电路 第五版邱关源第八章 相量法
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《电路》邱关源第五版课后习题解答
电路习题解答第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I=-+9473A=0.5A；U Ia b.=+=9485V；IU162125=-=a b.A；P=⨯6125.W=7.5W；吸收功率7.5W。
电路邱关源版第08章
•
– 相量的模表示正弦量的有效值 – 相量的幅角表示正弦量的初相位 – 同理可得正弦电压与相量的关系 – 振幅相量
i(t) = 2I cos(ωt +φi ) ⇔ I = I ∠φi
u(t) = 2U cos(ωt +φu ) ⇔ U = U∠φu
i(t) = Im cos(ωt +φu ) ⇔ I m = Im∠φu u(t) = Um cos(ωt +φi ) ⇔ Um = Um∠φi
R
i
L
+
us
uC
- C
i = 2I cos(ωt +φi )
1 2I sin(ωt +φi ) = 2Us cos(ωt +φu ) ωC
8.3 相量法的基础
• 为什么要用相量表示正弦量？ 为什么要用相量表示正弦量？
两个正弦量的相加： 两个正弦量的相加： i1 = 2 I1 cos(ωt +ψ1) i2 = 2 I2 cos(ωt +ψ2 )
U= 1 2 Um 或 Um = 2U u(t) = Um cos(ωt +ψu ) = 2U cos(ωt +ψu )
• 注意： 注意：
– 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此， 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最 大值考虑。 大值考虑。(U=220V, Um=311V U=380V, Um=537V) – 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 – 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
– 相量的模表示正弦量的有效值 – 相量的幅角表示正弦量的初相位 – 同理可得正弦电压与相量的关系 – 振幅相量
i(t) = 2I cos(ωt +φi ) ⇔ I = I ∠φi
u(t) = 2U cos(ωt +φu ) ⇔ U = U∠φu
i(t) = Im cos(ωt +φu ) ⇔ I m = Im∠φu u(t) = Um cos(ωt +φi ) ⇔ Um = Um∠φi
R
i
L
+
us
uC
- C
i = 2I cos(ωt +φi )
1 2I sin(ωt +φi ) = 2Us cos(ωt +φu ) ωC
8.3 相量法的基础
• 为什么要用相量表示正弦量？ 为什么要用相量表示正弦量？
两个正弦量的相加： 两个正弦量的相加： i1 = 2 I1 cos(ωt +ψ1) i2 = 2 I2 cos(ωt +ψ2 )
U= 1 2 Um 或 Um = 2U u(t) = Um cos(ωt +ψu ) = 2U cos(ωt +ψu )
• 注意： 注意：
– 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此， 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最 大值考虑。 大值考虑。(U=220V, Um=311V U=380V, Um=537V) – 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 – 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
邱关源《电路》第八章相量法2
17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC
j 1
C
jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1
《电路》课件--第五版--原著：邱关源--修订：罗先觉--(内蒙古工业大学用)-第八章
变换
？ U• = U• R+ U• L+ U• C
u
还原
U•
变换法
一、正弦量的相量表示
1、复数及运算
a) 复数 A 表示形式：
j b
|A|
y
0
A a +1
代数形式 极坐标形式
b) 复数运算 (1)加减运算——代数形式 (2)乘除运算——极坐标形式
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
* 旋转因子
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域列写微分方程
相量模型 I• L •I C I• R
• I
0
U• 0
jw
L
•
IL
1 jwC
•
IC
U• S
•
RI R
1 jwC
•
IC
频域列写相量形式代数方程
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三、正弦交流电路
电源：同频率的正弦交流电源。 负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的
线性元件R、L、C、M 等。 特点：电路中的响应均为同频率的正弦量。
§8 — 2 正弦交流电量的比较及运算
一、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 定义：相位差 = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
•
•
= IR + j w LI +
•
I
jwc
相量法小结：
① 正弦量 时域
正弦波形图
？ U• = U• R+ U• L+ U• C
u
还原
U•
变换法
一、正弦量的相量表示
1、复数及运算
