高中数学导数放缩的6种常见形式!纯干货!快收藏!
【高考数学秒杀系列-导数秒杀】专题3 常用的导数放缩技巧(原卷及答案)-高考数学二轮复习
第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln22x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x<<; (放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩 (放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>;(放缩成类反比例函数) 11e (0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e1(0),e 1226xx x x x x x x ++>+++. 第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e 1xx +构造()e (1)()e 1x x f x x f x =-+'=-(,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x-⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭ (0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x∴-证明: ee xx构造()e e ()e e xxf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx证明:1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减 (,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()ex f x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明：()0f x >.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x .强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.2. 设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+.(1) 求a 、b ; (2) 证明: ()1f x >.第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln22x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x<<; (放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩 (放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>;(放缩成类反比例函数) 11e (0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e1(0),e 1226xx x x x x x x ++>+++. 第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e 1xx +构造()e (1)()e 1x x f x x f x =-+'=-(,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x-⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭ (0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x∴-证明: ee xx构造()e e ()e e xxf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx证明:1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减 (,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()ex f x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【解析】 【解法1】 对任意的x ∈R , 要使()f x ax >恒成立, 可设1()()(1)ex g x f x ax a x =-=+-, 则要 ()0g x >恒成立. 当1a =时, 1()0e xg x =>恒成立, 故满足题意; 当1a ≠时, ()1g x a '=-- e x -;若1a >, 则()0g x '<恒成立, ()g x 单调递减, 当x 趋近于正无穷时, ()g x 趋近于负无穷, 不满足题意; 若1a <, 由于()0g x '=, 解得ln(1)x a =--, 所以()g x 在(,ln(1))a -∞--上单调递减,在(ln(1),)a --+∞上单调递增, ()g x 在ln(1)x a =--处取得极小值即最小值, 要使()0g x >恒成立, 即 (ln(1))0g a -->恒成立, 解得此时1e a >-. 综上所述, a 的取值范围是(1e,1]-. 【解法2】 函数1()e x f x x =+, 即1(1)e x a x >-恒成立, 设函数1()e xg x =, 同时令不等式右边为h ()(1)x a x =-, 如图所示:由于e x存在过原点的切线e y x =, 故此时该切线为e y x =-, 故e 10a -<-, 则1e 1a -<.【答案】C.【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？ 【解析】【解法1】 由于要对于任意的1x <有ln(1)x ax a -+恒成立, 即ln(1)(1)x a x --, 由于x <1时, 10x ->, 故只需ln(1)1x a x --, 令ln(1)()(1)1x g x x x-=<-, 令1t x =-,即此时0t >,即ln ()(0)t g t t t =>, 此时221ln 1ln ()(0)t t tt g t t t t⋅--'==>. 当0e t <<时, 函数()0g t '>, 此时函数 ()g t 单调递增; 当e t >时, 函数 ()0g t '<, 此时函数()g t 单调递减,故函数()g t 在e t =时取得极 大值, 即最大值, 故函数1()(e)eg t g =, 即此时得到1()e ag t , 故实数a 的取值范围为1e⎡⎢⎣, )+∞. 