，且AB＝BC，点C 在第四象限，点R（3，0）．点P、Q分别在直线AB和BC上，△PQR是以RQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标．9．小东同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：（1）已知x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0，化简：①当x＜﹣3时，y＝；②当﹣3≤x≤1时，y＝；③当x＞1时，y＝；（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：；（3）根据上面的探究，解决下面问题：已知A（a，0）是x轴上一动点，B（1，0），C（﹣3，0），则AB+AC的最小值是．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+4分别与x轴、y轴交于点B、C，且1：y＝x交于点A．与直线l2（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）如图，连接BP，∵直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A（4，0），点B（0，3），∴AO＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，∵点P是OA中点，∴AP＝OP＝2，∵S＝×AP×OB＝×AB×CP，△ABP∴CP＝，∴AC＝＝＝，∴S＝×AC×PC＝；△APC（2）∵BP平分∠ABO，∴∠OBP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∠BOP＝∠BCP＝90°，∴△BOP≌△BCP（AAS），∴BO＝BC＝3，OP＝CP，∴AC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2，∵AP2＝PC2+AC2，∴（4﹣OP）2＝OP2+4，∴OP＝，∴点P（，0）；（3）若OB为边，如图2，设点C（a，﹣a+3），连接OD，∵四边形OCDB是菱形，∴OC＝CD＝BD＝OB＝3，BO∥CD，OD⊥BC，∴（a﹣0）2+（﹣a+3﹣0）2＝9，∴a1＝0（不合题意舍去），a2＝，∴点C（，），∵BO∥CD，OB＝CD＝3，∴点D（，），∴直线OD解析式为：y＝x，∵PC∥OD，∴设直线PC解析式为y＝x+b，∴＝×+b，∴b＝﹣3，∴直线PC解析式为y＝x﹣3，∴当y＝0时，x＝，∴点P（，0），∴OP＝；若OB为对角线，如图3，设点C（a，﹣a+3），连接CD，∵四边形OCBD是菱形，∴OB与CD互相垂直平分，∴点C在OB的垂直平分线上，∴＝﹣a+3，∴a＝2，∴点C（2，），∵BO垂直CD，∴点D（﹣2，），设直线PC解析式为y＝x+b，∴＝×2+b，∴b＝﹣，∴设直线PC解析式为y＝x﹣，当y＝0时，x＝，∴点P（，0），∴OP＝；综上所述：当OP＝时，点D（﹣2，）或当OP＝时，点D（，）．2．解：（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入得，，解得，∴线段PQ所在直线的函数表达式为y＝﹣x+8；（2）①如图1，连接CM并延长CM交AB于点F，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，由（1）得BE＝﹣x+8，∴CE＝x，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∠DEC＝∠ABC，∴DE∥AB，∵点C和点M关于直线DE对称，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，＝AB•CF，∵S△ABC∴6×8＝10×CF，∴CF＝，∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝x，∴DE＝＝x，∴CM＝x，MF＝x，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形GCHM为矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴，即，∴MG＝x，CG＝x，∴MH＝x，（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即x，解得x＝0（不合题意舍去），（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即x，解得x＝，（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即x＝x，解得x＝．综合以上可得，当x＝或x＝时，点M落在△ABC的某条角平分线上．②当0＜x≤3时，点M不在形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，∴S＝，当x＝3时，S的最大值为＝6．当3＜x≤6时，点M在形外，如图2，由①知CM ＝2CQ ＝x ， ∴MT ＝CM ﹣CF ＝，∵PK ∥DE ，∴△MPK ∽△MDE ， ∴＝＝，∴S △MPK ＝S △MDE •，∵S 四边形DEKP ＝S △MDE ﹣S △MPK ，∴S 四边形DEKP ＝＝，化简得S 四边形DEKP ＝﹣2x 2+16x ﹣24＝﹣2（x ﹣4）2+8，∴当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．3．解：（1）仍然成立，如图2，在AB 上截取BH ＝BE ，连接HE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵BH＝BE，AB＝BC，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF，故答案是：是；（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．4．解：（1）∵OB＝10，OF＝2，∴B（﹣10，0），F（0，2），设直线BF的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10，0），F（0，2），∴，解得：，∴直线BF的解析式为y＝x+2；（2）△OBF的面积为S＝＝5t（t＞0）；（3）如图，延长AB至点R，使BR＝AB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TM ∥x轴交BA的延长线于点M，过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K，连接RT，∵AB⊥BC，AB＝BR，∴BC垂直平分AR，∴AC＝CR＝13，∴∠ACB＝∠RCB，设∠CBD＝α，则∠ACB＝2α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵∠ACB＝∠RCB＝2α，∴∠ACK＝180°﹣4α，∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α，∴∠KCT＝∠BCD，∵TK⊥KR，OT⊥OC，∴OT＝TK，∵TC＝TC，∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL），∴OC＝CK＝t，∵OF＝OC，∠BOF＝∠TOC，∠FBO＝∠OTC，∴△BOF≌△TOC（AAS），∴OB＝OT＝10，∴TK＝10，∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT，∵MT∥OB，∴四边形OBMT为平行四边形，∵OB＝OT，∠BOT＝90°．∴四边形OBMT为正方形，∴MB＝MT＝OT＝10，∴MT＝TK，∵RT＝RT，∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL），∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t，∴BR＝RM﹣MB＝3+t，∵BC＝OB+OC＝10+t，在Rt△BRC中，BR2+BC2＝RC2，∴（3+t）2+（10+t）2＝132，解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t的值为2．