二分法求方程的近似解( 公开课PPT课件)
二分法求方程的近似解(教案)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
（一）教学目标
1、知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解。
2、过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想。
3、情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教学过程
1、复习引入
（1）知识回顾
（a）函数的零点及其等价关系。
＊对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点 （b）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
＊如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
（2）引例
（a）从学校电房到学校食堂的电缆有5个接点。现在某处发生故障，需及时修理。为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少2次？
（b）猜数字游戏，看谁先猜中
从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？10次以内猜出，你们能做到吗 ？
2、新课内容
设疑：一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？
函数：f(x)=Lnx+2x-6有零点 方程：Lnx+2x-6=0有解。
用二分法求方程的近似解
1 62ln)(xxxf3.1.2用二分法求方程的近似解
一、学习目标
1．能用二分法求出方程的近似解.
2. 知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.
二、学习重点
通过用二分法求方程的近似解
三、学习难点
掌握用二分法求函数零点近似值的步骤。
四、个人学习任务
阅读课本P89-91页，回答下列问题
小组合作探究一、阅读课本P89页思考，我们已经知道，函数
在区间（2,3）内有零点，那么如何找出这个零点呢？
区间 中点的值
中点函数近似值
（2,3） -0.084
（2.5,3） 0.512
（2.5,2.75） 0.215
（2.5,2.625） 0.066
（2.5,2.5625） -0.009
（2.53125,2.5625） 0.029
（2.53125,2.546875） 0.010
（2.53125,2.5390625） 0.001
1、二分法的定义：
注意： 、 、 、
练习（1）．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
2 （2）．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是________．
2．小组合作，试自己归纳二分法求零点的步骤
练习（3）．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：
x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 －0.25 －0.70 －1.00
用二分法求方程的近似解 2
用二分法求方程的近似解
宁波二中 孙 鋆
一、教材分析
⒈ 教材的地位和作用
用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。第三层面，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时为必修3的算法学习做准备。
本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。
⒉ 教材的重点、难点和疑点
教学重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握；
教学难点：精确度概念的理解，二分法一般步骤的归纳和概括。
教学疑点：方程近似解的选取。
二、教学目标分析
通过本节的学习达到以下目标：
1、知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、情感目标：在问题的发现、探究过程中，感受成功的体验，激发学习的兴趣。
从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足，是制定教学目标的重要依据。这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼，体现了学生的主体地位和新课程理念。
三、学况分析和学法指导
1、高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数的基本性质及函数与方程的联系有了初步认识，初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力。
2、积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出规律。
用二分法求方程的近似解 3
1
3.1.2 用二分法求方程的近似解 教学设计
玉溪一中 邓瑞
一、教材分析 :
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本（ A版）》的第三 章 3.1.2 用二分法求方程的近似解 . 本节课的主要任务是探究二分法基本原理， 给出用二分法求方程近似解的基本步骤，
要求学生结合具体的函数图象能够借助 计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解， 从中体会函数的零点与方程的根 之间的联系 . 本课涉及了函数，方程，不等式等高中的重要内容，也为必修 3 的 算法学习做准备 . 同时也渗透了函数与方程、数形结合、近似思想、算法思想和 逼近思想等数学思想 .
二、学情分析 :
学生已初步理解了函数图像与方程的根之间的关系， 具备一定的用数形结合 思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备 . 学 生学习二分法的原理及过程比较容易， 关键求方程的近似解时， 先转化为函数再 用二分法求，需要区分好哪些函数适用， 哪些函数不适用， 同时求解的过程计算 量较大，步骤涉及算法的一些思想，对学生来说有一定的难度．
三、教学目标：
1. 通过具体实例和亲历 “用二分法求方程的近似解” 的全过程，理解二分法的概 念及其适用条件，并且体会数形结合、函数与方程、逼近、算法等思想 . 2．能够借助计算机 （或计算器 ）用二分法求方程的近似解，并提升学生的信息素 养，体会程序化解决问题的思想 .
3．通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，渗透独立思考和团队合作意 识.
四、教学重点与难点：
教学重点： 用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程的根之间的联系， 初步形成用函数观点处理问题的意识 .
教学难点： 恰当地选择和使用信息技术工具， 利用二分法求给定精确度的方程的 近似解.
五、教学方法： 讲授法、启发探究式教学法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授， 师生之间的探究，认识二分法、理解二分法的实质， 从而能应用二分法研究问题、 解决问题 .
用二分法求方程的近似解 4
1 3.1.2 用二分法求方程的近似解 教学设计
玉溪一中 邓瑞
一、教材分析:
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数的零点与方程的根之间的联系.本课涉及了函数，方程，不等式等高中的重要内容，也为必修3的算法学习做准备.同时也渗透了函数与方程、数形结合、近似思想、算法思想和逼近思想等数学思想.
二、学情分析:
学生已初步理解了函数图像与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备.学生学习二分法的原理及过程比较容易，关键求方程的近似解时，先转化为函数再用二分法求，需要区分好哪些函数适用，哪些函数不适用，同时求解的过程计算量较大，步骤涉及算法的一些思想，对学生来说有一定的难度．
三、教学目标：
1.通过具体实例和亲历“用二分法求方程的近似解”的全过程，理解二分法的概念及其适用条件，并且体会数形结合、函数与方程、逼近、算法等思想.