【解法2】 若保证ln(1)x ax a -+恒成立, 即保证ln(1)(1)x a x ---恒成立, 此时令1t =-x , 即ln (0)t at t >恒成立, 由基本不等式, 1ln e xx , 故得到1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【答案】1e⎡⎢⎣, )+∞.【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明：()0f x >. 【解析】(1) ∵1()e ,0xf x x x m '=-=+ 是 ()f x 的极值点, ∴1(0)10f m'=-=, 解得1m =.所以函数()e ln(1)xf x x =-+, 其定义域为1e (1)1(1,).()e 11x xx f x x x +--+∞'=-=++.设()g x = e (1)1x x +-, 则()e (1)e 0x xg x x '=++>, 所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数, 又∵(0)0g =, 所以当0x >时, ()0g x >, 即()0f x '>; 当10x -<< 时,()0,()0g x f x <'<.所以()f x 在(1,0)-上为减函数; 在(0,)+∞上为增函数.(2)证明: 【解法1】当2,(,)m x m ∈-+∞时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2m =时()0f x >. 当2m =时, 函数1()e 2x f x x '=-+在(2,)-+∞上为增函数, 且(1)0,(0)f f '-<'0>.故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x , 且0(1,0)x ∈-. 当()02,x x ∈-时,()f x '0<,当()0,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 从而当0x x =时, ()f x 取得最小值. 由 ()00f x '=,得0e x=()0001,ln 22x x x +=-+. 故()()2000011()022x f x f x x x x +=+=>++. 综上, 当2m 时, ()f x 0>.【解法2】当 2,(,)m x m ∈-+∞ 时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2,()0m f x =>. 即证 明 e ln(2)0x x -+>, 由于 e 1x x +, 即证明 1ln(2)x x ++,显然成立.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x . 【解析】 (1) ∵函数1()e ln 1.0,()e ,2xxf x a x x f x a x x=--∴>'=-= 是()f x 的极值点, ∴(2)f '=21e 02a -=, 解得 2221111,()e ln 1,()e 2e 2e 2e x x a f x x f x x=∴=--∴'=-,当02x <<时, ()f x ' 0<; 当2x > 时, ()0.()f x f x '>∴在(0,2)上单调递减, 在(2,)+∞上单调递增.（2）证明: 【解法1】 当1e a 时, e ()ln 1e x f x x --, 设e ()ln 1e x g x x =--, 则e 1()e x g x x '=-, 由 e 1()0e x g x x'=-=, 得 1x =, 当01x <<时,()0g x '<, 当1x >时,()0,1g x x '>∴=是()g x 的最小值点, 故当0x >时, ()(1)0,g x g =∴当1ea 时, ()0f x .【解法2】当1ea 时, e ()ln 10e x f x x --, 由于e e x x 或者1e x x -, 所以证明ln 10x x --即可, 显然成立.强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.【解析】 (1) e 1(),(0),1e x m f x x x x '=->=是函数()f x 的极值点, 即e10em -=, 所以1m =.于是函数e ()ex m f x = 数e e 1ln ln ,()e e x x x x f x x =-'=-, 由()0f x '=, 可得1x =, 因此，当(0,1)x ∈时, ()0f x '<; 当(1x ∈, )+∞时, ()0f x '>, 所以, 函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.(2) 证明: 当2m 时, 对于任意(0,),e 1xx x ∈+∞>+恒成立, 又(0,),ln x x x ∈+∞>恒成立, 2x ≠时, 22e e 1ln ,2e x x x x x -=>-=时, 2e 1ln e x x x =->, 原式得证, 即()0f x >.2. 设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+.(1) 求a 、b ;(2) 证明: ()1f x >.【解析】(1)函数()f x 的定义域为112(0,),()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x --+∞'=+-+, 由题意可得(1)2,(1)e f f ='=, 故 1,2a b ==;(2)证明:由(1)知,12()e ln e ,x x f x x x -=+若()1f x >, 有12e ln e 1x x x x -+>, 即12ln ,()e e x x f x x >-∴ 1>等价于2ln e ex x x x ->-, 设函数()ln g x x x =, 则()1ln ,g x x '=+∴ 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<; 当x 1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 从而()g x 在 (0,)+∞上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数2()e ex h x x -=-, 则()e (1)x h x x -'=-. 当 (0,1)x ∈ 时, ()0h x '>; 当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 故()h x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减, 从而h ()x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)eh =-. 综上, 当0x >时,()()g x h x >, 即()1f x >.。
