微积分第2版-朱文莉第7章多元函数微分学习题祥解

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微积分第二版课后习题答案

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

7(2)多元函数的基本概念

2 2
x y ( x 0) ( y 0) 2 0, 取
2 2
2 2

则当 0 ( x 0) 2 ( y 0)2
有
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
证毕.
16
多元函数的基本概念
0 y 也有 lim f ( 0, y ) lim 2 lim 0 0 2 y 0 y0 y0 0 y
19
多元函数的基本概念
xy , x2 y2 0 x2 y2 设函数 f ( x , y ) 0, x2 y2 0 证明: 当 x 0, y 0时,函数的极限不存在.
( x, y) ( x, y)
O
x
O
x
12
(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为
( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
不论 P ( x , y )趋向于P ( x0 , y0 ) 的过程多复杂, 总可以用 0 来表示极限过程:
多元函数的基本概念
例理想气体的状态方程是 pV RT (R为常数) 其中p为压强, V为体积, T为温度. 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖 T 于T,V 的关系是 p R V 称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0 T , 0 V .
3
多元函数的基本概念
O
x 无界闭区域
7
2x x y 2. z x2 y2 1
2
2
( x 1)2 y 2 1 且x 2 y 2 1 解定义域是

微积分第七章习题解答

第七章习题解答1.求下列函数的定义域。

()(){}1,:112222≤+--=y x y x D y x z 解：()()(){}1,4,:14ln 222222≥<+-+--=x y x y x D x y x z 解：()()()(){} ,2,1,0,122,:sin 32222±±=+≤+≤+=k k y x k y x D y x z ππ解：()()()[](){}164,:1416ln 422222222<+<---+--=y x y x D yx y x y x z 解：()(){}0,,:115><<--++=x x y x y x D yx yx z 解：()(){},0,:62>≤≤-=x x y y x D yx z 解：()()(){}222222,42,:3arcsin 7y x y x y x D y x y x z >≤+≤---=解：()()()(){}(){}94,11,1410,1,:410ln ln arcsin 82222222<+≤-≤-=>--≤---+-=y x y x y x y x y x y x D y x y x z 解：2.求下列函数的极限。

()()()()()1sin lim 1sin lim 1sin lim 10222222022220==+++++→→→→→uu u y x y x y x y x y x u x x y y 解：()()()()()001lim1lim lim lim limlim 222222222220000=+=+++=+++=++++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→y yx xy x y x yy x x y x y x y x y x y y y y y y x x x x x x 解：()221sin lim sin lim sin limsin lim 322220000=⋅=⋅=⋅=→→→→→→→→y u uu xy y xy xy x xy xxy y y y y u x x x 解：()022lim limlim4220222222000=⋅+=++→→→→→→yy x xy y x xy y x xy y y y x x x 解：3求下列函数的一阶偏导数。

