管理运筹学第2章线性规划PPT课件
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管理运筹学课件第2章 线性规划
x1 x2 ≤ 8
产量非负 x 1 , x 2 ≥ 0
决策变量
（decision variable）
总利润表三达要式素
目标函数 （objective function）
约束条件 生产能力,不 （subject to） 允许超过 当目标函数与约束条件均为决策变
量的线性函数，且变量取连续值时，
当xk的值由0增加到θ时，原来的基变 量xl取值首先变成零，选择其为出基变 量。称θ的表达式为最小比值原则。
如果所有aik ≤0, xk的值可以由0增加到 无穷，表示可行域是不封闭的，且目 标函数值随进基变量的增加可以无限 增加，此时不存在有限最优解。
下面对以上讨论进行总结.
2019/8/31
课件
15
称为线性规划LP；变量取整称为整
数线性规划ILP；变量取二进制为
0-1规划BLP。
2019/8/31
课件
5
2.1.2 线性规划的数学模型
【例2.1】（合理配料问题）由下表建立一个LP模型求解满足动物成长 需要又使成本最低的饲料配方。
饲料 营养甲(g/kg) 营养乙(g/kg) 营养丙(g/kg) 成本(g/kg)
x1+x2=8
x1
2019/8/31
课件
11
2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。
1
0.5
0.1
0.08
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
管理运筹学线性规划PPT课件
2、运筹学发展简介
运筹学/ Operations Research，英文原意是作 战研究、运用研究。 起源于二次大战的军事领域， 发扬于战后的社会、经济、工程与管理 领域。
》（英）希 尔：高射炮系统利用研究 ； 》（英）莫尔斯：美海军大西洋护航方案研究； 》（英）空军OR小组：雷达警报和控制系统研究；
长度（m)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
2.9
21110000
2.1
02103210
1.5
10130234
剩料(m) 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
设按第i套方案下料的原材料根数为Xi，i=1,…,5; 则线性规划模型如下：
Min Z=0X1+0.3X2+0.9X3+1.1X5+0.2X6 + 0.8X7+1.4X8
顶点 ，则其连线上的点都为最优解。
重要推论： （1）若两元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多边形的顶点上搜索求出！ （2）若三元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多面体的顶点上搜索求出！ （3）若一般（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸集的极点上搜索求出！
第3节 线性规划代数解的概念
，主要包括D、E、F三种营养成分，有关资料如下
表。问：如何配置混合饲料，以使总成本最低？
配料/营养 D
E
F
单位成本
A
1
1/2
2
6
B
1
1/2
1
3
C
1
1/4
1
2
每份饲料 20 营养标准
6
10
引例[3]：运输优化问题 运输问题有关资料如下表，在满足各电厂发电用
管理运筹学线性规划PPT课件
位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗, 如表所
示。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2 元, 每生产一件产品Ⅱ可
获利3 元, 问应如何安排计划使该工厂获利最多?
Ⅰ
Ⅱ
限制
设备
1
2
\
8台时
原材料A
4
0
\
16kg
原材料B
0
4
\
12kg
引例[2]：成本优化问题 某养鸡厂的混合饲料由A、B、C三种配料组成
第一章 线性规划（LP）
线性规划问题的提出； 图解法----二元线性规划问题 线性规划问题 解的概念； 线性规划问题的几何特征； 单纯形法---线性规划问题计算
第1节 线性规划问题及数学模型
1、线性规划问题的提出 2、线性规划数学模型举例
1、线性规划问题
引例[1]：生产计划安排
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品, 已知生产单
S.T. 2X1 +X2 +X3 +X4
=100
2X2 +X3 + 3X5 +2X6 + X7
=100
X1 + X3 + 3X4 +2X6 +3X7 +4X8 =100
X1, X2, X3, X4, X5 , X6, X7, X8 >=0
Min Z= X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 +X7 +X8
定量化分析技术 —— 数学建模技术； （运筹学方法精髓） —— 模型优化算法； （模型运算及分析） —— 计算机数据库技术等； （大规模问题的计算机求解）
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
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0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
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11.12.2020
8
2.1.3 线性规划的标准模型
【例2.2】将LP模型转化为标准式
m in z 3 x1 5 x2 x3
x1 x2
≤9
s .t .