a) 复数 A 表示形式：
j b
|A|
y
0
A a +1
代数形式 极坐标形式
b) 复数运算 (1)加减运算——代数形式 (2)乘除运算——极坐标形式
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
* 旋转因子
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域列写微分方程
相量模型 I• L •I C I• R
• I
0
U• 0
jw
L
•
IL
1 jwC
•
IC
U• S
•
RI R
1 jwC
•
IC
频域列写相量形式代数方程
感 谢
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读读
三、正弦交流电路
电源：同频率的正弦交流电源。 负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的
线性元件R、L、C、M 等。 特点：电路中的响应均为同频率的正弦量。
§8 — 2 正弦交流电量的比较及运算
一、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 定义：相位差 = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
•
•
= IR + j w LI +
•
I
jwc
相量法小结：
① 正弦量 时域
正弦波形图
电路分析基础 邱关源 第八章
i(t ) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
例1 已知
试用相量表示i, u . 解
例2
试写出电流的瞬时值表达式。 解
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
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相量模型
波形图 uR
i
o 相量图
wt
u=i
同 相 位
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2. 电感元件VCR的相量形式
i(t) 时域形式： L 相量形式： +
+ uL(t) -
-
jw L 相量关系：
U L jwL I jX L I
u=i +90°
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|XC| 容抗和频率成反比
w
相量表达式
w0， |XC| 开路 w ，|XC|0 短路
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波形图
iC
o 电流超前 电压900
u
wt
相量图
u
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4. 基尔霍夫定律的相量形式
返 回
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下 页
例1 试判断下列表达式的正、误。
L
返 回
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下 页
例2 i
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
第八章
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
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电流i与电压源电压 u是同频率的正弦量
2013-12-8 2013-12-8 26 26
di 1 Ri L idt u 若u 2U cos(t u ) dt C 电流i 一定是与电压源电压u 同频的正弦量, 设
第8章
相量法
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法基础 8.4 电路定理的相量形式
2013-12-8 2013-12-8
1 1
重点： 1. 正弦量的三要素 2. 相量法 3. 电路定律的相量形式 难点：
相量法的理解
2013-12-8 2013-12-8 2 2
正弦交流电路
激励为同频正弦量的线性电路称为正弦交流ห้องสมุดไป่ตู้路。
正弦交流稳态电路 达到稳定状态的正弦交流电路。
研究正弦交流电路的意义
1 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位。
① 便于升压与降压。 ② 正弦量的求导、积分运算及同频正弦量的加减得到仍是 同频的正弦量，使得电路各处的电压电流波形相同。 ③ 正弦量变化平滑。
2013-12-8 2013-12-8 3 3
1. 复数的表示形式
+j
②三角形式
欧 拉 ③指数形式 公 式
F | F | (cos j sin )
a | F | cos b b | F | sin
j
F |F|
o a +1
e j e j cos 2
e j e j sin 2j
F1+F2
F2 F1
+j
F1+F2
F2 F1 +1 F2
o 图解法
2013-12-8 2013-12-8
+1
o
F1-F2
F1-F2
-F2
7 7
2. 复数运算
②乘除运算 —— 采用极坐标（指数）形式 若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 F1 e F2 e F1 F2 e
2013-12-8 2013-12-8 25 25
问题的提出
di 1 Ri L idt u dt C d 2uC duC LC 2 RC uC u dt dt
+
-
R
i
L
+
u
uC
- C
电路方程是微积分方程
正弦量乘以或除以一实常数后仍得到同频的正弦量 正弦量经过微分、积分后仍得到同频的正弦量 同频的正弦量相加减后仍得到同频的正弦量