《微积分第二篇》第七章习题解答

《微积分第二篇》第七章习题解答【习题7.1】（解答）1、用二重积分表示由圆柱面x 2 + y 2 = 1, 平面z =0, z =2 所围成的平顶柱体的体积.22{(,)|1},2d 2d .DDD x y x y V σσ=+≤==⎰⎰⎰⎰解:设那么所求体积2、用二重积分表示以下列曲面为顶,区域D 为底的曲顶柱体的体积. (1) 曲面 z =x +y +1, 区域D 是长方形：0≤x ≤1, 1≤y ≤2;{(,)|01,12},(++1)d .DD x y x y V x y σ=≤≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积(2) 曲面 z =x +y , 区域D 是由圆x 2 + y 2 = 1 在第一象限部分与坐标轴所围成.22{(,)|01,0,0},(+)d .DD x y x y x y V x y σ=≤+≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积3、利用二重积分的性质 (1) 比较()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3的大小,其中D 是由x 轴、y 轴与直线 x + y = 1所围成;()()()()2323,01,,.DDD x y x y x y x y d x y d σσ∀∈≤+≤+≥++≥+⎰⎰⎰⎰解:因故所以(2) 比较()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰的大小,其中 {(,)|35,01}.D x y x y =≤≤≤≤()()()()22,36,1ln ln ,ln d ln d .DDD x y x y x y x y x y σσ∀∈≤+≤≤+≤+⎡⎤⎣⎦+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰解:因故所以(3) 估计()⎰⎰++Dd y x σ1的值,其中D 是长方形区域：0≤x ≤1, 0≤y ≤2 ；(),114,2,211d ln 1d 4d 48.D D D DDDD x y D S S x y S σσσ∀∈≤++≤==⋅=≤++≤=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:因而的面积故【习题7.2】（解答）1、画出积分区域D 的图像再计算二重积分:(1)()dxdy y x D⎰⎰+,其中区域D 是由直线x y x y x x 3,,2,1====所围成的闭区域.解：画出积分区域D ,如图 5.6 所示,区域D 是-x 型的,区间[1,2]上任意取定一()()2313222211d d d d 6d 14.2xxDxx x y x y x x y yy xy dx x x +=+⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰x个值.过点作垂直轴的直线,与区域的边界相交,因此解：积分区域D 取为X型：110d d d Dx yσ=⎰⎰⎰{(,)|01,1}.D x y x y =≤≤≤≤那么(3)dy dx e Dy⎰⎰-2,其中区域D 是由直线y x y y 及,,1==轴所围成的闭区域. 解：如图5.6 所示, D 既是-x 型,也是-y 型的,若先对y 积分,后对x 积分,则dy dx e Dy ⎰⎰-2=dy e dx xy⎰⎰-1102. 由于函数e y 的原函数无法用初等函数表示, 因此累次积分无法进行. 若先对x 积分,再对y 积分,则()2222211110d d d d d 111d 1.22yy y y y Dy ye x y y e x e x yye y e e -----==⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)，设 D 由曲线与直线 x =0, y=1 所围成的区域.Dσy (17116000111131d (1.2222714yy x x x x ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22514632211[(2)]d 2145[2]5.24368y y y y y y y y --=+-=++-=⎰222222211d d d d 2y y yDy xxy y xy x y y σ++--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰解：将D 作 Y 型: 2{(,)|12,2}.D x y y y x y =-≤≤≤≤+2d ,2Dxy D y x y x σ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及所围成的闭区域.(4) cot cos()d Dx x xy σ⎰⎰2、计算二重积分: , 其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.(1)解：将D 作型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是()111111111000d cot cos()d cot dcos()d()cotsin()d cot cos d cos d sin |sin1.y y x x x xy y x x xy xy x xy x x x x x x x =========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式e d x xy x σ+⎰⎰，(2)其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.解：将D 作型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是111110001100d e d 1)2e d 2e 21)(e 1)|e 1.x xy xxyxx x x y x x x +⎫==-=⎪⎭==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式解：D 取为X 型： 3{(,)|01,1}.D x y x y x =≤≤≤+3,0,11,.DD x x y x y σ===+=其中由直线和曲线(3).420697517232213221d )21(21d ])1()1[(21d 1131d 1d d 110527322310425221122210132122102223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=+++++=++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x x x y x x x x D σ3ln ln332ln 2ln 2ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰211d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰解：(1) 积分区域D 可表为：(2) 积分区域D 可表为：{(,)|23,ln 2ln }{(,)|ln 2ln3,e 3}.y D x y x y x x y y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以2{(,)|01,{(,)|01,}.D x y y y x x yx x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以3. 设 f (x ,y ) 为二元可积函数，交换下列积分次序： 3ln 2ln 2d (,)d ;x x f x y y ⎰⎰10d (,)d .y y f x y x ⎰ (1) (2)圆周及其内部.r =1y2r =15π4=.4.,sin ,cos θθr y r x ==解：令则D 的边界线方程分别为r =2R cos ө,ө=0, ө=π/2. 积分区域D 可表示为22{(,)|2,0},0.D x y x y Rx y R =+≤≥>常数⎰⎰=Dy x f σd ),(⎰⎰θθθθcos 202π0d )sin ,cos (d R r r r r f 于是得到.π{(,)|0,02cos },2D r r R θθθ=≤≤≤≤将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中。

第七章多元函数的微积分《经济数学》PPT课件

反之,对于任意一个有序数组(x,y,z),在x,y,z三轴上分别取与x,y,z相应的点 P,Q,R,然后过P,Q,R这三点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,这三个平面的交点M就是有序数组(x,y,z)所唯一确定的点.
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.