2
x1
3 x1
x2 2 x2
3
x3 x3
≥ ≥
4 6
x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3无 约 束
解 （1）决策变量变为非负
令:x1x1,x≥0
图解法（2 个变量）
理
论 解
单纯形法（无人工变量）
法
大 M 法（有人工变量）
计算机解法（Lingo,WinQSB 或 Excel）
技 能 目 标
2
导入案例——最优生产计划
11.12.2020
3
本章主要内容
2.1 线性规划问题与模型 2.1.1 线性规划问题的提出 2.1.2 线性规划的数学模型 2.1.3 线性规划标准模型 2.2 图解法 2.2.1 线性规划几何解的有关概念 2.2.2 图解法基本步骤 2.2.3 线性规划几何解的讨论 2.3 单纯形法 2.3.1 线性规划解的有关概念及性质 2.3.2 单纯形法 2.4 人工变量法 2.5 线性规划应用举例 案例2-1 媒体选择问题 案例2-2 投资计划问题 案例2-3 自制/外购决策问题 案例2-4 合理下料问题 本章小结
10 2x1+x2=10
8
6
(2,6) z=3×2+2×6=18
【例2.3】用图解法求LP最优解
m ax z 3 x1 2 x2
2
2
2
0.06
0.7
6
3
3
0.04
0.35
5
4
1.5
0.15
0.25
4
5
0.8
0.2
0.02
3
解 设xi为第i种饲料的用量，有：
m in z 2 x 1 6 x 2 5 x 3 4 x 4 3 x 5
目标是总成本最低
s
.
t
.
0 . 5 0 x 1 2 . 0 0 x 2 3 . 0 0 x 3 1 . 5 0 x 4 0 . 8 0 x 5 ≥ 8 5 满足营养甲需求 0 . 1 0 x 1 0 . 0 6 x 2 0 . 0 4 x 3 0 . 1 5 x 4 0 . 2 0 x 5 ≥ 5满足营养乙需求 0 . 0 8 x 1 0 . 7 0 x 2 0 . 3 5 x 3 0 . 2 5 x 4 0 . 0 2 x 5 ≥ 1 8 满足营养丙需求
产量非负 x 1 , x 2 ≥ 0
决策变量
（decision variable）
总利润表三达要式素
目标函数 （objective function）
约束条件 生产能力,不 （subject to） 允许超过 当目标函数与约束条件均为决策变
量的线性函数，且变量取连续值时，
称为线性规划LP；变量取整称为整
amnxn ≤(或≥，）bm
线性规划的向量形式 ：
n
M a x ( M in ) Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
p jx j
≤
(或
，≥ ） b
x j ≥ 0( j 1, 2,
,n)
线性规划的集合形式 ：
n
Max(Min)Z cj xj j1
s.t.
n j 1
aij
xj
9
2.2.1 线性规划几何解的有关概念
11.12.2020
10
2.2.2 图解法基本步骤
建立直角坐标系；
图示约束条件，确定右行域；
图示目标函数一根基线，按目 标要求平行移动，与可行域相 切，切点即为最优解；
求出切点坐标，并代入目标函 数求得最优值。
x2
最优解：x1=2,x2=6
最优值：z=18
xj≥ 0(j1,2,3,4,5)
变量非负限制
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6
2.1.2 线性规划的数学模型
线性规划的一般形式：
max(min)z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 s.t.a21x1 a22 x2
am1x1 am2x2
a1nxn ≤(或≥，）b1 a2nxn ≤(或≥，）b2
数线性规划ILP；变量取二进制为
0-1规划BLP。
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5
2.1.2 线性规划的数学模型
【例2.1】（合理配料问题）由下表建立一个LP模型求解满足动物成长 需要又使成本最低的饲料配方。
饲料 营养甲(g/kg) 营养乙(g/kg) 营养丙(g/kg) 成本(g/kg)
1
0.5
0.1
0.08
≤(或
，≥）bi
(i
1,
2,
, m)
xj ≥0( j 1, 2, , n)
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线性规划的矩阵形式 ：
Max(Min)Z CX AX ≤(或，≥）b
s.t.X ≥0
7
2.1.3 线性规划的标准模型
标准形式: 目标函数最大化、约束条件为等式、决策变量均非负、右端项非负.
非标准形式进行如下转化:
3x1 2x2x3 x3 ≤ 6
（4）约束一、三添加松弛变量； 约束二减剩余变量。
Max(Z) 3x1 5x2 x3 x3
x1 x2
x4
9
s.t.
2x1 3x1
x2 2x2
3x3 x3
3x3 x3
x5 4 x6 6
x1, x2, x3, x3, x4, x5, x6 ≥0
第2章 线性规划
教学目标与要求
【教学目标】 通过对本章的学习，理解线性规划的含义、解、可行解、可行域、基
解、基可行解、最优解的定义；掌握图解法、单纯形法（包括大M 法）；会建立线性规划数学模型；至少掌握一种软件求解LP 【知识结构】
LP 基本概念与实际问题建模
知 识 目 标
11.12.2020
11.12.2020
4
2.1.1 线性规划问题的提出
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
设两种产品产量为x1,x2,则有:
最大化 m a x z 3 x 1 2 x 2
设备A台时占用 2 x 1 x 2 ≤ 1 0
设备B台时占用
s
.t
.
x1 x2 ≤ 8
x3x3x3,x3≥0,x3≥0
min z 3x1 5x2 x3 x3
x1 x2
≤9
s.t.
2 x1
3
x1
x23 ≥ x3 ≥
4 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x3≥ 0
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（2）目标函数最大化
m i n z m a x ( z ) 3 x 1 5 x 2 x 3 x 3 （3）右端项变为非负