[高考数学]高考导数解答题中常见的放缩大法
![[高考数学]高考导数解答题中常见的放缩大法](https://img.taocdn.com/s3/m/4abdb280bdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be823.png)
[高考数学]高考导数解答题中常见的放缩大法----27ca19c7-6ea5-11ec-9bda-7cb59b590d7d(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法我相信很多读者在做高考的导数解时都有这样的理解。
他们会先求复函数的导数，然后求导数函数的导数，然后求导数，如果你了解最常见的标度，比如PEP教科书中常用的结论，那么就没有了⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为原点连线斜率小于1.⑵前任？十、1.⑶十、ln（x？1）⑷lnx？十、前，x？0.简单地将这些不等式变形如下：sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与x1?11?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx??那么很多问题将迎刃而解。
xex例析：（2021年广州一模）设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立，求a的取值范围。
伸缩法：用e？十、1可用：xlnx?1xex?(lnx?1)e2x?lnx?(lnx?1)2x?lnx?1?(lnx?1)e?????2xxxx2x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（减少到一个度的函数）LNX？十、1，lnx？x、在哪？1.十、X（简化为双素数函数）LNX？1.1.1.1.十、十、1lnx？十、0 x？1.2.十、2.十、lnx？十、11?x?1?，lnx?x??0?x?1?，xx（放缩成二次函数）lnx?x2?x，ln?1?x??x?12x??1?x?0?，21ln?1?x??x?x2?x?0?将LNX函数还原成反比？1.2.十、1.2.十、1.1，lnx？？十、1.lnx？？0 x？1.x?1x?1xln?1?x??X2X，ln？1.十、十、0磅？1.十、十、0 1? x1？x1？十、第二组：指数放缩（减少到一个度的函数）例如？十、1，前任？x、前任？前任，11x，x?0e?????x?0?，1.Xx111（放大二次函数）ex？1.十、x2？十、0前？1.十、x2？x3226（放缩成类反比例函数）ex?第三组：指对放缩前任？lnx？？十、1.十、1.二第四组：三角函数放缩111sinx？十、坦克斯？十、0辛克斯？十、x2,1？x2？Coxx？1.sin2x。
导数中常用放缩不等式
导数中常用放缩不等式在数学中，导数是一个重要的概念。
在求导的过程中，经常需要应用一些放缩不等式，以获得更精确的结果。
这些放缩不等式帮助我们在求导中更好地掌握变量的增减趋势和变化的速率。
本文将介绍一些常用的导数放缩不等式，分为基本放缩不等式、中值定理和极值定理。
1. 基本放缩不等式(1) 幂函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x0)(x/x0)a-a, (a>0)当a>1时，f(x)单调递增一次，当0<a<1时，f(x)在x0左侧单调递增，右侧单调递减。
(2) 三角函数放缩不等式若-functionsadfb6549aaa2a4c7sinx≤x≤tanx (0<x<π/2)cosx≤1≤secx (0<x<π/2)(3) 对数函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0)≤f(x)≤f(x0)+(x-x0)/x0f(x0), x0>0若函数f(x)在[x0, x]上单调递减(或递增)，则有：f(x0)+(x-x0)/x0f(x0)≤f(x)≤f(x0), x0>02. 中值定理(1) 麦克劳林定理对无穷次可导函数f(x)，有如下麦克劳林公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a)(x-a)2/2!+…+f(n)(a)(x-a)n/n!+ (x-a)n∫xaf(n+1)(t-t)n/n!dt(2) 拉格朗日中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，则有：f(b)-f(a)=f’(c)(b-a), c∈(a,b)(3) 均值定理设函数y=f(x)在区间［a,b］上可去掉有限数个点，显然在此区间上存在一点η，使得:f(η)=(f(b)-f(a))/(b-a)3. 极值定理(1)费马(Fermat)定理定理：函数y=f(x)在一点x0处取极值，当且仅当：f’(x0)=0或不存在。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下：ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，)ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =.拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为s i n ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷l n ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下：exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x x x <>，)ln 01x x x x><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题
函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。