多元函数微分学习题及详细解答

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)

经济数学基础--微积分第七章

x
y

x , y 0,0
x y
x 2 xy 我们之所以能够消去因式 x y , 是因为路径x y 0不在函数z 的定义域中. x y
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
xy 2 2 , x y 0 2 2 例7.1.3 讨论函数f ( x, y ) x y , 当( x, y ) 0, 0 时是否存在极限. 0, x 2 y 2 0
多元函数的基本概念
解取直线y x, kx)
趋近于 0, 0 , 由于f ( x, y )
k .让动点( x, y ) 沿直线y kx 无限 2 1 k
k k . 显然 , k 的取值不同 , 的值也不同.这意味着当( x, y) 2 2 1 k 1 k
第6 页
多元函数的基本概念
经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
多元函数的基本概念
例7.1.1 求下列函数的定义域 :
1 z R 2
x2 y 2 ; 1 4x y
2 2
2 z ln x 2 y 2 1 3 z arcsin x y .
;
解 1 要使函数的解析式有意义, x, y 必须满足R 2 x 2 y 2 …0, 所以函数的定义域是
D {( x, y ) x 2 y 2 „ R 2 }, 如图所示;
第7 页
经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
多元函数的基本概念
2 要使函数的解析式有意义, x, y 必须满足不等式组

高等数学下册同济大学出版社经管类第2版-第七章-多元函数微分学PPT课件

y2
1
0,
即 1 x2 y 2 9 ,函数定义域为
D ( x, y ) | 1 x 2 y 2 9 .点集 D
在 xOy 平面上表示以原点为圆
心，半径为 3 的圆与以原点为
y
O1 3 x
圆心的单位圆所围成的圆环
域 (包含边界曲线内圆 x2 y 2 1 ，
*
2
１．二元函数的定义
定义1 (二元函数) 设有三个变量 x, y 和 z, 如果当变量 x, y在它们的变化范围 D中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称 z 为变量 x, y的二元函数，记为z f (x, y) ，其中 x 与 y 称为自变量，函数z 也叫因变量．自变量 x与 y 的变化范围 D称为函数z 的定义域．
D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z f (x, y)的几何
图形，它通常是一张曲面，而其定义域D 就是此曲面在
xOy平面上的投影．
z
P
O
Y
y
X
MD
x
*
8
例 7 作二元函数 z 1 x y 的图形．解二元函数 z 1 x y 的图形是空间一平面，其图形如下图所示．
第七章多元函数微分学
*
1
第一节多元函数的极限及连续性
一、多元函数
1.实例分析
例 1设矩形的边长分别 x和 y ，则矩形的面积 S 为 S x .y
在此，当 x 和 y 每取定一组值时，就有一确定的面积值 S ．即 S 依赖于 x 和 y 的变化而变化．

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习题7.1(A)
1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。

解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；
(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。

2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --
并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。

解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；
C 点在第8卦限；
D 点在第3卦限。

(1) A =(4,3,5)-
(2) A 到x =
A 到y =
A 到z 5=；
(3) A 到坐标面xy 5=；
A 到坐标面yz 4=；
A 到坐标面xz 3=。

3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。

解因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即
22
222
2(4)1(7
)35(2
)z z
两边平方, 解得149z
, 于是所求点为14(0,0,)9
M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。

解由2
2
2
2000()()()x
x y
y z
z R ，得
2
222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为
2
2
2
2(1)(3)(2)3x y
z
5、下列各题中方程组各表示什么曲线？
(1)
2248,
8;
x y z z
(2)
22
25,
3;x y z x
(3)
22
2
4936,
1;
x y z y (4)
2244,
2.
x y z y
解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。

6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。

(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；
(2) 2
2
2
2
2
2
0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。

解 (1)、(2)题的图如下：
(1)题图 (2)题图
7、由上半球面
224
z
x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上
的投影区域。

解将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组
2
22
2
43()
z x y z
x
y
在该方程组中, 消去z , 得到2
2
1x
y . 这是准线为
221
x y z
, 母线平行于z 轴
的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2
21x
y .
习题7.1(B)
1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。

(1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；。