：y＝x+6与y轴交于点A，5．解：（1）∵直线l1∴当x＝0时，y＝0+6＝6，∴A（0，6），∵AO＝2BO，∴B（0，﹣3），∵C（﹣3，3），代入直线l：y＝kx+b中得，2解得．的解析式为y＝﹣2x﹣3；故直线l2＝AB•|x C|＝×（6+3）×3＝．（2）S△ABC6．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠ACB＝90°，把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，∴∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，∵∠DCB+∠DCG＝180°，∴B、C、G三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDG﹣45°＝45°，∴∠EDF＝∠GDF，在△DFE和△DFG中，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）解：在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．理由如下：∵直线y＝x为第一、三象限的角平分线，∴∠MON＝45°，由（1）的结论得MN＝AM+CN，∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝BA+BC＝2AB，而AB为正方形的边长，∴P的值为定值．7．解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0解得b＝﹣4；＝4，点A（2，0），（2）∵S△AOC∴OA＝2，∴•OA•y C＝4，解得y C＝4，把y＝4代入y＝2x﹣4得2x﹣4＝4，解得x＝4，∴C（4，4）．8．解：∵直线AB为：y＝x+2，BC⊥AB，∴直线BC为：y＝﹣x+2，①当点P在第二象限时，如下图，过点P作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点G，交x轴于点H，延长GQ交y轴于点M，∵∠GAQ+∠HPR＝90°，∠HPR+∠PRH＝90°，∴∠PRH＝∠GAQ，又∠QGA＝∠PHR＝90°，PR＝PQ，∴△PHR≌△QGP（AAS），∴GQ＝PH，HR＝PG，设：点P、Q的坐标分别为（m，m+2）、（n，﹣n+2），GQ＝PH，即：n﹣m＝m+2…①，HR＝PG，即：﹣n+2﹣m﹣2＝3﹣m…②，联立①②并解得：m＝﹣，故点P的坐标（﹣，），②当点P在第一象限时，同理可得：点P的坐标为（，），故：点P的坐标为（﹣，）或（，）．9．解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时，y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时，y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，如图所示：根据图象，该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；（3）根据上面的探究可知当A（a，0）位于点B（1，0）和点C（﹣3，0）之间时，AB+AC 有最小值4．故答案为：4．10．解：（1）∵y＝x+4分别与x轴、y轴交于点B、C，∴点C坐标为（0，4），点B坐标为（8，0），∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝x交于点A．∴﹣x+4＝x，∴x＝，∴点A坐标为（，）；（2）设点D坐标为（x，x），∵△COD的面积为6，∴×4×|x|＝6，∴x＝±3，∵D是线段OA上的点，∴x＝3，∴点D（3，1），设直线CD解析式为：y＝kx+4，∴1＝3k+4，∴k＝﹣1，∴直线CD解析式为：y＝﹣x+4；（3）若以OC为边，设点P（a，﹣a+4）（a≥0），如图，当四边形OCPQ是菱形，∴OC＝CP＝4，PQ∥OC，PQ＝OC＝4，∴4＝，∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），∴点P（2，4﹣2），∴点Q（2，﹣2）；当四边形OCQ'P'是菱形，∴OC＝OP'＝4，PQ'＝OC＝4，PQ'∥OC，∴4＝，∴a1＝0（舍去），a2＝4，∴点P'（4，0），∴点Q'（4，4）；若OC为对角线，∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴CO与PQ互相垂直平分，∴点P的纵坐标为2，∴点P（2，2），∴点Q坐标为（﹣2，2）；综上所述：点Q的坐标为（﹣2，2）或（4，4）或（2，﹣2）．。
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)学生做题前请先回答以下问题：问题1：动点问题的特征是什么？主要考察运动的什么？问题2：一次函数背景下研究动点问题的思考方向是什么？①将函数信息转化为背景图形的信息；②分析运动过程，分段，找到起点和终点；③分析几何特征，表达，设计方案求解。
问题3：分析运动过程时，需要注意哪几个要素？一次函数之动点问题（一）（北师版）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴交于点C，与直线交于点P。
动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AP—PC向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为()。
答案：B解题思路：本题考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△___的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=1/2*t*(8-t)。
2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点。
动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿折线OA—AB运动。
设运动的时间为t秒，△OPD的面积为S，则S与t的函数关系式为()。
答案：C解题思路：本题同样考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△OPD的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=2t*(4-t)。
3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，D是AB的中点。
动点P从点A出发沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO-OB以相同的速度运动。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB′=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°∵点E是AB中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，∴∠AOD=∠A'OD=60°∵点B是的中点，∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，∴∠A'OB=90°∵⊙O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2，∴BP+AP的最小值是2．故答案为2，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y轴对称，∴C'（﹣1，0），∴C'D==2，∴PC+PD的最小值为2，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，③由y=2x﹣1，令y=0得x=，∴C（，0），又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，∴n=2m﹣1，∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣1．