异方差的检验比较和修正

2007年 5 月 Journal of Science of Teachers′College and University May 2007

文章编号：1007-9831（2007）03-0027-03

异方差的检验比较和修正

陈晖1, 2

，杨乃军

3

（1. 山东大学 数学与系统科学学院，山东 济南 250100；2. 烟台职业学院 软件工程学院，山东 烟台 264001；

3. 烟台大学 教务处，山东 烟台 264001）

摘要：异方差是计量经济工作中线性回归模型经常遇到的问题，异方差的存在对线性回归分析有很强的破坏作用．通过对异方差产生的原因和后果进行分析，利用异方差的戈德菲尔特-夸特检验、拉格朗日乘数（LM）检验、怀特检验方法，判断线性回归模型异方差的存在性．通过加权最小二乘法或可行广义最小二乘法进行修正，建立能够真正反映经济规律的经济模型，实现对经济的正确指导作用．

关键词：异方差；戈德菲尔特-夸特检验；拉格朗日乘数（LM）检验；最小二乘法 中图分类号：F222.1 文献标识码 ：A

1 异方差产生的原因

在计量经济学中，建立线性回归模型时需要做一些假设，从而保证所分析的变量关系符合线性回归分析的基本规定性，明确分析对象，保证回归分析的有效性．其中之一要求随机误差项同方差，即2)var(σε=i 不随i 变化，保证扰动因素对被解释变量的影响是简单的、随机的，不构成主要的影响因素．当这条假设不满足，也就是线性回归模型误差项2)var(i i σε=随i 的变化而变化，这时候就产生了异方差，此时称线性回归模型存在异方差或异方差性．如果对应线性回归模型误差项随着i X 或i 的增大而增大，称为“递增异方差”，反之称为“递减异方差”，有时也有先增后减或者先减后增的其他复杂类型的异方差[1-2]

．

模型中异方差产生的原因，根据来源可以归纳为以下几方面原因：（1）模型中省略相关的解释变量； （2）误差随时间变化而变化；（3）模型设定不合理带来异方差；（4）分组数据误差带来异方差．

2 异方差的后果

计量经济模型一旦出现异方差，就会破坏模型假设的基本条件，如果仍然采用普通最小二乘法的估计方法，则会产生如下的不良后果：

（1）参数估计量失效：因为在有效性证明中利用了同方差的条件，因此所求的OLS 参数估计值虽然仍具有无偏性，但不再是有效的；

（2）变量的显著性检验失效：因为在变量的显著性检验中，构造的t 统计量包含有随机误差项的方差

2u σ，如果出现异方差，则t 检验就失去意义；

（3）模型预测失效：这是因为在预测值的置信区间中包含有随机误差项的方差2

u σ，导致预测值的置

信区间加大，降低了预测的精度，使预测失效[3]

．

３ 异方差的检验方法

收稿日期：2006-12-18

作者简介：陈晖（1970-），女，山东青岛人，讲师，在读研究生，从事金融数学研究．E-mail：ch_yt@

异方差的存在使得建立的经济模型不能很好的分析和预测经济现象，解释内在的经济规律，因此必须对线性回归模型误差项的异方差加以重视和处理，如何发现和准确判断异方差，并正确识别异方差的类型

成为解决和排除异方差的前提条件．通常可以利用图示法[4]

作被解释变量Y 与解释变量X 的散点图或者残差平方序列2e 与解释变量X 的散点图对随机扰动项u 的异方差作近似的直观判断．

但此方法不能对随机扰动项u 的异方差作精确判断，给修正或排除异方差带来了困难，希望能够有更有效的方法判断异方差的存在性和函数形式，从而能够修正异方差．下列检验将能够检验异方差的存在性，并能够得出异方差的函数形式，为使用加权最小二乘法修正异方差做前期准备．

戈德菲尔特-夸特检验：简称C-Q 检验[5]

，适用大样本，并且随机扰动项u 的方差随着某个解释变量的 增大而呈现单调变化，递增异方差和递减异方差类型可用此类检验方法．对于复杂形态的异方差则无法检验，同时，其局限性在于样本容量必须较大，c 的选取必须适当（c 为样本中去掉的c 个中间样本观测值），c 太小会影响2个子样本异方差的显著性检验，c 太大会影响2个子样本的样本容量．而且此检验仍然没有给出异方差的具体模式，无法解释方差是如何随随机变量或样本序数而变化的．

拉格朗日乘数（LM）检验：近些年比较流行的检验方法．因为检验统计值的计算比较简单，有很多备 择方法可以选择．假设模型为：t tk k t t t x x x y µββββ+++++="33221，其误差方差为2i σ．对误差方差作简化假设，则以下3种备择假设涵盖了现有文献中讨论过的大多数情况：

tP P t t t Z Z Z αααασ++++="332212 （1） tP P t t t Z Z Z αααασ++++="33221 （2）

tP P t t t Z Z Z αααασ++++="332212)ln( （3）

（3）式等价于

)exp(332212tP P t t t Z Z Z αααασ++++=" （4）

式中，p 为未知系数的数量；Z 为值已知的变量（Z 的部分或全部可能是模型中的X ）．这些方程称为误差方程的辅助方程．（1）式是布劳殊−培甘检验，戈里瑟检验使用（2）式，哈维−戈费雷检验使用（3）式．（4）

式也称为积性异方差，因为误差方差被指定为若干项的乘积[6]

．容易看出，同方差的零假设条件是：

0321=====P αααα"．检验时，首先对线性回归模型应用OLS 方法，求得残差序列t µ

ˆ，根据不同的检验方法，分别让2ˆt µ

，|ˆ|t µ，)ˆln(2t µ对Z 作辅助回归，Z 包含常量项，计算检验统计值2nR LM =，其中n 为观察值的数量，2R 为辅助回归中未矫正的2R ．在同方差零假设条件下，统计值服从自由度为1−p 的

)(21αχ−p 卡方分布，α为显著水平．如果)(2

1

αχ−>p LM ，则可断定异方差的存在． 怀特检验：此检验实际上也是大样本下的LM 检验．基本思想是考虑异方差与自变量X 有联系，构建

残差平方序列2ˆt µ

与所有解释变量及其平方项、交叉项的函数回归关系，求得辅助回归中未矫正的2R ，通过2nR 是否服从自由度为k 的卡方分布，判断异方差的存在，并确立异方差的函数形式．

４ 异方差的修正

异方差的存在，造成了一系列严重的后果，因此当线性回归模型存在异方差，应及时消除异方差，基

本思想就是变异方差为同方差，或者减少异方差的程度．在异方差一致的情况下，普遍使用的是加权最小二乘法，其原理是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差的模型，然后采用普通最小二乘法估计新模型的参数，由此可以得到原模型的所有参数估计．在异方差未知的情况下，可以使用可行广义最小二乘法，拉格朗日乘数（LM）检验方法先求出误差方差的估计值，然后再使用加权最小二乘法，得到原模型的所有参数估计．

５ 实证分析

在这个实证中，建立被解释变量为人均家庭交通和通讯支出（cum ），解释变量为可支配收入（in ）的回归方程，样本数30，模型假设为i i i in cum µβα+×+=，使用1998年中国各地区城镇居民平均每人全年家庭可支配收入、交通和通讯支出数据

[7-8]

，使用Eviews4.0进行OLS 估计，得到以下信息结果：