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
T 2
均方根值
I
1 T
T
0
i 2 dt
19 19
2013-12-8 2013-12-8
周期电压有效值
U 1 T
T
0
u 2 dt
U=220V ， U=380V Um311V Um537V
正弦电流、电压的有效值
1 2 T Im 1 T 2 2 Im 0.707 I m I I m cos ( t i ) dt T 2 2 T 0 Um 0.707U m U 同理得： 2
结论
i2 (t ) 3 cos( π t 30 ) 100
2013-12-8 2013-12-8
23 23
特殊相位关系
u i u O i
u i 90
ωt
0
u i i O
u
u i 90
电压滞后电流 90
0
电压超前电流 90
ωt 90°
90°
| |
>0， u超前i 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先
到达最大值）。
2013-12-8 2013-12-8
22 22
例 计算下列两正弦量的相位差。 解 两个正弦量 进行相位比 较时应满足 0 0 i22 (t ) 10 sin(100 πtt 150) ) 同频率、同 15 3cos( 300 100 π t0 ) 120 0 函数、同符 (150 30 0 ) (3) u1 (t ) 10 cos( 1 2 号，且在主 u2 (t ) 10 cos(200 π t 450 ) 不能比较相位差 i2 (t ) 10 cos( πt 1050 ) 值范围内进 100 0 (4) i1 (t ) 5 cos( π 0t 30 )0 100 0 行比较。 30 (105 ) 135 0
i 、I m、I； u 、 m、 U U
2013-12-8 2013-12-8 21 21
4. 同频率正弦量的相位差
u U m cos( t u ) i I m cos( t i )
相位差
(t u ) (t i ) u i
等于初相位之差
(1) i1 (t ) 10 cos( π t 3π 4) 100 3π 4 ( π 2) 5π 4 0 i2 (t ) 10 cos( π t π 2) 100 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 cos(100 π t 30 0 )
b
+j F
F a jb
( j 1 为虚数单位)
|F|
o a 向量 +1
Re[F ] a
Im[ F ] b
复数可表示为从原点出发的一条有向线段
| F | a 2 b 2 复数的模（值）：
2013-12-8
复数的辐角： 2013-12-8
b θ arctan a
5 5
2013-12-8 2013-12-8 16 16
2. 正弦量的三要素
(1)振幅(幅值 、最大值)Im
正弦量的振荡幅度
i(t)=Imcos( t+i)
i
Im
T T/2 π
2π
0
ωt
(2)角频率(角速度)ω 相位角变化的速度，反映正弦量变化快慢。
2013-12-8 2013-12-8
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
17 17
2. 正弦量的三要素
(3) 初相位i
i(t)=Imcos( t+i)
0时刻的相位，常用角度表示。
i
i>0
0
u
ωt
u<0
一般规定：| | 。
2013-12-8 2013-12-8 18 18
3. 周期性电流、电压的有效值
与周期量热效应相等的直流定义为周期量 的有效值。 R R 直流 I 交流 i 物 理 意 义
特殊旋转因子
jF
+j
+1 0 π 逆转π/2 π e cos j sin j jF 2 2 顺转π/2 F π π -j , e 2 cos( π ) j sin( π ) j 2 2 2 转π
j π 2
π , 2
F
π ,
e
jπ
2. 复数运算
③ F的共轭 若 F= a + j b
F=|F| F *=|F| -
2 2
记
则:
F *= a – j b
*
模相同 角相反
2
FF (a jb) (a jb) (a b ) F
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) 有理化 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) 运算 a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 2 j 2 2 2 a2 b2 a2 b2
jθ1
+j
F1 F2
2
F1
F1 F2
|F1| θ1 θ2 |F2|
模相除 角相减
1
F2
2
o
2013-12-8 2013-12-8
+1
9 9
2. 复数运算
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2
则:
可先将其变成极 坐标形式
F1 F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j (a1b2 a2b1 )
2013-12-8 2013-12-8 11 11
例1
解
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
u i 0
u i u i O
2013-12-8 2013-12-8
u i 180 0
u i u 电压电流反相 i
电压电流同相位
ωt
O
ωt
24 24
8.3 相量法的基础
1 什么是相量 2 什么是相量法 3 为什么引入相量法 4 如何引入相量法 5 引入相量法的优点 6 相量法的适用范围
cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
2013-12-8 2013-12-8 14 14
8.2 正弦量 1.正弦量 1. 正弦量
随时间按正弦（余弦） 规律进行周期变化的量。
i
波形
瞬时值表达式