当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，∴m的值为1．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．∵点B的坐标为（2，1），∴点B′的坐标为（2，﹣1）．设直线AB′的表达式为y=ax+c，将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，，解得：，∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．当y=0时，2x﹣5=0，∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），=2，因为S△OAP所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB==4，且ON为斜边上的中线，∴ON=AB=2，则l1和l2两平行线之间的距离为2；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P坐标代入得：，解得：m=，n=，∴直线B′P的解析式为y=x+，令x=0，得到y=，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M3（4+3，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，此时线段OC的长度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴AB==3，∵AB•OC=OA•OB，∴3OC=3×6，∴OC=，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G ⊥x轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴P″G=4，OG=1，∴BG=BO+OG=4=P″G，∴∠OBQ=45°，BP″=4，∴OQ=BO=3，∴Q点坐标为（0，3），又BP==2，此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ ⊥BQ ，如图3，延长PQ 到点P′，使PQ=P′Q ，则P′即为点P 关于BQ 的对称点，过P′作P′H ⊥y 轴于点H ，由（3）可知PQ=QP′=，∴QH=HP′=1， ∴OH=OQ ﹣QH=3﹣1=2，∴S 四边形ABOP′=S △AOB +S △AOP′=×6×3+×6×1=12，即四边形ABOP′的面积为12．。
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例题1：如图，直线1l 的解析表达式为 ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2.考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
专题：动点型。
分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，此时y=x+6=3，∴P（﹣4，3）．点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．3.考点：一次函数综合题。
分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y 轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把（1，5），（4，2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，解得k=﹣1，b=6，∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；当x=2，y=4；当x=3，y=3；当x=4，y=2；当x=5，y=1．∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）．一共10个；（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），∴OA=OB=6，∠OAB=45°．∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），∴AD=AC=2，AB⊥CD，∴∠DAB=∠CAB=45°，∴∠DAC=90°，∴点D的坐标为（6，2）；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．设直线DE的解析式为y=mx+n．把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得：6m+n=2，﹣4m+n=0，解得m=，n=，∴直线DE的解析式为y=x+．令x=0，得y=，∴点N的坐标为（0，）．故答案为10；（6，2）．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．4.考点：一次函数综合题。
分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解．解答：解：（1）﹣x+4=x，x=3，y=．所以P（3，）．（2）0=﹣x+4．x=4．4××=2．故面积为2．（3）当E点在OP上运动时，∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为a，∴S=a•a﹣×a•a=a2．当点E在PA上运动时，∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣a+4．∴S=（﹣a+4）a﹣（﹣a+4）a=﹣a2+2a．点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．5.考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。
专题：计算题。
分析：（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；（2）根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线l的解析式是y=kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式；（3）根据直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b的值即可得出直线11，同理求出解析式y=2x﹣3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积．解答：解：（1），当y=0时，x=2，∴E（2，0），由已知可得：AD=AB=BC=DC=4，AB∥DC，∴四边形AECD是梯形，∴四边形AECD的面积S=×（2﹣1+4）×4=10，答：四边形AECD的面积是10．（2）在DC上取一点G，使CG=AE=1，则S t梯形AEGD=S梯形EBCG，∴G点的坐标为（4，4），设直线l的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：，即：y=2x﹣4，答：直线l的解析式是y=2x﹣4．（3）∵直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行，设直线11的解析式是y1=kx+b，则：k=3，代入得：0=3×（﹣）+b，解得：b=，∴y1=3x+已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1，即：y=2x﹣3，当y=0时，x=，∴M（，0），解方程组得：，即：N（﹣，﹣18），S△NMF=×[﹣（﹣）]×|﹣18|=27．答：△NMF的面积是27．点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．。