2．能够借助计算机(或计算器)用二分法求方程的近似解，并提升学生的信息素养，体会程序化解决问题的思想.
3．通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，渗透独立思考和团队合作意识.
四、教学重点与难点：
教学重点：用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学难点：恰当地选择和使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
五、教学方法：
讲授法、启发探究式教学法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间的探究，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题、解决问题.
六、教学流程:
游戏感知，引入新课→直入新课，共同探究→归纳总结，不断提升→变式训练，巩固新知→总结归纳，提升思想→课后作业，巩固新知.
二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解
二分法是一种求解方程近似解的数值方法。它的思路是将待求解区间分成两个子区间，通过比较子区间端点函数值的符号确定新的待求解区间，重复这个过程直到达到指定的精度要求。二分法的优点是收敛速度较快，但需要满足一定的前提条件，如函数在待求解区间内单调、连续等。
具体实现时，可以先确定一个初始区间[a,b]，计算出函数在两个端点的值f(a)和f(b)。如果f(a)和f(b)符号相同，则表示该区间内没有实根，需要选择另一个区间；否则，可以将区间的中点c=(a+b)/2计算出来，计算f(c)的符号，如果与f(a)的符号相同，则舍弃前一半区间，否则舍弃后一半区间，将c作为新的端点继续迭代，直到满足精度要求为止。
二分法求解方程的近似解，在数学、物理等领域广泛应用，它不仅在理论上有严格的证明，而且在计算机实现中也十分方便。在实际问题中，我们可以通过对待求解区间的缩减和符号比较来快速确定解的位置，从而实现高效的计算。
二分法
1 用二分法求方程近似解的两个注意点
用二分法求方程近似解需要注意以下两个点:
1.用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度；
第二步：求区间[a,b]的中点c；
第三步：计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c（此时零点x0∈(a，c)）；
(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c（此时零点x0∈(c，b)）．
根据这个步骤，各次区间的取舍根据的就是函数零点的存在性定理，即舍去区间端点函数值同号的区间，取区间端点函数值异号的区间．
2.精确度与计算次数的关系：精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a,b），那么经过n次取中点后，区间的长度是nba2||，只要这个区间的长度小于精确度,那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系nba2||＜，即n＞]||[log2ba，其中[ ]表示取整数，如[2.5]=2，][＝3等．
【例1】用二分法求方程xx1ln在（1,2）上的近似解，取中点c=1.5,则下一个有根区间是 .
【分析】由区间端点处函数值的符号，根据函数零点的存在性定理解决．
【解析】令f(x)=xx1ln,
则f(1)=-1<0,f(2)= ,01ln2ln212lne )25.1(ln31325.1ln)5.1(2f<0，
所以f(1.5)·f(2)<0,故下一个有根区间是（1.5,2）故填（1.5,2）.
【点评】用二分法求方程的近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零．则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间．
【例2】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是（1，5），精确度要求是0.001，则需要计算的次数是 ．
高中数学二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法
整体设计
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．
三维目标
1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．
2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．
3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．
重点难点
教学重点：用二分法求方程的近似解．
教学难点：二分法．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测．
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．
高一数学之：二分法求方程的近似解
高一数学之：二分法求方程的近似解
一：知识点精析
1、二分法定义： 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(注意如下两点：①二分法的基本思想：逼近思想；②用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。)
2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：
第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第二步：求区间(a，b)的中点c；
第三步：计算f(c)；
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x。∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x。∈ (c，b))。
第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|
二：典例讲解
题型一：用二分法判断方程根所在区间问题
例1、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x。=2.5， 那么下一个有根的区间是_____________________。
题型二：用二分法求函数零点问题
例2 求函数发f(x)＝x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(精确度o.01)．
题型三：用二分法求方程近似解问题
例3、利用计算器求下列方程的近似解(精确度0.1)．
（1）x2-2x-1=0 （2）2x3+3x-3=0
题型四：用二分法解决实际应用问题
例6 如果在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点就要爬一次电线杆，10 km长大约有200多根电线杆呢! 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
1 第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
【学习目标】
根据具体函数图象，能够借助计时器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
【预习提纲】
1. 二分法的定义：
对于在区间[a，b]上 且 的函数y=f（x），通过不断地把函数y=f（x）的零点所在的区间一分为二， ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法球函数零点的一般步骤：
（1） 确定区间[a，b]，验证 ，给定 ；
（2） 求区间（a，b）的中点c；
（3） 计算f（c）；
① 若 ，则 就是函数的零点；
② 若 ，则令 ；
③ 若 ，则令 ；
（4）判断是否达到 ：即若 ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）到（4）。
【例题精讲】
例1. 借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．
例2.求函数62ln)(xxxf 在区间)3,2(内的零点.
2 【归纳点拨】
二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．
【课堂反馈】
1 下列函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）